Razones y Proporciones

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Razones y Proporciones

  1. 1. 372.7 And. Razones y Proporciones Federación Internacional Fe y Alegría, 2006 32 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980-6418-85-9 Matemáticas, Razones y proporciones 2
  2. 2. “Lograr una actitud positiva hacia los distintos, sea en el ámbito intercultural, en el de las relaciones de género, en la democracia plural o en otros, es parte de la formación humana de los alumnos como de sus docentes. Es parte de la construcción de la ética personal, que debe cruzar todas las actividades” (Xavier Albó, S.J.) 3
  3. 3. EQUIPO EDITORIAL Beatriz Borjas y Carlos Guédez Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático Cuaderno N° 11 RAZONES Y PROPORCIONES Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores populares desarrollado por la federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001. Diseño y Diagramación: Moira Olivar Ilustraciones: Corina Álvarez Concepto gráfico: Juan Bravo Corrección de textos: Carlos Guédez y Martín Andonegui Edita y distribuye: Federación internacional de Fe y Alegría. Esquina de Luneta,. Edif. Centro Valores, piso 7 Altagracia, Catacas 1010-A, Venezuela. Teléfonos: (58) (212)5631776 / 5632048 / 5647423. Fax: (58) (212) 5645096 www.feyalegria.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito legal: if 603 2006 510 2668 Caracas, abril 2006 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis. Instituto internacional para la educación superior en América Latina y el Caribe (IESALC) - Corporación Andina de Fomento (CAF) 4
  4. 4. introducción A modo de introducción... ... y para desperezarnos un poco, ahí van unas cuestiones sencillas para entrar en materia y en calor. Tratemos de resolverlas antes de seguir adelante. • Si empanada y media cuestan centavo y 1. En una fiesta, la razón de chicos a chicas medio, ¿cuánto cuestan 3 empanadas y me- es de 5 a 3. Pero si se van 10 chicos, queda dia? un número perfecto para bailar en parejas. ¿Cuántas chicas hay en la fiesta?* • Se tiene un mapa trazado a una escala 1:1.000.000. ¿Cuál es la distancia real, en ki- lómetros, de dos ciudades que sobre el mapa distan 14,2 cm? 3. Un albañil y su ayudante se dedican a una obra. El primero trabaja 4 días y su ayudante, 2. Si el salario de éste es los 2/5 de lo que gana el albañil, y juntos reciben 2.880 pesos, ¿cuál es el salario diario del ayudante? • Si 5 gatos cazan 5 ratones en 5 minutos, ¿cuántos gatos harán falta para cazar 10 rato- nes en 10 minutos? 4. La razón entre dos números es 3⁄4. Si al menor se le suman 2. Si cuando x vale 5, z toma el valor 15, 2 unidades y al ma- ¿cuánto valdrá x cuando z valga 30? yor se le restan 9, se obtiene una razón • Los ángulos internos de un triángulo son inversa a la original. directamente proporcionales a los números ¿Cuáles son los nú- 2, 3 y 4. ¿Cuál es la medida de los ángulos? meros? 5
  5. 5. • Con una lupa que aumenta 5 veces el ta- posteriormente van a ser evaluados, y ya. que seguimos para su construcción, paso a maño de las cosas, se observa un ángulo de No. Nosotros somos docentes –docentes de paso, así como de los elementos –cognitivos, 2o. ¿De cuántos grados se verá este ángulo a matemática en su momento- y este rasgo actitudinales, emocionales...- que se presen- través de la lupa? debe caracterizar la forma de construir nues- ten en dicho proceso. Porque a partir de esta tro pensamiento matemático. ¿Qué significa experiencia reflexiva como estudiantes, po- 5. Al momento de casarse, la razón entre las esto? dremos entender y evaluar mejor el desem- edades de la esposa y del marido era de 8/9. • La presencia constante de la meta última peño de nuestros alumnos –a su nivel- ante Doce años después, esa razón pasó a ser de de nuestro estudio: alcanzar unos niveles los mismos temas. 12/13. ¿Qué edades tenían ambos al casar- de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo se? cual debe abrir ese estudio hacia la búsque- • En definitiva, entender que la matemática da de aplicaciones de lo aprendido, hacia es la base de su didáctica: la forma en que 6. Las dimensiones de un cuadro son: 77 x el análisis de los sistemas que dan forma a se construye el conocimiento matemático es 53 cm. ¿Cuáles de estas reducciones mantie- nuestra vida y utilizan ese conocimiento ma- una fuente imprescindible a la hora de plani- nen las proporciones del cuadro: 60,5 x 40,5 temático, y hacia criterios sociales y éticos ficar y desarrollar su enseñanza. cm; 38,5 x 26,5 cm; 70 x 46 cm? para juzgarlos. Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno, las Bien, ya tenemos nuestras respuestas, que • Construir el conocer de cada tópico ma- razones y las proporciones. iremos contrastando con las indicaciones y temático pensando en cómo lo enseñamos ejercicios que plantearemos a lo largo de las en el aula, además de reflexionar acerca de líneas que siguen. cómo nuestro conocer limita y condiciona * Aviso para navegantes: las respues- nuestro trabajo docente. De esta forma, in- tas a los ejercicios precedidos por un Y un segundo recordatorio: tegrar nuestra práctica docente en nuestro número en negrita aparecen al final estudio. La sugerencia que proponíamos en el Cua- del cuaderno. Las respuestas a los derno No 1 y que siempre presidirá los • Como complemento a lo anterior, cons- ejercicios que no se encuentran prece- demás Cuadernos: Vamos a estudiar mate- truir el conocer de cada tópico matemáti- didos por un número son para que las mática, pero no lo vamos a hacer como si co pensando en cómo lo podemos llevar al construyas y las valides con tu grupo fuéramos simplemente unos alumnos que aula. Para ello, tomar conciencia del proceso de trabajo. 6
  6. 6. –ya simplificada- correspondiente al núme- 1. El concepto matemático ro de hombres (18) con respecto al total de relación 3/2, es decir, “como 3 es a 2”. de razón personas presentes (18 + 27 = 45). En el con- cepto de razón no está presente esta relación a de carácter parte-todo. U na de las situaciones matemáticas b más frecuente en todos los Cua- c También puede ser útil recordar los orí- dernos anteriores ha sido, sin duda, la de genes históricos de este objeto matemático relacionar dos cantidades: lo hemos hecho llamado razón. Para ello citamos unos pá- “Pero esta relación y su expresión como al sumarlas y restarlas, o al multiplicarlas y rrafos del Cuaderno no 9: “Los pitagóricos aparente “cociente” de dos números na- dividirlas. En particular, al relacionarlas me- (s. VI a.C.) consideraban como números so- turales no era considerada como un nuevo diante la resta y la división, estamos compa- lamente a los números naturales. Pensaban, número –una fracción, la expresión de una rándolas. Hay, pues, dos tipos de compara- además, que la naturaleza se reducía a estos relación parte/todo-, sino como una razón ciones entre números: las que nos permiten números, en el sentido de que todo objeto entre ambas magnitudes, es decir, como la averiguar cuál es el mayor calculando la di- podía expresarse con un número (la medida expresión numérica de la relación entre ellas, ferencia existente entre ambos, o bien, cal- de su magnitud), y las relaciones entre ob- sin que ambas estuvieran necesariamente li- culando cuántas veces el