SlideShare a Scribd company logo
1 of 18
Download to read offline
Generalized Bradley-Terry Modelling of Football
Results
Heather Turner1,2
, David Firth1
and Greg Robertson1
1 University of Warwick, UK
2 Independent statistical/R consultant
11 July 2013
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 1 / 18
Bradley-Terry Model
The Bradley-Terry model provides an intuitive framework for
modelling the outcome of a football match between home team i and
away team j:
odds(i beats j) =
pr(i beats j)
pr(j beats i)
=
αi/(αi + αj)
αj/(αi + αj)
=
αi
αj
where αi, αj > 0 are the team abilities.
But what about draws?
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 2 / 18
Approximate Method
Treat draws as half a win and half a loss.
Examples in BradleyTerry2
data(ice.hockey) (useR! 2010)
data(CEMS) (JSS 48(9))
Fine if objective is simply to rank teams—not a solution if want to
predict outcomes or characterise pr(draw).
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 3 / 18
Davidson Model
The Davidson model extends the Bradley-Terry model to
incorporate the probability of a draw:
pr(draw) =
ν
√
αiαj
αi + αj + ν
√
αiαj
pr(i beats j | not a draw) =
αi
αi + αj
where ν > 0.
Like the Bradley-Terry model, this can be expressed as a log-linear
model and estimated using glm.
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 4 / 18
Closer Look at ν
ν → ∞: pr(draw) → 1
ν → 0: pr(draw) ∝ ν
√
αiαj/(αi + αj) (approx.)
The single extra parameter ν conflates
overall (max) probability of a draw
strength of dependence of pr(draw) on αi, αj.
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 5 / 18
Dependence of pr(draw) on Relative Ability
Under the Davidson model we have
logit (pr(draw)) = log
ν
√
αiαj
αi + αj
= log ν
αi
αi + αj
1
2 αj
αi + αj
1
2
= log νp
1
2 (1 − p)
1
2
where
p = pr(i beats j | not a draw)
This enables us to visualise the dependence of pr(draw) on the
relative ability of the teams.
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 6 / 18
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
Davidson (1970) model for ties, for 1/4 < nu < 128
pr(i beats j in a non−tied contest)
pr(iandjtie)
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 7 / 18
Home Advantage
So far based model purely on team ability.
In football (as other sports) expect home advantage to boost ability
of home team, i:
pr(draw) =
ν
√
µαiαj
µαi + αj + ν
√
µαiαj
pr(i beats j | not a draw) =
µαi
µαi + αj
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 8 / 18
Generalised Davidson Model
We propose the following generalisation of the Davidson model:
logit (pr(draw)) = log
δ
c
pσπ
(1 − p)σ(1−π)
where
c is function of σ, π such that expit(δ) is the maximum
probability of a draw
σ scales the dependence on relative ability
0 < π < 1 is the value of p with maximum pr (draw)—if
π = 0.5, implies home advantage effect.
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 9 / 18
Changing σ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
σ = 0.1
pr(i beats j | not a draw)
pr(draw)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
σ = 1
pr(i beats j | not a draw)
pr(draw)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
σ = 10
pr(i beats j | not a draw)
pr(draw)
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 10 / 18
Changing π
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
π = 0.25
pr(i beats j | not a draw)
pr(draw)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
π = 0.5
pr(i beats j | not a draw)
pr(draw)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
π = 0.75
pr(i beats j | not a draw)
pr(draw)
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 11 / 18
English Premier League Results
Consider data from the past 5 seasons of the English Premier League
20 teams, 380 games/season
≈ 1
4
games drawn
First convert the the win/lose/draw results to trinomial counts
football.tri <- expandCategorical(football, "result",
idvar = "match")
head(football.tri)
home away season result match count
1 Ars Ast 2008-9 -1 1 1
2 Ars Ast 2008-9 0 1 0
3 Ars Ast 2008-9 1 1 0
4 Ars Ast 2010-11 -1 2 1
5 Ars Ast 2010-11 0 2 0
6 Ars Ast 2010-11 1 2 0
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 12 / 18
Generalised Davidson as Poisson Model
Model log expected counts for each match k (log probabilities)
log(pr(i beats j)k) = θijk + log(µαi)
log(pr(draw)k) = θijk + log δ − log c
+ σ(π log(µαi) − (1 − π) log(αj))
+ (1 − σ) log(µαi + αj)
log(pr(j beats i)k) = θijk + log(αj)
where θijk fixes the total count for each match to 1. With gnm:
gnm(count ~ GenDavidson(result == 1, result == 0, result == -1,
home:season, away:season, home.adv = ~1,
tie.max = ~1, tie.scale = ~1, tie.mode = ~1,
at.home1 = home1, at.home2 = home2) - 1,
eliminate = match, family = poisson, data = football.tri)
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 13 / 18
Alternative Models
We consider the following models
1 Davidson: σ = 1, π = 0.5
2 Scaled Davidson: σ = ˆσ, π = 0.5
3 Shifted, scaled Davidson: σ = ˆσ, π = ˆπ
Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi)
1 3665 3533.7
2 3664 3523.2 1 10.4657 0.001216 **
3 3663 3517.6 1 5.5575 0.018402 *
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 14 / 18
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
qqq
qq
Davidson
Proportion
q
q
Non−drawn matches won
Matches drawn
q
qq
qq
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
pr(i beats j | not a draw)
0.0 0.5 1.0
0.000.321.00
σ = 1, q = 0.5
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 15 / 18
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
qq
q
qq
q
Scaled Davidson
Proportion
q
q
Non−drawn matches won
Matches drawn
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
qqqq
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
pr(i beats j | not a draw)
0.0 0.5 1.0
0.000.351.00
σ = 2.22, q = 0.5
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 16 / 18
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
Shifted & Scaled Davidson
Proportion
q
q
Non−drawn matches won
Matches drawn
q
q
q
q
qqq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
q
qq
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
qq
q
q
pr(i beats j | not a draw)
0.00 0.58 1.00
0.000.361.00
σ = 3.12, q = 0.58
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 17 / 18
Conclusions
Proposed model
explicitly models draws
distinguishes overall pr(draw) from dependence of pr(draw) on
relative ability
Expressing pr(draw) in terms of pr(i beats j | not a draw) helps to
assess model fit.
plotProportions and GenDavidson to be provided as example in
BradleyTerry2.
Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 18 / 18

