Clasificación y propiedades del triángulo

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Clasificación y propiedades del triángulo

  1. 1. 1.CONCEPTO:Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colonialesmediante segmentos. Ángulos interiores: A n m BAC m ACB m ABC s Ángulos exteriores: B m C M, N y SELEMENTOS:Vértices: A, B, C Lados: AB, AC y BC
  2. 2. 2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOSa) De acuerdo a sus lados: 60° 60° 60° Triángulo escaleno Triángulo equilátero Triángulo isósceles
  3. 3. b) De acuerdo a la medida de sus ángulos. Triángulo acutángulo , , 90 Triangulo obtusángulo Triángulo rectángulo
  4. 4. 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS y x z 180 La suma de los ángulos x y internos es igual a 180°. z Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos exteriores no adyacentes a él.
  5. 5. Aplicaciones: x z y X + y + z = 360° xLa suma de loa ángulos exteriores es igual a 360° x
  6. 6. x y yx
  7. 7. EjemplosEn los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad. 78° x 20° 46° 35° x Desarrollo:Por ángulo exterior Desarrollo:X = 78° + 46° = 124° Por ángulo exterior 35° = 20° + x X = 15°
  8. 8. x x 50° 100° Desarrollo: Desarrollo: 50° x 80° 80° 100°El triángulo es isósceles El triángulo es isósceles X = 80° X = 20°
  9. 9. B El triángulo A, B, C es equilátero. E Suplemento de 60° = 120° En el triángulo E , C, D 40° x DA C X + 40° + 120° = 180°Desarrollo: B X = 20° E 40° 60° 120° x D A C
  10. 10. 70° X + 20° X + 10° 40° 30° X + 30° xDesarrollo: Desarrollo:X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180 X = 30° + 70° + 40°X = 40° X = 140°
  11. 11. 70° x 70° x 60° 50° 80° 50° Desarrollo: Desarrollo:X + 70° = 50° + 80° X + 60° = 70° + 50° X = 60° X = 60°
  12. 12. LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOa) Bisectriz interior. I Todo triángulo tres bisectricesLa bisectriz interior divide interiores que concurren en un al ángulo en dos ángulos punto llamado incentro ( I ) congruentes.
  13. 13. a) Bisectriz exterior Dos bisectrices exteriores y una interior concurren en un punto llamado ex centro ( E ) E a ab) Altura. B La altura es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto. BH es la altura. C A H
  14. 14. C B N M H A B O Q A H CLa altura puede caer en Todo triángulo tiene tres alturasprolongación del lado. que concurren en un punto llamado orto centro ( O )
  15. 15. d) Mediana C La mediana es un segmento que une un vértice con el M punto medio del lado opuesto . AM es la mediana.A B Las tres medianas concurren en un punto llamado baricentro ( G ) G
  16. 16. e) Ceviana B La ceviana es un segmento que une un vértice con su lado opuesto. Q CAf) mediatriz La mediatriz es una recta que C divide a uno de los lados de un triángulo en partes iguales formando un ángulo recto. A B
  17. 17. Los tres mediatrices concurren en el circuncentro ( M )M
  18. 18. Ejemplos: 1.Encuentra el valor de «x» B 70° R a x a 30° CA Desarrollo: BEn el triángulo ABC 70°m BAC 80 RAR es bisectriz, por loTanto: a = 40° 40° x 40° 30° C X = 110° A
  19. 19. 2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura. 3.En la figura encuentra el valor de «x»B B x H 20° X 70° C 50° A C R ADesarrollo: Desarrollo:AHB es un triángulo rectángulo por BRA es un triángulo rectángulo.lo tanto: m BAR 70X + 70° = 90° Suplemento de 70° =110° X = 20° Del triángulo ABC X = 20°
  20. 20. 4.Halla el valor de «x» si AB = 20m.A B CDesarrollo:MB = X + 5mAB = X + 5m + x + 5m20m = 2x + 10m X = 5m
  21. 21. 5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana. B M CADesarrollo:15cm = x + 2cmX = 13cm