mayor contiene al jetos (entre sus magnitudes), siempre como gadas como un par “parte/todo” (de hecho, menor. En la primera situación hablamos de una relación entre números naturales. en el ejemplo anterior, los dos segmentos comparaciones o relaciones aditivas y en la son independientes). En la Aritmética de los segunda, de relaciones multiplicativas. “Para lograr esta relación suponían que griegos no existieron, pues, las fracciones siempre funcionaría el principio de conmen- como números al estilo de los babilonios y Una razón es una relación surabilidad, es decir, que dadas dos magni- egipcios”. multiplicativa entre dos núme- tudes (por ejemplo, dos segmentos), siem- pre era posible encontrar una magnitud (un Por cierto, este modelo numérico de ar- ros naturales diferentes de 0. segmento) menor que “encajara” un número monía –de razones entre números naturales- exacto de veces en cada una de las dos mag- para todos los objetos medibles de la natura- Hablamos así de la razón “dos a tres”, nitudes (los dos segmentos) relacionadas. Es leza se quebró cuando trataron de colocar en “1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por ejemplo, si en un decir, dados los segmentos a y b, podía su- una relación conmensurable algo tan simple grupo de personas hay 18 hombres y 27 mu- ceder que ni a encajara un número exacto como el lado de un cuadrado y su diagonal. jeres, diremos que la razón entre el número de veces en b, ni viceversa. Pero entonces, Los mismos pitagóricos demostraron que de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es siempre era posible encontrar un segmento esto no era posible, que si el lado medía 1, la decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mu- menor c, tal que estuviera contenido “n ve- diagonal debería medir √2, valor inconmen- jeres”. En este caso, la razón entre el núme- ces” en a y “m veces” en b, con lo que la re- surable con 1. Por eso los números como ro de mujeres y el de hombres es la inversa, lación entre a y b podía denotarse mediante √2 se denominan “irracionales”, porque no de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por la expresión n/m. pueden expresarse como una razón conmen- cada 2 hombres”. surable con la unidad. “Hasta ese momen- Como avisábamos en el Cuaderno ante- “Por ejemplo (ver Figura), si la longitud to los griegos habían identificado número y rior, hay que saber distinguir entre los con- de un segmento a era “una vez y media” la geometría, pero la existencia de razones in- ceptos de razón y de fracción. Este último de un segmento b, c sería la mitad del seg- conmensurables destruía esa identificación” alude a la relación –también multiplicati- mento b, con lo cual b contendría 2 “mini- (Kline, 1992, p. 59): la Aritmética griega ce- va- entre la parte y el todo respectivo. En el segmentos” c, y a, 3 “minisegmentos” c; así, día todo el paso a la Geometría. ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción la relación entre a y b vendría dada por la 7
  7. 7. Pero a pesar de su “fracaso” en garantizar Si estamos a punto de empezar el día rrecta (acierta 10 tiros por cada 11 que falla) este modelo numérico de armonía –de razo- 27 de mayo, y este año no es bisiesto, porque los números que entran en las razo- nes entre números naturales- para todos los ¿cuál es la razón entre los días ya trans- nes de cada juego (7, 5, 3, y 6) son las mis- objetos medibles de la naturaleza, los grie- curridos y los que faltan para culminar el mas cantidades de tiros acertados y fallados. gos continuaron con el estudio de las razo- año? Pero, ¿qué ocurre si la segunda razón (3/6) nes numéricas, utilizando como ejemplos de Tenemos que contar los días transcu- se expresa reducida en la forma 1⁄2 (obsér- números las medidas de objetos geométricos rridos: vese que esto se puede hacer, ya que “3 es (segmentos de recta, superficies de figuras 31 + 28 + 31 + 30 + 26 = 146 días. Por a 6” equivale a “1 es a 2”)? En este caso, la planas, etc.). Este estudio, inspirado en los consiguiente, faltan 365 – 146 = 219 días. 7 +1 8 trabajos de Eudoxo (s. IV a. C.), se incluye “suma” debería ser 5 + 2 = 7 (acierta 8 tiros La razón buscada es 146/219 ó, en forma en el Libro V de los Elementos de Euclides (s. por cada 7 que falla), lo cual no es cierto. irreducible, 2/3 (ya que m.d.c.(146, 219) III a. C.), la obra matemática más leída de la De modo que la razón “suma” dependería = 73, y 146 = 2 x 73 y 219 = 3 x 73). antigüedad. de la forma € (reducida o amplificada) en que se presenten las razones “sumandos”, lo que anula la posibilidad de hablar de una verda- Como en el caso de las fracciones, resul- ta imprescindible hablar de la representación 2. La aritmética de las dera operación de adición. de las razones. Tradicionalmente se escriben en forma numérica, separando los dos núme- razones Por lo tanto, no es correcto hablar de la ros mediante los signos : ó /. Por ejemplo, la suma de razones. Para hallar la razón entre razón “3 a 4” se representa 3 : 4 ó 3/4. O dicho de otra manera, ¿qué operacio- dos magnitudes a lo largo de varias situacio- Pero también puede representarse en forma nes aritméticas pueden hacerse con las razo- nes (por ejemplo, la razón del número de de porcentaje; por ejemplo, en el caso ante- nes? ¿Pueden sumarse, restarse, multiplicarse niños al de niñas en el conjunto de varias rior se puede decir que “la primera cantidad y dividirse como, por ejemplo, las fracciones? aulas de una escuela), lo que deben “sumar- representa el 75% de la segunda”. Y pasando ¿Qué sentido pueden tener estas operaciones se” por separado son las cantidades de cada a otros sistemas, la razón también puede lle- con razones? uno de los grupos, niños y niñas, y obtener varse a un gráfico continuo (la primera figura luego la razón definitiva; ésta es la única ma- representa la primera cantidad y la otra, la De entrada, digamos que no pueden nera de evitar confusiones y posibles errores. segunda cantidad): sumarse (ni, por consiguiente, restarse). Sin Así, pues, sumar razones no tiene sentido, embargo, en algunos textos se afirma lo con- como sí lo tiene en cambio sumar fracciones, trario y se sugieren situaciones como ésta: ya que aquí se agregan partes de un mismo “Un jugador de baloncesto acierta 7 tiros de todo. cancha y falla 5 en un partido; en el siguiente juego, acierta 3 y falla 6. ¿Cuál es la razón Pero en lo que respecta a la multiplica- Y también puede llevarse a un gráfico de tiros acertados a fallados en el conjunto ción de razones, esta operación sí puede te- discreto: (el número de ∆ corresponde a la de los dos partidos?”. Y se responde así: “los ner sentido. Por ejemplo, si en una reunión la primera cantidad y el de •, a la segunda): tiros acertados son 7 + 3 = 10, y los fallados, razón de personas de la provincia del Norte 5 + 6 = 11; la razón solicitada es 10/11, que con respecto a la del Centro es 3/7, y la ra- ∆ • puede ser obtenida mediante la siguiente zón de personas de la provincia del Centro 7 3 7 + 3 10 ∆ • “suma” de razones: 5 + 6 = 5 + 6 = 11 . Y ése es con respecto a la del Sur es 2/5, podemos • • el algoritmo de la suma de razones, diferente preguntarnos cuál será la razón de personas ∆ al de la suma de fracciones”. de la provincia del Norte con respecto a la Evidentemente, la respuesta 10/11 es co- € del Sur. 8