More Related Content

What's hot

การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการAon Narinchoti
 
พฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย
พฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัยพฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย
พฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัยSupawit Kunakornbodin
 
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสองบทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสองsawed kodnara
 
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐานแบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐานNittaya Noinan
 
ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1
ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1
ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1Manas Panjai
 
แผน Eng m.3
แผน Eng m.3แผน Eng m.3
แผน Eng m.3Milmilk
 
ชุดที่ 3
ชุดที่ 3 ชุดที่ 3
ชุดที่ 3 krurutsamee
 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม Somporn Amornwech
 
หลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษ
หลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษหลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษ
หลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษBhayubhong
 
ชุดที่ 4
ชุดที่ 4 ชุดที่ 4
ชุดที่ 4 krurutsamee
 
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2kanjana2536
 
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้ทับทิม เจริญตา
 
ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2
ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2
ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2ทับทิม เจริญตา
 
แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)
แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)
แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)ประพันธ์ เวารัมย์
 

What's hot (20)

การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการ
 
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
 
พฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย
พฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัยพฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย
พฤติกรรมการเล่นเกมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย
 
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสองบทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
 
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐานแบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
 
ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1
ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1
ข้อสอบ O net ภาษาต่างประเทศ ป.6 ชุด 1
 
แผน Eng m.3
แผน Eng m.3แผน Eng m.3
แผน Eng m.3
 
ชุดที่ 3
ชุดที่ 3 ชุดที่ 3
ชุดที่ 3
 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม 
 
หลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษ
หลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษหลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษ
หลักสูตรท้องถิ่นภาษาอังกฤษ
 
09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8a
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8aแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8a
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8a
 
monomial and polynomail
monomial and polynomailmonomial and polynomail
monomial and polynomail
 
ชุดที่ 4
ชุดที่ 4 ชุดที่ 4
ชุดที่ 4
 
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2
 
Gsp สำหรับมัธยม Geometer's Sketchpad
Gsp สำหรับมัธยม Geometer's SketchpadGsp สำหรับมัธยม Geometer's Sketchpad
Gsp สำหรับมัธยม Geometer's Sketchpad
 
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้
 
ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2
ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2
ผลการเรียนรู้ทราคาดหวังม.3 เทอม 2
 
แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)
แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)
แนวข้อสอบใช้สอบท้องถิ่นหรือ ก.พ. และหน่วยงานต่างๆ (เล่มที่ 1/ 3)
 
