Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Açılar ve üçgenler

98,988 views

Published on

  • Be the first to comment

Açılar ve üçgenler

  1. 1. Açılar ve Üçgenler- 70 soru ve cevap1. Yandaki şekilde [AB ⊥ [AD, [AC ⊥ [BC], ABC açısının ölçüsü 60° olduğuna göre, EAD açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 (1982 - ÖSS) ABC dik üçgeninde iç açılardan, m(BAC) = 30° m(CAD) = 90° – 30° = 60° olur. Buradan, m(EAD) = 180° – 60° = 120° olarak bulunur.2. Yandaki şekilde BAD açısının ölçüsü 90° dir. |AB| = |AD|, |BC| = |CD| ve ABC açısının ölçüsü α olduğuna göre, BCD açısının ölçüsü nedir? A) 90° + α B) C) 90° + 2α D) 180 – α E) 180° – 2α (1984 - ÖSS)
  2. 2. I. Yol:ABCD bir konkav dörtgendir. Açılar arasında 1.şekilde görüldüğü gibi,m(BCD) = x + y + z bağıntısı vardır.Ayrıca 2. şekilde olduğu gibi konkav dörtgenlerde|AB| = |AD| ve |BC| = |CD| olduğundam(B) = m(D) olur.Bu açıklamaya göre soruda, m(D) = m(B) = α olur.Buradan,m(BCD) = m(A) + m(B) + m(D)m(BCD) = 90° + α + α = 90° + 2α olur.II.Yol:ABD ikizkenar dik üçgen olduğundanm(ABD) = m(ADB) = 45° olur.Buradan, m(DBC) = 45°– α dır.CBD ikizkenar olduğu içinm(CDB) = m(DBC) = 45°– α dır.İç açılar toplamından,m(BCD) + m(DBC) + m(CDB) = 180°m(BCD) + 45° – α + 45° = 90° – 2α = 180°m(BCD) = 90° + 2α olarak bulunur.
  3. 3. 3. Sadece pergel ve cetvel kullanarak aşağıda ölçüleri verilen açılardan hangisi tam olarak çizilemez? A) 67,5° B) 60° C) 50° D) 30° E) 22,5° (1985 - ÖSS) Sadece pergel ve cetvel kullanarak eşkenar üçgen (60° lik açı) ve dik açı çizilir. Bu 60° ve 90° nin toplamları, çıkarımları 1, 2, 3, 4....n katları ve , , .......... katları çizilebilir. A) (90°) . 3. = 67,5° olduğundan çizilir. B) 60° zaten çizilir. C) 50° çizilemez. Çünkü yukarıdaki işlemlerin hiçbiri ile 50° elde edilemez. D) (60°) . = 30° çizilir. E) (90°) . = 22,5° çizilir.4. Yandaki şekilde [DC] // [EA] [EB] ⊥ [EA] [BA] ⊥ [AC] FCA açısının ölçüsü 30° dir. EBA açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 (1986 - ÖSS)
  4. 4. [DC] // [EA] olduğundan m(BDC) = 90° dir. AFC dik üçgeninde m(CFA) = 60° olur. Ters açılardan m(DFB) = 60° bulunur. DBF diküçgeninde m(EBA) = 30° olarak bulunur.5. Yandaki şekilde [AD] // [BC], |BC| = |DC| dir. ABD açısının ölçüsü 30° BAD açısının ölçüsü 100° dir. BCD açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100 (1987 - ÖSS) ABD üçgeninde iç açılardan m(ADB) = 50°dir. [AD] // [BC] olduğundan m(CBD) = m(ADB) = 50° olur. BCD ikizkenar üçgeninde m(BDC) = m(CBD) = 50° ve m(BCD) = 80° olarak bulunur.6. Yandaki ABC üçgeninde |DC| = |DA|’ dır. ABD açısının ölçüsü 2x,
  5. 5. Buna göre, x kaçtır? A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25 (1987 - ÖSS) m(DAC) = 180° – (110° + x) = 70° – x dir. ADC ikizkenar üçgenin de m(ACB) = m(DAC) = 70° – x olur. ABC üçgeninde, m(ABC) + m(ACB) = 110° 2x + 70° – x = 110° ♠ x + 70°= 110° x = 40° olur.7. D, [AC] üzerindedir. [BD], ABC açısının açı ortayıdır m(BDA) = 120° Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| olduğuna göre, A tepe açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 (1989 - ÖSS)
  6. 6. ABC ikizkenar üçgeninde, m(CBD) = m(DBA) = x dersek m(C) = 2x olur. DBC üçgeninde x + 2x = 120° (dış açı) 3x = 120° ♠ x = 40° olur. ABD üçgeninde iç açılardan, m(A) + 40° + 120°= 180° ♠ m(A) = 20° olarak bulunur.8. Taban açıları 24° olan ikizkenar bir ABC üçgeninde tepe açısını üç eş parçaya bölen ışınlar arasındaki açı kaç derecedir? A) 44 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25 (1990 - ÖSS) ABC ikizkenar üçgen olduğundan m(C) = m(B) = 24° olur. [AD ve [AE ışınları tepe açısını üç eşit parçaya böldüğü için, 3x + 24° + 24° = 180° ♠ 3x + 48° = 180° 3x = 132° ♠ x = 44° olarak bulunur.9. D ∈ [AC], |AB| = |AD| m(ABC) = 100°, m(CBD) = a
  7. 7. Şekildeki ABC üçgeninde A açısının a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 100 – 2a B) 100 – a C) 2a – 10 D) 2a – 20 E) a + 10 (1991 - ÖSS) ABD ikizkenar üçgeninde, m(DBA) = 100°– a olduğundan, m(ADB) = 100° – a olur. Buradan, m(A) + 100°– a + 100°– a = 180° m(A) + 200°– 2a = 180° m(A) = 2a – 20° olarak bulunur.10. Şekildeki verilere göre, α açısı kaç derecedir? A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25 (1992 - ÖSS)
  8. 8. Şekle göre, m(AFB) = 180° – 140° = 40° ve m(ECA) = 180 °– 160° = 20° ACDF konkav dörtgeninden, α + 40°+ 20°= 100° ♠ α = 40° olur.11. ABC bir üçgen p ∈ [BC] [PH] ⊥ [BL m(BAC) = 106° m(APH) =7° m(PAC) = α Yukarıdaki verilere göre, m(PAC) = α kaç derecedir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 (1993 - ÖSS) m(CAL) = 180°– 106°= 74°dir. AKH dik üçgeninde m(AKH) = 16° olur. APK üçgeninde α + 7°= 16° ♠ α = 9° olarak bulunur.