  8. 8. Para resolver esta situación podemos En otras elecciones, la razón del nú- ma en: “la razón del número de votos del considerar la primera razón como 6 a 14, y mero de votos del candidato M con res- candidato N con respecto al candidato la segunda como 14 a 35; es decir, hemos pecto al candidato N es 2/3; y la de M M es 3/2 (inverso de 2/3); y la de M con buscado que el segundo término de la pri- con respecto al candidato P, 5/7. Se desea respecto al candidato P, 5/7”. Ahora sí po- mera coincida con el primer término de la saber quién ganó las elecciones. demos hallar la razón entre los votos de 3 5 3 x5 15 segunda razón. Ahora puede inferirse que la x = = N y P: 2 7 2 x 7 14 , es decir, por cada 15 razón de personas de la provincia del Norte Está claro que M no las ganó, pues votos de N, P obtiene 14. Luego el candi- con respecto a la del Sur es 6/35 (¿por qué?). sacó menos votos que N y que P. La pre- dato N ganó las elecciones. Este resultado equivale a haber multiplicado gunta es quién de estos dos candidatos entre sí los primeros términos de las dos ra- obtuvo mayor número de votos. Y la res- zones (3 x 2 = 6) y, también entre sí, los se- puesta viene por la vía de obtener la razón Conviene destacar que el procedi- gundos términos (7 x 5 = 35). entre el número de votos de ambos. Para miento de hallar la razón entre ello contamos con un referente común: dos magnitudes puede ser una Por consiguiente, dadas la razón de las razones de votos de cada candidato de las formas de responder a la una magnitud respecto a una segunda, con M. pregunta de cuál de ambas es y la razón de esta última con respecto mayor. Obsérvese que, en este caso, no es Ahora bien, la forma en que se pre- necesario conocer el valor exacto de ambas a una tercera, la razón que corresponde sentan estas dos razones no parece estar cantidades. Por esta vía de hallar la razón no a la primera magnitud con respecto a la “bien ordenada”: necesitamos colocarlas tenemos, pues, que hallar dos valores desco- tercera se obtiene “multiplicando” las como la razón de N a M, y de M a P, para nocidos (las dos cantidades), sino uno solo: dos primeras como si se tratara de dos que M nos sirva de “puente” entre N y P. la razón entre ambas. fracciones (en realidad estamos manejando En este sentido, el enunciado se transfor- las razones como operadores, de una forma similar a como lo hacíamos con las fraccio- nes). En las elecciones presidenciales de 3. El concepto matemático de Proporción cierto país, la razón del número de votos del candidato A con respecto al candidato B es 2/3; y la de B con respecto al candi- dato C, 5/7. Se desea saber si la votación En uno de los ejemplos expuestos anteriormente, hablamos de un grupo formado por 18 de A llegó a la mitad de la de C. hombres y 27 mujeres y que, en esta situación, la razón del número de hombres al de mu- jeres era 2/3. Pero también podíamos haber dicho que la razón era 18/27, ó 6/9, ó 36/54... Como antes, busquemos la razón entre Como puede verse, todas estas razones son iguales, expresan la misma relación multiplica- el número de votos de A y C. Esta razón tiva entre los números. Pues bien, al indicar la igualdad de dos razones estamos creando un 2 5 2x5 10 nuevo objeto matemático: la proporción. vendrá dada por: 3 x 7 = 3x7 = 21 ; es decir, por cada 10 votos de A, C obtiene 21. De donde se desprende que la votación de A Se llama proporción al conjunto de dos razones iguales. € no llegó a la mitad de la de C. Si las razones iguales son a/b y c/d, la proporción se denota a/b = c/d ó a : b : : c : d y se lee ”a es a b como c es a d” 9
  9. 9. Un ejemplo de proporción es 2/3 = 4/6, Las proporciones presentan numerosas propiedades, que ya fueron estudiadas por los cuya lectura es “2 es a 3 como 4 es a 6”. De griegos y aparecen en el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta es la fundamental: nuevo hay que recordar la distinción entre razones y fracciones, para no ver en la expre- 1. En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los sión anterior “la equivalencia de dos fraccio- extremos: nes” (que será la lectura correcta cuando se hable de fracciones, pero no ahora...). a c = axd=bxc Vamos con la nomenclatura relativa a las b d proporciones. El uso de la notación a : b : : c : d nos ayuda a identificar a los números De aquí se desprende que un extremo es igual al producto de los medios dividido a y d como los extremos de la proporción y entre el otro extremo, y que un medio es igual al producto de los extremos dividido entre a los números b y c como los medios de la el otro medio: proporción. Por ejemplo, en 2/3 = 4/6, 2 y 6 son los extremos de la proporción, y 3 y 4, bxc bxc axd axd a= d= b= c= los medios. d a c b Una proporción cuyos extremos y me- La comprobación de estas igualdades es muy fácil; puede verificarse con cualquiera de dios son diferentes se denomina discreta; por los ejemplos anteriores. Pero lo interesante es “saber ver proporciones” en todo producto de ejemplo, la anterior. Y continua, si los medios la forma a x d = b x c, o en toda expresión que pueda reducirse a ella. (o los extremos) son iguales entre sí; su forma € a c sería: a/b = b/c ó a/b = c/a. Por ejemplo, 2/6 = 2. De toda proporción b = d , o de su expresión equivalente a x d = b x c, 6/18. En una proporción discreta, cualquier pueden derivarse otras tres proporciones diferentes: término se denomina cuarta proporcional de los otros tres. Así, en el ejemplo 2/3 = 4/6 decimos que 3 es cuarta proporcional de 2, a b b d € c d = = = 4 y 6, ó que 4 lo es de 2, 3 y 6. En una pro- c d a c a b porción continua, el término repetido se de- nomina media proporcional de los otros dos, 3 9 y estos dos últimos, tercia proporcional del Por ejemplo, si se tiene = , ó 3 x 12 = 4 x 9, puede llegarse a las proporciones: 4 12 otro término. Así, en el ejemplo 2/6 = 6/18, 3 4 , 12 4 ó 12 9. = = = 6 es media proporcional de 2 y 18, y 2 y 18 9 12 9 3 4 3 son tercias proporcionales de 6. Obsérvese que, aun cuando manejan los mismos números como medios o extremos, cada una de las cuatro proporciones anteriores responde a una razón diferente: 3⁄4, 1/3, 4/3 a) Escriba dos proporciones en las que 8 y 3, respectivamente. sea media proporcional de otros dos núme- ros. Presentamos otras propiedades, de muy fácil verificación (de la 5 a la 11 son propiedades derivadas de algunas transformaciones que pueden realizarse con los propios términos de b) Escriba otras dos proporciones en las una proporción). Recuérdese que, en virtud de la propiedad 2, de cada una de las que se que 12 sea cuarta proporcional de tres nú- proponen pueden derivarse otras tres. meros. 10
