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I logaritmi
INDICE1.   Cenni storici2.   Definizione3.   Applicazioni
CENNI STORICIJohn NAPIER. Fu egli a coniare il termine logaritmo    (dal greco: lògon[ragione, intesa qui nel senso usato ...
Idea di Napier Per mantenere molto vicini tra loro i termini della  progressione geometrica delle potenze intere di un dat...
Jobst Burgi (Svizzera 1588)Non è da escludere che l’idea dei logaritmi sia venuta aBurgi fin dal 1588, circa 6 anni prima ...
EULERO.Solamente agli inizi del ‘700 conEulero i logaritmi diventano oggetto matematicoadottando un linguaggio ed una nota...
DEFINIZIONE    Si dice LOGARITMO in base a, con a appartenente a R+ privato di 0 e 1, di un       numero reale positivo b,...
La funzione logaritmo è la funzione:            f(x)= log in base b di (x)La funzione è definita sulla semiretta(0,    +in...
Proprietà
APPLICAZIONII logaritmi in astronomia . I logaritmi permettono alcune importanti applicazioni, come lacomoda rappresentazi...
* Una controversia della matematica del settecento: i logaritmi di                       numeri negativiQuestione centrale...
Dal punto di vista moderno, sarà il grande Leonhard Euler nel 1747 a chiarire  definitivamente la questione dei logaritmi ...
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I logaritmi

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di Laura Milillo IIIC Liceo Classico