พื้นที่ผิวทรงกลม5
พื้นที่ผิวทรงกลม5พื้นที่ผิวทรงกลม5
พื้นที่ผิวทรงกลม5
 

Viewers also liked

Modelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health Inequality
Modelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health InequalityModelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health Inequality
Modelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health Inequalityhtstatistics
 
Custom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnm
Custom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnmCustom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnm
Custom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnmhtstatistics
 
BradleyTerry2: Flexible Models for Paired Comparisons
BradleyTerry2: Flexible Models for Paired ComparisonsBradleyTerry2: Flexible Models for Paired Comparisons
BradleyTerry2: Flexible Models for Paired Comparisonshtstatistics
 
Detecting Drug Effects in the Brain
Detecting Drug Effects in the BrainDetecting Drug Effects in the Brain
Detecting Drug Effects in the Brainhtstatistics
 
From L to N: Nonlinear Predictors in Generalized Models
From L to N: Nonlinear Predictors in Generalized ModelsFrom L to N: Nonlinear Predictors in Generalized Models
From L to N: Nonlinear Predictors in Generalized Modelshtstatistics
 
gnm: a Package for Generalized Nonlinear Models
gnm: a Package for Generalized Nonlinear Modelsgnm: a Package for Generalized Nonlinear Models
gnm: a Package for Generalized Nonlinear Modelshtstatistics
 
Nonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into Marriage
Nonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into MarriageNonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into Marriage
Nonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into Marriagehtstatistics
 
Multiplicative Interaction Models in R
Multiplicative Interaction Models in RMultiplicative Interaction Models in R
Multiplicative Interaction Models in Rhtstatistics
 
Clustering Microarray Data
Clustering Microarray DataClustering Microarray Data
Clustering Microarray Datahtstatistics
 
Sample slides from "Programming with R" course
Sample slides from "Programming with R" courseSample slides from "Programming with R" course
Sample slides from "Programming with R" coursehtstatistics
 
Sample slides from "Getting Started with R" course
Sample slides from "Getting Started with R" courseSample slides from "Getting Started with R" course
Sample slides from "Getting Started with R" coursehtstatistics
 
Tajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_Novirost
Tajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_NovirostTajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_Novirost
Tajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_NovirostNOVIROST Limited
 
Moral issue of birth deformities
Moral issue of birth deformitiesMoral issue of birth deformities
Moral issue of birth deformitiesMevelle Asuncion
 
04. Dept Overview: Primary Industries, Food & Water
04. Dept Overview: Primary Industries, Food & Water04. Dept Overview: Primary Industries, Food & Water
04. Dept Overview: Primary Industries, Food & WaterCollaborative Solutions
 
Periodontio-integrated implants: A revolutionary concept
Periodontio-integrated implants: A revolutionary conceptPeriodontio-integrated implants: A revolutionary concept
Periodontio-integrated implants: A revolutionary conceptMinkle Gulati
 
Presentation12
Presentation12Presentation12
Presentation12TELICIA
 
Nine Frame Analysis
Nine Frame AnalysisNine Frame Analysis
Nine Frame AnalysisLiam Grieves
 

Viewers also liked (20)

Modelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health Inequality
Modelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health InequalityModelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health Inequality
Modelling the Diluting Effect of Social Mobility on Health Inequality
 
Custom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnm
Custom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnmCustom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnm
Custom Functions for Specifying Nonlinear Terms to gnm
 
BradleyTerry2: Flexible Models for Paired Comparisons
BradleyTerry2: Flexible Models for Paired ComparisonsBradleyTerry2: Flexible Models for Paired Comparisons
BradleyTerry2: Flexible Models for Paired Comparisons
 
Detecting Drug Effects in the Brain
Detecting Drug Effects in the BrainDetecting Drug Effects in the Brain
Detecting Drug Effects in the Brain
 
From L to N: Nonlinear Predictors in Generalized Models
From L to N: Nonlinear Predictors in Generalized ModelsFrom L to N: Nonlinear Predictors in Generalized Models
From L to N: Nonlinear Predictors in Generalized Models
 
gnm: a Package for Generalized Nonlinear Models
gnm: a Package for Generalized Nonlinear Modelsgnm: a Package for Generalized Nonlinear Models
gnm: a Package for Generalized Nonlinear Models
 
Nonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into Marriage
Nonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into MarriageNonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into Marriage
Nonlinear Discrete-time Hazard Models for Entry into Marriage
 