  10. 10. a + b 10 3. Si a = c , entonces mxa = mxc = . Y de aquí deducimos que 244 4 b d nxb nxd 244 x10 a+b= = 610. Obsérvese que 4. Si a = c y c = e , entonces a = e 4 b d d f b f € hemos llegado a la suma solicitada sin ne- 5. Si a = c , entonces a + b = c + d y a + b = c + d cesidad de hallar el valor de cada uno de b d b d a c los sumandos. 6. Si a c y a>b, entonces a − b c − d y a − b c − d En una escuela de 540 alumnos, la ra- = = = b d b d a c zón del número de niñas al número de a c y a>b, entonces a + b c + d niños es de 5 a 4. ¿Cuántas niñas hay en 7. Si = = esa escuela? b d a−b c−d Sean a y b el número de niñas y de 8. Si a = c , entonces a + c = b + d y a+c = b+d niños, respectivamente. Sabemos que a/b b d c d a b = 5/4 y que a + b = 540. Para hallar los valores de a y de b podemos apoyarnos 9. Si a = c y a>c, entonces a − c = b − d y a−c = b−d en la propiedad 5 de las proporciones: b d c d a b a c a c y a>c, entonces a+c b+d Si = , entonces a + b = c + d , que se 10. Si = = b d a c b d a−c b−d traduce ahora en: a = 5 a+b 5+ 4 = b 4 a 5 11. Si a = c = e , entonces a + c + e = a 540 9 € = . Y€de aquí deducimos directa- b d f b+d + f b a 5 mente que € € Considere a = 20, b = 12, c = 5, d = 3, e = 15, f = 9, m = 4, n = 7, y verifique todas 540x5 las propiedades anteriores. € a = = 300. En la escuela hay 9 En una ciudad, el número de lectores del periódico La Primera y el de lectores de La 300 niñas y 240 niños. Segunda están en razón de 3 a 5. Si se certifica que hay 162.840 lectores de La Segunda, ¿cuántos hay de La Primera? € Obsérvese que cuando se desconocen Si denotamos por n el número de lectores solicitado, basta plantear la dos de los términos de una proporción, pero nos aportan como dato su suma o su dife- n 3 proporción: = . Y aplicando la propiedad 1, n = 3x162.840 = 97.704 lectores. rencia y la razón entre ambos, resulta muy 162.840 5 5 oportuno el uso de las propiedades descritas más arriba, ya que tienen la virtud de reducir La razón de dos números es 7/3 y su diferencia, 244. ¿Cuánto vale su suma? el cuadro de cantidades desconocidas a una € Sean a y b el 1o y 2o términos de la razón buscada. Sabemos que a/b = 7/3 y que a – b = sola (un medio o un extremo de la propor- € 244. Para hallar los valores de a y de b podemos apoyarnos en la propiedad 7 de las propor- ción), que puede obtenerse directamente de a+b c + d acuerdo a lo expresado en la propiedad 1. a+b 7+ 3 ciones: Si a = c y a>b, entonces = , que se traduce ahora en: a = 7 = b d a−b c−d b 3 a−b 7−3 11 € € € €
  11. 11. Nos piden el valor de D, con d = 14,2 cm y N = 1.000.000. Luego será: D = 14, 2 cm x 1.000.000 = 14.200.000 cm = 142 4. Algunas situaciones particulares referidas a km. razones y proporciones Si un campo de fútbol mide 98 m de lar- go por 52 de ancho, ¿cuáles serán sus di- 4.1. Las escalas mensiones si se dibujan a una escala de 1: 250? Las escalas aluden al conocido problema de representar algún objeto o parte de la rea- Ahora se piden dos valores de d, corres- lidad en un mapa, plano o dibujo, sin distorsionar las relaciones que guardan entre sí los pondientes a dos valores de D, con N = 250. elementos que componen la realidad que se representa. Cuando esta transformación se hace Tendremos: el largo = 98 m/250 = 0,392 m. Y correctamente, se dice que el dibujo, mapa o plano está “hecho a escala” (las fotografías y las el ancho = 52 m/250 = 0,208 m. En el papel, fotocopias reducidas o ampliadas son ejemplos de reproducciones automáticas a escala). las dimensiones del campo serán 39,2 cm de largo y 20,8 cm de ancho. Puede verificarse Hacerlo correctamente significa que se conservan, en el papel, las relaciones multipli- que los valores reales y los del dibujo forman cativas presentes en el objeto. Así, si un elemento A de la realidad mide la mitad de otro B, una proporción exacta: 98 m/52 m = 39,2 esa misma relación multiplicativa debe mantenerse en el papel. Indudablemente, estamos cm/20,8 cm hablando de razones. Para conseguir una representación válida resulta clave hallar la escala o razón que existe entre la longitud de un determinado segmento del dibujo, plano o mapa, y la longitud del segmento correspondiente en la realidad representada. 4.2. Los repartos proporcionales Por ejemplo, si se dibuja el plano de una vivienda de tal modo que una distancia real de Se trata del tipo de situación en la que 10 metros se reduce a 2,5 cm en el plano, la escala utilizada es 2,5 cm : 10 m = 25 mm : hay que repartir una cantidad de alguna 10.000 mm = 1 : 400 (habitualmente, el premier término de la escala suele ser 1). Esto sig- magnitud entre diversos sujetos, de acuerdo nifica que cualquier medida sobre el plano debe multiplicarse por 400 en la realidad, y que con ciertas razones establecidas entre éstos. cualquier medida en la realidad debe dividirse entre 400 para dibujarla en el plano. Por ejemplo, si se desea repartir una ganan- cia de 120.000 pesos entre dos socios cuyos Si denominamos: aportes al capital están en razón de 3 a 5, la d a la medida del objeto en el plano, mapa o dibujo; situación puede resolverse mediante la pro- D a la medida del objeto en la realidad; porción siguiente: si y y z representan, res- 1/N a la escala utilizada; pectivamente, las cantidades a percibir por cada socio, tenemos: y/z = 3/5, con el dato d 1 adicional: y + z = 120.000. Haciendo uso de Podemos establecer la siguiente proporción: = . D N la propiedad 5 de las proporciones: Y de aquí, en virtud de la propiedad 1 deducimos: D = N x d y d = D/N. a c a+b c + d Si = , entonces = y a+b = c + d b d b d a c € , llegamos a: 120.000 = 8 y 120.000 = 8 . Y de Se tiene un mapa trazado a una escala 1:1.000.000. ¿Cuál es la distancia real, en y 3 z 5 kilómetros, de dos ciudades que sobre el mapa distan 14,2 cm? € € ahí: y = 120.000x3 y z = 120.000x5 . Proceso € 8 8 € € 12 € €
  12. 12. que podemos generalizar: nera directa. Son ejemplos de estos pares de magnitudes: Cuando se trata de repartir proporcionalmente una cantidad N entre dos elementos • El número de objetos (o kilos, litros, que se hallan en una razón a/b, la cantidad percibida por el primer elemento es: Nxa ; etc.) que se compran y el precio a pagar a+b • El número de manos (normales) y el Nxb y la percibida por el segundo es: Este proceso puede generalizarse al caso en que número de dedos presentes a+b • A una velocidad constante, el tiem- haya más de dos elementos en el reparto proporcional. € po transcurrido y la distancia recorrida Los ángulos internos de un triángulo son directamente proporcionales a los números 2, • La masa y el peso de un objeto € • En un cuadrado, la longitud de un 3 y 4. ¿Cuál es la medida de los ángulos? Como la suma de las medidas de los tres ángulos es 180o, los valores de cada ángulo son: lado y la medida del perímetro • El número de obreros y la cantidad 180º x2 , 180º x3 y 180º x4 , es decir, 40°, 60° y 80°. de trabajo realizado 2 + 3+ 4 2 + 3+ 4 2 + 3+ 4 • Trabajando a destajo, el número de horas trabajadas y el salario percibido • La participación en el capital y la € € 5. Proporcionalidad directa € participación en las ganancias • En un momento dado, las alturas de entre dos magnitudes los objetos y las longitudes de las sombras En los ejemplos relativos al caso de las escalas, veíamos que se relacionaban dos conjun- que proyectan bajo el sol tos: el de los tamaños de los objetos reales y el de los tamaños de los dibujos a escala. Esa • Las cantidades de los ingredientes forma de relacionarse es muy peculiar: si se toma un par de valores correspondientes, uno de una receta y el número de comensales de cada conjunto, se establece entre ellos una razón: justamente, la de la escala. Y si se toma • La medida de ángulos a simple vista otro par de valores correspondientes, vemos que la razón entre ellos es la misma. Y así con y a través de un lente de aumento todos los pares de valores correspondientes