  9. 9. 12. ABC bir üçgen |AB| = |BD| |AC| = |CE| m(EAD) = 20° Yukarıdaki verilere göre, BAC açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 150 B) 140 C) 130 D) 120 E) 110 (1994 - ÖSS) ABD üçgeninde |AB| = |BD| olduğundan, m(BAE) = x dersek m(ADB) = x + 20° olur. AEC de |CA| = |CE| olduğundan m(DAC) = y dersek m(CEA) = y + 20° olur. AED üçgeninde iç açılar toplamından, 20°+(y+20°) + (x+20°) =180° ♠ x+y +60°= 180° x + y = 120° dir. Buradan, m(BAC) = x + y + 20° ♠ 120°+ 20° = 140° olarak bulunur.13. B ∈ [OA C ∈ [OD [OA ⊥ [OD m(BCD) = 124° m(ABC) = α Yukarıdaki verilere göre, m(ABC) = α kaç derecedir? A) 138 B) 146 C) 148 D) 152 E) 154
  10. 10. (1994 - ÖSS) m(BCO) = 180° – 124°= 56° olur. Buradan, m(ABC) = α = 90°+ 56°= 146° olarak bulunur.14. m(BAC) = a° m(ACD) = x° m(BDC) = 40° |BC| = |CD| Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre, x’in a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) a + 10 B) a + 40 C) 2a – 40 D) + 40 E) + 10 (1996 - ÖSS) |AB| = |AC| olduğundan m(BCA) = m(CBA) = = 90° – |BC| = |CD| olduğundan m(DBC) = 40° dir.
  11. 11. BCD üçgeninin iç açılar toplamı 40° + 40° + x + 90° – = 180° şeklindedir. Düzenlersek 170° – + x = 180° x= + 10° bulunur.15. EB // MD |AC| = |BC| m(EAC) = 5α + 10° m(FCD) = 3α + 10° m(ACB) = x Yukarıdaki şekilde |AC| = |BC| olduğuna göre, m(ACB) = x kaç derecedir? A) 70 B) 60 C) 50 D) 40 E) 30 (1997 - ÖSS) Şekilde; m(BAC) = m(DCF) = 3α + 10° dir. (Yöndeş açılar) |AC| = |BC| ♠ m(ABC) = m(BAC) = 3α + 10° olur. EAC ile CAB komşu bütünler açılar olduğundan, toplamları 180° dir. Dolayısıyla;
  12. 12. 5α + 10° + 3α + 10° = 180° 8α = 160° α = 20° dir. O halde; ACB üçgeninde; x + 3α + 10° + 3α + 10° = 180° x + 3.20° + 10° + 3.20° + 10° = 180° x = 180° – 140° x = 40° bulunur.16. m(BAC) = 120° |AB| = |AC| |DB| = |BE| m(AFD) = x Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre, m(AFD) = x kaç derecedir? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 (1997 - ÖSS) Şekilde; |AB| = |AC| ♠ m(B) = m(C) = 30° dir. |BD| = |BE| ♠ m(BDE) = m(BED) = 15° dir. O halde; ADF’de; 120° + 15° + x = 180° x = 45° bulunur.17. |AB|=|BC|=|BD|=|CD|=|DE| m(CED) = α
  13. 13. Yukarıdaki verilere göre, m(CED) = α kaç derecedir? A) 90 B) 60 C) 45 D) 30 E) 20 (1998 - ÖSS) DBC üçgeni eşkenar olduğundan açıları 60° dir. ABD üçgeni ikizkenar olduğundan m(DAB) = m(BDA) = 30° olur. Dolayısıyla m(ADC) = 90° olur. Buradan EDC üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğunu görürüz. O halde m(DEC) = α = 45° olarak bulunur.18. m(DCA) = 15° m(BDC) = α Şekilde |AB| = |AC| ve |BD| = |BC| olduğuna göre, m(BDC) = α kaç derecedir? A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 (1998 - ÖSS)
  14. 14. DBC üçgeninde |BD| = |BC| olduğundan m(BDC) = m(BCD) = α olur. ABC üçgeninde |AB| = |AC| olduğundan m(ABC) = m(ACB) = α + 15° olur. BDC üçgeninde iç açılar toplamından α + α + 15° + α = 180° 3α = 165° α = 55° olarak bulunur.19. A, B, C, D doğrusal B, E, F doğrusal |BC| = |BE| |CD| = |CE| m(ABF) = 168° m(DEF) = α Yukarıdaki verilere göre, m(DEF) = α kaç derecedir? A) 50 B) 54 C) 58 D) 60 E) 64 (1999 - ÖSS)
  15. 15. BCE ikizkenar üçgen olduğundan m(BCE) = m(BEC) = = 84° olur. CDE ikizkenar üçgen olduğundan m(CDE) = m(DEC) = = 42° olur. m(BEC) + m(CED) + m(DEF) = 180° olduğundan 84° + 42° + α = 180° α = 54° olur.20. m(DBC) = 30° m(ADB) = α Yukarıdaki şekilde ABC ve ABD birer ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC| ve |AD| = |BD| olduğuna göre, m(ADB) = α kaç derecedir? A) 95 B) 100 C) 105 D) 110 E) 115 (1999 - ÖSS)
  16. 16. ABD üçgeninde |AD| = |BD| olduğundan m(ABD) = m(BAD) = x dersek ABC üçgeninde |AB| = |AC| olduğundan m(ABC) = m(ACB) = x + 30° olur. ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180° olduğundan x + x + 30° + x + 30° = 180° 3x + 60° = 180° x = 40° bulunur. ABD üçgeninde x + x + α = 180° olacağından 40° + 40° + α = 180° α = 100° olarak bulunur.21. ABC bir üçgen m(BCA) > 90° [AD] iç açıortay [AE] dış açıortay |AD|=|AE| Yukarıdaki verilere göre, m(ABC) + m(ACE) toplamı kaç derecedir? A) 60 B) 75 C) 90 D) 135 E) 150 (2001 - ÖSS)
