Maja Rogulja & Sanja Cvetković Steinerovi sistemi trojki
Definicija Steinerovih sistema trojki <ul><li>Steinerov sistem trojki (SST(v)) reda v  je uređeni par (S, T) pri čemu je: ...
Primjeri STS(v) <ul><li>Primjer 1   Skup pravaca Fanove ravnine </li></ul><ul><li>S = {0,1,2,...,6}    T = {013, 124, 235,...
<ul><li>Primjer 3   v = 9   S = {1,2,...,9}  T = {123, 147, 159, 168, 456, 258, 267, 249, 789, 369, 348, 357} </li></ul>Pr...
Nužan uvjet postojanja STS(v) <ul><li>Teorem </li></ul><ul><li>Steinerov sistem trojki reda  v  postoji ako i samo ako vri...
Kvazigrupe <ul><li>Kvazigrupa  (S, ⊗) je skup S   sa binarnom operacijom ⊗ tako da vrijedi: 1. Operacija ⊗ je zatvorena tj...
Latinski kvadrati <ul><li>Latinski kvadrat reda n je n×n kvadratna matrica s koeficijentima a 1 ,a2,a3,...,an koja ima svo...
Veza kvazigrupe i latinskih kvadrata <ul><li>Teorem </li></ul><ul><li>Multiplikacijska tablica kvazigrupe je latinski kvad...
Boseova konstrukcija <ul><li>Boseova konstrukcija Steinerovog sistema trojki 6n+3, gdje je bilo koji prirodan broj, korist...
Boseova konstrukcija <ul><li>Daje li Boseova konstrukcija zaista STS? </li></ul><ul><li>Prebrojavamo trojke </li></ul><ul>...
Skolemova konstrukcija <ul><li>Konstrukcija Steinerovog sistema trojki (6n+1) počinje s skupom S koji se sastoji od 6n ure...
Skolemova konstrukcija <ul><li>Daje li Skolemova konstrukcija zaista STS? </li></ul><ul><li>Prebrojavamo  trojke: </li></u...
Skolemova konstrukcija <ul><li>a = c i a ≤ n, pa je par sadržan u trojci tipa 1. </li></ul><ul><li>a = c i a > n, pošto je...
Dovoljan uvjet  za postojanje STS <ul><li>Teorem 5.1. </li></ul><ul><li>Dvije navedene konstrukcije dokazuju dovoljnost te...
Konstrukcija 6n+5 <ul><li>Koliko blizu možemo doći Steinterovom sistemu trojki uz skup vrhova veličine v=6n+5? </li></ul><...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Steinerovi sistemi trojki seminar

339 views

Published on

Ovo je seminar održan na kolegiju Konačne geometrije (prof. Šiftar) 2010. godine, studentice: Maja Rogulja i Sanja Cvetković

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
339
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki
  • Steinerovi sistemi trojki seminar