que se puedan componer. ¿Cómo podemos representar la situa- Podemos referirnos a ambos conjuntos como magnitudes, es decir, como entidades me- ción de dos magnitudes ligadas mediante dibles; y a los valores que pueden tomar sus elementos (es decir, los tamaños de los objetos una relación de proporcionalidad directa? reales y de los dibujos), como medidas. Lo importante para estas dos magnitudes es lo que Podemos hacerlo de varias formas: decíamos ahora, que si tomamos dos pares cualesquiera de valores relacionados, uno de cada magnitud, siempre formarán una proporción (verifíquelo con valores del primer ejem- 1. Mediante una tabla de valores. Por plo de las escalas). ejemplo, si un lápiz cuesta 14 pesos, pode- mos construir la siguiente tabla: De aquí que podamos decir que estas dos magnitudes están relacionadas proporcio- No. de lápices No. de pesos nalmente. Más precisamente, que las dos magnitudes están en una relación de proporcio- nalidad directa, es decir, que si los valores de una de ellas se multiplican o dividen por un 1 14 número, los de la otra quedan multiplicados o divididos por el mismo número. El vínculo de 2 28 la relación es, justamente, la razón que liga a los dos valores de cada par relacionado. 3 42 Hay muchas situaciones –en la matemática, en otras ciencias, en la vida diaria...- en ... ... las que se presentan pares de magnitudes relacionadas proporcionalmente de una ma- 13
  13. 13. 2. Mediante una expresión simbólica o en ese orden); el valor de c será el inverso mudados fórmula. Por ejemplo, en el caso anterior nos de k. 7. El número de personas en la fiesta damos cuenta de que el costo a pagar de- y el trozo de pastel que le tocará a cada pende del número de lápices comprados, y Finalmente, es de hacer notar que las ex- una como la razón de cualquier par de valores presiones del tipo m x y = n x x (con m y n 8. El número de calmantes a tomar y “costo a pagar” – “número de lápices com- fijos) también caen en el grupo anterior, ya la cantidad de dolor a disminuir prados” es 14, éste es el factor constante por que pueden escribirse como y = (n/m) x x. 9. Para hacer una obra fija, el núme- el que hay que multiplicar cualquier valor de ro de obreros y el tiempo para terminar esta última variable para obtener el corres- 3. Mediante una expresión verbal. Por la obra pondiente de la otra. Si, simbólicamente, re- ejemplo, si decimos que “el número de ni- 10. El número de años que una pareja presentamos la variable “costo a pagar” con ñas es el doble del de los niños”, o si “por llevan casados y el número de sus hijos la letra c, y la variable “número de lápices cada dos niñas hay un niño”, o si “el número 11. El tiempo que el usuario permane- comprados” con la letra n, podemos repre- de niñas es al de niños como 2 es a 1”, etc. ce en el taxi y el costo del servicio, si se sentar la relación entre ambas variables de la Con la información contenida en cualquie- cobra una tarifa por subir al taxi y otra por forma: c = 14 x n. ra de estas expresiones podemos pasar a su cada minuto de servicio expresión simbólica, o si damos un valor de En general, si los valores de la magni- una de las magnitudes, se puede establecer 7. El siguiente es un fragmento de una tud y están relacionados con sus corres- la proporción correspondiente. tabla con las “Tarifas para calcular el valor de pondientes de la magnitud x mediante la los esclavos” durante los años que siguieron razón r, la relación entre ambas magnitu- Veamos algunos ejercicios relacionados a la Guerra de Independencia venezolana des puede representarse simbólicamente con las formas de representación revisadas: (Uslar Pietri, 1981, p. 222): mediante la fórmula: y = r x x. Esta expre- sión nos permite obtener cualquier valor Explique por qué los siguientes pares desconocido si se conocen los otros dos de magnitudes no son directamente pro- valores en juego. porcionales: Debemos insistir en que toda expresión 1. La edad y el número de dientes de de la forma y = k x x (k es un valor constan- una persona te) puede ser reconocida como la expresión 2. La estatura y el peso de las perso- de una relación de proporcionalidad directa nas entre las magnitudes y y x. El término k repre- 3. La cantidad de abono orgánico en senta la razón existente entre cualquier par un campo y su producción agrícola de valores correspondientes a las magnitudes 4. La longitud del lado de un cuadra- y y x (en ese orden), y recibe el nombre de do y el área de éste constante de proporcionalidad. 5. Para recorrer una distancia fija, la velocidad de un vehículo y la duración Evidentemente, la relación anterior pue- del viaje de representarse también por x = c x y. En 6. El número de kilos que pesan los este caso, el término c representa la razón enseres en una mudanza y el costo de la existente entre cualquier par de valores co- misma, si hay una tarifa por alquiler del rrespondientes a las magnitudes x e y (ahora vehículo y otra por cada kilo de enseres 14
  14. 14. Edad en años Valor en pesos Escriba la expresión o fórmula que reco- ge el siguiente enunciado: “En esta escuela, 11 200 por cada 15 alumnos hay un maestro”. 12 230 Si denotamos con a el número de alum- 13 270 nos y con m, el de maestros, quizá se nos ocurra escribir: 15 x a = m, expresión que 14 290 es incorrecta. Suele caerse en este error por- 15 300 que confundimos lo que es una magnitud, con una abreviatura; así, a suele entenderse ¿Existía una relación de proporcionalidad como la abreviatura de “alumno” y no como directa entre ambas magnitudes? la magnitud “número de alumnos”. Y ade- más, porque se considera la transcripción di- Determine una fórmula para expresar recta del enunciado como si fuera la fórmula la proporcionalidad directa entre los si- del caso: “...15 alumnos...hay 1 maestro” ... guientes pares de magnitudes: 15 x a = 1 x m. 1. El número de objetos (o kilos, litros, etc.) que se compran (n) y el costo total a Para no caer en este error hay que pre- pagar (p) guntarse desde el comienzo: ¿qué número 2. El número de manos (normales) (m) es mayor, el de alumnos o el de maestros? y el número de dedos presentes (d) Resuelto esto (es menor el número de maes- 3. A una velocidad constante, el tiem- tros), está claro que es esta magnitud la que po transcurrido (t) y la distancia recorrida debe multiplicarse por la cantidad mayor (d) (15) para igualarse con la otra magnitud (nú- 4. La masa (m) y el peso de un objeto mero de alumnos): 15 x m = a. Otra forma (p) de evitar los errores consiste en plantearse 5. En un cuadrado, la longitud de un correctamente la proporción del caso: como lado (l) y la medida del perímetro (p) el número de alumnos es mayor que el de 6. La medida de ángulos a simple vista maestros, en razón de 15 a 1, se tiene: a/m = (v) y a través de un lente de aumento (a) 15/1, de donde se llega a: a = 15 x m. Las razones “dentro” y “entre” 1 R. Si denotamos con u el precio de cada unidad: p = n x u 8. Si t representa el número de taxis Tomemos un caso de proporcionalidad 2 R. d = 5 x m y c el de choferes, escriba la expresión o directa entre dos magnitudes; por ejemplo, 3 R. Si denotamos con v la velocidad fórmula que recoge el siguiente enuncia- el de los precios de un determinado artículo, constante: d = v x t do: “Por cada 3 taxis hay 4 choferes”. cuya unidad vale 60 pesos. Vemos que 3 ar- 4 R. Si denotamos con g la acelera- ción de la gravedad: p = m x g tículos valdrán 180 pesos, que 12 artículos se 9. Si m representa el número de alum- venderán en 720 pesos, etc. Vergnaud (1988) 5 R. p = 4 x l nos aprobados, y n el de reprobados, ex- da a las “magnitudes” el nombre de espacios 6 R. a = v (sea cual sea el factor de prese verbalmente (“por cada... hay...”) la de medidas. En estos términos, aquí pode- aumento del lente, la medida del ángulo relación entre ambas magnitudes simboli- mos destacar dos espacios de medidas: el del no varía...) zada por la expresión: 3 x m = 7 x n. número de artículos y el de los precios: 15
