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Manual de calculo vectorial 2008

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Manual de calculo vectorial 2008

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚFACULTAD DE IINGENIIERÍÍA QUÍÍMIICAFACULTAD DE NGEN ER A QU M CA MANUAL DE CÁLCULO VECTORIAL AÑO ACADEMICO 2008 C ∈ R3 IIng.. Belltran Lázaro Moiises ng Be tran Lázaro Mo ses HUANCAYO – PERU 2008
  2. 2. CALCULO VECTORIALFUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL1. FUNCIONES Función en su forma explicita. Ejemplo: y = x2 + 2x − 3 Función en forma implícita. f ( x, y ) = 0 Ejemplo: a) y − 2x − 3 = 0 b) 2 x 3 2 x 2 + y = 5 → forma _ implicita2. ARGUMENTO FORMA:
  3. 3. Ejemplos: ⇒ v = f1 (t ) e Modelos matemáticos: i) v= t a = ⇒ a = f 2 (t ) v ii) t iii) h = gt ⇒ h = f 3 (t ) 1 2 2 Notación General F = F (t )3. TIPOS DE ECUACIONES 2 Referencia: Ecuación de una recta R Forma Cartesiana Explicita Implícita y = ax + b AX + BX + C = 0 Forma Vectorial L: P = P0 + t a ∀t ∈ R Forma Paramétrica Tomando:
  4. 4. x = x 0 + ta1 (x, y ) = (x 0 + ta1 , y 0 + ta 2 ) y = y 0 + ta 2 Ecuación de una recta en su forma paramétrica Forma Simétrica Tomando la ecuación paramétrica x = x0 + ta1 y = y0 + ta x − x0 y − y0 = =t Ecuación simétrica de la recta a1 a24. REPRESENTACION PARAMETRICA DE CURVAS centro origen de coordenadas (0,0) Ecuación de la Circunferencia Ecuación cartesiana x 2 + y 2 = r 2 (Forma canónica) Gráfico: Del diagrama: Ecuaciones paramétricas x i )Cost = ⇒ x = rCost Cuando t ∈ [0,2π ] r y ii ) Sent = ⇒ y = rSent r
  5. 5. Ecuación paramétrica de la Elipse Ecuación cartesiana: x2 y2 + =1 a2 b2 Gráfico: x = rCost y = rSent Ecuación Paramétrica x = Cost ⇒ x = aCost a ∀t ∈ R (Ecuación cartesiana y = Sent ⇒ y = bSent b modificada)
  6. 6. Ecuación paramétrica de la Hipérbola Ecuación cartesiana: x2 y2 − =1 a2 b2 Ecuación Paramétrica x = Cosht ⇒ x = aCosht a ∀t ∈ R y = Senht ⇒ y = bSenht b Nota: en funciones hiperbólicas siempre debe estar dado en radianesRELACION: e t + e −t i ).Cosht = 2 e − e −t t ii ).Senth = e= constante neper =2,7182 61 2 ii ).Cos th − Sen 2 th = 1 2
  7. 7. 5. ECUACIONES PARAMETRICAS DE CURVAS QUE TIENEN COMO CENTRO (h,k) Ecuación parametrica de la Circunferencia Ecuación cartesiana ( x − h )2 + ( y − k )2 = r 2 Gráfico: Del diagrama: Ecuaciones paramétricas x − h = rCost ⇒ x = rCos + h Cuando t ∈ [0,2π ] y − k = rSent ⇒ y = rSent + k Ecuación paramétrica de una Elipse Ecuación paramétrica: (x − h )2 + ( y − k )2 =1 a2 b2 Gráfico:
  8. 8. x−h = Cost ⇒ x = h + aCost a ∀t ∈ R (Ec. cartesiana y−k = Sent ⇒ y = k + bSent b modificada)Ecuación paramétrica de la Hipérbola Ecuación paramétrica: (x − h )2 − ( y − k )2 =1 a2 b2 x−h = Cosht ⇒ x = h + aCosht a ∀t ∈ R y−k = Senht ⇒ y = k + bSenht b
  9. 9. 4.3 PARAMETRIZACION DE CURVAS MEDIANTE LA INTERSECCION DE DOS SUPERFICIES Al intersecarse dos superficies generan una curva C cuyas ecuaciones paramétricas se pueden determinar. Ejemplo: Parametrizar la curva C que esta formado por las ecuaciones x2 + y2 = 9 ; z = 2 Solución: Donde: C ∈ P ( x, y , z ) ∈ R 3 C = C1 ∩ C 2 De ecuación (1):
  10. 10. 6. OBTENCION DE LA ECUACIÓN CARTESIANA DE UNA CURVA A PARTIR DE SUS ECUACIONES PARAMETRICAS Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva C • Se debe eliminar el argumento “t” mediante artificios algebraicos o trigonométricos Ejemplo: x = 2 − t; 01.- Dada las ecuaciones de la recta L : determinar su ecuación y = 3 + 5t cartesiana y graficar. SOLUCIÓN: x = 2 − t.......(1) x = f (t ) L: Ec. Paramétrica de la Recta L y = 3 + 5t.....(2 ) y = f (t ) Hallar la ecuación Cartesiana de L : De (1) respecto a “t” t =2−x y = 3 + 10 − 5 x Reemplazando en (2) Ec. Cartesiana y = −5 x + 13 02.- Graficar la ecuación cartesiana cuyas ecuaciones paramétricas son x = 2 Sect − 1 y = Tant + 2 SOLUCION: x = 2 Sect − 1.....(1) Ec. Paramétrica y = Tant + 2.....(2 ) Determinando la ecuación cartesiana (x + 1)2 − ( y − 2)2 = 1 Hipérbola 22 12
  11. 11. Notación:Campo escalar: φ =φ(x,y,z). Transformación, → → A = A(t )Campo vectorial: → → A = A( x, y, z ).Transformación: Campo escalar Campo vectorial Ecuación Ecuación Función Cartesiana parmetrica vectorialForma: φ(x,y,z)=0 x(t)=f1(t) Vector de posición → → → → y(t)=f2(t) r = x i + y j+ z k . z(t)=f3(t)Ejercicios:1.- Determine las ecuaciones parametricas de la curva C , esta curva tiene x 2 + y 2 + z 2 = 16como ecuaciones: y+z =4Solución:Dado la C∴ C = C1 ∩ C2C1 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 2 ……….(1) Ecuación de una esfera C.(0,0,0)C2 : y + z = 4 ………..(2) Ecc. de un planoGrafico intuitivo: z Curva: C “Hodografa” y xCalculando las ecuaciones parametricas de C :Reemplazando ecc.(2) en ecc.(1)
