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Cuadriláteros

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CUADRILÁTEROS

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Cuadriláteros

  1. 1. Institución educativa: «Nuestra Señora el Carmen»Huaral Docente: Huamani Pillaca, Víctor
  2. 2. CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADESConcepto: Es la figura geométrica que resulta de unir 4 puntos no colineales medianmediante 4 segmentos no secantes. B A a b Elementos: q Vértice: A, B, C y D d C Lados: AB, BC, CD y AD D Ángulos: a, b, q, d Diagonales: AC y DB
  3. 3. PROPIEDADES GENERALES. Ángulos exteriores:Ángulos interiores a  b  d  q  360 a  b  c  d  360
  4. 4. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Sus lados opuestos son congruentes y paralelos. Sus ángulos opuestosParalelogramo: también son congruentes y sus diagonales se bisecan. CUADRADO RECTÁNGULO ROMBOIDE ROMBO
  5. 5. Trapecios Tiene dos lados opuestos paralelos llamados bases. Además los ángulos en los extremos de los lados no paralelos son suplementarios.TRAPECIO RECTÁNGULÑO TRAPECIO ISÓSCELES TRAPECIO ESCALENO
  6. 6. TrapezoideTRAPEZOIDE ISÓSCELES TRAPEZOIDE ESCALENO TRAPEZOIDE CÓNCAVO
  7. 7. PROPIEDAD DE LOS CUADRILÁTEROS rectánguloI. propiedad de los paralelogramos. cuadrado . Cada ángulo mide 90° . Las diagonales son congruentes y se bisecan. . Los cuadrados tienen lados congruentes. . Cada ángulo mide 90° . Las diagonales son congruentes , bisectrices y se bisecan perpendicularmente.
  8. 8. Romboide Rombo. B A C . Los lados opuestos son congruentes. . Los ángulos adyacentes son suplementarios. Da  b  180 . Los cuatro lados son congruentes. . Los ángulos adyacentes son suplementarios. Los ángulos opuestos son congruentes. a  b  180 . Las diagonales se bisecan perpendicularmente y sus longitudes son mayor ( BD) y menor (AC).
  9. 9. Ejemplos diversos sobre paralelogramos.1.En el paralelogramo ABCD, encuentre « x+ y +z» Los ángulos opuestos son iguales. 3x + 40° = x +z 2x + 40° = z Reemplazando el valor de «x» 2(20°) + 40° = zDesarrollo: Z = 80°los ángulos adyacentes son suplementarios. Observando la figura tenemos que:4 x  3x  40  180 4x = z - yx = 20° Remplazando y resolviendo se tiene que: Y = 0° x + y + z = 100°
  10. 10. 2.El perímetro de un cuadrado mide 24cm. 3.Encuentra el lado menor del siguienteEncuentra su diagonal. rectángulo. Desarrollo: 6cm Desarrollo: 45° Por ángulo notable de 30° y 60° 6cm 11cm Por ángulos notable de 45° la diagonal mide: d  6 2cm
  11. 11. 4.En un rombo, los ángulos agudos Resolviendo : opuesto miden: 7x – 20° y x + 40° ¿Cuanto mide el ángulo mayor? x = 10° Desarrollo: Reemplazando en uno de los ángulos se tiene: X + 40° 10° + 40° = 50° 7x - 20° Sabemos que los ángulos adyacentes son suplementarios: X + 40° Rta: 130°Sabemos que los ángulos puestos delrombo son iguales. 7x – 20° = x + 40°
  12. 12. 5.Encuentra el perímetro de un rombo,si su ángulo agudo mide 60°y diagonal mayor mide: 4 3Desarrollo: 30° 2 3 4 60° 2 Sabemos que los lados de un rombo 4 3 son congruentes: Reta: 16
  13. 13. II. propiedad de los trapeciosAntes de mencionar las propiedadesseñalaremos sus elementos: H AB: base mayor Mediana ( m ).- Es paralela a las bases del BC: base menor trapecio y es igual a la semisuma de ellas. Recuerda: BC // AD BC  AD AB y CD : laterales m 2 CH: altura.
  14. 14. Propiedades:1.dos ángulos interiores de un trapecio situados en el mismo lado del lateral son suplementarios. 3.En un trapecio isósceles, los ángulos de cada base son congruentes. b  q  180 a    1802.La mediana divide a la altura deltrapecio en dos parte congruentes.
  15. 15. 4.La longitud que une los puntos medios 5.Las bisectrices de los ángulosde los diagonales de un trapecio es igual adyacentes en los extremos de losa la semidiferencia de las bases. lados no paralelos son perpendiculares. a M N b ba MN  2
  16. 16. III.Propiedades de los trapezoides. 3. El ángulo menor que forman las bisectrices de dos ángulos opuestos1.El trapezoide por ser un cuadrilátero mide la semidiferencia de los otro dosla suma de los ángulos interiores es 360° ángulos.2.Si se unen consecutivamente lospuntos medios de los lados de uncuadrilátero cualquiera se forma un aparalelogramo. a a B b b x q A C a q x D 2
  17. 17. Ejemplos:1.En un trapecio, la base media (mediana) Reemplazando con los datos:mide 16 cm y el segmento que une lospuntos medios de las diagonales mide , ab4 cm. Halla la longitud de sus bases. 16  a + b = 32 2Desarrollo: a b 4 a–b=8 b 2 M N Resolviendo el sistema de ecuación:A B a = 18 a b = 14 Sabemos que: ab a b AB  MN  2 2
  18. 18. 2.La mediana de un trapecio mide Donde :90 cm y la relación de las longitudesde sus bases es de 4 a 5. Halla la longitudde la base menor. a = 5k b = 4kDesarrollo: Aplicando la definición de mediana: b 5k  4k 90  2 90 cm Resolviendo : K = 20 cm a Luego la base menor es:Aplicando proporcionalidad:a 5k b = 4( 20 cm ) = 80 cm b 4k
  19. 19. 3.En un trapecio rectángulo ABCD Aplicando la definición de los puntosel ángulo D mide 60°.Sobre AD se medios de las diagonales :toma el punto E de modo que 2k  k kBCDE resulta un paralelogramo. m m 2 2Halla la razón entre las longitudes Pide:de la altura y el segmento que unelos puntos medios de las diagonales h k 3del trapecio ABCD. m k 2 Desarrollo: K Rta: 2 3 60° 2K 2K K 3 60° K E K
  20. 20. 4.ABCD y CGFE son cuadrados cuyoslados miden 3m y 5m, respectivamente. Hallael perímetro de AMNP H 4 5 5 3 37° 53° 3 53° 5 5 37° 3 3 4 37° 53° 3 4 3 Desarrollo: DE= 4 El triángulo DCE, ángulo notable 37° y 53° El triángulo EPF, ángulo notable de 37° y 53° Rta: 34
  21. 21. 5.En un trapezoide ABCD, halla lamedida del menor ángulo formadopor las bisectrices de los ángulos 110  70internos A y C. S i los ángulos B y D xmiden 110° y 70° 2 Desarrollo: C X = 20° a a B 110° x 70° b b D A

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