  15. 15. te, las razones “dentro” varían de acuerdo a c Espacio de medidas Espacio de medidas proporciones: = como razón “entre”, y al par de medidas seleccionadas en el mis- b d 1 2 a b Número de Precios mo espacio; por ejemplo, 3/12 es diferente = como razón “dentro” (proporciones c d artículos de 12/9; pero las razones “dentro” formadas que son equivalentes, como ya veíamos en por los valores correspondientes en el otro la propiedad 1). Pero esta precisión de Verg- 3 180 espacio, son las mismas cada vez: 180/720 naud tiene su utilidad, como veremos más equivale a 3/12 (es 1⁄4 en ambos casos), y adelante. 12 720 720/540 equivale a 12/9 (es 4/3 en ambos 9 540 casos). [El tema de las magnitudes directamente ..... ...... proporcionales se tomará más adelante, en el A partir de la tabla siguiente: Cuaderno que dedicaremos a las funciones matemáticas. Allí veremos que la expresión De acuerdo con lo expresado con ante- Espacio de medidas Espacio de medidas “magnitud” (utilizada desde Eudoxo y Eucli- rioridad, entre estas dos magnitudes queda 1 2 des) se sustituirá por “variable”, y la “medida” establecida una relación de proporcionalidad de una magnitud, por la de “valor” de una a b directa, una de cuyas representaciones (ade- variable; también veremos que la relación de más de la tabular) es p = 60 x n (p expresa el c d proporcionalidad directa entre dos variables monto del precio, y n el número de artícu- se denominará función lineal; y estudiaremos los). El número 60 expresa la razón entre un podemos entender que lo que plantea su representación gráfica, además de los tres par de valores correspondientes precio/no de Vergnaud es simplemente destacar estas dos modos anteriores de representación.] artículos (180/3, 720/12, 540/9, etc.). Verg- naud califica a esta razón entre dos valores correspondientes, uno de cada espacio de medida, como una razón entre (entre ambos espacios de medida). 5.1. La Regla de tres directa Pero también podríamos haber calcula- do, en cada espacio de medida, la razón en- tre dos valores del mismo espacio (3/12 y su Para resolver, por ejemplo, la situación: “Si 2 lápices cuestan 52 pesos, ¿cuánto costarán correspondiente 180/720; ó 12/9 y su corres- 5 lápices?”, podemos proceder de varias maneras. Ante todo, necesitamos reconocer si la pondiente 720/540, etc.). Vergnaud califica, relación entre las magnitudes “número de lápices” y “costo a pagar” es de proporcionalidad a su vez, a esta razón entre dos valores del directa (¿lo es?; ¿por qué?). A partir de aquí formamos la proporción entre dos pares de valo- mismo espacio de medida, como una razón 2 5 dentro (dentro del mismo espacio de medi- res correspondientes lápices/pesos: = . De donde, según la propiedad 1 de las propor- 52 z da). ciones, z = (52 x 5)/2 = 130 pesos. Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, como en el ejemplo, la razón También puede procederse así –a partir siempre del reconocimiento de la relación entre “entre” se mantiene constante para cualquier las dos magnitudes como de proporcionalidad directa-: percibimos que la razón entre valores par de valores o medidas correspondientes correspondientes de ambas (la constante de proporcionalidad) es 26 (obtenida del par 52 : 2), (una de cada espacio de medida). Por su par- con lo que establecemos la expresión simbólica de la relación: costo = 26 x no de lápices. 16
  16. 16. De donde concluimos que el costo de los 5 maestro(a). contiene 4.300 litros, el tanque completo lápices será: costo = 26 x 5 = 130 pesos. Obsérvese que la expresión contendrá 2 veces más (4.300 x 2), y la 52 x 5 quinta parte del tanque, 5 veces menos Estos procedimientos pueden plasmar- z = puede tener dos lecturas: [(4.300 x 2)]/5. De donde, x = [(4.300 x 2 se en lo que se reconoce tradicionalmente 52 5 2)]/5 = 1.720 litros. Obsérvese que no como x5 y como 52 x . En el primer como la técnica de la regla de tres directa, 2 2 hemos operado con los símbolos de las establecida para resolver situaciones como la caso se está multiplicando por 5 la razón fracciones, sino con su significado. anterior, en las que –al formarse una propor- 52/2 (razón “entre”, según Vergnaud); en ción con dos pares de valores correspondien- el segundo, se multiplica por 52 la razón tes de dos magnitudes ligadas mediante una 5/2 (razón “dentro”, según Vergnaud); am- relación de proporcionalidad directa- de los cuatro valores implicados se conocen tres y bas lecturas tienen sentido. 5.2. El caso particular se desconoce uno. Si empanada y media cuestan centavo del Porcentaje y medio, ¿cuánto cuestan 3 empanadas y Esta técnica sugiere una evaluación de media? la pertinencia de su uso, una disposición de Estamos ante una situación de propor- los datos, y un proceso de razonamiento que cionalidad directa. Disponemos así los desembocan en una regla mecánica de cál- datos: culo (seguimos con el mismo ejemplo): No de empanadas Costo (centavos) Pertinencia de su uso: Sí: estamos en una 1½ 1½ situación de proporcionalidad directa. Del porcentaje dijimos en el Cuaderno 3½ x Disposición de los datos: no 9 que podía tomarse como un sistema de Aplicamos directamente la regla y te- No de lápices Costo (pesos) representación de una fracción (por ejemplo, nemos: x = (3 1⁄2 x 1 1⁄2)/(1 1⁄2) = 3 1⁄2 2 52 si en una reunión hay 5 hombres y 20 mu- centavos (del tiempo de la Colonia, cla- 5 z jeres, el 80% de los presentes son mujeres). ro...). Razonamiento: Y en este Cuaderno, que puede representar Si 2 lápices cuestan 52 pesos, 1 lápiz a una razón (en el mismo ejemplo, la razón Si la mitad de un tanque contiene cuesta 2 veces menos (52/2); de hombres a mujeres es del 25%). Ambas 4.300 litros, ¿cuántos litros contiene la y 5 lápices, 5 veces más ( 52 x 5 ). De don- quinta parte de ese tanque? cosas son ciertas. Y revelan que, en el fon- 52 x 5 2 de, z = = 130 pesos. do, el porcentaje encierra una idea de pro- 2 Esta es una situación de proporciona- porcionalidad. Dicho de otra manera, está Regla mecánica: Se multiplican los valo- lidad directa. como preparado para “entrar” en una regla res de la diagonal donde no está la incógnita Así van los datos: de tres en la que él mismo quiere jugar como y se divide entre el término restante. razón. Evidentemente, esta regla no debe en- Parte del tanque Capacidad señarse en primer lugar ni como procedi- (litros) ¿De qué número es 3/5 el 2%? miento único, sino después de analizar y 1⁄2 4.300 comprender el proceso de proporcionalidad 1/5 x El problema puede resolverse desde directa; en realidad, debe ser descubierta Razonamos así: Si la mitad del tanque diversas perspectivas. En primer lugar po- por los alumnos, con la orientación del (la) 17