  12. 12. x 2 + y 2 + (4 − y ) 2 = 16x 2 + y 2 + 16 − 8 y + y 2 = 16x2 + 2 y 2 − 8 y = 0Completando cuadradosx 2 + 2( y − 2) 2 = 8Dividiendo.x 2 ( y − 2) 2 + =1 8 4 ecc. de una elipse x2 ( y − 2) 2 + =1( 8)2 22Determinado la ecc. Parametrica de la elipse. x = cos t. ⇒ x = 8 cos t. 8y−2 = sent. ⇒ y = 2 + 2 sent. 2Reemplazando en la ecc. (2).z = 4 − (2 + 2sent ).z = 2 − 2 sent.si me pide la ecuación vectorial reemplazo en: → → → → r = x i + y j+ z k .7. FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE REAL Sea el vector de posición o radio vector r ∈ R 3
  13. 13. Donde:→r = OP.→r = P − O.→r = ( x, y, z ) − (0,0,0)→ x y zr =( , , ) ↓ ↓ ↓ → → → i j kVectores unitarios.→ i = (0,0,0).→ j = (0,0,0).→k = (0,0,0).→ → → i = j = k =1Notacion vectorial. → → → → r = ( x i , y j , z k ). Donde : Funcion vectorial → → → → r = ( x(t ) i , y (t ) j , z (t ) k ).Notacion: → → r = r (t ). → → → → → → x i + y j + z k = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k . x = x(t ) Ecc parametricas de una funcion vectorial. y = y (t ) z = z (t )Hodografa De Una Función Vectorial. → → → → r (t ) = cos t i + sent j + sent kSolución: x = cos t...................(1) y = sent...................( 2) → ecc. parametrica z = sent...................(3) x 2 + y 2 = cos 2 t + sen 2t x 2 + y 2 = 1................( 4)En el plano es una circunferencia, en el espacio un cilindro Ecc (2)=(3) z=y
  14. 14. En el grafico: z y Hodografa. xDominio Y Rango De Una Función VectorialDada la funcion vectorial: → → → → r = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) kDominio: Se va a sacar el dominio de cada componente. D→ = D x + D y + Dz r (t )Rango o Imagen I m = { xt , yt , zt , / t ∈ I }Propiedades de funciones Vectoriales. → → → →1.( f ± g ) ( t ) = f ( t ) ± g ( t ) → → 2.(φ f ) ( t ) = φ(t ) f (t ) → → → → 3.( f . g ) ( t ) = f ( t ) . g (t ) → → → → 4.( f × g ) ( t ) = f ( t ) × g (t )
  15. 15. Limite de una función Vectorial. z P1 → → r (t ) Δr P2 Trayectoria → r (t + Δt ) 0 y xDel diagrama Δ OP1P2:→ → →r (t ) + r (t + Δt ) = Δ r → → → →Δ r = r (t + Δ t ) − r (t ) → → → Δr r (t + Δt ) − r (t )∴ lim = lim Δt →t 0 Δt Δt →t 0 ΔtResumen:Si. → → → → r (t ) = x(t ) i + y( t ) j + z(t ) k → ⎡ → → → ⎤ lim r ( t ) = lim ⎢ x( t ) i + y( t ) j + z(t ) k ⎥ t →t 0 t →t 0 ⎣ ⎦ → → → → lim r ( t ) = lim x(t ) i + lim y( t ) j + lim z(t ) k t →t 0 t →t 0 t →t 0 t →t 0Propiedades: → → → → → lim( f ± g ) ( t ) = lim f ( t ) i ± lim g ( t ) t →t 0 t →t 0 t →t 0 → → lim(φ f ) (t ) = lim φ( t ) . lim f ( t ) t →t 0 t →t 0 t →t 0 → → → → lim( f . g ) ( t ) = lim f ( t ) . lim g ( t ) t →t 0 t →t 0 t →t 0 → → → → lim( f × g ) ( t ) = lim f ( t ) × lim g ( t ) t →t 0 t →t 0 t →t 0
  16. 16. Continuidad de una función vectorial. →Una función vectorial r (t ) es continua en el punto t0Si: → ⎫ I . r ( t0 ) ⎪ → ⎬ ⇒ debe.existir II . lim r ( t ) ⎪ t →t 0 ⎭ → → III . lim r ( t ) = r ( t ) ⇒ Lafuncion.vectorial.es.continua t →t 0 → → → →1.- Hallar el dominio de la función r ( t ) = ln(16 − t 2 ) i + t 2 − 3t + 2 j + t kSolución: Teoría D = Dx + Dy + Dz función vectoriali. Calculando el Dx: ln(16 − t 2 ) 16 − t 2 > 0 − t 2 + 16 > 0 t 2 − 16 < 0 (t − 4)(t + 4) < 0 ∴t = 4 ∧ t − 4∴ Dx : t ∈< −4;4 >ii. Calculando el Dy: t 2 − 3t + 2 t 2 − 3t + 2 ≥ 0 (t − 2)(t − 1) ≥ 0 t = 1∧ t − 2∴ Dy : t ∈ − ∞;1 U 2; ∞iii. Calculando el Dz: t∴ Dz : t ∈ RD f = Dx + Dy + DzConjunto SoluciónD f : t − 4;1 U 2;42.Determinar el dominio de la función vectorial.
  17. 17. 1. Determinar el dominio de la función vectorial Solución Punto de restricción: t Multiplicamos por (t-3) (t-1)(t+2)(t-3) t=1, t= - 2 t =3vT = 1 , T = -2 t = 3 - + - + -2 + 1 +3Dx: te [ −2,1] U < 3, ∞ >Calculando Dy : − ln ( q − t 2 ) t2 − 4 ln ( g − t 2 ) ≠ Dn 4 − t2 Dd
  18. 18. Dy∴= DN I D dg − t2 ≠ 0 4 − t2 ≠ 0 t ≠ ±3 ±2 ≠ t + + -3 - 3Dy = < −3,3 > − {−2, 2} et + t DNCalculando DΖ : t DdDz : DN I DdDN : t ∈Dd : t ∈> 0, ∞ >D f = Dx I Dy I Dz -3 --2 - + 1 + 3 +D f : t ∈< 0,1]2) Si: ur r u r r f (t ) = t1 − 2t 2 J + t 3 k ur r ( ) g ( t ) = t 3 − 1 i − ( 2t + 1) J + t 2 − t k ( ) ∅ (t ) = t + 1Hallar: ur ur ur u r (a.- f + 2 g (1) ) ( e.- 2 f x3 g )( ) 1 ur u r (b.- 2 f − 2 g )( ) 1 urC.- f ( x + y ) t → ( x, y ) ur u rd.- ∅ f g ( )( ) 1 Rpta: 12Solución: ur u r uuu r u r (b) 2 f − ∅ g )( ) = ( 2 f ( ) − ∅ ( ) g ( ) ) 1 1 1 1donde t=1 ur u uu r r∴ f (1) = i − 2 J + K = (1, −2,1) ur u r r g (1) = oi − 3J + ok = ( 0, −3,0 ) ∅ (1) = 2Si: 2(1,-2,1) -2(0, -3, 0) (2,-4,2) - (0, 6, 0)rh = 2i + 2 j + 2k ur ur (c) f + 2 g )( ) = 1