    1. 1. Maja Rogulja & Sanja Cvetković Steinerovi sistemi trojki
    2. 2. Definicija Steinerovih sistema trojki <ul><li>Steinerov sistem trojki (SST(v)) reda v  je uređeni par (S, T) pri čemu je: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><ul><li>|S|=v </li></ul></ul><ul><ul><li>T je familija tročlanih podskupova od S koja ima svojstvo da se svaka dva različita elementa iz S nalaze zajedno u točno jednom elementu iz T (u jednom 'bloku') </li></ul></ul>
    3. 3. Primjeri STS(v) <ul><li>Primjer 1 Skup pravaca Fanove ravnine </li></ul><ul><li>S = {0,1,2,...,6}   T = {013, 124, 235, 346, 450, 561, 602} </li></ul>Primjer 2 v = 3  (trivijalno)    S = {0,1,2}    T = {012}
    4. 4. <ul><li>Primjer 3  v = 9   S = {1,2,...,9} T = {123, 147, 159, 168, 456, 258, 267, 249, 789, 369, 348, 357} </li></ul>Primjeri STS(v)
    5. 5. Nužan uvjet postojanja STS(v) <ul><li>Teorem </li></ul><ul><li>Steinerov sistem trojki reda v postoji ako i samo ako vrijedi </li></ul><ul><li>v ≡ 1 ili 3 (mod 6) </li></ul><ul><li>Dokaz (nužnost) </li></ul><ul><li>i z skupa S možemo izabrati   1/2 v(v-1) dvočlanih podskupova </li></ul><ul><li>dobivamo: 3|T| = 1/2 v(v-1) tj : |T| = 1/6 v(v-1) </li></ul><ul><li>svaki x particira S{x} na dvočlane skupove => v-1 paran </li></ul><ul><li>v ≡ 0 ili 1 (mod 3) + v neparan => v ≡ 1 ili 3 (mod 6) </li></ul><ul><li>(dovoljnost) naknadno </li></ul>
    6. 6. Kvazigrupe <ul><li>Kvazigrupa (S, ⊗) je skup S sa binarnom operacijom ⊗ tako da vrijedi: 1. Operacija ⊗ je zatvorena tj. ∀ a, b ϵ S vrijedi a*b ϵ S 2. Neka su a,b ϵ S. Tada jednadžbe i) a⊗x = b </li></ul><ul><li>ii) y⊗a = b imaju jedinstvena rješenja za x i y. </li></ul>Kvazigrupa (latinski kvadrat) je idempotentna ako vrijedi a⊗a=a ∀a (drugim rječima za svaki i na mjestu (i,i) nalazi se element i) . Kvazigrupa (latinski kvadrat) je komutativna ako vrijedi a⊗b=b⊗a ∀a,b (na mjestima (i,j) i (j,i) nalaze se isti elementi) .
    7. 7. Latinski kvadrati <ul><li>Latinski kvadrat reda n je n×n kvadratna matrica s koeficijentima a 1 ,a2,a3,...,an koja ima svojstvo da se svaki od tih koeficijenata pojavljaje točno jedanput u svakom retku i u svakom stupcu. </li></ul>
    8. 8. Veza kvazigrupe i latinskih kvadrata <ul><li>Teorem </li></ul><ul><li>Multiplikacijska tablica kvazigrupe je latinski kvadrat. </li></ul><ul><li>Jednostavan primjer konačne kvazigrupe dan je skupom {0,1,2} sa operacijom ⊗ definiranom ovako: a⊗b = 2a+b+1  </li></ul><ul><li>pri čemu su operacije s desne strane množenje i zbrajanje modulo 3 </li></ul><ul><li>Multiplikacijska tablica za ovu kvazigrupu:  </li></ul>⊗ 0 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1
    9. 9. Boseova konstrukcija <ul><li>Boseova konstrukcija Steinerovog sistema trojki 6n+3, gdje je bilo koji prirodan broj, koristi idempotentnu kvazigrupu (Q,°) reda 2n+1 </li></ul><ul><li>Skup S se sastoji od 6n+3 uređenih parova iz skupa Q x {0,1,2}. </li></ul><ul><li>Elementi od T mogu biti 2 tipa: </li></ul><ul><li>Tip 1 : {(i,0), (i,1), (i,2)} za i  iz Q </li></ul><ul><li>Tip 2 : {(i,k), (j,k), (i ° j, k+1 (mod 3))} za i ≠ j </li></ul>