  22. 22. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ 2.Ángulo formado por una bisectriz interior y exterior.1.Ángulo formado por dos bisectricesinteriores. C C x XA B B A x x 90 2 2
  23. 23. 3.Angulo formado por dos bisectrices ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNAexteriores. BISECTRIZ EXTERIOR. B x C A H M x 90 2 2
  24. 24. PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS C M G B A PAM, CP medianasAG = 2 GMCG = 2 GP
  25. 25. PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ B L L, M,N son mediatrices AC = BC = CD M C N D A
  26. 26. Ejemplos. 2.Halla el valor de «x»1.Halla e l valor de «x» b b 20° x x a a 25°Desarrollo: Desarrollo: x 2 x 25 x 50 2 20x 10 2
  27. 27. 3.Encuentra el valor de «x» 4.Encuentra el valor de «x» 70° a b° x a° 135° b° x 135 90Desarrollo: 2x 90 x 2 135 90 2 70x 90 90° = x 2 x 125
  28. 28. 5.Halla el valor de «x» 6.Halla el valor de «x» x X° b° a° b° a° 80° 150° Desarrollo:Desarrollo: x 80 90x 90 2 2 x 80 90 150 2x 90 2 x 10 2x 90 75 15 20° = x
  29. 29. 1.Del gráfico encuentra el valor de «x» 150 2 2 30 60 30° Nuevamente aplicando x x 30 150° Reemplazando: X = 60° + 30°Desarrollo: Por: X = 90°
  30. 30. 2.En la figura, halla «x» 3( 70°) – x = 180° 2 - X = 180° - 210° 70° x 2 X = 30° Desarrollo:Por suma de los ángulos exteriores en untriángulo se tiene:3 3 180 x 3603 x 360 180
  31. 31. Por propiedad3.En el triángulo ABC, m A m C 40 Halla la medida que forman la altura y la bisectriz interior que parte de B. m A m C 2Desarrollo: B 40 20 2 C A H M
  32. 32. 4.En la figura , halla HP, m ABH m BHP 120 Y BC = 20 m B 40° 20° C Por dato:A H m ABH m BHP 120 Desarrollo: B m BHP 70 50° 70° Se observa: BP = PC = HP Los dos triángulos son 70° isósceles. 40° 20° 20° C HP = 10 cm A H
  33. 33. 5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella seubica el punto R. sí BN = BR y m RBC 36 , halla m NCADesarrollo: B Entonces: 36° N m BCN x Por ángulo exterior del triángulo BCR R y ACN se observa: x 36 x C xA Igualando las ecuaciones se tiene: Triángulo BNR isósceles. 36 x x m BAC Por dato X = 18° m BCA
  34. 34. 6.En un triángulo ABC, m ACB 20 . Sobre AC y BC se ubica Los puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y m CRS 40 , halla m ABC Desarrollo: B 60° 20° 60° S 80° 60° 80° 40° 20° C A RPor ángulo exterior: m BSR 60Triángulo BRS es equilátero.Triángulo ABR isósceles m ABS 80
  35. 35. 7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x» B x x 40° x B CA x x 40° x Desarrollo: 60° 80° 60° C Por ángulo exterior: A X = 100° - x + 60° 100°- x X = 80°
  36. 36. 8.Halla el valor de «x» En el triángulo ABC: 50° + X + X = 170° - ( 9.En la figura, halla m PIRDesarrollo: B 2 P I A 40° 2 Q R C
  37. 37. Desarrollo: 10.Halla «x»A 2 P I 40° 2 Q RPor ángulos formado por bisectricesexteriores m A 70En el triángulo APR:2 2 70 180 55El ángulo pedido es:m PIR 180 m PIR 125
  38. 38. Desarrollo: Por ángulo exterior: m A x En el triángulo DBC A 2 2 2 180 90 X+ D Por 2 4x x Resolviendo:B C X = 30°
  39. 39. 11.Halla Por ángulo formado de las bisectrices exteriores ( ver fig ) 4Desarrollo: 90°- B Resolviendo: E D = 22,5°A C 90° -
  40. 40. 12.Halla «x» Por ángulo formado por una bisectriz interior y exterior: m D x 4x 4x BDesarrollo: x C Resolviendo: A E X = 20° x D
  41. 41. 13.Halla el valor de «x» Luego: X+ 150° x 150 360Desarrollo: Se observa que: 180 Resolviendo: X+ X = 30°
  42. 42. 14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo: 50° 50° 120° - Entonces: x 120 180 X = 60°
  43. 43. 15.Halla « » si . m A m C 32 De la condición: m A m C 32 90 2 90 32 = 32°Desarrollo: 90°-

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