  19. 19. donde t=1uuur r f(1) = i − 2 j + 1k = (1, −2,1)ur rg (1) = ( 2 ) oi + ( 2 ) 3 j + ( 2 ) ok = ( 0, −6,0 ) ur u r⇒ f + 2 g = (1, − 2,1) + ( 0, − 6, 0 ) = (1, +8,1)e) ur u r ( 2 f x3 g )( ) 1 r h = ( 2, −4, 2 ) x ( 0,k 9,0 ) i j − r h = 2 −4 2 0 −9 0 r h = (18.0. − 18 ) r t t − 1 r sen3 t − 1 r 1 − t 24) Si: r (t ) = 1+ j+ t ln t t2 −1 sennt rHallar el límite lim r ( t ) t →1 Solución. r r ⎛ t t − 1 sen3 t − 1 1 + t 2 k ⎞lim r ( t ) = lim ⎜ i+ + ⎟ t →1 t →1 t ln t ⎝ t2 −1 senπ t ⎠ r r tt −1 sen3 t − 1 r 1− t2 klim r ( t ) = lim + lim j + lim t →1 t →1 t ln t t →1 t2 −1 t →1 senπ t C2 C3Hallando C1 tt −1 0C1 = lim = forma ⇒ Aplicamos la regla de L’ Hospital t →1 t ln t 0 d t dt ( t − 1) ( t ) t ln t − ( t t − 1) ⎛ t⎞C1 = lim = lim ⎜ t ln t + ⎟ ⎝ t⎠ t t →1 d t →0 t t ln t dtC1 = lim ( ) t ln t − t t − 1 ( ln t + 1) 2 t →0 t2 d t d (1) t −C1 = lim dt dt = t →0 d d t ln t + ln t ( t ) dt dt d ∨ du dC1 = 1 u = ∨ u ∨ −1 + u ∨ ln u ∨ dt dx dx
  20. 20. 2. De ii Hallando forma: 1’ Hospital iii. Hallando: Hallando forma: 1’ Hospital3. Si Hallar: Hallando: Forma: ∞-0 Forma:
  21. 21. Propiedad:ln = Ln(t+sent) = 0.∞= R L’ HospitalLn == 1+costArgumento: (1)De (1)
  22. 22. derivando nuevamente =1Reemplazando el valor de x Forma :1∞ donde: x =lnx= lnlnx= Forma:LimC3 = e
  23. 23. 4. Dado la función vectorial: ¿es continua en t=0? Solución: Por teoría: si se dice que es una función vectorial continua Continua ii) Si t = 0 iii) Hallando: C1 forma: C1 = C1 = C1 =2 iii) Para forma: 1∞ x=
  24. 24. lnx ln ln =C2=C3= = 00 = ∞X=Lnx= =l == ln = =eEntonces:2 e2 +e la función r(t) es discontinua. → → → → a ( 3) = 2 i + 12 j − 2 k
  25. 25. Geometría diferencial → • Vector tangente ( v T ) Dada la función vectorial. → → r = r(t ) = x(t )i + y(t ) + z(t ) k Grafico T1 P1 VT P2 P(x,y,z) T2 LT: Recta tangente T Argumento Lineal ti tf Definición: → → V(T ) = r(t ) Ecuaciones de una Recta Tangente Del diagrama lT : P(x,y,z) Ecc. Vectorial: → → a P= P0+t a ∀t ∈ R P(x0, y0, z0) →ILT: P= P1+m r (t )
  26. 26. Función Vectorial con respecto a al Longitud de Arco → →Sea la función vectorial r = r(s ) Donde S=longitud de Arco: z Longitud de arco. S y xDonde S = Angumento de longitud de arco. S → →Nota: r(t ≠ r(s )Se pude hacer cambio de parámetro “REPARAMETRIZACION” → → r(t ≠ r( s ) → A = Modulo A = Valor. AbsolutoREPARAMETRIZACIÓN:Ecuación: t →I S = ∫ r (t ) .dt 0Calculo de la longitud de arco:Si:
  27. 27. → → → → r = r( s ) r = r(t ) z z P0 Long arco P0 P1 Long arco → → r(t ) r(s ) P1 P1 yy x x t 2 →I t → ∫ I ∴ P0 P1 = ∫ r (t ) .dt S = 0 r ( t ) . ds t1 → A → → → A* u→ u→ = → A A AVectores Unitarios de la Tangente Normal y Binormal → →Dada la funcion vectorial. r = r(t ) →1.-Vector Unitario Tangente T(t ) : → z P0. T(t ) → →I P0 : Pto inicial VT = r (t ) P0(a0, y0, z0) ζ y xecuación: → r ( t ) T ( t ) = → r ( t )
  28. 28. 2.- Vector Unitario Normal. 2.1.-Vector Normal. → → Dada la funcion vectorial r = r (t ) : → N : (Vector Normal Unitario.) → T(t ) :(Vector tangenteUnitario) → →∴ n = T (t ) 2.2.-Vector Normal Unitario. → → T (t ) Ecuación: N (t ) = → T (t ) →3.- Vector Unitario Binormal ( B t ) : → → Dada la función vectorial r = r (t ) P L: Binormal → z B t Vect. Normal Binormal. → → T (t ) N (t ) → r (t ) y x → → → B = T (t ) × N (t )
  29. 29. Ecuación:Ecuación de la recta Binormal. →LB: P = P0+m B ; ∀, m. ∈ RTRIEDRO MOVIL → z Bt P0 → T (t ) → → r (t ) P N (t ) → k → → i j y xRelaciones: → → →1.- B (t ) = T (t ) × N (t ) → → →2.- T (t ) = N (t ) × B (t ) → → →3.- N (t ) = B (t ) × T (t ) → → → C = A× B → B Q: Plano → A Nota: Dos vectores forman un plano PLANOS FUNDAMENTALES.
  30. 30. 1.- Plano Oscilador. Plano formado por los vectores tangente unitario y normalunitario → z Bt π Plano osculador 2 → → T (t ) P0 P N (t ) P y xPto. Paso inicial: P0(x0 ,y0 ,z0)Pto generico: P(x,y,z)Del diagrama: → → B P0 P ⇔ B . P0 P = 0∴ Q0 : → B ( t ) .( P − P0 ) = 02.- Plano Normal. Formado por el vector normal unitario y el vector binormalunitario. → B z P P0 P P0 → π → T (t ) N (t ) 2 y x
  31. 31. → →T (t ) P0 P ⇔ T (t ) . P0 P = 0∴ QN : → T (t ) .( P − P0 ) = 03.- Plano Rectificante. ∴ QR : → N (t ) .( P − P0 ) = 0CURVATURASea “ C ” la curva regular (no tiene punto de restricción.) ∈ R 3 ; que tiene comoargumento el parámetro de “longitud de arco”. → → → → → →Dado: r = r (s ) < > r(s ) = x( s ) i + y( s ) j + z( s ) kGrafico: z S → → r = r (s ) Y x → →1.-VECTOR TANGENTE UNITARIO: T( s ) = r ( s )2.- VECTOR NORMAL UNITARIO: → → → T( s ) r (s) N (s) = → = → T( s ) r (s)3.- VECTOR BINORMAL UNITARIO: → → → B (s) = T (s) × N (s) →4.- VECTOR CURVATURA k ( s ) : → → → k ( s ) = T ( s ) = r ( s ) →5.- CURVATURA DE CURVA K ( s) = K : → K (s) = r (s)6.- RADIO DE CURVATURA ρ : 1 ρ = K ( s )
