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  1. 1. SISTEMAS DE NUMERACIONSISTEMA DECIMALSu origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Subase es 10.El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se componede diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valordependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas,millares, etc.El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número quecoincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponenteigual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 528En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso,algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitoscolocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 secalcularía como:8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97Si un número decimal tiene un número finito de cifras decimales se suele llamardecimal exacto y se corresponde con una fracción irreducible cuyo denominadordescompuesto en factores primos sólo tenga los factores 2 y 5. Por ejemplo:Por ser el denominador una potencia de 10 sólo tiene factores 2 y 5, y al reducir lafracción sólo quedan estos factores.Hay decimales con un número infinito de cifras que se repiten periódicamente. Sellaman decimales periódicos y se obtienen a partir de fracciones irreducibles cuyodenominador tenga algún factor que no sea 2 ni 5.Por último, existen números decimales con infinitas cifras que no se repitenperiódicamente. No corresponden a ninguna fracción y, por tanto, son númerosirracionales. Es el caso de d = 3,141592… f = 1,41424…Los números decimales pueden ser representados sobre la recta real: si tienen unnúmero finito de cifras se pueden situar de manera teóricamente exacta; si sus cifras soninfinitas, se pueden situar con tanta aproximación como se desee.
  2. 2. SISTEMA BINARIOEl sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición queocupe.El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente iguala la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con elsistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2)para representar los números.De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:8 + 0 + 2 + 1 = 11y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:10112 = 1110HISTORIA Y EVOLUCIONEl antiguo matemático hindú Píngala presentó la primera descripción que se conoce deun sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cualcoincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas, análogos a 3 bit y númerosbinarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching.Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas deadivinación tradicionales africanos como el Ifá, así como en la geomancia medievaloccidental.Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuenciadecimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito yfilósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de queShao entendió el cómputo binario.En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podríanreducirse a secuencias de dígitos binarios, la cuales podrían ser codificados comovariaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglodiecisiete, en su artículo "Explication de Arithmétique Binaire". En él se mencionan lossímbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual que elsistema de numeración binario actual.En 1854, el matemático británico George Boole, publicó un artículo que marcó un antesy un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebrade Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo delsistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.
  3. 3. En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementabael Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primeravez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés,la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en losLaboratorios Bell, construyó un ordenador basado en relés - al cual apodó "Modelo K"(porque lo construyó en una cocina, en inglés "kitchen")- que utilizaba la suma binariapara realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa deinvestigación a finales de 1938, con Stibitz al mando.El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una Calculadora de Números Complejos,la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración enla conferencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940,Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de NúmerosComplejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo.Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea deteléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostraciónfueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, el cual escribió acerca dedicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.SISTEMA OCTALEn el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitosdiferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distintodependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones vienedeterminado por las potencias de base 8.Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 1496102738 = 149610Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cadatres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valordecimal.SISTEMA HEXADECIMALEn el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y Frepresentando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porqueno hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que secalcula mediante potencias de base 16.Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
  4. 4. 1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*1601*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 67191A3F16 = 671910Para convertir un número n dado en base 10 a base b, se divide (en el sistema decimal) npor b, el cociente se divide de nuevo por b y así sucesivamente hasta que se obtenga uncociente cero. Los restos sucesivos de esta serie de divisiones son los dígitos queexpresan n en base b (la base se suele escribir como un subíndice del número). Amedida que la base sea mayor, se necesitan más guarismos, pero la representación de unnúmero requiere menos dígitos.Su uso actual está muy vinculado a la informática. Esto se debe a que un dígitohexadecimal representa cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble); por tanto, dos dígitoshexadecimales representan ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte, (que como es sabidoes la unidad básica de almacenamiento de información). Dado que nuestro sistema usual de numeración es de base decimal, y por ello sólodisponemos de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras delalfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E= 14 y F = 15. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numéricode cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedandomultiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16.
  5. 5. TABLA DE LAS UNIDADES DE MEDIDA

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