Algoritmos de jogos

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Algoritmos de jogos

  1. 1. Algoritmos de JogosMin-Max e Alfa-Beta João Guilherme Kassulke
  2. 2. Introdução A Inteligência Artificial no contexto dos jogos implica que os oponentes controlados pelo computador apresentem um certo grau de cognitividade (percepção, esperteza) ao enfrentar o jogador humano.
  3. 3. Introdução Inicialmente a IA foi utilizada nas pesquisas em busca em espaço de estados, em jogos como xadrez, damas e o jogo da velha. O uso de jogos visando o estudo de técnicas de IA: - Estados e Regras bem definidas.
  4. 4. História John von Neumann - Em 1926 demonstrou o teorema Minimax como solução para jogos de soma zero com dois jogadores, além da fundamentação da teoria da utilidade, que é muito útil para situações de incerteza em economia. - É considerado o precursor da Teoria de Jogos
  5. 5. Definições de Jogos Jogo é um modelo teórico de conflitos de interesse (decisões possíveis, resultados possíveis) entre duas ou mais pessoas que tem motivações conflitantes. Jogador é um participante ativo e racional em um jogo, cujas ações afetam os demais. Movimentos são decisões disponíveis aos jogadores (simultaneamente ou não).
  6. 6. Definições de Jogos Escolhas: são alternativas particulares escolhidas● Jogada: é uma seqüência de escolhas● Estratégias: são descrições das decisões a serem tomadas em todas as situações possíveis (um plano de jogo)● Payoff / Utilidade / Ganho: valor ou pagamento (ganhos ou perdas) de uma ação (pontos, $, etc.) ou ainda uma expressão de preferência
  7. 7. Taxonomia de Jogos Segundo a função utilidade: Jogos de soma zero: soma dos payoffs (penalizações) dos participantes é zero. Ex. Xadrez, Jogo da Velha Jogos de soma não zero: resultados dos payoffs != zero. Ex. dilema do prisioneiro, etc. Segundo a informação disponível: Jogos com informação perfeita: a cada jogada, todos os jogadores tem conhecimento das jogadas que já ocorreram. Ex: Jogo da Velha, Xadrez. Jogos com informação imperfeita: conhecimento é parcial. Ex: Pôquer .
  8. 8. Taxonomia de Jogos Segundo o determinismo: Jogos determinísticos: tem comportamento previsível, pois para um mesmo conjunto de entradas, as saídas serão sempre as mesmas, caso sejam realizados n testes. Jogos não determinísticos: possui um grau de incerteza, pois dadas as mesmas entradas, diferentes resultados, ou saídas, podem aparecer.
  9. 9. Definição Formal de um Jogo● Estado inicial: Posição das peças no tabuleiro e o primeiro jogador● Operadores: Definem os movimentos permitidos● Teste final: Determina quando o jogo terminou e; Calcula o resultado (vitória, empate ou derrota)● Função de utilidade (payoff ): Valor numérico para cada resultado do jogo● Árvore de Busca: Mostra todas as possibilidades de jogo.
  10. 10. Nos próximos slides serão abordados doisalgoritmos do tipo “pay-off”, ou seja queutilizam a função utilidade, são eles:– O Min-Max ou MiniMax– E a otimização para o Min-Max: Alfa-Beta
  11. 11. Min-Max (MiniMax) O MiniMax tem por objetivo selecionar a melhor a ação a ser feita em um jogo, onde dois jogadores (MIN e MAX) se empenham em alcançar objetivos mutuamente exclusivos. O algoritmo se baseia no princípio de que em cada jogada, o jogador irá escolher o melhor movimento possível.
  12. 12. Minimax Segundo (Nascimento, 2000), o algoritmo Min-Max é fundamentado numa expansão (em profundidade) de nós de uma árvore, para que se possa selecionar a melhor opção de jogada. Para isto há necessidade de uma heurística que permita fornecer, a cada jogada, um valor que indique a vantagem posicional alcançada pelo movimento conhecido.