  32. 32. LN z → P0 N (s ) → P T (s ) C Centro de Curvatura → r (s ) “Evoluta” y xEcuación de la Evoluta: →LN: C = P0 + m N ( s ) ; ∀, m. ∈ R → C = P0 + ρ N ( s ) → → →7.- VECTOR TORSIÓN ℑ(S ) : ℑ ( S ) = B ( S ) → →8.-TORSIÓN ℑ( s ) = ℑ( s ) : ℑ( s ) = B ( s )9.- RADIO TORSIÓN σ ( s ) : 1 σ (s) = ℑ(s)ECUACIONES DIRECTAS.1.- VECTOR NORMAL UNITARIO: → → → → ( r ( t ) × r ( t ) ) × r ( t ) N (t ) = → → → ( r ( t ) × r ( t ) ) r ( t )2.- VECTOR BINORMAL UNITARIO: → → → r ( t ) × r ( t ) B (t ) = → → r ( t ) × r ( t )3.- CURVATURA DE CURVA
  33. 33. : → → ⎧→ → r × r ⎪ r = r (t ) K = ⎨→ → → 3 ⎪ r = r (s) ⎩ r 4.- TORSIÓN DE LA CURVATURA. → → → r × r . r ℑ = 2 → → r × r 5.- VECTOR CURVATURA. → → → 1 k ( S ) = ℑ( S ) = → . T ( t ) r ( t )6.- CURVATURA. → → k (S ) = ℑ ( S )7.-VECTOR TORSIÓN. → → → 1 T ( S ) = B ( S ) = → . B ( t ) r ( t )8.- TORSIÓN. → T ( s ) = B ( S )Ejemplo:Hallar la ecuación del plano oscilador Q0, de la curva C ⎧ x + z = s......................(1) C :⎨ 2 ⎩ x + y + z = 25.........(2) 2 2En el punto ( 2,2 3 ,3)Solución:Ecc. Cartesiana Ecc. Parametrica función Vectorial → r(t ) = x(t )i + y(t ) + z(t ) kDe Ecc. (1) z =s−xReemplazando:
  34. 34. x 2 + y 2 + ( s − x) 2 = 25 x 2 + y 2 + 25 − 10 x + x 2 = 25 2 x 2 − 10 x + y 2 = 0 ⎡ 5 25 ⎤ 2 ⎢( x − ) 2 − ⎥ + y 2 = 0 ⎣ 2 4⎦ 5 25 ( x − )2 + y 2 = 2 2 5 ( x − )2 2 2 + y 5 = 1; ⇒ C : ( ,0) 5 5 2 ( )2 ( )2 2 2Parametrizando: 5 5 x = + cos t 2 2 5 y= sent 2 5 5 z = − cos t 2 2Lugo la función vectorial seria: → → → → 5 5 5 5 5 r (t ) = ( + cos t ) i + ( sent ) j + ( − cos t ) k 2 2 2 2 2Del diagrama. → → B (t ) P0 P ⇔ B (t ) .P0 P = 0 → ∴ Q0 : B ( t ) .( P − P0 ) = 0..................................(3)Donde: → → → B (t ) = r (t ) × N ( t ) .............................................( 4)Vector tangente unitario: → → r ( t ) T (t ) = → r ( t )Vector normal unitario: → → T ( t ) N (t ) = → T ( t )Derivando. → → → → 5 5 5 r (t ) = − sent i + cos t j + sent k 2 2 2Modulo. → 5 5 5 r (t ) = (− sent ) 2 + ( cos t ) 2 + ( sent ) 2 2 2 2
  35. 35. → 5r (t ) = 2Vector tangente unitario. → → → 5 5 5 → − sent i + cos t j + sent k T (t ) = 2 2 2 5 2 → → → → 2 2 T (t ) = − sent i + cos t j + sent k 2 2Derivando. → → → → 2 2 T ( t ) = − cos t i − sent j + cos t k 2 2Modulo. → 2 2 T ( t ) = ( − cos t ) 2 + (− sent ) 2 + ( cos t ) 2 2 2 → T ( t ) = 1Vector normal unitario. → → → → 2 2 N (t ) = − cos t i − sent j + cos t k 2 2Vector binormal. → → → i j k → 2 2 B (t ) =− sent cos t sent 2 2 2 2 − cos t − sent cos t 2 2 → 2→ → 2→ 2 2 B (t ) = i + 0 j+ k <> ( ,0, ) 2 2 2 2En Ecc…(3) → ∴ Q0 : B ( t ) .( P − P0 ) = 0; ( 2 2 ,0, 2 2 [ ). ( x, y, z ) − (2,2 3 ,2) = 0 ] 2 2 ( x − 2) + 0( y − 2 3 ) + ( z − 3) = 0 2 2 x+ z −5 = 0 → LB : P = P0 + m B ( t ) ; ∀m ∈ R 2 2 ( x, y, z ) = (2,2 3 ,2) + m( ,0, ) 2 2 1 ( x, y, z ) = (2,2 3 ,2) + m (1,0,1) 2 ( x, y, z ) = (2,2 3 ,2) + n(1,0,1)
  36. 36. Ecc Parametrica: Ecc. Simetrica:x = 2+n 2y=2 3 x − 2 = z −3: y = 3z = 3+ n OPERACIONES DIFERENCIALES 1. Operador diferencial vectorial Nabla (operador Hamilton) Notación: ∇ = operador diferencial Nabla (”operador Nabla”) = ∂ r ∂ r ∂ r ∇= i+ j+ k Definición: ∂x ∂x ∂x Une las propiedades diferenciales y vectoriales. 2. Relaciones: 2..1.. Gradiente (grad) φ campo escalar ∇ 21 r 2..2.. 22 Divergencia (div) A campo vectorial ∇ r 2..3.. 23 Rotacional (rot) A campo vectorial ∇
  37. 37. rII.. Gradiente φ→A Transforma de un campo escalar a un campo vectorial. ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ ∇φ = ⎜ i + j + k ⎟φ Definición: ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠ ∂φ r ∂φ r ∂φ r ∴ ∇φ = i+ j+ k ∂x ∂x ∂x Interpretación geométrica: • El modulo de una gradiente viene hacer la derivada máxima o derivada direccional. ⎛ ∂φ ⎞ ∇φ = ⎜ ⎟ ⎝ ∂u ⎠ max u = vector unitario
  38. 38. • Derivada direccional ∂φ r = ∇φ .u r r r r ∂u u = u1i + u 2 j + u3 k Vector unitario r r A u= r r A u =1 rIIII.. divergencia: (A → φ ) Transforma de un campo vectorial a un campo escalar. r ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ r ∇. A = ⎜ i + j + k ⎟. A ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠ r ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ r r j + k ⎟.( A1i + A2 j + A3 k ) r ∇. A = ⎜ i + ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠ r ∂A ∂A ∂A ∇. A = 1 + 2 + 3 ∂x ∂x ∂x Nota: r r • • ∇. A ~ = A.∇ r • • ∇. A = 0 ⇒ el campo vectorial es nulo