  17. 17. Supongamos, por ejemplo, que varios demos ver que el 1% del número buscado Adela gana 120 pesos diarios, más vehículos recorren una distancia de 120 km es la mitad de 3/5, es decir, 3/5 : 2 = 3/10. el 4% sobre el monto de las ventas del y que cada vehículo viaja a una velocidad Por consiguiente, el número será 100 ve- día. Al cabo de 18 días laborales recibe constante. Veamos una tabla de situaciones ces mayor: 100 x 3/10 = (100 x 3)/10 = 4.220 pesos. ¿Cuál fue el monto total de posibles: 300/10 = 30. las ventas durante esos días? O bien, podemos observar que 2% Velocidad (km/h) Tiempo (h) está contenido 50 veces en 100%, de Este problema fue resuelto en el Cua- 30 4 donde bastará multiplicar 3/5 por 50 para derno anterior aplicando el operador mul- 40 3 llegar al número: 3/5 x 50 = (3 x 50)/5 = tiplicativo correspondiente. Veamos una 80 1 1/2 150/5 = 30. segunda alternativa de resolución. 100 1 1/5 Ambos razonamientos pueden resu- En sus 18 días laborales, Adela ha Evidentemente, las magnitudes veloci- mirse en el planteamiento habitual de la percibido 18 x 120 = 2.160 pesos por dad y tiempo no están en una relación de regla de tres: concepto de salarios diarios fijos. Por lo proporcionalidad directa; por el contrario, al 3/5 2% tanto, por concepto de porcentajes sobre aumentar los valores de una, disminuyen los x 100% el monto de las ventas del día ha recibi- de la otra, y viceversa. En las situaciones de que lleva al mismo resultado: do 4.220 – 2.160 = 2.060 pesos, corres- proporcionalidad directa, lo que se mantiene x = (3/5 x 100)/2 = (300/5)/2 = 60/2 pondientes al 4% de comisión sobre las constante es la razón entre pares de valores = 30. ventas [hasta aquí como en el Cuaderno correspondientes. Pero descubrimos que en anterior]. las situaciones como las del ejemplo, lo que Nota: También puede resolverse en Para conocer el monto total de estas se mantiene constante es el producto entre los términos planteados en el Cuaderno ventas podemos establecer una regla de pares de valores correspondientes: 30 x 4 anterior. Es decir, la fracción 2/100, apli- tres sencilla: = 40 x 3 = 80 x 1 1⁄2 = 100 x 1 1/5 = 120, cada como operador a un número, nos si al 4% de las ventas le correspon- siempre. ha llevado a 3/5. Para regresar al número, den 2.060 pesos, partimos de 3/5 y lo multiplicamos por el al 100% de las ventas le correspon- Generalizando a cualquier situación operador inverso, 100/2. Así, se obtiene: derán x pesos. en que se relacionan dos magnitudes, si 3/5 x 100/2 = (3 x 100)/(5 x 2) = 300/10 De donde: cualquier par de valores correspondientes = 30. x = (2.060 x 100)/4 = 51.500 pesos. a y b, c y d (donde a y c son de la primera magnitud, y b y d de la segunda) verifican la igualdad: a x b = c x d, entonces deci- mos que las magnitudes se hallan en una 6. Proporcionalidad inversa relación de proporcionalidad inversa, o que son inversamente proporcionales. Si entre dos magnitudes denotamos como x e y ambas magnitu- des, y como k el producto constante de Vamos a recoger tres de los ejemplos pro- cidad de un vehículo y la duración del viaje cada par de valores correspondientes, la puestos anteriormente como de situaciones - Para hacer una obra fija, el número de relación entre ambas magnitudes puede cuyas magnitudes no estaban en una rela- obreros y el tiempo para terminar la obra representarse mediante la expresión sim- ción de proporcionalidad directa: - El número de personas en la fiesta y el bólica o fórmula: x x y = k. - Para recorrer una distancia fija, la velo- trozo de pastel que le tocará a cada una. 18
  18. 18. Ahora bien, del producto anterior a x b km/h se tardaría 60 veces más (60 x 2), y a El razonamiento procede así: Si 15 obre- = c x d, y de acuerdo con la propiedad 2 una velocidad de 75 km/h, 75 veces menos: ros tardan 8 días en hacer el trabajo, 1 solo de las proporciones, derivamos la siguiente 60 x 2 60 x 2 120 obrero tardaría 15 veces más: 15 x 8 = 120 . De donde, t = = = 1,6 h. proporción: a/c = d/b. Observemos que si 75 75 75 días; y 24 obreros, 24 veces menos: 120/24 se tratara de una situación de proporciona- Regla mecánica: Se multiplican los valo- = 5 días. lidad directa, la proporción pertinente sería: res de la misma fila y se divide entre el tér- a/b = c/d ó, lo que es lo mismo, a/c = b/d. mino restante. Obsérvese que en ambos tipos de reglas Ahora descubrimos que, en nuestro ejemplo de tres, el razonamiento funciona de mane- de velocidad-tiempo, la proporción se forma Si 15 obreros realizan un trabajo en ra análoga, en el sentido de que se busca el invirtiendo una de las razones que entra en 8 días, ¿cuánto tardarían 24 obreros, comportamiento de la unidad (costo de 1 juego (b/d pasa a ser d/b). De aquí el nombre lápiz, en el ejemplo de la regla de tres di- trabajando con el mismo nivel de pro- de proporcionalidad inversa que se aplica a recta; y tiempo para 1 obrero, en el último las magnitudes en este caso. ductividad? ejemplo). El carácter de la proporcionalidad Se trata de una situación de proporcio- determina, en cada caso, los pasos que si- nalidad inversa entre ambas variables (¿por Así, en nuestro ejemplo, si tomamos los guen después. qué?). Los datos se disponen así: pares correspondientes 40 y 3, 30 y 4, la No de obreros No de días igualdad de productos es: 40 x 3 = 30 x 4, y 15 8 la proporción derivada: 40/30 = 4/3. 24 x Sobre la base de los planteamientos an- teriores se establece la técnica de la regla de tres inversa para resolver los casos en los 7. La Regla de tres compuesta que, de los cuatro valores de dos pares co- rrespondientes implicados, se conocen tres A los tipos de regla de tres en las que se relacionan dos magnitudes las denominamos y se desconoce uno. Como en el caso de simples (directas o inversas). Compuestas son aquellas en las que intervienen más de dos la regla de tres directa, esta técnica sugiere magnitudes. En este caso, es de notar que la relación de cada una de ellas con cada una de una evaluación de la pertinencia de su uso, las demás puede ser de proporcionalidad directa o inversa, de modo que hay que razonar una disposición de los datos, y un proceso cada caso por separado. Veamos estos ejemplos: de razonamiento que desembocan en una regla mecánica de cálculo (seguimos con el Si gallina y media ponen un huevo y medio cada día y medio, ¿cuántos huevos pondrán mismo ejemplo y nos preguntamos: ¿Cuánto 3 gallinas en 3 días? tardará un vehículo si circula a 75 km/h?): La relación del número de huevos con el número de gallinas y con el de días, es directa Pertinencia de su uso: Sí: estamos en una en ambos casos (se supone que la productividad de las gallinas es constante...). Entonces, situación de proporcionalidad inversa. disponemos los datos así: Disposición de los datos: Velocidad (km/h) Tiempo (h) No de gallinas No de huevos No de días 60 2 75 t 1 1⁄2 1 1⁄2 1 1⁄2 Razonamiento: Si a una velocidad de 60 3 x 3 km/h se tardan 2 horas, a la velocidad de 1 19
