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# Formulario De Integrales

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FORMULARIO COMPLETO DE INTEGRALES.

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### Formulario De Integrales

1. 1. Formulario de integrales c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia Creative Commons Atribuci´n 2.1 Espa˜a. o n S´ptima revisi´n: Febrero e o 2005 Sexta revisi´n: Julio o 2003 Quinta revisi´n: Mayo o 2002 Cuarta revisi´n: Mayo o 2001 Tercera revisi´n: Marzo o 2001 1. Integrales indeﬁnidas 1.1. Funciones racionales e irracionales 1.1.1. Contienen ax + b 1 (ax + b)n dx = (ax + b)n+1 + C, (1) n=1 a(n + 1) dx 1 = ln |ax + b| + C (2) ax + b a dx 1 x (3) = ln +C x(ax + b) a ax + b dx 1 1 =− · (4) +C 2 (1 + x) 1+ x xdx 1 2 1 1 =− · − · (5) +C (1 + bx)3 2b (1 + bx)2 2b 1 + bx √ 1.1.2. Contienen ax + b √ 2(3bx − 2a)(a + bx)3/2 (6) x a + bxdx = +C 15b2 √ 2(bx − 2a) a + bx x √ (7) dx = +C 3b2 a + bx 1
2. 2.  √ √  √ ln √a+bx−√a + C, 1 a>0 dx a a+bx+ a √ (8) =  √2 arctan a+bx + C, x a + bx a<0 −a −a √ √ a + bx dx √ (9) dx = 2 a + bx + a +C x x a + bx Contienen x2 ± a2 1.1.3. dx 1 x (10) = arctan + C, a>0 a2 + x2 a a xdx 1 =√ (11) +C (x2 2 )3/2 ±a 2 ± a2 x Contienen a2 − x2 , 1.1.4. x<a a2 x x (a2 − x2 )3/2 dx = a 2 − x2 + (12) arc sen + C, a>0 2 2 a dx 1 a+x 1 x (13) = ln + C = arctanh a2 − x2 a−x 2a a a dx x =√ (14) +C (a2 2 )3/2 −x 2 a2 − x2 a √ x2 ± a 2 1.1.5. Contienen 1 x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C = x2 ± a2 dx (15) = 2 √ a2 1 2 2 2 x√a + x + 2 arcsenhx + C (+) = 2 1 x a2 − x2 + a arccoshx + C (−) 2 2 12 (x ± a2 )3/2 + C x2 ± a2 dx = (16) x 3 1 2 x3 x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C (17) 5 5 √ x2 − a 2 a x2 − a2 − a · arc cos (18) dx = +C |x| x dx x √ = a · arcsenh + C (19) a x2 + a 2 dx x x2 − a2 + C = arccosh √ (20) = ln x + + C, (a > 0) a x2 − a2 dx 1 a √ (21) = arc cos + C, (a > 0) |x| a 2 − a2 xx 2
3. 3. √ x2 ± a 2 dx √ (22) = +C a2 x 2 x2 ± a 2 x xdx = x2 ± a 2 + C (23) x2 ± a 2 √ (a2 + x2 )3/2 x2 ± a 2 (24) dx = +C 4 3a2 x3 x x2 a2 x x x2 − a 2 − √ (25) dx = arccosh + C 2 2 a 2 − a2 x √ a2 ± x2 1.1.6. Contienen a2 1 x a2 − x2 dx = a2 − x2 − (26) x arc sen + C, (a > 0) 2 2 a 1 a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C (27) x 3 a2 x x x2 (2x2 − a2 ) a2 − x2 + a2 − x2 dx = (28) arc sen + C, a>0 8 8 a √ √ a2 ± x2 a + a2 ± x2 dx = a2 ± x2 − a ln (29) +C x x √ − a2 − x2 dx √ (30) = +C a2 x x2 a 2 − x 2 dx x √ (31) = arc sen + C, a > 0 a a2 2 −x √ a + a2 − x2 dx 1 √ = − ln (32) +C a x x a2 − x2 x a 2 ± x2 + C √ dx = ± (33) a2 ± x2 x2 a2 x x a 2 ± x2 √ dx = ± (34) arc sen + C, a>0 2 2 a a2 2 ±x dx x a2 + x2 + C = arcsenh √ (35) = ln x + + C, a>0 a a2 + x2 Contienen ax2 + bx + c 1.1.7.  √ 2ax+b− b2 −4ac  √ 21  b −4ac ln 2ax+b+√b2 −4ac =    √2 = b2 −4ac arctanh √2ax+b + C, b2 > 4ac dx (36) = b2 −4ac ax2 + bx + c  √ 2  4ac−b2 arctan √2ax+b 2 + C, b2 < 4ac   4ac−b  2 b2 = 4ac − 2ax+b + C, 3