  13. 13. Minimax Pseudo-código1. Gerar toda a árvore de procura desde o nó inicial até aos nós terminais.2. Aplicar a função de utilidade a cada nó terminal para determinar o respectivo valor.3. Usar a utilidade dos nós terminais para determinar através de um processo de backup a utilidade dos nós no nível imediatamente acima na árvore de procura: 1. Se for um lance de MIN o valor calculado é o mínimo dos nós do nível inferior; 2. se for MAX a jogar, o valor calculado é o máximo.4. Continuar a usar o processo de backup um nível de cada vez até atingir o nó inicial.5. Tendo chegado ao nó inicial, escolher qual ação o jogador MAX realizará
  14. 14. Minimax - Exemplo
  15. 15. Minimax - Exemplo
  16. 16. Minimax - Exemplo
  17. 17. Minimax - Jogos O algoritmo de Minimax pode ser aplicado em vários jogos, porém não-eficientemente em alguns. Damas Xadrez Jogo da Velha
  18. 18. Minimax - Xadrez Para o Xadrez, a técnica de Minimax não é eficiente pois dados: Fator médio de ramificação aprox. = 35 Um tempo de 150s entre duas jogadas E que o poder de processamento do computador seja aprox. = 10000 estados/s 1.500.000 estados a serem avaliados nesse tempo
  19. 19. Minimax - Xadrez Nº de estados à profundidade p = ramificação^p = 35^p Se escolhermos uma profundidade = 4, teremos 35^4 = 1.500.625 estados, o que já superaria o tempo estipulado. Lembrando que um bom jogador consegue prever até 8 jogadas. Portanto conclui-se que o algoritmo Minimax não é uma boa solução para o jogo de xadrez
  20. 20. Minimax – Jogo da Velha Estado Inicial: Tabuleiro 3x3 vazio, e o primeiro jogador a jogar (MAX - X) Operadores: Movimentos alternados (marcar X ou O) entre MAX e MIN, nas células vazias. Estado Final: 1. Toda uma linha e/ou coluna e/ou diagonal preenchida pelo mesmo símbolo de um dos jogadores. (Vitória de alguém) 2. Todas as células do tabuleiro preenchidas com uma ou mais características da regra 1. (Vitória de alguem) 3. Todas as células do tabuleiro preenchidas com nenhuma características da regra 1. (Empate) Função Utilidade: Atribui um valor resultante para os estados Arvore de Busca: Gerada devido o Espaço de Estados possível e construída deterministicamente
  21. 21. Minimax – Árvore do Jogo da Velha
  22. 22. Minimax – Jogo da Velha Heurística Σ linhas/colunas/diagonais em aberto -> X Σ linhas/colunas/diagonais em aberto -> O O algoritmo Min-Max fundamenta-se em uma árvore, porém o cálculo da heurística é realizado das folhas para a raiz, que é a primeira jogada realizada
  23. 23. Jogo da Velha Um limite superior simples para o tamanho de espaço de estados é 39 = 19,683 (Incluindo jogadas ilegais, ex: cinco X e um O. Removendo estas jogas ilegais, temos 5478 espaços de estados, eliminando ainda as simetrias, chega-se ao numero de 765 posições diferentes. O limite superior da árvore de jogo é de 9! ou 362880 incluindo jogos ilegais, eliminando os jogos ilegais, chega-se a 255168 jogos possíveis. Eliminando as simetrias chega-se ao numero de 26830 possiveis.