    10. 10. Boseova konstrukcija <ul><li>Daje li Boseova konstrukcija zaista STS? </li></ul><ul><li>Prebrojavamo trojke </li></ul><ul><li>Tip 1: 2n+1 </li></ul><ul><li>Tip 2: 3(2n+1)(2n)/2 = 6n 2 +3n </li></ul><ul><li>Ukupno: |T| = 6n 2 +5n+1 = (6n+3)(6n+2)/6 = v(v-1)/6 </li></ul><ul><li>Svaki par različitih elemenata od S su sadržani u jednoj trojci? </li></ul><ul><li>Uzmimo (a,b) i (c,d) razli č iti elementi iz S </li></ul><ul><li>a=c tada je taj par u trojci tipa 1 </li></ul><ul><li>a ≠ c </li></ul><ul><ul><li>b1) b=d, tada je par u trojci tipa 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>b2) b ≠ d pa mora vrijediti ili (1°) d ≡ b+1(mod 3) ili (2°) d ≡ b-1 (mod 3) </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>1° neka je x jedinstveno rješenje a°x=c, trojka koja sadrži par je {(a,b), (x,b), (c,d)} </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>2° neka je y jedinstveno rješenje y°c=a, trojka je tada {(y,d), (c,d), (a,b)} </li></ul></ul></ul>
    11. 11. Skolemova konstrukcija <ul><li>Konstrukcija Steinerovog sistema trojki (6n+1) počinje s skupom S koji se sastoji od 6n uređenih parova iz Qx{0,1,2}, gdje je (Q,*) komutativna polu-idempotentna kvazigrupa reda 2n, zajedno s specijalnim simbolom . </li></ul><ul><li>Kako bi opisali trojke pretpostavimo da kvazigrupa Q ima simbole {1, 2, ..., 2n}. Tada su trojke jedan od sljedećih tipova: </li></ul><ul><li>Tip 1 : {(i,0), (i,1), (i,2)} za 1 ≤ i ≤ n. Tip 2 : {, (i,k), (n+i, k-1 mod 3)} za 1 ≤ i ≤ n. Tip 3 : {(i,k), (j,k), (i°j, k+1 (mod 3))} za 1 ≤ i < j ≤ 2n. </li></ul>
    12. 12. Skolemova konstrukcija <ul><li>Daje li Skolemova konstrukcija zaista STS? </li></ul><ul><li>Prebrojavamo trojke: </li></ul><ul><li>Tip 1: n trojki </li></ul><ul><li>Tip 2: 3n </li></ul><ul><li>Tip 3: 3(2n)(2n-1)/2 = 6n 2 – 3n trojki </li></ul><ul><li>Ukupno: |T| = 6n 2 + n = (6n+1)(6n)/6 = v(v-1)/6 </li></ul><ul><li>Svaki par elemenata iz S sadržan u trojki? </li></ul><ul><li>Bilo koji par koji sadrži simbol je sadržan u trojci tipa 2. </li></ul><ul><li>Uzmimo (a,b) i (c,d) neke različite elemente iz S. </li></ul>
    13. 13. Skolemova konstrukcija <ul><li>a = c i a ≤ n, pa je par sadržan u trojci tipa 1. </li></ul><ul><li>a = c i a > n, pošto je b ≠ d, vrijedi ili (1°) d = b+1(mod 3) ili (2°) d = b-1 (mod 3) </li></ul><ul><li>1°) neka je x riješenje a°x = a, pošto a > n, x ≠ a i trojka koja sadrži par je {(a,b), (x,b), (a,d)} </li></ul><ul><li>2°) neka je y riješenje y°a = a, ako y ≠ a, trojka koja sadrži par je {(y,d), (a,d), (a,b)} </li></ul><ul><li>a ≠ c, ako (c1) b = d onda je trojka koja sadrži par tipa 3 </li></ul><ul><li>c2) b ≠ d, ili je (1°) d = b+1(mod 3) ili je (2°) d = b-1 (mod 3). 1°) neka je x jedinstveno rješenje jednaždbe a°x = c, ako x ≠ a onda je trojka koja sadrži par {(a,b), (x,b), (c,d)}, ako je pak  x = a, onda je a > n, pošto vrijedi a ≠ c, tada je a = n+c i trojka koja sadrži par je {∞, (c,d), (n+c,b)}. </li></ul><ul><li>2°) analogno </li></ul>
    14. 14. Dovoljan uvjet za postojanje STS <ul><li>Teorem 5.1. </li></ul><ul><li>Dvije navedene konstrukcije dokazuju dovoljnost teorema o uvjetu na postojanje Steinerovih sistema trojki. </li></ul>
    15. 15. Konstrukcija 6n+5 <ul><li>Koliko blizu možemo doći Steinterovom sistemu trojki uz skup vrhova veličine v=6n+5? </li></ul><ul><li>Skup S se sastoji od 2 specijalna elementa ∞ 1 i ∞ 2 i od uređenih parova Qx{0, 1, 2}. </li></ul><ul><li>Blokovi su sljedeći: </li></ul><ul><li>T i p 1 : (jedan blok veličine 5) </li></ul><ul><li>{ ∞ 1 , ∞ 2 , (1,0), (1,1), (1,2)} </li></ul><ul><li>Tip 2 : ( za 1 ≤ i ≤ n ) {∞ 1 , (2i, 1), (2i, 2)} {∞ 1 , (2i, 3),((2i), 1)} {∞ 1 , ((2i), 2), ((2i), 3)} {∞ 2 , ((2i),1), ((2i), 2)} {∞ 2 , (2i, 2), (2i, 3)} {∞ 2 , (2i, 1), ((2i), 3)} </li></ul><ul><li>Tip 3 : ( za 1 ≤ i < j ≤ 2n+ 1) {(i, 1), (j, 1), (i°j, 2)} {(i, 2), (j, 2), (i°j, 3)} {(i, 3), (j, 3), ((i°j), 1)} </li></ul>

    ×