Multiplicative Interaction Models in R
Multiplicative Interaction Models in RMultiplicative Interaction Models in R
Multiplicative Interaction Models in R
 
Clustering Microarray Data
Clustering Microarray DataClustering Microarray Data
Clustering Microarray Data
 
Sample slides from "Programming with R" course
Sample slides from "Programming with R" courseSample slides from "Programming with R" course
Sample slides from "Programming with R" course
 
Sample slides from "Getting Started with R" course
Sample slides from "Getting Started with R" courseSample slides from "Getting Started with R" course
Sample slides from "Getting Started with R" course
 
Astralpool projects
Astralpool projectsAstralpool projects
Astralpool projects
 
Tajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_Novirost
Tajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_NovirostTajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_Novirost
Tajikistan oilseeds market study 2011_Ian Luyt_Novirost
 
Moral issue of birth deformities
Moral issue of birth deformitiesMoral issue of birth deformities
Moral issue of birth deformities
 
04. Dept Overview: Primary Industries, Food & Water
04. Dept Overview: Primary Industries, Food & Water04. Dept Overview: Primary Industries, Food & Water
04. Dept Overview: Primary Industries, Food & Water
 
Periodontio-integrated implants: A revolutionary concept
Periodontio-integrated implants: A revolutionary conceptPeriodontio-integrated implants: A revolutionary concept
Periodontio-integrated implants: A revolutionary concept
 
icoachmodel
icoachmodelicoachmodel
icoachmodel
 
Presentation12
Presentation12Presentation12
Presentation12
 
Nine Frame Analysis
Nine Frame AnalysisNine Frame Analysis
Nine Frame Analysis
 
The place where you live
The place where you liveThe place where you live
The place where you live
 

Recently uploaded

原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档
原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档
原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档208367051
 
MK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docx
MK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docxMK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docx
MK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docxUnduhUnggah1
 
Defining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data Story
Defining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data StoryDefining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data Story
Defining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data StoryJeremy Anderson
 
How we prevented account sharing with MFA
How we prevented account sharing with MFAHow we prevented account sharing with MFA
How we prevented account sharing with MFAAndrei Kaleshka
 
Semantic Shed - Squashing and Squeezing.pptx
Semantic Shed - Squashing and Squeezing.pptxSemantic Shed - Squashing and Squeezing.pptx
Semantic Shed - Squashing and Squeezing.pptxMike Bennett
 
在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证nhjeo1gg
 
Conf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming Pipelines
Conf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming PipelinesConf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming Pipelines
Conf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming PipelinesTimothy Spann
 
在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证nhjeo1gg
 
Thiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhh
Thiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhhThiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhh
Thiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhhYasamin16
 
办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一F La
 
办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一F La
 
Heart Disease Classification Report: A Data Analysis Project
Heart Disease Classification Report: A Data Analysis ProjectHeart Disease Classification Report: A Data Analysis Project
Heart Disease Classification Report: A Data Analysis ProjectBoston Institute of Analytics
 
毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degreeyuu sss
 
办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一
办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一
办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一F La
 
办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degreeyuu sss
 
Multiple time frame trading analysis -brianshannon.pdf
Multiple time frame trading analysis -brianshannon.pdfMultiple time frame trading analysis -brianshannon.pdf
Multiple time frame trading analysis -brianshannon.pdfchwongval
 
RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.
RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.
RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.natarajan8993
 
NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...
NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...
NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...Boston Institute of Analytics
 
Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...
Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...
Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...Boston Institute of Analytics
 

Recently uploaded (20)

原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档
原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档
原版1:1定制南十字星大学毕业证(SCU毕业证)#文凭成绩单#真实留信学历认证永久存档
 
MK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docx
MK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docxMK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docx
MK KOMUNIKASI DATA (TI)komdat komdat.docx
 
Defining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data Story
Defining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data StoryDefining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data Story
Defining Constituents, Data Vizzes and Telling a Data Story
 
How we prevented account sharing with MFA
How we prevented account sharing with MFAHow we prevented account sharing with MFA
How we prevented account sharing with MFA
 
Semantic Shed - Squashing and Squeezing.pptx
Semantic Shed - Squashing and Squeezing.pptxSemantic Shed - Squashing and Squeezing.pptx
Semantic Shed - Squashing and Squeezing.pptx
 
在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理UM毕业证迈阿密大学毕业证成绩单留信学历认证
 
Conf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming Pipelines
Conf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming PipelinesConf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming Pipelines
Conf42-LLM_Adding Generative AI to Real-Time Streaming Pipelines
 
