Sang tao4

1,158 views

Published on

Published in: Education, Spiritual
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,158
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
38
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Sang tao4

  1. 1. Thi HSG Quốc gia 2010CCKLK: Dãy con chung không liền kề dài nhấtCho dãy số nguyên dương x = (x1, x2, ..., xn). Dãy y = (xi1, xi2, ..., xik) được gọi là dãy con không liền kề củadãy x nếu 1  i1 < i21 < ... < ik1  n. Cho 2 dãy số nguyên a gồm n phần tử và b gồm m phần tử. Xácđịnh chiều dài k của dãy con chung không liền kề dài nhất của a và b. 2  m, n  1000, 1 ai, bi  10000.CCKLK.INP CCKLK.OUT Giải thích5 6 2 CCKLK.INP: Dòng đầu: n m. Từ dòng thứ hai trở đi: Dãy số a,1 5 3 8 2 tiếp đến là dãy số b.2 1 3 4 2 6 CCKLK.OUT: k.Thuật toánQuy hoạch động.Gọi d(i,j) là đáp số của bài toán khi xét hai dãy a[1..i] và b[1..j]. Ta có:  Nếu i ≤ 0 thì ta quy ước d(i,j) = 0,  Nếu a[i] = b[j] thì d(i,j) = d(i−2,j−2),  Nếu a[i] ≠ b[j] thì d(i,j) = max { d(i−1,j), d(i,j−1) }.Để cài đặt ta dùng 3 mảng một chiều x, y và z với ý nghĩa x[j] = d(i−2,j), y[j] = d(i−1,j) và z[j] = d(i,j). Khiđó hệ thức trên được viết là:  Nếu i ≤ 0 thì ta quy ước d(i,j) = 0,  Nếu a[i] = b[j] thì d(i,j) = d(i−2,j−2) ứng với z[j] = x[j−2],  Nếu a[i] ≠ b[j] thì d(i,j) = max { d(i−1,j), d(i,j−1) } ứng với z[j] = max { y[j], z[j−1] }.Muốn tránh các phép copy dữ liệu từ y sang x; từ z sang y và từ x sang z ta chỉ cần tráo đổi các con trỏmảng.Độ phức tạpO(n.m)Chương trình Pascal (* CCKLK.PAS k: chieu dai day con chung khong lien ke dai nhat cua hai day so nguyen duong a[1..n], b[1..m] *) const fn = ccklk.inp; gn = ccklk.out; bl = #32; nl = #13#10; mn = 1001; type int = integer; mi1 = array[0..mn] of int; var n, m: int; a, b: mi1; function Max(a,b: int): int; begin if a >= b then Max := a else Max := b; end; procedure Doc; var i: int; f: text; begin assign(f,fn); reset(f); read(f,n, m);
  2. 2. writeln(n,bl,m); for i := 1 to n do read(f,a[i]); for i := 1 to m do read(f,b[i]); write(nl, a: ); for i := 1 to n do write(a[i],bl); write(nl, b: ); for i := 1 to n do write(b[i],bl); close(f);end;procedure Ghi(k: int); var g: text; begin assign(g,gn); rewrite(g); writeln(g,k); close(g);end;(* d(i,j) = dap so cua bai toan voi a[1..i], b[1..j] d(i,j) = d(i-2,j-2) + 1, if a[i] = b[j] = Max begin d(i,j-1), d(i-1,j) end;, elsewhere = 0, if i < 1 || j < 1*)function QHD: int; var i, j, v: int; c: array[1..3] of mi1; x, y, z, t: int;begin x := 1; y := 2; z := 3; { Init i = 0 } fillchar(c[x],sizeof(c[x]), 0); { Init i = 1 } c[y][0] := 0; v := 0; for j := 1 to m do begin if (a[1] = b[j]) then v := 1; c[y][j] := v; end; v := 0; for i := 2 to n do begin c[z][0] := 0; if (a[i] = b[1]) then v := 1; c[z][1] := v; for j := 2 to m do if (a[i] = b[j]) then c[z][j] := c[x][j-2]+1 else c[z][j] := Max(c[z][j-1],c[y][j]); t := x; x := y; y := z; z := t; end; QHD := c[y][m];end;BEGIN Doc; Ghi(QHD); write(nl, Fini );