  39. 39. III. Rotacional: r r r i j k r ∂ ∂ ∂ ∇× A = ∂x ∂y ∂z A1 A2 A3 Definición: r • • ∇× A = 0 ⇒ El campo vectorial es irrotacional. OPERADORES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN:Operador de Laplace ∇ 2( )Definición: ∇ 2 = ∇.∇ ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ ∇2 = ⎜ i + j + k ⎟.⎜ i + j + k⎟ ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠ ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ ∇ =⎜ 2 + 2 + 2 2 ⎜ ∂x ⎟ ⎟ ⎝ ∂x ∂x ⎠ rr ⎧i .i = 1 ⎪r r diada ⎨ j . j = 1 rr ⎪k .k = 1 ⎩Ejercicios de aplicación:
  40. 40. r1..1 demostrar que: ∇r n = nr n −1u Solución: r r r r Vector de posición: r = xi + yj + zk r r =r Modulo: r= x2 + y2 + z2 ( ⎧r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ⎪ ) ∴⎨ ( ⎪r = x 2 + y 2 + z 2 2 ⎩ 1 ) Analizando: rn en el campo escalar (φ ) ∴ ∇r n ⇒ Gradiente (grad φ ) Haciendo que: ( ) n [r ] = ⎡ x2 + y2 + z2 ⎤ n 1 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ( ∴r n = x2 + y2 + z2 ) n 2
  41. 41. ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ 2 ∇.r n = ⎜ i + ∂x j + k ⎟. x + y 2 + z 2 ∂x ⎠ ( )n 2Sii::S ⎝ ∂x ∇ Nabla ⎛∂ ∂ ∂∴ ∇.r n = ⎜ (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 i + (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 j + (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 k ⎟ n r n r n r⎞ ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠ n 2 ( ) (2 x )ir + n (x ) (2 y ) r + n (x ) n −1 n −1 n −1∴ ∇.r n = x + y2 + z2 2 2 + y2 + z2 2 j 2 + y2 + z2 2 (2 z ) 2 2 2Factorizando: (∇.r n = n x 2 + y 2 + z 2 ) (xir + yr + zkr ) n −1 2 j r r 2 r = r.u rr r rSe tiene: urr vector unitario rrr rur = ⇒ r r r r = r.u rr r∇.r n = nr n −1u rr ……. L.q.q.d
  42. 42. 2. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie: 2 xz − 3xy − 4 x = 7 2 en el punto (1,-1,2). Solución: S: 2 xz 2 − 3xy − 4 x = 7 S: Grraffiico:: G a co ∴φ = 2 xz 2 + 3xy − 4 x − 7 = 0 r r Del diagrama: n ⊥ P0 P ⇔ n.P0 P = 0 r ∴ Q1 = n.( P − P0 ) = 0 ……………(1) r ∂ r ∂ r ∂ r n = ∇φ = φ .i + φ . j + φ .k Siendo: ∂x ∂y ∂z r r r r ⇒ n = (2 z 2 − 3 y − 4)i + (−3x) j + (4 xz)k
  43. 43. Para un punto cualquiera Parra P ((1,,--1,,2)) Pa a P 1 1 2 r r r r n = (80 + 3 − 4)i + (−3) j + 8k r r r r r n = 7i − 3 j + 8k ⇒ n= (7,−3,8) Reemplazando en la ecuación (1) (7,−3,8).[( x, y, z ) − (1,−1,2 )] = 0 (7,−3,8).[x − 1, y + 1, z − 2] = 0 7 x − 7 − 3 y − 3 + 8 z − 16 = 0 7 x − 3 y + 8 z − 26 = 0 Respuestta Respues a Obserrvaciiones:: Obse vac ones r r r r • n1 // n 2 ⇔ n1 = mn 2 • r r r r • n1 ⊥ n 2 ⇔ n1 .n 2 = 0 •3. Hallar el ángulo formado por las superficies: S1 : xy 2 z = 3x + z S 2 : 3x 2 − y 2 + 2 z = 1 P0 (1,−2,1)
  44. 44. φ1 = xy 2 z − 3x − z 2 = 0φ 2 = 3x 2 − y 2 + 2 z − 1 = 0r ∂ r ∂ r ∂ rn = ∇.φ1 = φ .i + φ . j + φ .k ∂x ∂y ∂zr ( ) r r ( )rn1 = y 2 z − 3 i + (2 xyz) j + xy 2 − 2 z k ⇒ n1 = (1,−4,2)r r r rn2 = 6 xi − 2 yj + 2k ⇒ n2 = (6,4,2)n1 = 21 n2 = 56 ;; rr n1 n 2cos θ = r r = (1,−4,2)(6,4,2) n1 n 2 21 56( )( )
  45. 45. 4. Hallar la constante a y b de forma que si: ax − byz = (a + 2)x sea 2 ortogonal a S2 : 4x 2 y + z 3 = 4 en el punto (1,-1,2). Solluciión:: So uc ón φ1 = ax 2 − byz − x(a + 2) = 0 φ2 = 4 x 2 y + z 3 − 4 = 0 r n = ∇.φ r r r n1 = [2ax − (a + 2)]i + (− bz ) j + (− by )k r r r r r n2 = 8 xyi + 4 x 2 j + 3z 3 k P0 (1,−1,2) r r r n1 = (a + 2,−2b, b ) r n1 = (2a − a + 2)i − 2bj + bk r ⇒ r r r n2 = (− 8,4,12) r r n2 = −8i + 4 j + 12k ⇒ r r n1 × n2 = 0 (a + 2,−2b, b )(− 8,4,12) = 0 − 8( a + 2) + (−2b)( 4) + 12b = 0 − 8a − 16 + 4b = 0 P0 (1,−1,2) ax 2 − byz − x(a + 2 ) = 0 a + 2b − a − 2 = 0 b =1 − 8a + 16 + 4 = 0 5 a= 2 Respuesta a=5/2 ; b=1
  46. 46. INTEGRACION VECTORIALINGRACION DE LINEA:Se denomina así a la integral que se determina a lo largo de una línea de unacurva C ; pudiendo esta ser abierta o cerrada. r rDado el campo vectorial continúo A = A(t ) y una curva parcialmente plana en r rla A = A( x , y , z ) cual esta elegida la dirección positiva (curva orientada). En estecapitulo estudiaremos las integrales de línea sobre campos escalares a lo largode un camino respecto a la longitud de arco; y la integral de línea de camposvectoriales a lo largo de un camino. P ( x1 , y1 , z1 ) 1 r rDada la función vectorial r = r(t )
  47. 47. 1. INTEGRACION DE LINEA DE PRIMERA ESPECIE O GÉNERO r r A= A(t ) ϕ = ϕ (t )Campo vectorial r r Campo Escalar ∈ R2 ∧ R3 A= A( x , y , z ) ϕ = ϕ( x, y,z )Notación: ∫ ϕ = ∫ ϕ ( x, y, z )dS CDONDE: i) dS : diferencia de longitud de arco dS = r (t ) dt → Ordena el intervalo ii) ecuaciones paramétricas iii) t= Parámetro lineal