Call Girls in Saket 99530🔝 56974 Escort Service
Call Girls in Saket 99530🔝 56974 Escort ServiceCall Girls in Saket 99530🔝 56974 Escort Service
Call Girls in Saket 99530🔝 56974 Escort Service
 
在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证
在线办理WLU毕业证罗瑞尔大学毕业证成绩单留信学历认证
 
Thiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhh
Thiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhhThiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhh
Thiophen Mechanism khhjjjjjjjhhhhhhhhhhh
 
办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UC毕业证书)英国坎特伯雷大学毕业证成绩单原版一比一
 
办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一
办理(UWIC毕业证书)英国卡迪夫城市大学毕业证成绩单原版一比一
 
Heart Disease Classification Report: A Data Analysis Project
Heart Disease Classification Report: A Data Analysis ProjectHeart Disease Classification Report: A Data Analysis Project
Heart Disease Classification Report: A Data Analysis Project
 
毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree澳洲中央昆士兰大学毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
 
办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一
办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一
办理(Vancouver毕业证书)加拿大温哥华岛大学毕业证成绩单原版一比一
 
办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
办美国加州大学伯克利分校毕业证成绩单pdf电子版制作修改#毕业文凭制作#回国入职#diploma#degree
 
Multiple time frame trading analysis -brianshannon.pdf
Multiple time frame trading analysis -brianshannon.pdfMultiple time frame trading analysis -brianshannon.pdf
Multiple time frame trading analysis -brianshannon.pdf
 
RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.
RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.
RABBIT: A CLI tool for identifying bots based on their GitHub events.
 
NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...
NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...
NLP Data Science Project Presentation:Predicting Heart Disease with NLP Data ...
 
Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...
Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...
Decoding the Heart: Student Presentation on Heart Attack Prediction with Data...
 