  3. 3. readln; END.Chương trình CPP /* DevC++ CCKLK.CPP k: chieu dai day con chung khong lien ke dai nhat cua hai day so nguyen duong a[1..n], b[1..m] */ #include <fstream> #include <iostream> using namespace std; // D A T A A N D V A R I A B L E const char * fn = "ccklk.inp"; const char * gn = "ccklk.out"; const int mn = 1001; int n, m; int a[mn],b[mn]; // P R O T O T Y P E S void Doc(); int QHD(); // Quy hoach dong void Ghi(int); int Max(int,int); // I M P L E M E N T A T I O N int main() { Doc(); Ghi(QHD()); cout << endl << " Fini "; cin.get(); return 0; } int Max(int a, int b) { return (a >= b) ? a : b; } void Doc() { int i; ifstream f(fn); f >> n >> m; cout << endl << n << " " << m; for (i = 1; i <= n; ++i) f >> a[i]; for (i = 1; i <= m; ++i) f >> b[i]; cout << endl << "a: "; for (i = 1; i <= n; ++i) cout << a[i] << " "; cout << endl << "b: "; for (i = 1; i <= m; ++i) cout << b[i] << " "; f.close(); } void Ghi(int k) { ofstream g(gn); g << k; g.close(); } /* d(i,j) = dap so cua bai toan voi a[1..i], b[1..j] d(i,j) = d(i-2,j-2) + 1, if a[i] = b[j] = Max { d(i,j-1), d(i-1,j) }, elsewhere
  4. 4. = 0, if i < 1 || j < 1 */ int QHD() { int *x, *y, *z, *t; int i, j , m1 = m+1, v ; x = new int[m1]; y = new int[m1]; z = new int[m1]; // Init i = 0 memset(x,0,sizeof(int)*m1); // Init i = 1 y[0] = 0; v = 0; for (j = 1; j <= m; ++j) { if (a[1] == b[j]) v = 1; y[j] = v; } v = 0; for (i = 2; i <= n; ++i) { z[0] = 0; if (a[i]==b[1]) v = 1; z[1] = v; for (j = 2; j <= m; ++j) z[j] = (a[i] == b[j]) ? x[j-2]+1 : Max(z[j-1],y[j]); t = x; x = y; y = z; z = t; } v = y[m]; delete x; delete y; delete z; return v; }Ổn địnhCho đồ thị có hướng gồm n đỉnh và m cung (u,v). Cho trước đỉnh s. Một đỉnh d ≠ s được gọi là ổn định đốivới s nếu có ít nhất hai đường đi ngắn nhất từ s tới d. Hãy tính k là số lượng đỉnh ổn định đối với đỉnh s.2  n  10000, 1  m  50000.ONDINH.INP ONDINH.OUT Giải thích6 7 1 2 ONDINH.INP: Dòng đầu: n m s. Từ dòng thứ hai trở đi:m cung1 2 dạng u v. Có thể có các cung trùng nhau (dư thừa).1 4 ONDINH.OUT: k.2 3 Thí dụ cho biết: có 3 đỉnh ổn định đối với đỉnh 1 là các đỉnh 52 5 và 6.4 5 1 → 2 → 5; 1 → 4→ 5;2 3 1 → 2 → 5→ 6; 1 → 4→ 5→ 6.5 6Thuật toánDùng một biến thể của thuật toán Dijkstra. // Ondinh.CPP // HSG 2010 #include <string.h>