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I logaritmi

  1. 1. I logaritmi
  2. 2. INDICE1. Cenni storici2. Definizione3. Applicazioni
  3. 3. CENNI STORICIJohn NAPIER. Fu egli a coniare il termine logaritmo (dal greco: lògon[ragione, intesa qui nel senso usato nelle progressionigeometriche, cioè rapporto] e arithmòs [numero]: numerorazionale, nel senso di numero "artificiale", creato dallaragione).La sua discussione sui logaritmi appare nella celebre opera" Mirifici logarithmorum canonis descriptio " del 1614.Con essa egli sperava di fornire uno strumento cherendesse molto più veloci i calcoli degli astronomi.Laplace, 200 anni dopo, riconobbe il successo di questointendimento, scrivendo che il lavoro di Napier "avevaraddoppiato la vita agli astronomi".
  4. 4. Idea di Napier Per mantenere molto vicini tra loro i termini della progressione geometrica delle potenze intere di un dato numero è necessario assumere come ragione una cifra molto vicina ad 1. Napier scelse come base 1-10 elevato alla -7 (ossia 0,9999999),e moltiplica per 10 elevato alla 7 per ottenere un maggiore equilibrio ed evitare cifre decimali.
  5. 5. Jobst Burgi (Svizzera 1588)Non è da escludere che l’idea dei logaritmi sia venuta aBurgi fin dal 1588, circa 6 anni prima che Napiercominciasse a lavorare nella stessa direzione, pubblico’ isuoi studi a Praga nel 1620, in un libro intitolato:“Arithimetische und Geometrice Progress Tabulen ”.A differenza di Napier anzichè partire da un numeroleggermente minore di 1 cioè (1- 10 elevato alla -7 ), Burgi scelse comebase 1+10 elevato alla -4 e moltiplico’ tale numero per 10 elevato all’8 anziché 10 elevato alla 7.Burgi chiama 10L il numero “rosso” corrispondente alnumero “nero” N. I logaritmi di Burgi si avvicinano ai nostripiù di quelli di Napier: infatti col crescere dei numeri nericrescono anche i numeri rossi. Entrambi i sistemi pero’presentano lo svantaggio che il logaritmo di un prodotto o diun quoziente non e’ la somma o la differenza dei logaritmi.( Con l’invenzione del regolo calcolatore data***** da partedi Edmun Gunter, i logaritmi di Napier furono utilizzati neidispositivi meccanici per sveltire l’esecuzione deiprocedimenti aritmetici).
  6. 6. EULERO.Solamente agli inizi del ‘700 conEulero i logaritmi diventano oggetto matematicoadottando un linguaggio ed una notazione che permolti aspetti corrispondono a quelli usati oggi.Eulero fù il primo ad usare la lettera e perrappresentare la base del sistema dei logaritminaturali o neperiani. Egli inoltre nel 1747 chiariràdefinitivamente la questione sui logaritmi dei numerinegativi avviatasi con una con una accesa“controversia” tra Leibiniz e Bernouilli.*(Vedi diapositiva numero 11, 12 ).
  7. 7. DEFINIZIONE Si dice LOGARITMO in base a, con a appartenente a R+ privato di 0 e 1, di un numero reale positivo b, e si scrive log in base a di b, lesponente al quale occorre elevare a per ottenere b: X= log in base a di b, tale che a elevato ad x = b a si dice base del logaritmo, b si dice argomento del logaritmo. Osservazioni La scrittura log senza aver specificato base e argomento è priva di significato, è come scrivere ‘radice’ senza aver specificato indice e radicando. Se il numero di cui si vuole calcolare il log è espresso già come potenza della base si ha: log in base b di b elevato ad n = n                                   in particolare: log in base b di b = 1.
  8. 8. La funzione logaritmo è la funzione: f(x)= log in base b di (x)La funzione è definita sulla semiretta(0, +infinito). In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base b. La curva rossa è per la funzione con base b=e costante di Nepero (valore approssimato: 2,718...) Come si può notare dal grafico,il campo desistenza,e quindi il dominio della funzione logaritmo (linsieme entro cui variano i valori delle x),è compreso nei valori tra(0,+infinito); mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle y, è R. Quindi si capisce che si può lavorare e sono verificate soltanto quelle funzioni logaritmo che hanno largomento maggiore strettamente a 0. La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:
  9. 9. Proprietà
  10. 10. APPLICAZIONII logaritmi in astronomia . I logaritmi permettono alcune importanti applicazioni, come lacomoda rappresentazione di taluni diagrammi. Supponiamo di voler rappresentare in scala suun foglio di carta quadrettata le distanze dei vari pianeti dal Sole. Queste ultime seguono, conbuona approssimazione, la Legge di Titius-Bode la quale si basa su una progressionegeometrica, simile, cioè, alla nostra seconda successione di numeri che abbiamo consideratoallinizio. Se sulla carta quadrettata ponessimo uguale a un quadretto la distanza Sole-Mercurio, che è di circa 0,4 unità astronomiche, la Terra, che si trova a 1 unità astronomica,verrebbe posta a 2 quadretti e mezzo di distanza, mentre Marte si troverebbe a 4 quadretti.Nettuno, però, mantenendo intatta la scala delle distanze fissata, andrebbe collocato a 75quadretti, ossia fuori dal foglio! Per non parlare poi di Plutone quando si trova nei pressidellafelio. Rappresentazione in scala logaritmica del Sistema Solare Non è dunque possibile manteneretutti i pianeti allinterno del foglio? Certamente. È sufficiente che ciascun pianeta vengasistemato non alla distanza effettiva dettata dalla scala, ma bensì al logaritmo di tale distanza.In questo modo anche se, per maggior comodità di lettura, fissassimo la distanza Sole-Mercurio in 10 quadretti anziché in uno solo, quella media di Plutone, circa 100 voltesuperiore, si ridurrebbe sì e no a una ventina di quadretti e resterebbe quindi con ampio marginecontenuta allinterno del foglio. E ovvio che una rappresentazione del genere non rispecchia larealtà, ma per lo scopo che ci siamo prefissati, che era appunto quello di creare uno schemafacilmente leggibile, ciò si rivela di secondaria importanza.
  11. 11. * Una controversia della matematica del settecento: i logaritmi di numeri negativiQuestione centrale nella storia dei logaritmi è il problema della natura dei logaritmi dei numeri negativi, problema che viene sollevato da una lettera di Leibniz a bernoulli, datata 16 marzo 1712, e vede coinvolti alcuni dei più celebri matematici del diciottesimo secolo. Gli studiosi sono suddivisi in due schieramenti, apertamente contrapposti: da un lato, molti matematici sostengono l’opinione di Leibniz, poi ripresa da Euler, Walmesley ed in Italia, tra gli altri, da Fontana e Franceschinis, secondo la quale i logaritmi dei numeri negativi devono essere come quantità immaginarie. Contrario a questa opinione è un altrettanto folto gruppo di celebri matematici, guidati da Bernoulli, il quale propone di considerare reali i logaritmi dei numeri negativi, e di definirli attraverso l’ugualianza: Log (- x)= log(+ x). Torna diapositiva 6
  12. 12. Dal punto di vista moderno, sarà il grande Leonhard Euler nel 1747 a chiarire definitivamente la questione dei logaritmi dei numeri negativi. Con l ‘opera di Euler la tesi che vuole immaginari i logaritmi dei numeri negativi trova la sua rigorosa e definitiva consacrazione, nonostante la residua presenza di qualche sbiadita contestazione “analitica”, mossa per alcuni anni dagli irriducibili studiosi di tradizione bernoulliana. Torna diapositiva 6

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