  24. 24. Jogo da Velha A complexidade computacional do Jogo da Velha depende de como ela é generalizada. Pode ser generalizada como: m, n, k-games ou seja, jogado em tabuleiro mxn no qual o vencedor é o primeiro jogador a obter k em uma fileira Pode ser generalizada também como DSPACE: (mn) no qual pesquisa a árvore de jogo inteira. ou seja, jogado em tabuleiro mxn no qual o vencedor é o primeiro jogador a obter k em uma fileira É englobado pela complexidade PSPACE E com algum esforço é possível demonstrar este jogo como PSPACE-Completo
  25. 25. Conclusões Parciais Se a profundidade máxima da árvore for m e em cada ponto houver b lances possíveis (fator de ramificação), então a complexidade (temporal) do MiniMax é O(b^m). O algoritmo é essencialmente do tipo procura em profundidade (depth-first) Para problemas reais o custo de tempo é geralmente inaceitável, mas este algoritmo serve de base a outros métodos mais realistas, como o Alfa-Beta
  26. 26. ExercícioObjetivo: Dado um conjunto de 5 palitos, pegar 1 ou 2 palitos e não ser o último a jogar.– Cenário 1: ● Jogador 1: Retira 2 palitos ● Jogador 2: Retira 2 palitos ● Jogador 1: Retira o último (perde)– Cenário 2: ● Jogador 1: Retira 1 palito ● Jogador 2: Retira 2 palitos ● Jogador 1: Retira 1 palito ● Jogador 2: Retira o último (perde)Construir a árvore minimax com os payoffs nos nós
  27. 27. Exercício
  28. 28. Alfa-Beta* O algoritmo minimax é deterministico, mas seu desempenho pode ser significativamente melhorado através de certos refinamentos e melhorias, como fazendo uso da poda alfa- beta.* Assim, o algoritmo minimax pode ser modificado a fim de explorar essa técnica.
  29. 29. Alfa-Beta Objetivo: Calcular o MiniMax correto e diminuir o número de nós visitados e de funções nos nós avaliados Pode limitar a ramificação em vários pontos Inclui-se um limite inferior para o valor a minimizar (BETA -> valor mais baixo que o jogador MIN já assegurou), e um limite superior para o valor a maximizar (ALFA -> valor mais alto do jogador MAX). A pesquisa dos sucessores de um nó termina quando se verificar alfa>=beta
  30. 30. Alfa-Beta Considerando o jogador inicial = ALFA Alfa representa o melhor valor encontrado até então para MAX (maior valor), ou – se Max já achou uma jogada boa, outras mais baixas (piores) serão descartadas Beta representa o melhor valor encontrado até então para MIN (menor valor), ou – se Min já achou uma jogada boa, outras mais altas (piores) serão descartadas
  31. 31. Alfa-Beta – Pseudo-código alfa-beta(jogador, mundo, alfa, beta) SE o jogo terminou no estado atual do mundo devolve vencedor filhos = todas as jogadas possíveis a partir do estado atual SE jogador = MAX PARA cada filho avaliação = alfa-beta(adversário, filho, alfa, beta) SE avaliação > alfa ENTÃO alfa = avaliação (encontrou-se uma melhor jogada) SE alfa >= beta ENTÃO devolve alfa (ignora restante ramos) devolve alfa (esta é a melhor jogada) SENÃO jogador = MIN PARA cada filho avaliação = alfa-beta(adversário, filho, alfa, beta) SE avaliação < beta ENTÃO beta= avaliação (adversário encontrou uma melhor pior jogada) SE alfa >= beta ENTÃO devolve beta (ignora restante ramos) devolve beta (a melhor jogada do adversário)
  32. 32. Conclusões Parciais Depende da ordem de expansão dos nós – Se os sucessores puderem ser ordenados corretamente, a complexidade pode chegar a O(b^(d/2)) d: profundidade máxima da arvore b: fator de ramificação● Para um fator de ramificação médio (razoável), a complexidade pode ser O(b^(3d/4)) – estratégias como capturar,ameaçar,mover, nesta ordem podem aproximar do melhor caso
  33. 33. Conclusões Parciais Porém, se as opções surgirem de uma determinada ordem (crescente no maximizador e decrescente no minimizador), os cortes Alfa-Beta não trazem melhorias.
  34. 34. Exercício Indique quais nós serão cortados usando o algoritmo de corte alfa-beta
  35. 35. Exercício - Solução
  36. 36. Referencias http://pt.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann http://paginas.fe.up.pt/~eol/IA/IA0809/APONTAMEN TOS/Alunos_MiniMax.pdf http://www.lx.it.pt/~afred/docencia/rp- ist/acetatos/AB.pdf www.lti.pcs.usp.br/pcs2059/aulas/Aula8-Minimax.pdf http://hermes.ucs.br/carvi/cent/dpei/jltsilva/JLT_aula- Algoritmo%20Minimax.pdf www2.dc.uel.br/nourau/document/?down=314

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