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Estructuras discretas unidad iii

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Estructuras discretas unidad iii

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO CABUDARE ESTADO LARA CONJUNTOS CONJUNTOS INTEGRANTES: Héctor Peraza TUTOR: Domingo Méndez
  2. 2. • Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales se llaman Elementos .• Se llama Conjunto Universal , el cual se denota por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar.• Ejemplo:• Considere el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso se escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y el conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales.
  3. 3. • Los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc.• Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en un círculo, el cual es llamado Diagrama de Venn.• Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x є A, se lee "x pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación se escribe así: x є A la cual significa que x no está en A o no pertenece a A.
  4. 4. Existen dos formas de determinar un conjunto: Por Extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno.• Ejemplo: A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}• Por Comprensión: Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada. Ejemplo: B = { x є R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18)
  5. 5. • Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un elemento de B.• Simbólicamente lo expresaremos como: • A ⊂ B ⇔ ( ∀ x є U) ( x є A ⇒ x є B )• Ejemplo:• A conjunto formado por todos los Barquisimetanos; B conjunto formado por todos los Venezolanos• Entonces, tenemos que todo elemento de A es también elemento de B. Esta relación se simboliza por A B.
  6. 6. • T EOREMA:• La re la ció n de inclusión entre conjuntos es•• Re flexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.• An tisimé trica: A ⊂ B ^ B ⊂ A ⇒ A = B.• Tran sitiva : A ⊂ B ^ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C .
  7. 7. • DEFINICION: Diremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.• Ejemplo:• Si A = { a,d,f,} y B = { a,b,c,d,e,f,h }• Entonces A es subconjunto propio de B.
  8. 8. • Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o conjunto partes de A como ℘(A) = { X / X ⊂ A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.• Ejemplo:• Si A = {x,y,z} entonces• ℘(A) = {{Φ}, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}
  9. 9. CARACTERISTICAS: La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos. Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de ℘ (A), ya que si A tiene n elementos, entonces ℘(A) tiene 2 n elementos.• El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de inclusión:• Teorema A ⊂ B Û ℘(A) ⊂ ℘(B)
  10. 10. • DEFINICION:• Dado un conjunto A, el conjunto vacío ΦA es el conjunto:• ΦA = { x є A / x ≠ x } el ΦA no tiene elementos, ya que todo x є A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es subconjunto de todo conjunto A.
  11. 11. • REPRESENTACION TABULAR DEL CONJUNTO PRODUCTO• Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo.• Ejemplo :• Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB• Solución• AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}
  12. 12. • Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {9,3,5,2,10} son iguales.• El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.• Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ⇔ A ⊂ B ^ B ⊂ A• Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:• (x є A ⇔ x є B ) = ( x є A ⇒ x є B ) ^ ( x є B ⇒ x є A )
  13. 13. • Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto:• A U B = { x є U / x є A ^ X єB}• Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.• Ejemplo:• Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,• A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
  14. 14. Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades: A U A = A A U U = U A U Φ = A A U B = B U A Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d,e} B = {a,c,e,h,i,j,k} La intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto A I B ={a,c,e}
  15. 15. • Sean A y B conjuntos, luego se cumple:• A I A = A , ∀ A• A I U = A , donde U es el conjunto universal•• A I Φ = Φ•• A I B = B I A
  16. 16. • Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el siguiente conjunto:• A - B = { x Î U / x Î A Ù x Ï B}. Es decir, son todos los elementos que están en A pero que no están en B.• Ejemplo:• Consideremos los conjuntos• A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}• Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}
  17. 17. • TEOREMA:• Sean A y B dos conjuntos luego:• A - B = AI C(B)• C(C(A)) = A• A U C(A) = U• A I C(A) = f• C(U) = f• C(f ) = U• A Ì B Û C(B) Ì C(A)(Leyes de Morgan para conjuntos)• C(A U B) = C(A) I C(B)• C(A I B) = C(A) U C(B)
  18. 18. • Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación:• Leyes de Idempotencia• A U A = A ⋂ A = A• A• Leyes Asociativas• A U (B U C) = (A U B) U C• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C
  19. 19. • Leyes Conmutativas• A U B =B U A• A ⋂ B = B ⋂ A Leyes Distributivas• A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C) ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C)• A• Leyes de Identidad• A U Φ = A ⋂ Φ= Φ• ALeyes de Dominación• A U U = U U: conjunto universal• A ⋂ U =ALeyes de Complementación• A U C(A) = U• A ⋂ C(A) = ΦΦΦ) = U• C (C(A)) = A• C (U) =• CLeyes de De Morgan• C(A U B) = C(A) ⋂ C (B) ⋂ B) = C(A) U C (B)• C(A)
  20. 20. • Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù b Î B}• TEOREMA:• Si A,B,C son tres conjuntos entonces:• A x B = F Û A = F Ú B = F• A x (B U C) = (A x B) U (A x C)•• A x (B I C) = (A x B) I (A x C)• A x (B -C) = (A x B) - (A x C )
  21. 21. • Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A 1 , A 2 , & , A n }, donde cada A i con iÎ I, representa un conjunto.• Al conjunto {A 1 , A 2 , & , A n } lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {A i } iÎ I .
  22. 22. • Sea X un conjunto y {A i } iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {A i } iÎ I es una partición de X, si y sólo si:• Cada A i es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {A i } iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.• Ejemplo:• Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A 1 ={a, b}, A 2 {e, c, g}, A 3 ={d, f} , entonces {A 1 , A 2 , A 3 } es una partición de X.
  23. 23. • Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.• TEOREMA:• Sean A y B dos conjuntos finitos, luego:• (B - A) = #B - #(A I B)• #(A U B) = #A + #B - #(A I B)• TEOREMA:• Si A; B y C son tres conjuntos finitos entonces• #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).• Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de conjuntos.

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