  5. 5. #include <fstream>#include <iostream>//#include <mem.h>using namespace std;// D A T A A N D V A R I A B L E Schar * fn = "ondinh.inp";char * gn = "ondinh.out";const int mn = 10001;const int mm = 50001;typedef struct { int a, b; } cung;cung c[mm];int len[mn]; // len[i] chieu dai s => ichar mark[mn]; // mark[i] danh dau dinh i: // Chua xet 0; Co trong hang doi q 1; Da xu li 2int d[mn]; // d[i] so luong duong ngan nhat s => iint q[mn]; // hang doiint n, m, s ; // so dinh n, so cung m, dinh xuat phat s// P R O T O T Y P E Sint main();void Doc();int XuLi();int Min(int, int);int BinSearch(cung [], int, int, int);int Sanh(int,int,int,int);void Ghi();int main(){ Doc(); XuLi(); Ghi(); cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0;}int Min(int a, int b) { return (a <= b) ? a : b; }void Ghi() { int i, k = 0; for (i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] > 1) ++k; ofstream g(gn); g << k; g.close();}int XuLi() { int i, j, k, v, r; v = 0; r = 0; memset(mark,0,sizeof(mark)); memset(d,0,sizeof(d)); len[s] = 0; d[s] = 1; q[++v] = s; while (r < v) { // 1 i = q[++r]; cout << endl << " Xet dinh " << i; mark[i] = 2; for (k = BinSearch(c,m,i,0); c[k].a == i; ++k) { // 2
  6. 6. j = c[k].b; // xet cac dinh j ke dinh i if (mark[j] == 0) { len[j] = len[i]+1; mark[j] = 1; d[j] = d[i]; q[++v] = j; } else if (mark[j] == 1) { if (len[i]+1 == len[j]) d[j]++; } } // 2 } // 1 for (i = 1; i <= n; ++i) cout << d[i] << " ";}int Sanh(int u1, int v1, int u2, int v2) { if (u1 < u2) return -1; if (u1 > u2) return 1; // u1 == u2 if (v1 < v2) return -1; if (v1 > v2) return 1; return 0;}int BinSearch(cung c[], int k, int u, int v) { int d = 1, m; while (d < k) { m = (d + k) / 2; if (Sanh(c[m].a,c[m].b,u,v) < 0) d = m+1; else k = m; } return d;}void Doc() { int i, j, u, v, k = 0; ifstream f(fn); f >> n >> m >> s; cout << endl << n << " " << m << " " << s; // The first edge (u,v) f >> u >> v; ++k; c[k].a = u; c[k].b = v; for (i = 2; i <= m; ++i) { f >> u >> v; j = BinSearch(c,k,u,v); if (Sanh(c[j].a,c[j].b,u,v) != 0) { if (Sanh(c[j].a,c[j].b,u,v) < 0) { ++k; c[k].a = u; c[k].b= v; } else { memmove(&c[j+1], &c[j], (k-j+1)*sizeof(cung));// <mem.h> c[j].a = u; c[j].b = v; ++k; } } } f.close(); m = k;}
  7. 7. // Ondinh.CPP Phuong an cu// HSG 2010#include <string.h>#include <fstream>#include <iostream>//#include <mem.h>using namespace std;// D A T A A N D V A R I A B L E Schar * fn = "ondinh.inp";char * gn = "ondinh.out";const int mn = 10001;const int mm = 50001;typedef struct { int a, b; } cung;cung c[mm];int p[mn];char d[mn];int s[mn];int n, m, x; // so dinh n, so cung m, dinh xuat phat x// P R O T O T Y P E Sint main();void Doc();int XuLi();int Minp();int Min(int, int);int BinSearch(cung [], int, int, int);int Sanh(int,int,int,int);void Ghi();int main(){ Doc(); XuLi(); Ghi(); cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0;}int Min(int a, int b) { return (a <= b) ? a : b; }int Minp() { int i, imin = 0; for (i = 1; i <= n; ++i) if (!d[i] && p[i] < p[imin]) imin = i; d[imin] = 1; return imin;}void Ghi() { int i, k = 0; for (i = 1; i <= n; ++i) if (s[i] > 1) ++k; ofstream g(gn); g << k; g.close();}
