Triples

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Triples

  1. 1. Ejemplos de Integrales triples extendidas a regiones mas generalesEjemplo 1.- La figura siguiente muestra la regi´n de integraci´n para la integral o o 1 1 1−y √ dzdydx 0 x 0Vuelva a escribirla como una integral iterada equivalente en los otros cinco ordenes.Solucion.-Para esto nos vamos a fijar en la proyecci´n de la superf´ en el plano XY o ıcieVista como una regi´n tipo II tenemos o 0≤y≤1 y 0 ≤ x ≤ y2 y 0≤z ≤1−y 1
  2. 2. 1 1 1−y∴ La integral 0 √ x 0 dzdydx con cambio de orden de integraci´n en XY queda asi: o 1 y2 1−y dzdxdy 0 0 0Vamos a fijarnos ahora en la proyecci´n de la superf´ en el plano XZ o ıcieVista como una regi´n tipo I tenemos o √ 0≤z≤1 y 0 ≤ x ≤ (1 − z)2 y x≤y ≤1−z∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en XZ queda asi: o 1 (1−z)2 1−z √ dydxdz 0 0 xVista como una regi´n tipo II tenemos o √ √ 0≤x≤1 y 0≤z ≤1− x y x≤y ≤1−z∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en XZ queda asi: o √ 1 1− x 1−z √ dydzdx 0 0 xVamos a fijarnos ahora en la proyecci´n de la superf´ en el plano YZ o ıcie 2
  3. 3. Vista como una regi´n tipo I tenemos o 0≤y≤1 y 0≤z ≤1−y y 0 ≤ x ≤ y2∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en XZ queda asi: o 1 1−y y2 dxdzdy 0 0 0Vista como una regi´n tipo II tenemos o 0≤z≤1 y 0≤y ≤1−z y 0 ≤ x ≤ y2∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en XZ queda asi: o 1 1−z y2 dxdydz 0 0 0Ejemplo 2.- La figura siguiente muestra la regi´n de integraci´n para la integral o o 1 1−x2 1−x f (x, y, z)dydzdx 0 0 0 3
  4. 4. Vuelva a escribirla como una integral iterada equivalente en los otros cinco ordenes.Solucion.-Para esto nos vamos a fijar en la proyecci´n de la superf´ en el plano XZ o ıcieVista como una regi´n tipo II tenemos o √ 0≤z≤1 y 0≤x≤ 1−z y 0≤y ≤1−x 1 1−x2 1−x∴ La integral 0 0 0 f (x, y, z)dydzdx con cambio de orden de integraci´n en XZ queda oasi: √ 1 1−z 1−x dydxdz 0 0 0Vamos a fijarnos ahora en la proyecci´n de la superf´ en el plano XY o ıcie 4
  5. 5. Vista como una regi´n tipo I tenemos o 0≤y≤1 y 0≤x≤1−y y 0 ≤ z ≤ 1 − x2∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en XY queda asi: o 1 1−y 1−x2 f (x, y, z)dzdxdy 0 0 0Vista como una regi´n tipo II tenemos o 0≤x≤1 y 0≤y ≤1−x y 0 ≤ z ≤ 1 − x2∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en XY queda asi: o 1 1−x 1−x2 f (x, y, z)dzdydx 0 0 0Vamos a fijarnos ahora en la proyecci´n de la superf´ en el plano YZ o ıcie 5
  6. 6. La regi´n roja Vista como una regi´n tipo I tenemos o o √ 0≤y≤1 y 1 − (1 − y)2 ≤ z ≤ 1 y 0≤x≤ 1−zLa regi´n azul Vista como una regi´n tipo I tenemos o o 0≤y≤1 y 0 ≤ z ≤ 1 − (1 − y)2 y 0≤x≤1−y∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en ZY queda asi: o √ 1 1 1−z 1 1−(1−y)2 1−y f (x, y, z)dxdzdy + f (x, y, z)dxdzdy 0 1−(1−y)2 0 0 0 0La regi´n roja Vista como una regi´n tipo II tenemos o o √ √ 0≤z≤1 y 0≤y ≤1− 1−z y 0≤x≤ 1−zLa regi´n azul Vista como una regi´n tipo II tenemos o o √ 0≤z≤1 y 1− 1−z ≤y ≤1 y 0≤x≤1−y∴ La integral con cambio de orden de integraci´n en ZY queda asi: o √ √ 1 1− 1−z 1−z 1 1 1−y f (x, y, z)dxdydz + √ f (x, y, z)dxdydz 0 0 0 0 1− 1−z 0 6

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