Generalized Bradley-Terry Modelling of Football Results

  • 1. Generalized Bradley-Terry Modelling of Football Results Heather Turner1,2 , David Firth1 and Greg Robertson1 1 University of Warwick, UK 2 Independent statistical/R consultant 11 July 2013 Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 1 / 18
  • 2. Bradley-Terry Model The Bradley-Terry model provides an intuitive framework for modelling the outcome of a football match between home team i and away team j: odds(i beats j) = pr(i beats j) pr(j beats i) = αi/(αi + αj) αj/(αi + αj) = αi αj where αi, αj > 0 are the team abilities. But what about draws? Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 2 / 18
  • 3. Approximate Method Treat draws as half a win and half a loss. Examples in BradleyTerry2 data(ice.hockey) (useR! 2010) data(CEMS) (JSS 48(9)) Fine if objective is simply to rank teams—not a solution if want to predict outcomes or characterise pr(draw). Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 3 / 18
  • 4. Davidson Model The Davidson model extends the Bradley-Terry model to incorporate the probability of a draw: pr(draw) = ν √ αiαj αi + αj + ν √ αiαj pr(i beats j | not a draw) = αi αi + αj where ν > 0. Like the Bradley-Terry model, this can be expressed as a log-linear model and estimated using glm. Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 4 / 18
  • 5. Closer Look at ν ν → ∞: pr(draw) → 1 ν → 0: pr(draw) ∝ ν √ αiαj/(αi + αj) (approx.) The single extra parameter ν conflates overall (max) probability of a draw strength of dependence of pr(draw) on αi, αj. Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 5 / 18
  • 6. Dependence of pr(draw) on Relative Ability Under the Davidson model we have logit (pr(draw)) = log ν √ αiαj αi + αj = log ν αi αi + αj 1 2 αj αi + αj 1 2 = log νp 1 2 (1 − p) 1 2 where p = pr(i beats j | not a draw) This enables us to visualise the dependence of pr(draw) on the relative ability of the teams. Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 6 / 18
  • 7. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00.20.40.60.81.0 Davidson (1970) model for ties, for 1/4 < nu < 128 pr(i beats j in a non−tied contest) pr(iandjtie) Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 7 / 18
  • 8. Home Advantage So far based model purely on team ability. In football (as other sports) expect home advantage to boost ability of home team, i: pr(draw) = ν √ µαiαj µαi + αj + ν √ µαiαj pr(i beats j | not a draw) = µαi µαi + αj Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 8 / 18
  • 9. Generalised Davidson Model We propose the following generalisation of the Davidson model: logit (pr(draw)) = log δ c pσπ (1 − p)σ(1−π) where c is function of σ, π such that expit(δ) is the maximum probability of a draw σ scales the dependence on relative ability 0 < π < 1 is the value of p with maximum pr (draw)—if π = 0.5, implies home advantage effect. Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 9 / 18
  • 10. Changing σ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00.20.40.60.81.0 σ = 0.1 pr(i beats j | not a draw) pr(draw) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00.20.40.60.81.0 σ = 1 pr(i beats j | not a draw) pr(draw) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00.20.40.60.81.0 σ = 10 pr(i beats j | not a draw) pr(draw) Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 10 / 18
  • 11. Changing π 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00.20.40.60.81.0 π = 0.25 pr(i beats j | not a draw) pr(draw) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00.20.40.60.81.0 π = 0.5 pr(i beats j | not a draw) pr(draw) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00.20.40.60.81.0 π = 0.75 pr(i beats j | not a draw) pr(draw) Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 11 / 18
  • 12. English Premier League Results Consider data from the past 5 seasons of the English Premier League 20 teams, 380 games/season ≈ 1 4 games drawn First convert the the win/lose/draw results to trinomial counts football.tri <- expandCategorical(football, "result", idvar = "match") head(football.tri) home away season result match count 1 Ars Ast 2008-9 -1 1 1 2 Ars Ast 2008-9 0 1 0 3 Ars Ast 2008-9 1 1 0 4 Ars Ast 2010-11 -1 2 1 5 Ars Ast 2010-11 0 2 0 6 Ars Ast 2010-11 1 2 0 Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 12 / 18
  • 13. Generalised Davidson as Poisson Model Model log expected counts for each match k (log probabilities) log(pr(i beats j)k) = θijk + log(µαi) log(pr(draw)k) = θijk + log δ − log c + σ(π log(µαi) − (1 − π) log(αj)) + (1 − σ) log(µαi + αj) log(pr(j beats i)k) = θijk + log(αj) where θijk fixes the total count for each match to 1. With gnm: gnm(count ~ GenDavidson(result == 1, result == 0, result == -1, home:season, away:season, home.adv = ~1, tie.max = ~1, tie.scale = ~1, tie.mode = ~1, at.home1 = home1, at.home2 = home2) - 1, eliminate = match, family = poisson, data = football.tri) Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 13 / 18
  • 14. Alternative Models We consider the following models 1 Davidson: σ = 1, π = 0.5 2 Scaled Davidson: σ = ˆσ, π = 0.5 3 Shifted, scaled Davidson: σ = ˆσ, π = ˆπ Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi) 1 3665 3533.7 2 3664 3523.2 1 10.4657 0.001216 ** 3 3663 3517.6 1 5.5575 0.018402 * Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 14 / 18
  • 15. q qqq q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqqq q q qq q q q q q qq qqq qq Davidson Proportion q q Non−drawn matches won Matches drawn q qq qq qq qq q q q qq q q q q q q q q q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q pr(i beats j | not a draw) 0.0 0.5 1.0 0.000.321.00 σ = 1, q = 0.5 Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 15 / 18
  • 16. q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qqq q q q q q q q q q q q qqq q q q q q q q q q q qqq q qq q qq q Scaled Davidson Proportion q q Non−drawn matches won Matches drawn q q q qq qq q q q q qq q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q qq q q q q q q qqq q q q q q q q q q qq q q q q q q q qq q qq q q q q q q qqqq q qq q q q q q qq q q q qq q q pr(i beats j | not a draw) 0.0 0.5 1.0 0.000.351.00 σ = 2.22, q = 0.5 Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 16 / 18
  • 17. q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q qq q q q q q q qq q qq q Shifted & Scaled Davidson Proportion q q Non−drawn matches won Matches drawn q q q q qqq q q qq q q q q q q qq q q qq qq q q qq q qqq qq q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q qq q q q q q q q q q qq qq q qq q q pr(i beats j | not a draw) 0.00 0.58 1.00 0.000.361.00 σ = 3.12, q = 0.58 Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 17 / 18
  • 18. Conclusions Proposed model explicitly models draws distinguishes overall pr(draw) from dependence of pr(draw) on relative ability Expressing pr(draw) in terms of pr(i beats j | not a draw) helps to assess model fit. plotProportions and GenDavidson to be provided as example in BradleyTerry2. Turner, Firth & Robertson (Warwick, UK) Bradley-Terry Models with Ties useR! 2013 18 / 18