4. 4. x 1 b dx ln ax2 + bx + c − (37) dx = +C ax2 + bx + c ax2 + bx + c 2a 2a x · dx bx + 2c (38) =2 + (ax2 n (b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1 + bx + c) b(2n − 3) dx b2 < 4ac +2 , n = 0, 1, 2 + bx + c)n−1 (b − 4ac)(n − 1) (ax dx 2ax + b (39) = + (ax2 + bx + c)n −(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1 2a(2n − 3) dx , n = 0, 1, b2 < 4ac + −(b2 − 4ac)(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1 √ ax2 + bx + c 1.1.8. Contienen (40) 4ac − b2 2ax + b dx ax2 + bx + cdx = ax2 + bx + c + √ 4a 8a ax2 + bx + c a 0 + a 1 x + . . . + a n xn √ Ver §3.5, p´g. 11: m´todo alem´n (41) dx a e a ax2 + bx + c √ dx 1 = √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C = √ (42) a ax2 + bx + c 1 2ax+b  √a arcsenh √4ac−b2 + C, ∆ < 0, a > 0;  1 ∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac √ ln |2ax + b| + C,  a1 √ arc sen √2ax+b + C, ∆ > 0, a < 0; − −a b2 −4ac √ ax2 + bx + c x b dx √ √ − (43) dx = a 2a 2 + bx + c 2 + bx + c ax ax  √√ 2  −1 ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0 √ dx x c √ (44) =  √1 arc sen √ 2bx+2c 2 + bx + c x ax + C, c<0 −c |x| b −4ac 1.2. Funciones trigonom´tricas e 1.2.1. Contienen sen ax dx 1 ax (45) = ln tan +C sen ax a 2 1 ax − cos ax · sen ax x sen 2ax sen2 axdx = · +C = − (46) +C 2 a 2 4a 4
5. 5. senn−1 ax · cos ax n − 1 senn axdx = − senn−2 axdx, n = 0, −1; (47) + a·n n 1 cos(a + b)x 1 cos(a − b)x a 2 = b2 sen ax sen bxdx = − − (48) + C, a−b 2 a+b 2 1 n xn sen axdx = − xn cos ax + xn−1 cos axdx (49) a a ∞ (ax)2ν−1 sen ax (50) dx = (2ν − 1) · (2ν − 1)! x ν=0 dx 1 ax π (51) = tan +C 1 ± sen ax a 2 4 1.2.2. Contienen cos ax 1 ax + cos ax · sen ax cos2 axdx = · (52) +C 2 a dx 1 ax π − (53) = ln tan +C cos ax a 2 4 ∞ (ax)2ν cos ax (−1)ν dx = ln |ax| + (54) +C (2ν) · (2ν)! x ν=1 cosn−1 ax · sen ax n − 1 cosn axdx = cosn−2 axdx+C, n = 0, −1; (55) + a·n n 1 sen(a − b)x 1 sen(a + b)x a 2 = b2 cos ax cos bxdx = − (56) + + C, a−b 2 2 a+b 1n n xn cos axdx = xn−1 sen axdx + C, x sen ax − n = −1 (57) a a dx 1 ax = ± tan (58) +C 1 ± cos ax a 2 1.2.3. Contienen tan ax o cot ax 1 tan axdx = − ln cos ax + C (59) a tan2 xdx = tan x − x + C (60) tann−1 ax tann axdx = tann−2 axdx, − (61) n = 1, 0; a(n − 1) 1 (62) cot axdx = ln sen ax + C a cotn−1 ax cotn axdx = − cotn−2 axdx + C, − (63) n = 1, 0; a(n − 1) 5
