Sistema Internacional, cifras significativas, propagación de la incertidumbre

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Se describe el sistema legal de unidades del Perú, las incertidumbres asociadas con los procesos de medición, el concepto de cifra significativa, las reglas en las operaciones de cantidades medidas y la propagación de la incertidumbre.

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Sistema Internacional, cifras significativas, propagación de la incertidumbre

  1. 1. Cantidad física<br />En las ciencias experimentales es indispensable realizar mediciones cuyos resultados suelen describirse con números. Un número empleado para describir cuantitativamente un fenómeno físico, es una cantidad física. Son ejemplos de cantidades físicas: longitud, potencia, densidad, velocidad, etc.<br />Los procesos de medición implican siempre una comparación con un estándar de referencia. Si decimos que la longitud de una mesa es 2,45 m, queremos decir que es 2,45 veces la longitud de 1 m. Este estándar define la unidad de la cantidad física. <br />“Se requiere entonces un sistema de unidades”<br />
  2. 2. SLUMP<br /><ul><li>Mediante Ley 23560, promulgada el 31 de diciembre de 1982, se estableció el sistema legal de unidades de medida del Perú (SLUMP).</li></ul>http://www.congreso.gob.pe/ntley/Imagenes/Leyes/23560.pdf<br /><ul><li>El SLUMP tiene como base e incluye totalmente en su estructura al Sistema Internacional de Unidades.
  3. 3. El SLUMP está constituido por:
  4. 4. Las unidades del SI
  5. 5. Múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI
  6. 6. Unidades de medida que no pertenecen al SI, pero que pueden utilizarse conjuntamente con dicho sistema. </li></li></ul><li>Sistema Internacional de unidades<br />Unidades base del Sistema Internacional de Unidades<br />
  7. 7. Sistema Internacional de unidades<br />Unidades derivadas del Sistema Internacional de Unidades<br />
  8. 8. Sistema Internacional de unidades<br />Unidades derivadas del Sistema Internacional de Unidades con nombres y símbolos especiales<br />
  9. 9. Sistema Internacional de unidades<br />Múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del Sistema Internacional de Unidades:<br /><ul><li>Se forman anteponiendo prefijos SI a las unidades de medida SI.
  10. 10. Dichos múltiplos no deben ser considerados como unidades de medida del SI, sino que deben ser denominados múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI. </li></ul> Ejemplo:<br /> kilometro (km) no es una unidad de medida, es un múltiplo decimal de la unidad metro.<br />
  11. 11. Sistema Internacional de unidades<br />Prefijos del Sistema Internacional de Unidades<br />
  12. 12. Sistema Internacional de unidades<br />Reglas generales <br />(1) Las unidades de medida, sus múltiplos y submúltiplos sólo podrán designarse por sus nombres completos o por los símbolos correspondientes reconocidos internacionalmente. <br />
  13. 13. Sistema Internacional de unidades<br />(2) No se colocarán puntos luego de los símbolos de las unidades de medida o de sus múltiplos o submúltiplos decimales.<br />(3) En caso de que el símbolo esté al final de una oración, podrá ser seguido de un punto, entendiendo que el punto no forma parte del símbolo sino de la oración.<br />
  14. 14. Sistema Internacional de unidades<br />(4) Los nombres de las unidades de medida, aunque correspondan a nombres propios, se escribirán con letra inicial minúscula, excepto el grado Celsius. En el caso de los símbolos de las unidades de medida deberán escribirse en letras minúsculas, excepto aquellos que derivan de nombres propios, cuyos símbolos se escribirán con letras mayúsculas. La unidad litro a pesar de no tener su origen en un nombre propio, lleva como símbolo L o l.<br />