  17. 17. Komşu ve bütünler iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° olduğundan m(DAE) = 90° ve DAE üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğundan m(ADC) = 45° dir. m(ABC) = x ve m(ACE) = y dersek ABC üçgeninde açıortaylar arasındaki açı özelliğinden22. Yandaki şekilde |BC| = 2 cm, |AC| = 8 cm, ABC geniş açı olduğuna göre, |AB| kaç cm olabilir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 2 (1981 - ÖSS) Üçgen oluşturma şartından 8 – 2 < |AB| < 8 + 2 6 < |AB| < 10 olur. Aynı zamanda ABC geniş açı olduğundan |AB|2 + 22 < 82 |AB|2 < 60 olmalıdır. Buradan, 6 < |AB| < 10
  18. 18. |AB|2 < 60 olur. Bu şarta sadece B şıkkı uyar. |AB| = 7 cm olabilir.23. a, b, c tam sayıları bir ABC üçgeninin kenar uzunluklarıdır. Üçgen, eşit kenarlarından biri c olan bir ikizkenar üçgendir. (a + b + c) (a + b – c) = 5 olduğuna göre, eşit kenarların uzunluğu kaç birimdir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 (1981 - ÖSS) ABC üçgeninde b = c olsun. Buna göre, (a + b + c) (a + b – c) = 15 (a + c + c) (a + c – c) = 15 (a + 2c) . a = 15 15 . 1 = 15 5 . 3 = 15 a + 2c = 5 ve a = 3 alırsak b = c = 1 olur. Böyle üçgen olamaz. a + 2c = 15 ve a = 1 alırsak b = c = 7 olur. Böyle bir üçgen olabilir.24. Birbirinden uzaklığı 8 km olan A ve B noktalarında birer fener vardır. A daki fener AB doğrusu ile 45° lik, B deki de aynı doğru ile 90° lik açı yaparak bir aracı aydınlatmaktadır. Buna göre, aracın A fenerine uzaklığı kaç km dir? (1982 - ÖSS) Şekilde görüldüğü gibi, aracın bulunduğu noktaya C dersek ABC üçgeni bir (45°, 45°, 90°) üçgenidir. |AB| = 8 km
  19. 19. Buradan, |AC| = |AB| . = km olarak bulunur.25. Şekilde görüldüğü gibi dik kenarları |AC| = 9, |AB| = 6 olan ABC dik üçgeninin BC hipotenüsü üzerinde bir N noktası alınıyor. |NK| = y, |NL| = x olduğuna göre, x + y nin en küçük değeri aşağıdakilerin hangisine en yakındır? A) 11 B) 10 C) 9 D) 6 E) 5 (1983 - ÖSS) İkizkenar dik üçgende x + y nin değeri sabittir. Daima x + y = a olur. 2. şekilde görüldüğü gibi herhangi bir dik üçgende ise x + y nin değeri N nin konumuna göre değişir. x + y nin değeri küçük dikkenar ile büyük dikkenar arasında değişir. |AC| < x + y < |AB| 6<x+y<9 Demek ki x + y nin en küçük değeri 6 sayısına en yakındır.
  20. 20. 26. Şekildeki üçgenler birer eşkenar üçgendir |AB| = 9 cm olduğuna göre, bu üçgenlerin çevrelerinin toplamı kaç cm dir? A) 27 B) 24 C) 18 D) 17 E) 15 (1983 - ÖSS) |AB| = a + b + c = 9 cm olduğuna göre üçgenlerin çevreleri toplamı, 3a + 3b + 3c = 3(a + b + c) = 3 . 9 = 27 cm olarak bulunur.27. Yandaki şekilde ABCD dörtgeninin kenar uzunlukları verilmiştir. Buna göre, AC uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 22 B) 19 C) 17 D) 12 E) 7 (1983 - ÖSS) Bir ABC üçgeninde bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük çıkarımlarının mutlak değerinden büyüktür. |b – c| < a < b + c |a – c| < b < a + c |a – b| < c < a + b Bu açıklamaya göre, DAC üçgeninde; 12 – 5 < |AC| < 12 + 5
  21. 21. ABC üçgeninde; 16 – 10 < |AC| < 16 + 10 7 < |AC| < 17 6 < |AC| < 26 ortak çözüm kümesi 7 < |AC| < 17 (Kesişim kümesi) Şıklarda 7 ile 17 arasında sadece 12 sayısı vardır.28. Şekilde verilen ABD üçgeninin kenar uzunlukları için aşağıdaki bağıntılardan hangisi doğrudur? A) |AB| = |AD| B) |AB| = |BD| C) |BD| < |AD| D) |AB| < |BD| E) |AB| < |AD| (1985 - ÖSS) Önce şeklin üzerindeki eksik açı değerleri yazılır. Şimdi büyük açının karşısındaki kenarlar büyüktür kuralına göre şıkları inceleyelim. A) |BD| = |AD| yanlıştır. Çünkü |BD| < |AD| olur. B) |AB| = |BD| yanlıştır. Çünkü |AB| > |BD| olur. C) |BD| < |AD| doğrudur. Doğru cevap bulunmuştur ancak diğer şıkları da inceleyelim. D) |AB| < |BD| yanlıştır. Çünkü |AB| > |BD| olur. E) |AB| < |AD| yanlıştır. Çünkü |AB| = |AD| olur.