6. 6. 1.2.4. Contienen sec ax o csc ax 1 ax ax ax ax − ln cos − sen (64) sec axdx = ln cos + sen +C a 2 2 2 2 1 sec2 axdx = (65) tan ax + C a 1 tan ax · secn−2 ax 1 n − 2 1 n−2 secn xdx = ax · dx + C, (66) + n = 1; n−1 a n − 1 sec a 1 csc2 axdx = − cot ax + C (67) a 1 cot ax · cscn−2 1 n − 2 cscn axdx = − cscn−2 ax·dx+C, +· (68) n = 1; n−1 a n−1 a 1.2.5. Varias funciones sec x · tan ax · dx = sec x + C (69) csc x · cot x · dx = − csc x + C (70) cosm−1 x·senn+1 x m−1 cosm−2 x · senn x · dx + cosm x · senn x · dx = m+n m+n (71) cosm+1 x·senn−1 x n−1 cosm x · senn−2 x · dx + m+n m+n 1.2.6. funciones trigonom´tricas inversas e x x a2 − x2 + C, arc sen dx = x · arc sen + (72) a > 0; a a x x a2 − x2 + C, arc cos dx = x · arc cos − (73) a > 0; a a x2 x x1 arctan dx = x · arctan − a ln 1 + 2 (74) + C, a > 0; a aa a x 1 xa arccot dx = x · arccot + ln(a2 + x2 ) + C (75) a a a2 x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C (76) 6
7. 7. 1.3. Funciones exponenciales y/o logar´ ıtmicas xn eax n xn eax dx = xn−1 eax dx − (77) a a eax (a sen bx − b cos bx) eax sen bx · dx = (78) +C a2 + b 2 eax (b sen bx + a cos bx) eax cos bx · dx = (79) +C a2 + b 2 x ln(a + benx ) dx =− (80) +C a + benx a an x loga xdx = x loga x − ∀a > 0; (81) + C, ln a 2x2 ln x − x2 (82) x ln xdx = +C 4 ln ax 1 xn ln ax · dx = xn+1 − (83) +C n + 1 (n + 1)2 (84) xn+1 m xn (ln ax)m dx = (ln ax)m − xn (ln ax)m−1 dx, n, m = −1, x > 0; n+1 n+1 ln axdx = x ln ax − x + C, (85) x > 0; ∞ eax (ax)i dx = ln |x| + (86) +C i · i! x i=1 eax 1 ax 1 eax ln x · dx = e ln |x| − (87) dx + C a a x ∞ lni x dx = ln | ln x| + (88) + C, x > 0; i · i! ln x i=1 dx = ln | ln x| + C, (89) x > 0; x ln x lnn x 1 lnn+1 x, n = −1, x > 0; (90) dx = x x+1 7
8. 8. 1.4. Funciones hiperb´licas o 1 (91) senh axdx = cosh ax + C a 1 1 senh2 xdx = senh 2x − x + C (92) 4 2 1 (93) cosh axdx = senh ax + C a 1 1 cosh2 xdx = (94) senh 2x + x + C 4 2 1 ln | cosh ax| + C (95) tanh axdx = a 1 ln | senh ax| + C (96) coth axdx = a (97) sechxdx = arctan(senh x) + C sech2 xdx = tanh x + C (98) x 1 cosh x + 1 = − ln (99) cschxdx = ln tanh +C 2 cosh x − 1 2 senh x · tanh x · dx = −sechx + C (100) cschx · coth x · dx = −cschx + C (101) 1.4.1. funciones hiperb´licas inversas o x x a2 + x2 + C, arcsenh dx = x arcsenh − (102) a>0 a a √ x arccosh x − x2 − a2 + C, arccosh x > 0, a > 0; x a a √ (103) arccosh dx = x arccosh x + x2 − a2 + C, arccosh x < 0, a > 0; a a a x x1 arctanh dx = x arctanh + a ln(a2 − x2 ) + C (104) a a2 x x1 arccoth dx = x arccoth + a ln(x2 − a2 ) + C (105) a a2 x2 x x arcsenh dx = x arcsech − a arc sen 1− (106) +C a2 a a x2 x x (107) arcsech dx = x arccsch + a arccosh 1 + 2 + C a a a 8