  15. 15. Sistema Internacional de unidades<br />(5) Cuando el nombre de cualquier unidad de medida está al inicio de alguna oración o frase, se escribirá dicho nombre con letra inicial mayúscula, de acuerdo con las reglas de la gramática española.<br />Ejemplo: <br />Kilogramo es el nombre de la unidad de medida de masa.<br />
  16. 16. Sistema Internacional de unidades<br />(6) Los nombres de las unidades de medida, múltiplos y submúltiplos, podrán utilizarse tanto si el valor numérico se escribe en letras como si se escribe en cifras.<br />
  17. 17. Sistema Internacional de unidades<br />
  18. 18. Sistema Internacional de unidades<br />
  19. 19. Sistema Internacional de unidades<br />¿Cuál es el error en la escritura de estas medidas?<br />
  20. 20. Incertidumbres de medición<br />Nuestras mediciones siempre estarán afectadas por incertidumbres de medición, que provienen de las limitaciones impuestas por:<br /><ul><li>La precisión y exactitud de los instrumentos de medida
  21. 21. La interacción del método de medición con el mesurando
  22. 22. La definición del objeto a medir
  23. 23. La influencia del observador u observadores que realizan la medición</li></li></ul><li>Incertidumbres de medición<br />Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de estas incertidumbres.<br />Buscamos entonces un intervalo donde, con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la cantidad física x. Este mejor valor es el valor más representativo de nuestra medición y al semiancho lo denominamos incertidumbre absoluta. <br />
  24. 24. Incertidumbres de medición<br />Precisión<br />Exactitud<br />
  25. 25. Incertidumbres de medición<br />Las fuentes de incertidumbre tienen diversos orígenes y pueden clasificarse del siguiente modo:<br />Incertidumbre introducida por el instrumento<br /><ul><li>Incertidumbre de apreciación ap</li></ul>La incertidumbre estará asociada con la mínima variación que podamos resolver con algún método de medición.<br /><ul><li>Incertidumbre de exactitud exac</li></ul>Representa absoluta con la que el instrumento en cuestión a ha sido calibrado frente a patrones confiables.<br />
  26. 26. Incertidumbres de medición<br />Incertidumbre de interacción int<br />Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. <br />Falta de definición del objeto sujeto a medición def<br />Proviene del hecho que las cantidades físicas a medir no están medidas con infinita precisión.<br />En general en un experimento dado, todas las fuentes de incertidumbre estarán presentes, de modo que resulta útil definir la incertidumbre nominal de una medición como:<br />
  27. 27. Incertidumbres de medición<br />Según su carácter, las incertidumbres se pueden clasificar en sistemáticos y estadísticos. <br />Incertidumbre sistemática<br />Se origina por las imperfecciones de los instrumentos y métodos de medición, y siempre se producen.<br />Incertidumbre estadística est<br />So aquellos que se producen al azar.<br />
  28. 28. LUPA<br />Cifras significativas<br />Regla en centímetros<br />Mínima división de la escala 0,1 cm<br />La incertidumbre de las medidas es 0,05 cm<br />6<br />5<br />4<br />3<br />2<br />1<br />cm<br />
  29. 29. Cifras significativas<br />L = 4,95 cm + 0,05 cm<br />Dos decimales en la medida y en la incertidumbre<br />Los dígitos 4 y 9 son exactos<br />El dígito 5 es dudoso <br />Hay tres cifras significativas (4, 9 y 5) <br />6<br />5<br />4<br />LUPA<br />