  22. 22. 29. [AC] // [TE] // [BD], [TE] ⊥ [AB], |AC| = 6 m, |DB| = 2 m, |AB| = 24 m şekilde verilenlere göre, |EB| kaç m dir? A) 12 B) 9 C) 8 D) 6 E) 4 (1985 - ÖSS) Şekilde a . z = b . y dir. y=6 z=2 a = 24 – x b = x olduğundan (24 – x) . 2 = 6 . x 48 – 2x = 6x ♠ 48 = 8x ise x = 6 bulunur.30. Kenar uzunlukları 2 nin katı olan, eşkenar üçgen biçimindeki bir bahçenin çevresine, bir köşesinden başlayarak 2 m ara ile ağaç dikiliyor. Dikilen toplam ağaç sayısı 21 olduğuna göre, bahçenin bir kenarı kaç m dir? A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10 (1986 - ÖSS)
  23. 23. Bahçenin çevresine 2 metre ara ile 21 tane ağaç dikildiğine göre, bahçenin çevresi Ç = 21 . 2 = 42 metredir. Bahçenin bir kenarı a= = 14 metredir.31. I. a = 6 cm, b = 7 cm, A açısının ölçüsü 95° II. a = 4 cm, ha = 6 cm, C açısının ölçüsü 90° III. a = 5 cm, b = 3 cm, ha = 4 cm Yukarıdaki grupların hangilerinde verilen elemanlar bir üçgen belirtir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III (1986 - ÖSS) I. şekil gibi bir üçgen çizilemez. Çünkü b > a olduğundan m(B) > 95° olur. Bir üçgende iki tane geniş açı olmaz. II. şekil çizilebilir. Buradan ha yüksekliği ile |AC| kenarı aynı olur ki, bir sakınca yoktur. III. şekil çizilemez. Çünkü taralı kısımda hipotenüs 3, dik kenar
  24. 24. 5 olduğundan böyle bir üçgen olamaz. Yani sadece II. durum bir üçgen belirtir.32. Yandaki şekilde ABCD bir karedir. |DE| = |EF| = |FC| = 2 cm Bu verilere göre, PAB üçgeninin alanı kaç cm2 dir? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 30 (1987 - ÖSS) Şekilde |DE| = |EF| = |FC| olduğundan PAB üçgeni ikizkenardır. ADE üçgeni ile PKE üçgenlerinin benzerliğinden, = ♠ = ♠ |PK| = 3 cm dir. Buradan |PH| = |PK| + |KH| = 3 + 6 = 9 cm ve A(PAB) = = = 27 cm2 olarak bulunur.
  25. 25. 33. |AB| = 3 birim |BC| = 7 birim Yukarıda verilen ABC üçgeninde m(ABC) < 60° olduğuna göre, | AC| kaç birim olabilir? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 (1988 - ÖSS) |AC| = x alalım. Genel üçgen oluşturma şartından 7–3<x<7+3 4 < x < 10 m(B) < 60° ise mecburen m(B) < m(A) olur. Buradan, x < 7 sonucu bulunur. Bu iki şartın kesişiminden 4 < x < 10 x<7 4 < x < 7 olur. x = 5 veya x = 6 olur. Bu duruma sadece B şıkkı uyar.34. D ve E, [BC] üzerinde m(BAD) = 10° m(EAC) = 20°, |AD| = e, |AE| = d, |DE| = k, Yukarıdaki şekilde ABC bir eşkenar üçgendir. Buna göre, ADE
  26. 26. üçgeninin e, d, k kenarları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) k < d < e B) d < e < k C) e < k < d D) d < k < e E) k < e < d (1989 - ÖSS) ABC eşkenar üçgen olduğu için açılar 60° dir. Buna göre, diğer açıları da yazarsak ADE üçgeninden, k < d < e sıralaması elde edilir.35. Bir üçgenin kenar uzunluklarının ikişer ikişer toplamları 33, 38, 45 birimdir. Bu üçgenin en küçük kenarı kaç birimdir? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 (1989 - ÖSS) ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c olsun. a + b = 33 a + c = 38 b + c = 45 (büyük iki kenar) 2a + 2b + 2c = 116 a + b + c = 58 a + 45 = 58 a = 13 birim olarak bulunur.
  27. 27. 36. [DE] // [BC] Alan (ADM) = 3 cm2 Alan (BFMD) = 9 cm2 Alan(FCEM) = 15 cm2 Yukarıda verilenlere göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm2 dir? A) 36 B) 35 C) 34 D) 33 E) 32 (1990 - ÖSS) [DE] // [BC] olduğundan ADM ~ ABF ve AME ~ AFC olur. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan = ve = olur. Buradan A(AME) = x dersek, = ♠ = = ♠ = 4x = x + 15 ♠ x = 5 cm2 bulunur. A(ABC) = 3 + 9 + 5 + 15 = 32 cm2 dir.
  28. 28. 37. |AB| = |AC|, [BE] ve [CF] açıortay, |AC| = 3 birim, |BC| = 2 birim, |EF| = x birim, Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde |EF| = x kaç birimdir? (1992 - ÖSS) ABC ikizkenar üçgen olduğu için [BE] ve [CF] açıortaylarının uçlarını birleştiren [EF] ile [BC] paraleldir. [FE] // [BC] olduğundan, m(CFE) = m(FCB) olur. Buradan |EC| = |EF| = x ve |AE| = 3 – x olur. AFE ve ABC üçgenlerinin benzerliğinden, = ♠ = 3x = 6 – 2x ♠ 5x = 6 ♠ x = olarak bulunur.