  48. 48. 2. INTEGRAL DE LINEA DE SEGUNDA ESPECIE O GENERONOTACION: ∫ A = ∫ A× d r C CDonde:r rA = A( x , y , z ) Campo vectorial ∈ R 3r → Vector posiciónr = xi + y j + z kd r = Diferencial de un vector de posiciónd r = dxi + dy j + dz kA = X ( x , y , z )i + y( x , y , z ) j + z ( x , y , z ) k Prod. Escalard r = dxi + dy j + dz kAd r = x( x y , z dx + y x , y z ) dy + z ( x , , z ) dz1444,4)442(4,4444y43 Ecs. Parametricas . de.la .Curva 3. PROIEDADES DE LA INTEGRAL DE LINEA m. y.n → cte Siendo: A. y B → campos.vectotiales P.1 LINEALIDAD ∫ m Aϕ C 1 +n B ϕ2 = m ∫ Aϕ1 +n ∫ Aϕ2 C C
  49. 49. P.2 ADITIVIDAD P.3 CAMBIO DE SIGNOFORMAS DE I NTEGRACIÒN 1. ∫ ϕ.dS C 2. ∫ A.d r C Campo Escalar 1º y 2º Especie 3. ∫ ϕ .d r 4. ∫ A× d r Campo Vectorial no tiene C C Nombre pero se puede operar
  50. 50. Ejemplo:1. Hallar ∫ φ( C x, y,z ) dS; si φ = x 2 y − z y C recorre una sola ves en sentido contrario a las manecillas del reloj del cuadrado definido por los puntos (0,0,0); (1,1,0); (1,1, )( 2 ; 0,0, 2 )Solución:Integrando la línea de primera especie y género P0 (0,0,0) P1 (1,1,0)I = ∫ φ( x , y , z ) dS C ( ) P2 1,1, 2 Forma un cuadrado P (0,0, 2 ) 3en R 3Campo escalarφ = φ ( x, y , z ) = x 2 y − z z P3 C3 C4 P2 P0 y C2 C1 P1 xCurva total: C : C1 ∪ C 2 ∪ C3 ∪ C 4
  51. 51. En forma integral de Línea: ∫ φ .dS = ∫ φ .dS + ∫ φ .dS + ∫ φ.dS + ∫ φ.dS C C1 C2 C3 C4 I = I1 + I 2 + I 3 + I 4 INTEGRAL TOTAL: i) I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 .....................(1) ii ) Calculando la integral I1 I1 = ∫ φ .dS .......................(2) C DONDE: φ = x2 y − z dS = r (t ) dtDonde: r = xi + y j + z k ..........................(3) Además r = r (t )Siendo x, y, z → f (t )Determinando las ecuaciones paramétricas de la curva C1C1 : Representa la ecuación de una rectaEcuación vectorial de C1 P = P0 + t.P0 P1 ∀ t ∈ R P ( x, y , z )Puntos genéricos P0 (0,0,0)
  52. 52. P0 P1 = P1 − P0 = (1,1,0) − 1(0,0,0) = (1,1,0)Reemplazando (x, y, z ) = (0,0,0) + t (1,1,0)x=ty=t Ecuaciones Paramétricasz=0Calculo de los Parámetros (t)Inicial t1 Inicial t 2P0 = (0,0,0 ) P1 = (1,1,0) De la ecuación paramétrica0=t 1= t0=t t1 = 0 1= t t2 = 00=0 0=0Intervalo t ∈ [0,1]Reemplazando en la ecuación (3) r = ti + ti + 0 k r (t ) = i + j + 0 k1º derivada r (t ) = 12 + 12 + 0 2 = 2Reemplazando valores en la ecuación (2) I1 = ∫ (x ) y − z r (t ) dS 2 C1 ∫ [t ] 1 I1 = 3 − 0 2 .dt t =0 1 I 1 = 2 ∫ t 3 dt 0 2 I1 = 4
  53. 53. 1. A = yi + x j + xy 2 z k , calcular la integral de línea ∫ A.d r C C es la curva recorrida en la semicircunferencia del plano xy positivo con centro (0, 2,0) y la recta que uno los puntos (0,4,0) y (1,3,5) Solución: ∫ A.d r C Integral de línea forma 2º especie C La curva o línea en el espacio R 3 C1 Plano z=0 0(0, 2,0) C1 P1 (0,4,0) → P2 (1,3,5) C Curva total ∴ C = C1 ∪ C 2 z Donde: P2 (1,3,5) Hallar: ∫ A.d r = ? C2 C1 y ∴ ∫ A.d r = ∫ A1.d r + ∫ A2 .d r C P = 0 = (0,0,0) P C C1 C2 C (0,2,0) r=2 P1 (0,4,0 ) P2 (0,4,0) I = I 1 + I 2 .......... ...(1) x P3 (1,3,5) C1 Calculando: I1 = ∫ A.d r..............(2) C1 Producto escalar
  54. 54. A = y i − x j + xy 2 z k d r = dx i − dy j + dz kA.d r = ydx − xdy + xy 2 zdz .......... ..(3 ) Producto escalar Reemplazando ecuación (3) en (2) I 1 = ∫ ydx − xdy + xy 2 zdz..................(4 ) Llevar a Ec. Paramétrica Determinando las ecuaciones paramétricas de la curva C1 C1 (x − h )2 + ( y − k )2 = r 2 R 2 → plano C (h, k ) ∴ C (0,2) r=2 (x )2 + ( y − 2)2 = 2 2 x = 2 cos t ⇒ dx = −2sentdt Ec. Paramétricas y = 2 + 2sent ⇒ dy = 2 cos tdt t ∈ [0, π ] z = 0 ⇒ dz = 0 Reemplazando en Ec. (4)ç π I1 = ∫ (2 + 2sent )(− 2sentdt ) − (2 cos t )(2 cos tdt ) + (2 cos t )(2 + 2sent )0 t =0 π I1 = ∫ (− 4sent − 4sen t − 4 cos t )dt 2 2 t =0 π I1 = ∫ − 4(sent + 1)dt t =0 π I1 = −4 ∫ (sent + 1)dt t =0 I1 = −4(cos t + t ) I1 = −4(cos π − cos 0) I1 = 0
  55. 55. Hallando la I 2I2 = ∫ ydx − xdy + xy 2 zdz C2C2 : Es una recta formada por dos puntosC2 : Ec. Vectorial P = P2 + t P2 P3P2 P3 = P3 − P2 = (1,3,5) − (0,4,0) = (1,−1,5) ∴ (x, y, z ) = (0,4,0) + t (1,−1,1)Ec.Paramétricas Diferenciales Intervalos " t".inicial " t". final P2 (0,4,0 ) P3 (1,3.5)x=t dx = dt 0=t 1= ty = 4−t dy = −dt 0=t 1= tz = 5t dz = 5dt 0=t 1= t ∴t1 = 0 ∴t 2 = 1Reemplazando en (4) I2 = ∫ ydx − xdy + xy 2 zdz C2 1 I 2 = ∫ (4 − t )dt − t (− dt ) + t (4 − t ) (5t )(5dt ) 2 0 ( ) 1 I 2 = ∫ 4dt − dt + dt + 16t − 8t 2 + t 3 25tdt 0 1 I 2 = ∫ 4dt + 400t 2 dt − 200t 3 dt + 25t 4 dt 0 1 ⎡ = 4t + 400 3 200 4 25 5 ⎤ I2 ⎢ t − t + t ⎥ ⎣ 3 4 5 ⎦ 0