  30. 30. 6<br />5<br />4<br />3<br />2<br />LUPA<br />1<br />cm<br />Cifras significativas<br />Regla en centímetros<br />Mínima división de la escala 0,1 cm<br />Incertidumbre de la medida es 0,05 cm <br />
  31. 31. 5<br />Cifras significativas<br />L = 4,50 cm + 0,05 cm<br />Dos decimales en la medida y en la incertidumbre<br />Los dígitos 4 y 5 son exactos<br />El dígito 0 es dudoso <br />Hay tres cifras significativas (4, 5 y 0) <br />4<br />3<br />
  32. 32. LUPA<br />Cifras significativas<br />cm<br />Regla en centímetros<br />Mínima división de la escala 0,1 cm<br />Incertidumbre de la medida  0,05 cm<br />
  33. 33. Cifras significativas<br />10<br />8<br />9<br />9,00 cm + 0,05 cm<br />Tres cifras significativas<br />
  34. 34. LUPA<br />Cifras significativas<br />Regla en centímetros<br />Mínima división de la escala 1 cm<br />Incertidumbre de la medida  0,5 cm<br />
  35. 35. LUPA<br />Cifras significativas<br />6<br />8<br />7<br />7,4 cm + 0,5 cm<br />Dos cifras significativas<br />
  36. 36. Cifras significativas<br />OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS<br />Los resultados de cálculos en que intervienen mediciones solamente deben tener números significativos. <br />ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN<br />Para que el resultado de la adición sólo presente cifras significativas deberás observar qué cantidad tiene el menor número de cifras decimales. <br />Así, en la suma 12,45 cm + 7,3 cm se tienen dos cantidades: la primera con dos decimales y la segunda con uno. El resultado de la adición tendrá el menor número de decimales.<br />Así, la suma será:<br />12,5 cm + 7,3 cm = 19,8 cm<br />
  37. 37. Cifras significativas<br />MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN<br />Verifica cuál es el factor que tiene el menor número de cifras significativas y, en el resultado, se conservará solamente un número de cifras igual al de dicho factor.<br />Así, en el producto 11,2 cm x 6,7 cm se tienen dos cantidades: una con tres cifras significativas y otra con dos. El resultado deberás escribirlo entonces con dos cifras significativas.<br />11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm2<br />
  38. 38. 3 C.S.<br />3 C.S.<br />3 C.S.<br />2 C.S.<br />2 C.S.<br />2 C.S.<br />Ejercicios<br />
  39. 39. 2 C.S.<br />2 C.S.<br />2 C.S.<br />3 C.S.<br />4 C.S.<br />3 C.S.<br />Ejercicios<br />
  40. 40. 2 C.S.<br />4 C.S.<br />2 C.S.<br />3 C.S.<br />3 C.S.<br />3 C.S.<br />Ejercicios<br />
  41. 41. 4 C.S.<br />4 C.S.<br />3 C.S.<br />3 C.S.<br />Ejercicios<br />3 C.S.<br />3 C.S.<br />
  42. 42. 2 C.S.<br /> 2 C.S.<br />3 C.S.<br /> 3 C.S.<br /> 2C.S.<br /> 2C.S.<br />
  43. 43. Propagación de la incertidumbre<br />PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE<br />Cuando dos cantidades medidas, es decir cantidades con incertidumbre, se tienen que sumar, sus incertidumbres se combinan y el resultado es más incierto que los sumandos. A este proceso se le llama propagación de la incertidumbre. En general si operamos con dos cantidades medidas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, etc) la incertidumbre se propaga y el resultado termina con una incertidumbre que depende de las incertidumbres de las cantidades operadas. <br />Sea dos cantidades medidas A y B<br />A = a  a B = b b<br />
  44. 44. Propagación de la incertidumbre<br />𝐴+𝐵=𝑎 ± ∆𝑎 +𝑏 ±∆𝑏=𝑎+𝑏±∆𝑎+∆𝑏<br />𝐴−𝐵=𝑎 ± ∆𝑎 −𝑏 ±∆𝑏=𝑎−𝑏±∆𝑎+∆𝑏<br />𝐴×𝐵=𝑎 ± ∆𝑎 ×𝑏 ±∆𝑏=𝑎×𝑏±𝑎×𝑏∆𝑎𝑎+∆𝑏𝑏<br />𝐴𝐵=𝑎 ± ∆𝑎 𝑏 ±∆𝑏=𝑎𝑏±𝑎𝑏𝑎∆𝑎+𝑏∆𝑏<br />𝐴𝑛=𝑎±∆𝑎𝑛=𝑎𝑛±𝑎𝑛𝑛∆𝑎𝑎<br /> <br />