  29. 29. 38. [AB] ∈ p, C ∈ q m(COB) = 30° |OB| = 1 birim, |AB| = x birim. ABC eşkenar üçgen olduğuna göre, |AB| = x kaç birimdir? (1992 - ÖSS) CAB eşkenar üçgeninde açılar 60° dir. Buradan m(OCA) = m(BAC) – m(BOC) m(OCA) = 60° – 30° = 30° dir. CAB eşkenar üçgeninde, |AB| = |CB| = |CA| = x ve COA üçgeninde |CA| = |OA| = x olduğundan |AB| = 2x = 1 ♠ x =
  30. 30. 39. |BF| = 3 birim, |AF| = 6 birim, |AE| = 2 birim, |EC| = x birim, Şekildeki ABC üçgeninde D, E, F noktaları kenarlar üzerinde olup, AFDE bir paralelkenardır. Buna göre, |EC| = x kaç birimdir? (1992 - ÖSS) AFDE paralelkenar olduğundan m(ABC) = m(EDC) (yöndeş) m(FDB) = m(ACB) (yöndeş) FDB ~ ECD (A.A. özelliği) = ♠ = 3x = 12 ♠ x = 4 birim olarak bulunur.40. ABC bir dik üçgen E ∈ [AB], D ∈ [BC], [ED] ⊥ [BC], |AB| = 4 birim, |AC| = 3 birim, |BD| = x birim,
  31. 31. Yukarıdaki şekilde A(DEAC) = olduğuna göre, |BD| = x kaç birimdir? (1993 - ÖSS) A(DEAC) = ise A(EBD) = = olur. EBD ile ABC üçgenleri benzer üçgenlerdir ve alanları oranı eş açıların karşısındaki kenarların kareleri oranına eşittir. =( )2 ♠ = ♠ x2 = 8 ♠ x = olarak bulunur.41. ABC bir üçgen [AD] kenarortay [AH] ⊥ [BC], |BC| = 10 cm, |HD| = 2 cm, |AH| = h cm, Şekildeki ABC üçgeninin çevresi 30 cm olduğuna göre, |AH| = h kaç cm dir?
  32. 32. (1994 - ÖSS) AD] kenarortay olduğundan |BD| = |DC| = 5 cm |BH| = 5 – 2 = 3 cm |HC| = 5 + 2 = 7 cm olur. ABC üçgeninin çevresi 30 cm olduğundan |AC| = x olursa |AB| = 20 – x olur. h2 = (20 – x)2 – 32 (ABH üçgeni) h2 = x2 – 72 (AHC üçgeni) h2 = 400 – 40x + x2 – 9 –/h2 = x2 – 49 0 = 400 – 40x – 9 + 49 40x = 440 x = 11 cm dir. h2 = x2 – 72 = 112 – 72 = 121 – 49 = 72 h = 6ñ2 cm olarak bulunur.42. ABC bir üçgen E ∈ [AB], F ∈ [AC], [EF] // [BC], Yukarıdaki şekilde A(EBCF) = A(AEF) olduğuna göre,
  33. 33. oranı kaçtır? (1995 - ÖSS) Benzer üçgenlerde alanlar karşılıklı kenarların kareleri ile doğru orantılı olduğundan, = = ve =( )2 ♠ =( )2 = olarak bulunur.43. [AK] ⊥ y, [BL] ⊥ y, |AK| = 8 km, |BL| = 6 km, |KL| = 7 km, Şekildeki A ve B kentleri y yolunun aynı tarafında bulunmaktadır. A kentinden y yolu üzerindeki bir N noktasına uğrayarak B kentine giden en kısa |AN| + |NB| yolu kaç km dir? (1995 - ÖSS)
  34. 34. |NP| = |NB| olacak biçimde bir N ve P noktaları aldığımızda, |AN| + |NB| = |AN| + |NP| olur. |AN| + |NP| nin en kısa olması için A, N ve P noktaları doğrusal olması gerekir. A, N ve P noktaları doğrusal olunca |AR| = 8 + 6 = 14 cm ve |RP| = 7 cm olan bir ARP dik üçgeni elde edilir. Pisagor kuralından |AP|2 = 142 + 72 = 196 + 49 = 245 |AP| = = olarak bulunur. Buradan |AN| + |NB| nin en kısa mesafesi, |AN| + |NB| = |AN| + |NP| = |AP| = km olur.44. [DH] ⊥ [AC] [AB] ∩ [DH] = L |LA| = 12 cm Yukarıdaki şekilde olduğuna göre, ABC eşkenar üçgeninin alanı kaç cm2 dir? (1995 - ÖSS)
  35. 35. ABC eşkenar üçgeninde açılar 60° dir. Buradan m(HLA) = m(DLB) = m(CDH) = 30° olur. DBL üçgeni ikizkenar olduğundan, |DB| = |BL| = x olur. A(DBL) = .x.x.Sin120° ♠ = x2. = ♠ x2 = 64 ♠ x = 8 cm olur. Buna göre eşkenar üçgenin bir kenarı |AB| = 12 + 8 = 20 cm ve alanı A(ABC) = = = = cm2 olarak bulunur.45. A, D, E doğrusal |AD| = |DE| Yandaki şekle göre, |AC| kenar uzunluğu, |AD| kenarortay uzunluğu ve A açısının ölçüsü verilen ABC üçgenini çizmek için aşağıdaki yardımcı
  36. 36. üçgenlerden hangisini çizmek gerekir? A) ACD B) ABD C) ACE D) BED E) CDE (1996 - ÖSS) |AD| = |DE| sabit olarak verildiğinden |BD| = |DC| olabilmesi için C noktasından AB kenarına paralel çizilmelidir. E noktası çizilen paralel doğru üzerine oturtulduğunda |BD| = |DC| olacağından üçgenimiz çizilmiş olur. Burada yardımcı üçgenimiz ACE üçgenidir.46. ABC bir üçgen BDEF bir eşkenar dörtgen |AB| = 15 cm |AC| = 16 cm |BC| = 25 cm |EC| = x Yukarıdaki verilenlere göre, |EC| = x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 (1996 - ÖSS)