  56. 56. CIRCULACION Y EL CAMPO VECTORIAL Tiende a ser de línea tomada a lo largo de la curva cerrada o abierta C Ax + By + Cz = 0 x2 + y2 = r 2 C2 C1 φ ." int egral.ciclica" C." int egral.de.una. Notación: C = C1 ∩ C 2 curva.cerrada" " circulacion.de. A" INTEGRAL DE AREA INDEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA z trayectori a P3 C3 Curva Total: P0 P2 C = C1 ∪ C 2 ∪ C3 C1 C2 P1 y Una curva total es independiente de la Trayectoria ⇔ ∇ × A = 0 p3x ∇× A = 0 ⇒ ∫ = ∫ C P1
  57. 57. Rotacional:Nota: Si ∇× A ≠ 0 ⇒ ∫ = ∫ + ∫ + ∫ C C1 C2 C3CAMPO POTENCIAL ESCALARSea: A = A( x , y , z ) → Campo vectorial φ = φ ( x , y , z ) → Campo escalarEcuación: A = ∇φ CALCULO DE UNA INTEGRAL DE LINEA MEDIANTE EL CAMPO POTENCIAL z ∫ A.d r P1 C1 Hallar: C P2 Si ∇ × A = 0 y Donde: P2 I = ∫ A.d r = ∫ dφ C Px 1 I =φ = φ −φ P2 P1 P2 P1
  58. 58. Ejemplo: 1. Sea: A = − yi + x j calcular ∫ A.d r C donde C es la curva de intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 y el cilindro x 2 + y 2 = 2x ( z ≥ 0) siendo recorrido, en el proceso de integración en sentido contrario al de las agujas del reloj, si la mira desde el origen desde el origen de coordenadas.Solución: A = − yi + x j ∫ A.d r C Esfera S1 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 → perfecta C: Cilindro S 2 : x 2 + y 2 = 2 x (z ≥ 0) no es perfecto∴ curva : C = S1 ∩ S 2GRAFICO: C ∈ R3
  59. 59. Determinando las ecuaciones paramétricas de CDe: (x − 1)2 + y 2 = 1 ∴ x − 1 = cos t x = 1 + cos t y = sent z = 4 − (1 + cos t ) − (sent ) 2 2 z = 4 − 1 − 2 cos t − (cos t ) − (sent ) 2 2Para z de x 2 + y 2 + z 2 = 4 z = 2 − 2 cos t Ec.Paramétricas Diferenciales Intervalos x = 1 + cos t dx = − sentdt y = sent dy = cos tdt t ∈ [0,2π ] z = 2 − 2 cos t sentdt dz = 2 − 2 cos t Hallar I = ∫ A.d r = ∫ A.d r C C I = ∫ − ydx + xdy C 2π I = ∫ − (sent )(sentdt ) + (1 + cos t )(cos tdt ) 0
  60. 60. 2. Dado el campo vectorial ( ) ( A = e x senz + 2 yz i + (2 xz + 2 y ) j + e x cos z + 2 xy + 3z 2 ) k a) Demostrar que A es un campo vectorial conservador. b) Potencial. Hallar el potencial escalar del que deriva c) A es una fuerza conservadora calcular el trabajo realizado para desplazar un ⎛ π⎞ cuerpo en este campo desde ⎜ 0,1, ⎟ hasta (1,2, π ) ⎝ 2⎠Solución: z P1 x dr P2 y x a) Teoría: Un campo vectorial es conservador ⇔ ∇ × A = 0
  61. 61. ⎡ i j k ⎤ ⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ∂y ∂k ⎥ ⎢e x senz + 2 yz 2 xz + 2 y e x cos z + 2 xy + 3 z 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡∂ x ∂ ⎤ = i⎢ ( ) e cos z + 2 xy + 3 z 2 − (2 xz + 2 y )⎥ ⎣ ∂y ∂k ⎦ ⎡∂ ∂ x ( = j ⎢ e x cos z + 2 xy + 3 z 2 − ) ( ⎤ e senz + 2 yz ⎥ ) ⎣ ∂x ∂k ⎦ ⎡∂ ∂ x ⎤ = k ⎢ (2 xz + 2 y ) − ( e senz + 2 yz ⎥ ) ⎣ ∂k ∂y ⎦ Derivando =0 ∴ El campo vectorial es conservatorio b) Calculando el potencial escalar del campo vectorial A Notación: C vectorial A = A( x , y , z ) C Escalar φ = φ ( x , y , z ) ∇.φ = AHallar φ = ? Tomando ∇.φ = A∂ ∂ ∂∂x ( ) ( ) φi + φ j + φ k = e x senz + 2 yz i + (2 xz + 2 y ) j + e x cos z + 2 xz + 3z 2 k ∂y ∂z
  62. 62. 1º igualdad de vectores tendremos ∂φ = e x senz + 2 yz + y 2 + z 3 + c ∂x c) A = fuerza w P2 ∫ dw = ∫ F .d r 0 P1 P2Trabajo w = ∫ F .d r A.d R = α .m P1Siendo: P2 →(1, 2 ,π ) P2 P2 w = ∫ F .d r = ∫ dφ = φ ⎛ π⎞ P →⎜ 0 , −1, ⎟ 1 P1 P1 ⎝ 2⎠ (1, 2,π )Reemplazando: w = e senz + 2 xyz + y + z + c x 2 3 ⎛ π⎞ ⎜ 0 , −1, ⎟ ⎝ 2⎠ π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 3w = e senπ + 2(1)(2)(π ) + (2) + (π ) − e sen − 2(0 )(− 1)⎜ ⎟ − 12 − ⎜ ⎟ + c 1 2 3 0 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠w = 44
  63. 63. ( ) 3. Siendo A = 4 xy − 3 x 2 z 2 i + 2 x 2 j − 2 x 3 zk Hallar la ∫ A.d r a la largo de la C curva C , que sigue la trayectoria de C1 : La curva definida por: x2 = 4y x=0 Desde 3x 3 = 8 z x=2C1 : La recta que une los puntos (2, 1,3) y (2,-1,5)C 2 : La curva x = 2t 2 y=t z = 4t 2 − t desde (2,-1,5) hasta t=2 Solución: GRAFICO: Curva Total "C" Donde C = C1 ∪ C 2 ∪ C 3 I = ∫ A.d r = ? ∫ A.d r = ∫ A.d r + ∫ A.d r + ∫ A.d r C C1 C2 C3 Luego I = I1 + I 2 + I 3 z C3 P4 P3 x2 = 4y C2 Curva C1 3x 3 = 8 z P1 C1 P2 Si: x = t y 1 2 y= t 4 3 z = t3 x 8 Ecuaciones paramétricas
  64. 64. INTERVALOSDIFERENCIALES INICIAL FINALdx = dt x=t =0 x = t = 2 ⇒ t ∈ [0,2] t y=0 y =1dy = dt 2 z=0 z=3 9dt = t 2 dt P1 (0,0,0 ) P1 (2,1,3) 8 recta P2 (2,1,3) → P3 (2,−1,5)C1 Punto Inicial Punto Final x = 2t 2 ± 1 y = t −1 (2,−1,5) (0,2,14)Curva C 3 t = −1 t=2 z = 4t 2 − t Reemplazando t=2 t ∈ [− 1,2]Los puntos se reemplazan y se halla “t”Ecuaciones Paramétricas diferencialesP = P2 + t P2 P3 ( ) A = 4 xy − 3x 2 z 2 i + 2 x 2 j − 2 x 3 zkSiendo d r = dxi + dy j + dz k ( )A.d r = 4 xy − 3x 2 z 2 dx + 2 x 2 dy − 2 x 3 zdz