  45. 45. Ejercicios<br />Se mide la base y la altura de un rectángulo:<br />b = 28,45 cm  0,05 cm<br />h = 5,35 cm  0,05 cm<br />Determine el área de este rectángulo.<br />Solución:<br />Área = largo x Ancho<br />A = (28,45 cm 0,05 cm) x (5,35 cm 0,05 cm)<br />Á = 28,45 cm×5,35 cm 28,45 cm×0,05 cm 0,05 cm×5,35 cm<br /> 0,05 cm×0,05 cm<br />
  46. 46. Ejercicios<br />A = 152,2075 cm21,4225 cm20,2675 cm20,0025 cm2 <br />Como una de las cantidades multiplicadas tienen cuatro y la otra tiene tres cifras significativas, el resultado de la multiplicación debe escribirse con tres cifras. El resto de términos se suman.<br />A = 152 cm2 1,6925 cm2 <br />Como en una suma el número de decimales debe coincidir con el sumando que tiene menos decimales, en este caso 152 no tiene decimales, así que la incertidumbre tampoco debe tenerlos.<br />A = 152 cm2 2 cm2<br />
  47. 47. Ejercicios<br />Si en vez de hacer toda esta operación, aplicamos la ecuación de propagación del la incertidumbre para el producto, llegaremos al mismo resultado mucho más rápido. <br />𝐴= 𝑏×h=28,45 𝑐𝑚×5,35 𝑐𝑚±28,45 𝑐𝑚×5,35 𝑐𝑚0,0528,45 𝑐𝑚+0,055,35 𝑐𝑚<br />A = 152,2075 cm2 1,69 cm2 <br />La respuesta con tres cifras significativas (ver los datos multiplicados) y con la incertidumbre ajustada con el mismo número de decimales que el producto.<br />A = 152 cm2 2 cm2<br /> <br />
  48. 48. Ejercicios<br />Dados las siguientes cantidades medidas:<br />A = 12,50  0,25<br />B = 9,25  0,25<br />Calcule las siguientes operaciones:<br /><ul><li>A + B
  49. 49. A – B
  50. 50. A×B
  51. 51. A  B
  52. 52. A3</li></li></ul><li>Ejercicios<br />Dados las siguientes cantidades medidas:<br />A = 12,50  0,25<br />B = 9,25  0,25<br />Los sumandos tienen dos decimales, así que el resultado de la suma y su incertidumbre se ajustan, de ser necesario, a dos decimales. <br /><ul><li>A + B = (12,50 + 9,25)  (0,25 + 0,25) = 21,75  0,50</li></ul>Las cantidades a restar tienen dos decimales, así que el resultado de la resta y su incertidumbre se ajustan, de ser necesario, a dos decimales. <br /><ul><li>A – B = (12,50 - 9,25)  (0,25 + 0,25) = 3,25  0,50 </li></li></ul><li>Ejercicios<br />Las cantidades que se multiplican tienen cuatro y tres cifras significativas, así que el resultado de la multiplicación se ajusta a tres cifras significativas. Como la incertidumbre obtenida se suma con el producto, esta debe ajustarse con la misma cantidad de decimales que el producto redondeado. <br /><ul><li>A×B = (12,50×9,25)  (12,50×9,25)(0,2512,50+0,259,25)</li></ul> A×B = 115,625  5,5375<br /> A×B = 116  6<br /><ul><li>A  B
  53. 53. A3</li></ul> <br />
  54. 54. Ejercicios<br />Las cantidades que se dividen tienen cuatro y tres cifras significativas, así que el resultado de la división se ajusta a tres cifras significativas. Como la incertidumbre obtenida se suma con el cociente, esta debe ajustarse con la misma cantidad de decimales que el cociente redondeado. <br /><ul><li>A  B = (12,50  9,25)  (12,50  9,25)(0,2512,50+0,259,25)</li></ul> A  B = 1,351 351 351  0,063550036<br /> A  B = 1,35  0,06<br /> <br />
  55. 55. Ejercicios<br />La cantidad que se eleva al cubo tiene cuatro cifras significativas, así que el resultado de la potencia se ajusta a cuatro cifras significativas. Como la incertidumbre obtenida se suma con la potencia, esta debe ajustarse con la misma cantidad de decimales que la potencia redondeado. <br /><ul><li>A3 = (12,50)3  (12,50)3 3 (0,2512,50)</li></ul> A3 = 1 953, 125  117,187 5<br /> A3 = 1 953  117<br /> <br />
  56. 56. Bibliografía<br />Física re-creativa<br />Experimentos de física usando nuevas tecnologías<br />Salvador Gil/Eduardo Rodríguez<br />Física Universitaria<br />Sears Zemansky<br />

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