  37. 37. Eşkenar dörtgenin bir kenarına a dersek |FE| = a |AF| = 15–a olur. AFE ~ ABC ise = ♠ a = bulunur.ne EDC ~ ABC ♠ = ♠ x = 10 cm elde edilir.47. |CL| = |LB| |AO| = |OB| |OL| = x cm Yukarıdaki şekilde ABC ve DOC eşkenar üçgenler, [DE] // [AB] ve |DE| = 8 cm olduğuna göre, |OL| = x kaç cm dir? (1996 - ÖSS) |AO| = |OB| ise [CO] ⊥ [AB] dir. [DE] ⊥ [CO] olur. DCO eşkenar üçgen olduğundan m(EDO) = 30° ve
  38. 38. |CE| = |EO| = cm |CO| = 2. = cm dir. COB (30°, 60°, 90°) dik üçgeni olduğundan |OL| = |LB| = |OB| = = olur.48. |EF| = |FT| |FC| = 10 cm |BD| = 24 cm |DF| = x cm Yukarıdaki şekilde [AB] // [TE] olduğuna göre, |DF| = x kaç cm olabilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 (1996 - ÖSS) |TF| = |FE| = a |AB| = b dersek FED ~ BAD ♠ = CFT ~ CBA ♠ = eşitlersek = x2 + 34x – 240 = 0 x1 = 6
  39. 39. x2 = – 40 2. derece denklemin pozitif kökü 6 olduğundan x = 6 cm dir.49. Bir eşkenar üçgenin çevresi, alanı 81 cm2 olan karenin çevresine eşittir. Bu eşkenar üçgenin alanı kaç cm2 dir? (1996 - ÖSS) Alanı 81 cm2 olan karenin bir kenarı 9 cm dir. Çevresi 4 x 9 = 36 cm ise eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm dir. Eşkenar üçgenin alanı; = = cm2 bulunur.50. ABC bir eşkenar üçgen [DE] ⊥ [BC] Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde olduğuna göre, oranı kaçtır? (1997 - ÖSS)
  40. 40. Şekilde; |DC| = 2x |DA| = 3x diyelim |AB| = |AC| = |BC| = 5x olur. m(C) = 60° ve m(EDC) = 30° olur. Burada; |EC| = dir. ve; |EC| = , |BE| = 5x – x = 4x olur. O halde; = = 4 bulunur.51. ABC bir diküçgen m(ABC) = 90° [AN, BAK açısının açıortayı |AC| = 13 cm |AB| = 5 cm |NB| = x Yukarıdaki verilere göre, |NB| = x kaç cm dir? (1997 - ÖSS)
  41. 41. Şekildeki ABC de pisagordan |BC|2 + 52 = 132 |BC|2 = 144 |BC| = 12 olur. Burada dış açıortay teoremini uygularsak; = ♠ = 13x = 60 + 5x 8x = 60 x= bulunur.52. ABC üçgen FDEA bir paralelkenar |BF| = 4 cm |BD| = 3 cm |DC| = 12 cm |AC| = 20 cm Yukarıdaki verilere göre, FDEA paralelkenarının çevresi kaç cm dir? A) 38 B) 40 C) 42 D) 44 E) 46 (1997 - ÖSS)
  42. 42. |AE| = |FD| = x|AF| = |DE| = y olsunlar[FD] // [AC] ♠ = dır.Veriler yerine yazılırsa; = ♠ 15x = 60x = 4 cm olur. .... (1)Diğer taraftan;[DE] // [AB] olduğundanVeriler yerine yazılırsa; = ♠ 5y = 16 + 4yy = 16 cm olur. .... (2)O halde (1) ve (2) den;Ç(AFDE) = x + x + y + y = 4 + 4 + 16 + 16 = 40 cm bulunur.
  43. 43. 53. m(BCA) = 90° |BD| = |DA| |DC| = birim |AC| = birim |BC| = (a – 1) birim Yukarıdaki verilere göre, a kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 (1998 - ÖSS) Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olduğundan |DC| = |AD| = |BD| = ve |AB| = a + 3 olur. ABC üçgeninde Pisagor bağıntısından (a + 3)2 = (a – 1)2 + ( )2 a2 + 6a + 9 = a2 – 2a + 1 + 48 8a = 40 a = 5 birim olarak bulunur.
  44. 44. 54. m(ABC) = 90° [CN] açıortay |AC| = 15 cm |BC| = 9 cm Yukarıdaki verilere göre, ANC üçgeninin alanı kaç cm2 dir? (1998 - ÖSS) ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısından |AB| = 12 cm bulunur. Üçgenlerde açıortay bağıntısından = yazılabilir. = ♠ 180 - 15x = 9x x= = cm olur.
  45. 45. A(ANC) = = = cm2 olur.55. m(BAC) = 90° m(BED) = 90° |BD| = 4 cm |DA| = 16 cm |AC| = 15 cm |BE| = x Yukarıdaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir? (1998 - ÖSS) BAC dik üçgeninde pisagor bağıntısından |BC| = 25 cm bulunur. ABC ~ EBD (A.A) olduğundan benzer üçgenlerin orantılı kenarlarından dolayı = =x ♠ x= cm olarak bulunur.