9. 9. 2. Integrales deﬁnidas ∞ n! xn e−qx dx = n > −1, q > 0; (108) , q n+1 0 ∞ Γ[(m + 1)/2] 2 xm e−ax dx = (109) , a>0 2a(m+1)/2 0 n! = , Si m impar : m = 2n + 1 2an+1 1 · 3 · . . . · (2n − 1) π = , Si m par : m = 2n 2n+1 a2n+1 √ 1 π 2 2 x2 e−ax dx = − e−a + (110) erf( a) a3 2a 4 0 (111) ∞ n!e−at a 2 t2 a n tn xn e−ax dx = 1 + at + +...+ , n = 0, 1, . . . , a > 0; an+1 2! n! t ∞ ∞ n−1 2 2 xn e−ax dx = xn−2 e−ax dx (112) 2a 0 0 ∞ 1 π 2 e−ax dx = (113) 2 a 0 ∞ 1 2 xe−ax dx = (114) 2a 0 x dx 1 (115) = ln 1−x 1−x 0 x dx x (116) = (1 − x)2 1−x 0 x dx 1 (117) = ln(1 + x) 1+ x 0 x 1+ x 1 −x (118) dx = (1 + ) ln 1−x 1−x 0 x (1 − )x 1+ x 1 − ln (119) dx = 2 (1 − x) 1−x 1−x 0 x (1 + x)2 (1 + )2 x 2 dx = 2 (1 + ) ln(1 − x) + (120) x+ (1 − x)2 1−x 0 x ΘB − x dx 1 (121) = ln , ΘB = 1 (1 − x)(ΘB − x) ΘB − 1 ΘB (1 − x) 0 x −2 dx 2 b2 = 4ac (122) = +, ax2 + bx + c 2ax + b b 0 (123) 9
10. 10. x q x−p dx 1 b2 > 4ac; p, q son las ra´ · = ln , ıces; ax2 + bx + c a(p − q) p x−q 0 x bx ag − bc a + bx (124) dx = + ln(c + gx) g2 c + gx g 0 3. M´todos de integraci´n e o 3.1. Integraci´n por partes: o u · dv = u · v − v · du 3.2. Integraci´n por sustituci´n: o o si x = g(t) es un funci´n que admite derivada cont´ o ınua no nula y funci´n o inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g (t) se tiene que: f (x)dx = F (h(x)) + C 3.3. Integraci´n de funciones racionales: o F (x) Queremos hallar Q(x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeﬁcientes reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la divisi´n para obtener o F (x) R(x) dx = C(x)dx + Q(x) dx. La primera integral es inmediata. Para la Q(x) segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera: Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2 ]s y es unica. En ´ tal caso, el integrando del segundo t´rmino se puede descomponer como sigue: e Ap Bq R(x) A1 A2 B1 B2 Q(x) = (x−a)p + (x−a)p−1 + . . . + x−a + . . . + (x−b)q + (x−b)q−1 + . . . + x−b + M1 x+N1 Mr x+Nr H1 x+K Hs x+Ks + . . . + (x−c)2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f12 )s + . . . + (x−e)2 +f 2 . Todas ((x−c)2 +d2 )r−1 las constantes se obtienen identiﬁcando coeﬁcientes. Al resolver los sumando se obtienen integrales del siguiente tipo: dx = ln |x − a| + C 1. x−a dx 1 2. = +C (x−a)p (1−p)(x−a)p−1 M x+N M M c+N arctan x−c + C ln |(x − c)2 + d2 | + 3. (x−c)2 +d2 dx = 2 d d M x+N M x+N dx ⇒ Llamemos Ir = 4. [(x−c)2 +d2 ]r dx [(x−c)2 +d2 ]r dx y Jr = [(x−c)2 +d2 ]r dx operando se obtiene M 1 · + (M c + N ) · Jr Ir = ((x−c)2 +d2 )r−1 2(1−r) 1 x−c 1 − −1 Jr = d2 Jr−1 + d2 2(1−r) Jr d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1 10
11. 11. 3.4. M´todo de Hermite e Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2 . . . (x − e)2 + f 2 entonces R(x) U (x) dx = q−1 + p−1 Q(x) (x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ] . . . [(x − e)2 + f 2 ] dx dx Cx + D Ex + F K +... +L + dx + . . . + dx (x − c)2 + d2 (x − e)2 + f 2 x−a x−b donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las constantes se determinan derivando la expresi´n e identiﬁcando coeﬁcientes. o 