  65. 65. Ojo: Analizamos si es independiente de la trayectoria Si: C es una integral de línea independiente de la trayectoria ∇× A = 0 ⎡ i j k⎤ ⎢∂ ∂ ∂⎥ P2 Luego: I = ∫ A.d r = ∫ A.d r = ∇ × A = ⎢ ⎥ C P1 ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎢ A1 ⎣ A2 A3 ⎥ ⎦Hallando su potencial escalar ∂φ ∂φ ∂φ ∂x i+ ∂y j+ ∂z ( ) k = 4 xy − 3x 2 z 2 i + 2 x 2 j − 2 x 3 zk φ1 = ∫ (4 xy − 3x 2 z 2 )dx →φ1 = 2 x 2 y − x 3 z 2 + c1 φ 2 = ∫ (2 x 2 )dy →φ 2 = 2 x 2 y + c 2 φ3 = ∫ (− 2 x 3 z )dz →φ3 = − x 3 z 2 + c3 φ = 2x 2 y − x3 z 2 + c P2 (8 , 2 ,14 ) P2 I = ∫ A.d r = ∫ dφ → φ P (0 , 0 , 0 ) 1 C P (2x y − x z +c) 1Hallando (8, 2 ,14 ) 2 3 2 I= (0 , 0 , 0 )
  66. 66. 4. Si: φ = 2 xy 2 z + x 2 y hallar : ∫ φ .d r ; siendo C la quebrada que une los C puntos (0,0,0) , (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)Solución:La curva total C = C1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∴ ∫ φ .d r = ∫ φ .d r + ∫ φ .d r + ∫ φ .d r C C1 C2 C3 z P4 P1 ( )( Donde: φ .d r = 2 xy z + x y dxi + dy j + dz k 2 2 ) C3 y C1 P2 C2 P3 x φ.d r = (2 xy 2 z + x 2 y )dxi + (2 xy 2 z + x 2 y )dy j + (2 xy 2 z + x 2 y )dz kCalculando I 1 = ∫ (2 xy ) z + x 2 y dxi 2 C1Hallando: Ec. Paramétricas Ec. Paramétricas Diferenciales x=t dx = dtC1 : recta → P = P1 + t P1 P2 y=0 dy = 0(x, y, z ) = (0,0,0) + t (1,0,0) z=0 dz = 0
  67. 67. IntervalosInicial FinalP1 (0,0,0) P1 (1,0,0) t ∈ [0,1]t=0 t =1Calculando I 2 = ∫ (2 xy ) z + x 2 y dy j 2 C2Hallando: Ec. Paramétricas Ec. Paramétricas Diferenciales x =1 dx = 0C 2 : recta → P = P2 + t P2 P3 y=t dy = dt(x, y, z ) = (1,0,0) + t (0,1,0) z=0 dz = 0IntervalosInicial FinalP2 (1,0,0) P1 (0,1,0) t ∈ [0,1]t=0 t =1 I1 = 0 1 I2 = j 2 I 3 = 2k 1 I = 0i + j + 2k 2
  68. 68. FORMAS DE INGRACIÓN z dS “Integral de superficie del campo Vectorial A ” “Flujo de campo vectorial A a y Través de la superficie orientada S ”x 1. ∫∫ A.d S S 2. ∫∫ φ .d S S 3. ∫∫ A × d S S 4. ∫∫ φ .d S S
  69. 69. PROPIEDADES:P.1 LINEALIDAD ∫∫ (m A + n B )d S = m∫∫ A.d S + n∫∫ B..d S S S SP.2 ADITIVIDAD dS1 S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∫∫ A.d S = ∫∫ A.d S + ∫∫ A.d S S S 1 S 2 + ∫∫ A.d S 3 S dS 2 dS3P.3 CAMBIO DE SIGNO ∫∫ A.d S ( positivo ) = − ∫∫ A.d S (negativo) S S1
  70. 70. METODOS DE SOLUCION DE LAS dS1. Proyección ortogonal hacia un plano coordenado2. Proyección ortogonal de d S en forma simultanea hacia los planos coordenados.3. De coordenadas curvilíneas Coordenadas Cilíndricas. P(r ,θ , z ) Coordenadas Esféricas. P(r , φ ,θ )
  71. 71. DIFERENCIAL DE SUPERFICIE PARA CORDENADAS CURVILINEAS 1. COORDENADAS CILINDRICAS p (r , θ , z ) z Ec.Cartesiana x2 + y2 = r 2 Ec.Paramétric a x = r cos t sup erficie dθ r y = rsent dz z=z y r ∈ [0, R ] Intervalos θ ∈ [0,2π ]x ∴ dS = rdθ .dz 2. COORDENADAS ESFERICAS ds = ρ 2 senφ .dφ .dθ Ec.Cartesiana x2 + y2 + z2 = ρ 2 Ec.Paramétric as x == ρ .senφ cos θ y = ρ .senφ .senθ z = ρ . cos φ Intervalos φ ∈ [0, π ] θ ∈ [0,2π ]
  72. 72. INTEGRACION DE VOLUMEN Coord . − Re c tan gulares z Solido.Cilindrico dv = dxdydz v → volumen dz dx dy yx INTEGRAL TRIPLE (O DE VOLUMEN) FORMAS DE INTEGRACION: 1. ∫∫∫φ .DV 2. ∫∫∫ A.dv V 3. ∫∫∫ A × B.dv V
  73. 73. JACOBIANOS DE TRANSFORMACION JACOBIANO DE TRNASFORMACION DE COORDENADAS CILINDRICASDada la función T Coordenada rectangular Coordenada CilindricaT: P( x, y, z ) Transf. De Coord. P(r ,θ , z ) R3 Matriz jacobina R3 ECUACIONES PARAMETRICAS x = r cos t y = rsent z=z ∂ ( x, y , z ) J= ∂ (r , θ , z ) ⎡ ∂x ∂x ∂x ⎤ ⎢ ∂r ∂θ ∂z ⎥ ⎢ ∂y ∂y ∂y ⎥ J =⎢ ⎥ ⎢ ∂r ∂θ ∂z ⎥ ⎢ ∂z ∂z ∂z ⎥ ⎢ ∂r ⎣ ∂θ ∂z ⎥ ⎦ ⎡cos t − rsent 0⎤ J = ⎢ sent ⎢ r cos t 0⎥ = r ⎥ ⎢ 0 ⎣ 0 1⎥ ⎦
  74. 74. JACOBIANO DE LA TRANSFORMACION DE COORDENADAS POLARES Coor. Rectangulares Coor. PolaresT: P ( x, y ) Transf. De Coord. P(r ,θ ) R2 R2 ECUACIONES PARAMETRICAS x = r cos t y = rsent ∂ ( x, y ) J= ∂ (r , θ ) ⎡ ∂x ∂x ⎤ ⎢ ∂θ ⎥ = r J = ⎢ ∂r ∂y ∂y ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂r ∂θ ⎦
  75. 75. JACOBIANOS DE LA TRANSFORMACION DE COORDENADAS ESFERICAS Coor. Rectangulares Coor. PolaresT: P( x, y, z ) Transf. De Coord. P(r , φ ,θ ) R3 R3 ECUACIONES PARAMETRICAS x = senφ cos θ y = rsenφsenθ z = r cos φ ∂ ( x, y , z ) J= ∂(r , φ ,θ ) ⎡ ∂x ∂x ∂x ⎤ ⎢ ∂r ⎢ ∂φ ∂θ ⎥ ⎥ ∂y ∂y ∂y ⎥ J =⎢ ⎢ ∂r ∂φ ∂θ ⎥ ⎢ ∂z ∂z ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂r ⎣ ∂φ ∂θ ⎥ ⎦ J = r 2 senφ
  76. 76. DIFERENCIAL DE VOLUMEN PARA COORDENADAS CURVILINEAS 1. COORDENADAS CILINDRICA p (r , θ , z ) z dv = r.dr.dθ .dt dv = r.dθ .dz y x 2. COORDENADAS ESFEREICAS z dv = ρ 2 .senφ .dρ .dφ .dθ y x

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