  46. 46. 56. ABC bir üçgen |BD| = 2 cm |DC| = 8 cm Yukarıdaki şekilde ABD üçgeninin alanı 6 cm2 olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm2 dir? A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 (1998 - ÖSS) “Yükseklikleri eş üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir.” Bu aksiyom gereğince = ♠ A(ABC) = 30 cm2 olarak bulunur.
  47. 47. 57. ACB bir diküçgen m(BCA) = 90° m(BHC) = 90° |AC| = 20 cm |AH| = 16 cm |BC| = x Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 9 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18 (1999 - ÖSS) AHC dik üçgeninde pisagor bağıntısından, |HC|2 + |AH|2 = |AC|2 |HC|2 = 400 – 256 |HC| = 12 cm bulunur. ACB dik üçgeninde ÖKLİT bağıntısından |HC|2 = 16.|HB| ♠ 144 = 16.|HB| ♠ |HB| = 9 cm olur. BHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısından |BC|2 = 92 + 122 |BC| = x = 15 cm bulunur.
  48. 48. 58. ABC bir üçgen |AD| = |DC| m(ABC) = 60° |BC| = 10 cm |AE| = 11 cm |BE| = 1 cm |DE| = x Yukarıdaki verilere göre, |DE| = x kaç cm dir? (1999 - ÖSS) D noktası [AC] nin orta noktası olduğundan, D noktasından [BC] ye paralel çizersek K noktasıda [AB] nin orta noktası olur. |AK| = |KB| = 6 cm ve |EB| = 1 cm olduğundan |KE| = 5 cm dir. AKD üçgeni ile ABC üçgeni arasındaki temel benzerlik bağıntısından |KD| = = = 5 cm olur. [KD] // [BC] olduğundan, m(ABC) = m(AKD) = 60° ve m(EKD) = 120° dir.
  49. 49. EKD üçgeni 30°, 30°, 120° üçgeni olduğundan |EC| = x = cm olarak bulunur.59. 16 m uzunluğundaki bir merdiven yer ile 45° lik açı yapacak şekilde, yere dik bir duvara dayandırılıyor. Buna göre, merdiven ayağının duvara olan uzaklığı kaç m dir? (1999 - ÖSS) 16 m uzunluğundaki bir merdiven yer ile 45° lik açı yapacak şekilde, yere dik bir duvara dayandırılıyor. Verilen bilgiler şekildeki gibidir. Merdiven ayağının duvara uzaklığı [BC] dir. ABC üçgeni 45°, 45°, 90° ikizkenar dik üçgeni olduğundan, |BC| = = |BC| = cm olur.
  50. 50. 60. AL // BM [LM] ⊥ BM m(LAD) = 30° m(DBC) = 30° |AD| = 6 cm |BD| = 2 cm |LM| = x Yukarıdaki verilere göre, |LM| = x kaç cm dir? A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (1999 - ÖSS) D noktasından geçmek şartıyla [EF] // [LM] olacak şekilde [EF] çizilirse |EF| = |LM| = x olur. AED ve BFD dik üçgenleri (30°, 60°, 90°) üçgenleri olduğundan |ED| = 3 cm |DF| = 1 cm bulunur. Buradan |EF| = |LM| = x = 3 + 1 x = 4 cm olarak bulunur.
  51. 51. 61. ADC bir üçgen |AD| = 9 cm |AB|=|AC|= 6 cm Yukarıdaki verilere göre, |DB| . |DC| çarpımının sayısal değeri kaçtır? A) 36 B) 39 C) 42 D) 45 E) 48 (1999 - ÖSS) ABC ikizkenar üçgen olduğundan [AH] ⊥ [BC] çizilirse |BH| = |HC| = x olur. |DB| = y diyelim. AHC dik üçgeninde pisagor bağıntısından |AH|2 = 36 – x2 AHD dik üçgeninde pisagor bağıntısından |AH|2 = 81 – (y + x)2 elde edilir. Bu bağıntıları eşitlersek 36 – x2 = 81 – (y2 + x2 + 2xy) 45 = y2 + 2xy 45 = y(y + 2x) elde edilir. İstenen |DB| . |DC| = y . (y + 2x) olduğundan |DB| . |DC| = 45 olarak bulunur.