3.5. Integraci´n de funciones irracionales algebraicas o Integrales del tipo m1 ms ax + b ax + b n1 ns dx | a, b, c, d ∈ R; ni , mi ∈ Z; ni = 0 R x, ,..., cx + d cx + d y c y d no se anulan simult´neamente. Se transforma en integral racional a mediante el cambio ax+b = tm siendo m el m´ ınimo com´n m´ltiplo de las u u cx+d ni . √ Integrales del tipo R x, ax2 + bx + c dx se consideran los siguientes casos: √ √ 1. a > 0 → ax2 + bx + c = ± a · x + t √ √ 2. c < 0 → ax2 + bx + c = ± c + x · t √ 3. a, c < 0 → ax2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del polinomio. √ M´todo Alem´n: √ax2 (x) dx = Q(x) · ax2 + bx + c + K √ax2dx P e a +bx+c +bx+c Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeﬁcientes se obtienen derivando la expresi´n e identiﬁcando t´rminos. o e Series bin´micas: xm (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas inte- o grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios indicados. 1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m. m+1 ∈ Z → a + bxn = tq siendo q el denominador de p. 2. n a+bxn m+1 +p∈ Z→ = tq siendo q el denominador de p. 3. xn n En cualquier otro caso se puede expresar como funci´n elemental. o 3.6. Integraci´n de funciones trascendentes o Si R(u) es una funci´n racional y u = f (x) es una funci´n que admite funci´n o o o inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una integral racional mediante el cambio f (x) = t . 11
12. 12. 3.7. Integraci´n de funciones trigonom´tricas o e Integraci´n de R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x = t o 2 2 con lo que sen x = 1+t2 , cos x = 1−t2 , dx = 1+t2 . En elgunos casos se 2dt 2t 1+t pueden intentar otros cambios: 1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t 2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t 3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientes Integrales del tipo Im,n = formas: senm+1 x·cosn−1 x n−1 m = −1 1. Im,n = + m+1 Im+2,n−2 , m+1 m+1 n−1 sen x·cos x n−1 2. Im,n = + m+n Im,n−2 , m+n=0 m+n m−1 x·cosn+1 x − sen m+1 m−1 m = −1 3. Im,n = + n+1 Im+2,n+2 , m−1 x·cosn+1 x 4. Im,n = − sen m−1 + m+n Im−2,n , m+n=0 m+n m+1 n+1 5. Im,n = − sen x·cos x m+n−2 n = −1 + n+1 Im,n+2 , n+1 m+1 n+1 sen x·cos x m+n−2 m = −1 6. Im,n = + m+1 Im+2,n+2 , m+1 4. Ecuaciones diferenciales ordinarias 4.1. Ecuaciones diferenciales lineales R R y + p(x)y = q(x) =⇒ y = e− (x)dx p(x)dx q(x)e +C t 1 τ y + y = p(t) =⇒ y = e−t/τ p(t)et/τ dt + y0 τ 0 5. Soluci´n num´rica de ecuaciones diferenciales o e 5.1. M´todo de Runge-Kutta de cuarto orden e 1 y = f (x, y) → yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h 6 k1 = f (xi , yi ) k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2) k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h) 12