Metodos numericos tema 3

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Metodos numericos tema 3

  1. 1. 3<br />Unidad<br />TRABAJO FINAL<br />MATEMATICA II<br />DOCENTE: MSC ING. EDISON COIMBRA<br />Por<br />Tema:<br />Germán Rodríguez P.<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Santa Cruz de la Sierra – Bolivia, Año 2011<br />
  2. 2. Métodos numéricos<br />Aplicación en la ciencia<br />0. Sabias que…<br />Esfuerzo<br />Velocidad<br />La simulación de piezas a través de métodos de simulación (métodos numéricos), con ayuda de software, permite predecir como funcionará y reaccionará determinado elemento bajo un entorno real.<br />Temperatura<br />
  3. 3. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Definición de raíces de ecuaciones<br />Las soluciones de una ecuación no lineal se llaman raíces o ceros. La razón principal para resolver ecuaciones no lineales por métodos computacionales es que esas ecuaciones carecen, en la mayoría de los casos, de solución exacta.<br />
  4. 4. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Métodos para la determinación de una raíz<br />Estos métodos se clasifican en 2 grupos:<br />Métodos de intervalos<br />(necesitan un intervalo [a , b] donde está la raíz)<br /><ul><li>Método gráfico
  5. 5. Método de la bisección
  6. 6. Método de la falsa posición
  7. 7. Método de la falsa posición modificada</li></ul>Métodos abiertos<br />(necesitan una estimación inicial)<br /><ul><li>Método de punto fijo (sustitución sucesiva)
  8. 8. Método de Newton-Raphson
  9. 9. Método de Newton-Raphson modificado
  10. 10. Método de la secante
  11. 11. Método de Bairstow (Raíces múltiples)</li></li></ul><li>Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />Características:<br /><ul><li>Es un método que necesita una estimación inicial.
  12. 12. Es el método más ampliamente utilizado.
  13. 13. Es un método rápido, pero presenta el problema de la derivada.</li></li></ul><li>Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />Este método se obtiene a partir del desarrollo de la serie de Taylor en torno a una estimación inicial xk. La ecuación f(x) se puede escribir:<br />Truncando la serie en la primera derivada y despejando:<br />
  14. 14. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />PROCEDIMIENTO:<br />Definir la función F(x)<br />Definir un valor inicial Xk<br />Hallar la primera derivada de la función F(x)<br />Evaluar la expresión F(Xk) y F’(Xk) para el punto Xk<br />Encontrar X con la fórmula anteriormente definida.<br />Si:<br />  X Xk tolerancia, se ha encontrado la raíz aproximada y es igual a Xk<br /> X Xk > tolerancia, se hace Xk = X y volvemos al paso 4.<br />
  15. 15. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />EJEMPLO 1:<br />Encuentre la solución para la ecuación f(x) = x3 + x  1, para una tolerancia tol = 0.02 y Xk = 2<br />SOLUCION:<br />Derivando: <br />Tabla auxiliar:<br />Se ha satisfecho la tolerancia, la raíz aproximada es x = 0.68319<br />
  16. 16. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />EJEMPLO 2:<br />Encuentre el punto de intersección de las funciones:<br />Use el método de Newton Raphson, donde la aproximación inicial es Xk = 1 y Tol = 0.010<br />SOLUCION:<br />Tabla auxiliar:<br />Simplificando la ecuación p(x)<br />Igualando las ecuaciones:<br />El punto da intersección se da en la abscisa X = 0.567 aprox.<br />Derivando: <br />
  17. 17. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />EJEMPLO 1:<br />Encuentre la solución para la ecuación f(x) = x3 + x  1, para una tolerancia tol = 0.02 y Xk = 2<br />SOLUCION CON SOFTWARE:<br />
  18. 18. Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />SOLUCION CON SOFTWARE – PASO 1<br />Ubique y abra el programa NumSol<br />
  19. 19. Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />SOLUCION CON SOFTWARE – PASO 2<br />Seleccione el tipo de método usar<br />
  20. 20. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />SOLUCION CON SOFTWARE – PASO 3<br />Seleccione método<br />Escriba la ecuación<br />Introduzca valor inicial<br />Introduzca error<br />
  21. 21. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />TAREA:<br />Encuentre la solución positiva para la ecuación: f(x) = x4 3x2 +6x25. Para tol = 0.01 y Xk = 0<br />Resuelva de forma manual, con software y muestre la solución en una gráfica<br />
  22. 22. Unidad 3<br />Resolución numérica de ecuaciones no lineales<br />Método de Newton – Raphson (primera derivada)<br />BIBLIOGRAFIA<br /><ul><li>Curtis F. Gerald, Patrick O. Wheatley, “Análisis Numérico con Aplicaciones”.
  23. 23. Chapra Steven, Canale Raymond, “Métodos Numéricos para Ingenieros”.</li></li></ul><li>Links<br />Importantes<br />Para más ejemplos del uso de TICs en educación , recomendamos visitar:<br />http://coimbraweb.com/index1.html<br />

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