  52. 52. 62. m(BAC) = 90° m(FDE) = 90° m(ABC) = 40° m(BDF) = 30° m(AEF) = α Yukarıdaki şekilde, DEF diküçgeninin köşeleri ABC diküçgeninin kenarları üzerindedir. ABC üçgeni DEF üçgenine benzer (ABC ~ DEF) olduğuna göre, m(AEF) = α kaç derecedir? A) 50 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85 (1999 - ÖSS) BAC bir dik üçgen olduğundan m(ACB) = 50° olur. FDE bir dik üçgen olduğundan m(EDC) = 60° olur. DEC üçgeninde iç açılar toplamından m(DEC) = 70° bulunur. ABC ~ DEF olduğundan aynı sıradaki açılar birbirine eşittir. Dolayısıyla m(ABC) = m(FED) = 40° olur. E köşesindeki tüm açılar toplamı 180° olduğundan α + 40° + 70° = 180°
  53. 53. α = 70° olarak bulunur.63. Yukarıdaki ABC üçgeninde |BC| = 6 . |BD| ve |AD| = 5 . |ED| dir. Buna göre, taralı ABCE dörtgeninin alanının ABC üçgeninin alanına oranı kaçtır? (1999 - ÖSS) İlgili oranları şekil üzerine yazalım. [BE] çizilerek parçalı alanlar yazılır. ABD üçgeninde A(BDE) = S ise, A(ABE) = 4S olur. ABC üçgeninde A(ABD) = 5S ise, A(ADC) = 25S olur. ADC üçgeninde A(DEC) = 5S ise, A(AEC) = 20S olur. Buradan = =
  54. 54. olarak bulunur.64. ABC bir üçgen DEFG bir kare [AH] ⊥ [BC] |DE| = x DEFG karesinin köşeleri, şekildeki gibi ABC üçgeninin kenarları üzerindedir. |AH| = 8 cm ve |BC| = 12 cm olduğuna göre, |DE| = x kaç cm dir? A) 4,3 B) 4,4 C) 4,5 D) 4,6 E) 4,8 (1999 - ÖSS) DEFG kare olduğundan [DG] // [BC] dir. Dolayısıyla ADG ~ ABC olur. Benzer üçgenlerin tabanlarının oranı, yüksekliklerinin oranına eşittir. Buradan = yazılırsa
  55. 55. = ♠ 12(8 – x) = 8x 3(8 – x) = 2x 24 – 3x = 2x 5x = 24 x = 4,8 cm olarak bulunur.65. |BC| = 10 cm m(ABC) = 50° |AC| = 7 cm olan ABC üçgeni aşağıdaki şekil tamamlanarak çizilecektir. Buna göre, üçgenin A köşesi [Bx ışını ile aşağıdakilerden hangisinin kesim noktasıdır? A) [BC] nin kenar orta dikmesi B) [BC] kenarına 7 cm uzaklıkta bir paralel doğru C) Merkezi [BC] nin orta noktası, yarıçapı 7 cm olan çember D) Merkezi B, yarıçapı 7 cm olan çember E) Merkezi C, yarıçapı 7 cm olan çember Hatalı Soru: Merkezi C noktası, yarıçapı 7 cm olan çember yayı hiçbir zaman [Bx ışınını kesmez. (2000 - ÖSS)
  56. 56. [BC] üzerindeki C noktasından yarıçapı 7 cm olan çemberin [Bx ışınına teğet olduğunu düşünelim. BAC dik üçgeninin dar açıları 50° ve 40° olacaktır. Üçgendeki verilere göre, Sin50° = = = 0,7 olur. Halbuki sin50° değeri için trigonometrik cetvele baktığımızda sin50° = 0,76 olduğunu görürüz. ≠ 0,76 olduğundan |AC| = 7 cm yarıçaplı çizilen C merkezli çember [Bx ışınına teğet bile olamadığına göre, [Bx ışınını asla kesmez. Yani bu verilerle bir ABC üçgeni çizilemez. SORU HATALIDIR.66. |AB| = 5 cm |AC| = 12 cm Şekildeki ABC üçgeninde m(BAC) > 90° olduğuna göre, |BC| nin en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 (2000 - ÖSS)
  57. 57. ABC üçgeninde m(BAC) = 90° ise a2 = b2 + c2 m(BAC) > 90° ise a2 > b2 + c2 m(BAC) < 90° ise a2 < b2 + c2 olmak zorundadır. Soruda m(BAC) > 90° veriliyor. a2 > b2 + c2 ♠ a2 > 52 + 122 olmalıdır. O halde a2 > 169 ♠ a > 13 olmalıdır. |BC| = a nın en küçük tamsayı değeri istendiğinden, 13 den büyük en küçük tamsayı değeri a = 14 olarak bulunur.67. A, O, B noktaları doğrusal [OC, DOB açısının açıortayı [OE, AOD açısının açıortayı Yukarıdaki şekilde |OC| = 3 cm, |OE| = 4 cm ve |EB| = 7 cm olduğuna göre, |CB| kaç cm dir? (2000 - ÖSS)
  58. 58. Komşu ve bütünler iki açının açıortayları birbirine diktir. Yani [OE ⊥ [OC olur. O halde m(EOC) = 90° olacağından EOC üçgeni dik üçgendir. EOC dik üçgeninde pisagor bağıntısından |EC|2 = |OE|2 + |OC|2 |EC|2 = 42 + 33 |EC| = 5 cm olur. |EB| = 7 cm olduğundan |BC| = |EB| – |EC| |BC| = 7 – 5 = 2 cm bulunur.68. ABC bir üçgen m(ACD) = 35° m(ABC) = 50° m(DAC) = 25° Yukarıdaki taslak çizimde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) |AC|>|AB| B) |AB|>|BD| C) |AC|>|AD| D) |AC|>|DC| E) |BD|>|AD| (2001 - ÖSS)
  59. 59. Üçgende açı özelliklerinden m(BAD) = 70° ve m(ADB) = 60° bulunur. Şıklarda verilen uzunlukların ait olduğu üçgenleri incelediğimizde, büyük açı karşısında büyük kenar bulunacağından ABD üçgeninde | AB| > |BD| ifadesinin yanlış olduğunu görürüz.69. m(LOA) = m(AOK) = 15° Yukarıdaki şekilde A noktasının OK ye göre simetriği B, OL ye göre simetriği C dir. |OA| = 5 cm olduğuna göre, |CB| kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 12 (2001 - ÖSS)
  60. 60. A ile B ve A ile C simetrik olduklarından [OL ve [OK ya uzaklıkları eşittir. [OB] ve [OC] çizilirse, kenarortay yükseklik olduğundan OCA ve OAB üçgenleri ikizkenar üçgenlerdir. |OA| = |OC| = |OB| = 5 cm ve m(COL) = (KOB) =15° olur. COB bir açısı 60° olan ikizkenar üçgen yani eşkenar üçgendir. Buradan |OB| = |OC| = |CB| = 5 cm bulunur.70. |AB|=|AC| m(AEF) = 90° m(CDF) = 90° A, F, C doğrusal E, F, D doğrusal olduğuna göre, oranı kaçtır? (2001 - ÖSS)
  61. 61. ve AEF ~ CDF olduğundan|AE| = 2x ve |DC| = 3x diyebiliriz. ABC ikizkenar üçgeninde [AH]yüksekliği aynı zamanda kenarortaydır. AHDE dikdörtgen olduğundan|AE| = |HD| = 2x ve |BH| = |HC| = 5x olur.Buradan; bulunur.

×