  19. 19. Y razonamos así: Si 1 1⁄2 gallinas ponen Deduzca la regla “mecánica” para proceder en el caso de las 1 1⁄2 huevos en 1 1⁄2 días, en el mismo nú- mero de días el número de huevos puestos reglas de tres compuestas. por 1 gallina será 1 1⁄2 veces menor: 1 1⁄2 / 1 1⁄2 = 1 huevo, y el número puesto por 3 ga- llinas, 3 veces mayor: 3 x 1 = 3 huevos. Pero esto ocurre en 1 1⁄2 días. Si fuera en 1 día, pondrían un número de huevos 1 1⁄2 veces 8. La resolución de problemas en el campo de las menor: 3 / 1 1⁄2 = 2 huevos, y en 3 días, un número 3 veces mayor: 2 x 3 = 6 huevos. razones y proporciones En el campo de las razones y de las proporciones, los problemas pueden referirse a Si 5 gatos cazan 5 ratones en 5 minutos, la utilización de los conceptos, de sus propiedades y de sus diversas representaciones. ¿cuántos cazarán 10 ratones en 10 minu- También destacan las situaciones referidas a porcentajes, mezclas, reparto proporcional, tos? regla de tres directa e inversa, escalas, y otras relacionadas con las fracciones. Todo ello en contextos simbólicos o de aplicación a la vida diaria. Vamos a plantear algunos de La relación del número de gatos con el estos tipos de problemas. Lo que sugerimos a nuestros lectores es que, una vez leído el número de ratones cazados es directamente enunciado de cada situación, intenten resolver el problema por cuenta propia, antes de proporcional; pero su relación con el núme- revisar la vía de solución que se presenta posteriormente. ro de minutos empleados en la caza, lo es inversamente (¿por qué?). Disponemos así a) Los atletas más veloces corren los 100 repartirá una parte para ti y dos para el niño; los datos: m en 10 segundos. ¿Cuál es su velocidad en pero si es hembra, la herencia se repartirá No de gatos No de No de mi- km/h? dos partes para ti y una para la niña”. Juan se ratones nutos muere (con todo y su machismo...) y la espo- b) ¿Cuántos minutos faltan para el me- sa da a luz mellizos, un varón y una hembra. 5 5 5 diodía, si hace 8 minutos faltaban los 9/5 de ¿Cómo se repartirá la herencia, respetando la x 10 10 lo que falta ahora? voluntad del difunto? c) Si una persona se incorpora al servicio g) Los pueblos anglosajones todavía uti- Y razonamos de la siguiente manera: Si 5 militar a los 18 años, ¿a qué edad lo harán 5 lizan otros sistemas de medidas de longitud ratones son cazados por 5 gatos en 5 minu- personas? (pies, pulgadas, etc.). ¿Cuánto cree que vale tos, en el mismo tiempo 1 ratón será cazado π en ese sistema de medidas? por un número de gatos 5 veces menor: 5 / d) Si m.d.c.(a, b) = 12, y a/b = 64/72, ha- 5 = 1 gato, y 10 ratones, por un número de llar a y b. h) Si 24 gallinas ponen 24 docenas de gatos 10 veces mayor: 10 x 1 = 10 gatos. Esto huevos en 24 días, y si 6 gallinas comen 4 sucede en 5 minutos. Si tuviera que ocurrir e) Determinar una fracción equivalente a kilos de maíz en 6 días, ¿cuántos huevos en 1 minuto, el número de gatos debería ser 8/5 tal que la diferencia numerador – deno- equivalen a 1 kilo de maíz? 5 veces mayor: 10 x 5 = 50 gatos. Pero como minador sea igual a 45. ocurre en 10 minutos, el número de gatos i) Tengo un mapa vial doble: en una cara será 10 veces menor: 50 / 10 = 5 gatos. Nos f) Este es el cuento: Juan, a punto de mo- aparece el país y en la otra, la capital. En la basta con los mismos 5 gatos del cuento... rir, le dice a su esposa embarazada: “Si la primera cara, dos ciudades distantes 105 km criatura que nazca es varón, la herencia se en línea recta, están a 15 cm; en la segunda, 20
  20. 20. dos plazas a 2,4 km en línea recta, están a 12 agua a 35o C. Para conseguir esa temperatu- cm. ¿Cuál es la razón entre las escalas de los ra, debe mezclar agua caliente con agua fría Ultimo intervalo (5 cuadrículas): dos mapas? en una determinada proporción. Hace dos pruebas: en la primera, mezcla 1 parte de j) Si el rey inglés Enrique VIII tuvo 6 espo- agua caliente con 2 de agua fría, y obtiene Primer intervalo, 8 minutos antes (9 cua- sas, ¿cuántas tuvo el rey Enrique IV? agua a 20o C; en la segunda mezcla 3 partes drículas): de agua caliente con 2 de agua fría, y obtiene k) Entre adornos dorados y plateados se agua a 28o C. Con estos datos, ¿en qué pro- compraron 160, que costaron 1.120 pesos. El porción debe mezclar ambos tipos de agua? número de dorados es la tercera parte del de Como puede observarse, la diferencia los plateados, pero los primeros son cuatro p) Hallar los números naturales a y b tales entre ambos intervalos viene dada por 4 veces más caros que los segundos. ¿Cuánto que su diferencia, su suma y su producto es- cuadrículas, correspondientes a 8 minutos. cuesta un adorno de cada tipo? tén en la relación 1 : 7 : 24. Por lo tanto, cada cuadrícula equivale a dos minutos. Por consiguiente, ahora faltan 10 l) 4 vacas negras y 3 vacas marrones dan q) Estaba planificado realizar el trabajo minutos para el mediodía. Hace 8 minutos tanta leche, en 5 días, como 3 vacas negras y en 14 días, con 15 obreros. Pero al terminar faltaban 18. Y la razón 18/10 es igual a la 5 vacas marrones en 4 días. Si todas las vacas el 9o día se comprueba que sólo se han he- razón 9/5. de cada color son igualmente productivas, cho los 3/7 de la obra. Si se desea acabar ésta ¿qué clase de vacas da más leche? a tiempo, ¿cuántos obreros se deben agregar c) Pues, desde luego, no será a los 90 al equipo? años (5 x 18). Lo probable es que lo hagan m) Para preparar una salsa, la cocinera también a los 18 años. agrega 1/6 de cucharadita de pimienta en Vamos, pues, a reportar algunas vías de una comida para 6 personas. ¿Qué cantidad solución para poder contrastarlas con las d) Podemos buscar la expresión irreduci- de pimienta deberá agregar si la comida es que hemos podido obtener entre todos. ble de la razón entre a y b: a/b = 64/72 = 8/9. para 8 personas? Si m.d.c.(a, b) = 12, basta que multiplique- a)La solución puede plantearse en térmi- mos ambos términos de la razón 8/9 por ese n) Si un trozo de madera en forma de la- nos de una regla de tres directa: valor para llegar a tener los dos números: a = drillo pesa 2 Kg, ¿cuánto pesará un trozo de 8 x 12 = 96 y b = 9 x 12 = 108. la misma madera y de la misma forma, pero Distancia (m) Tiempo (segundos) cuyas dimensiones (largo, ancho y alto) son 100 10 e) Podemos resolver el ejercicio buscan- la mitad de las del trozo inicial? x 3.600 (1 hora) do todas las fracciones equivalentes a 8/5: Lo que nos lleva a la respuesta en metros: {16/10, 24/15, 32/20...}, hasta llegar a aque- ñ) Un grupo de hombres y de mujeres x = (100 x 3.600)/10 = 36.000 m = 36 km. lla cuya diferencia denominador – numera- declaran su edad por escrito, y se calculan Estos atletas corren, pues, a una velocidad de dor sea 45, es decir, a la fracción 120/75. los promedios de esas edades: el del grupo 36 km/h Ahora bien, también podemos apoyarnos en total, es de 40 años; el de los hombres, 50 el razonamiento proporcional, en el sentido años; y el de las mujeres, 35 años. ¿Cuál es b) Hay dos intervalos de tiempo: el actual de que si la diferencia numerador – denomi- la razón del número de mujeres al número y el que existía 8 minutos antes. Este último nador en la fracción 8/5 es 3, para llegar a de hombres? está en una relación de 9 a 5 con respecto al una diferencia de 45 (y como 45 : 3 = 15), primero. Podemos representar esta situación necesitamos multiplicar 8 y 5 por 15 para te- o) Una persona desea darse un baño con gráficamente, de la siguiente manera: ner el numerador y denominador buscados. 21

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