Circunferencia

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Circunferencia

  1. 1. Profesor Practicante: Ignacio Espinoza Braz Comunidad Educativa “San Marcos” Subsector de Matemática Arica CIRCUNFERENCIA
  2. 2. <ul><li>Elementos de una Circunferencia </li></ul><ul><li>Posiciones Relativas entre Circunferencias </li></ul><ul><li>Ángulo del Centro y Ángulo Inscrito </li></ul>Hoy conoceremos:
  3. 3. Elementos de una Circunferencia <ul><li>La circunferencia, se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto común llamado centro . </li></ul>Se denomina radio a cualquiera de los segmentos que unen el centro con un punto de la circunferencia, o bien, a la longitud de estos segmentos.
  4. 4. <ul><li>Cuerda : Segmento que une dos puntos de la circunferencia. </li></ul><ul><li>Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia. </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Recta Secante : Recta que corta a la circunferencia en dos puntos. </li></ul><ul><li>Recta Tangente : Recta que corta a la circunferencia en un punto </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Arco : Parte de la circunferencia comprendida entre dos radios. </li></ul><ul><li>Ángulo del Centro : Ángulo cuyos lados son radios de la circunferencia. </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Ángulo Inscrito : Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas. </li></ul><ul><li>Ángulo Semiinscrito: Ángulo formado por una recta tangente y una secante a la circunferencia. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Ángulo Interior : Ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en el interior del círculo. </li></ul><ul><li>Ángulo Exterior : Ángulo formado por dos rectas secantes a la circunferencia, que se intersectan en el exterior de un círculo. </li></ul>
  9. 9. Ejercicio <ul><li>Si en la figura, es el centro de la circunferencia, complete las siguientes oraciones. </li></ul><ul><li>_______ es un diámetro </li></ul><ul><li>_______ es una cuerda </li></ul><ul><li>_______ es un ángulo inscrito </li></ul><ul><li>_______ es un ángulo del centro </li></ul><ul><li>_______ es un ángulo semiinscrito </li></ul><ul><li>_______ es un ángulo exterior </li></ul><ul><li>_______ es una recta secante </li></ul><ul><li>_______ es una recta tangente </li></ul>
  10. 10. Posiciones Relativas entre Circunferencias <ul><li>Cuando se tienen dos circunferencias en un mismo plano (lugar geométrico donde hay infinitos puntos y rectas), se pueden tener las siguientes posiciones relativas: </li></ul><ul><li>Circunferencias Secantes: Las circunferencias se intersectan en dos puntos. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Circunferencias no Secantes: Las circunferencias no se intersectan. </li></ul><ul><li>Circunferencias Tangentes : Circunferencias que se intersectan en un punto, puede ser interior o exterior. </li></ul>
  12. 12. Ejercicios <ul><li>Identifica a qué posiciones relativas se encuentran las circunferencias de radios, y y cuya distancia entre el sus centros es , para ello haz el dibujo correspondiente. </li></ul><ul><li>a) b) </li></ul><ul><li>c) d) </li></ul>
  13. 13. Ángulo del Centro y Ángulo Inscrito <ul><li>A continuación, conoceremos el teorema que relaciona el ángulo del centro con el ángulo inscrito que subtiende el mismo marco. </li></ul><ul><li>Teorema: El ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. </li></ul><ul><li>En un teorema se distingue la hipótesis (son los datos con los que se tienen) y la tesis (es lo que se quiere demostrar). </li></ul>
  14. 14. <ul><li>En este caso: </li></ul><ul><li>Hipótesis : Es el ángulo del centro y el ángulo inscrito subtienden el mismo arco. </li></ul><ul><li>Tesis : El ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito. </li></ul><ul><li>A continuación, veremos la demostración, la cual depende si el centro de la circunferencia está en el interior o no del ángulo inscrito. </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Primer Caso: El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo inscrito. </li></ul><ul><li>Demostración </li></ul><ul><li>En la figura por ser radios, entonces: </li></ul><ul><li>es isósceles, </li></ul><ul><li>Por ser exterior del triángulo , se tiene: </li></ul><ul><li>En el triángulo (son radios) </li></ul><ul><li>es isósceles, entonces: </li></ul><ul><li>Y por ser exterior del triángulo , se tiene: </li></ul><ul><li>Finalmente, tenemos que: </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Segundo Caso: El Centro de la circunferencia pertenece a uno de los lados del ángulo inscrito. </li></ul><ul><li>Demostración </li></ul><ul><li>Al igual que en el caso anterior </li></ul><ul><li>es isósceles, por lo tanto: </li></ul><ul><li>El ángulo es exterior al triángulo </li></ul><ul><li>Por lo tanto: </li></ul><ul><li>De lo anterior, se puede deducir que: </li></ul>
  17. 17. <ul><li>Tercer Caso: El centro de la circunferencia pertenece al exterior del ángulo inscrito. </li></ul><ul><li>Demostración </li></ul><ul><li>Supongamos que el ángulo del centro mide: </li></ul><ul><li>Y su ángulo correspondiente ángulo inscrito es: </li></ul><ul><li>Por tesis tenemos que: </li></ul><ul><li>Esta demostración es un poco más compleja que la anterior, ya que necesitamos resolver una ecuación para resolverla. </li></ul>
  18. 18. <ul><li>En la figura es isósceles. </li></ul><ul><li>Por lo tanto: </li></ul><ul><li>De lo anterior, deducimos que: </li></ul><ul><li>El es isósceles, de modo que: </li></ul><ul><li>En el la suma de los ángulos interiores es: </li></ul><ul><li>pero </li></ul><ul><li>Reemplazando lo anterior, tenemos que: </li></ul><ul><li>Lo que se deduce que: </li></ul>

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