  8. 8. int XuLi() { int i, imin, j, k; memset(d,0,sizeof(d)); for (i = 2; i <= n; ++i) s[i] = 0; s[x] = 1; p[0] = n+2; p[x] = 0; for (i = 2; i <= n; ++i) p[i] = n+1; for (i = 1; i <= n; ++i) { imin = Minp(); for (k = BinSearch(c,m,imin,0); c[k].a == imin; ++k) { j = c[k].b; if (!d[j]) { if (p[imin]+1 < p[j]) { p[j] = p[imin]+1; s[j] =s[imin]; } else if (p[imin]+1 == p[j]) ++s[j]; } } }}int Sanh(int u1, int v1, int u2, int v2) { if (u1 < u2) return -1; if (u1 > u2) return 1; // u1 == u2 if (v1 < v2) return -1; if (v1 > v2) return 1; return 0;}int BinSearch(cung c[], int k, int u, int v) { int d = 1, m; while (d < k) { m = (d + k) / 2; if (Sanh(c[m].a,c[m].b,u,v) < 0) d = m+1; else k = m; } return d;}void Doc() { int i, j, u, v, k = 0; ifstream f(fn); f >> n >> m >> x; // The first edge (u,v) f >> u >> v; ++k; c[k].a = u; c[k].b = v; for (i = 2; i <= m; ++i) { f >> u >> v; j = BinSearch(c,k,u,v); if (Sanh(c[j].a,c[j].b,u,v) != 0) { if (Sanh(c[j].a,c[j].b,u,v) < 0) { ++k; c[k].a = u; c[k].b= v; } else { memmove(&c[j+1], &c[j], (k-j+1)*sizeof(cung));// <mem.h> c[j].a = u; c[j].b = v; ++k; } } } f.close();
  9. 9. m = k; }Mã số thuếXét tập S gồm tất cả các số 1..n trong hệ 36, 36  n  1016. Cho số m: 3  m  70. Xét dãy số nguyên 1 < c1< c2 < ... < ck < 36, k = (m1)/2 , x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.Chọn các số chứa các chữ số < c1 cấp cho 2 nhóm 1 và 2 rồi xóa các số này. Chọn các số chứa các chữ số< c2 cấp cho 2 nhóm 3, 4.... Các số còn lại cấp cho 1 hoặc 2 nhóm cuối.Nhóm le: từ nhỏ, nhóm chẵn: từ lớn.Cho các số hệ 10: n, m, ci, p và q. Xác định mã (hệ 36) cấp cho ng thứ q nhóm p.Thí dụ:n = 50, m = 3, p = 2, q = 2, c1 = 16. 1dCăt đoạnCho hình chữ nhật OABC, OA = n, OC = m, coi O là gốc tọa độ (0,0). Trong hình CN cho k đoạn thẳngđứng. Tìm điểm P trên BA hoặc BC để đoạn OP cắt nhiều đoạn nhất.Đoạn khác nhauCho dãy a gồm n số nguyên dương. Một đoạn của dãy a, kí hiệu a[i..j] là dãy gồm các phần tử đứng liêntiếp nhau trong dãy a, kể từ phần tử ai đến phần tử aj, a[i..j] = (ai, ai+1,...,aj-1, aj), 1  i <= j  n. Hãy tìmđoạn dài nhất gồm các phần tử đôi một khác nhau.1  n, ai  100000.Dữ liệu vào: Tệp văn bản diff.inp  Dòng đầu tiên: số n.  Từ dòng thứ hai trở đi: dãy số a.Dữ liệu ra: Tệp văn bản diff.out chứa 2 số:  imax  chỉ số đầu tiên của đoạn dài nhất tìm được trong dãy a  dmax  số phần tử của doạn dài nhất.Các số trên cùng dòng cách nhau qua dấu cách. diff.inp diff.out Giải thích Tính từ phần tử thứ 3 có cả thảy 10 3 8 số đôi một khác nhau là 5 2 4 1 5 8 3 2 7 6 9 4 1 5 3 2 7 6 9Thuật toánLần lượt đọc các phần tử ai của dãy a và đánh dấu vị trí xuất hiện của ai trong dãy thông qua mảng p, p[ai] =i. Với thí dụ đã cho, sau khi đọc và xử lý xong dãy a ta phải thu được i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ai 5 2 4 1 5 3 2 7 6 9 p 4 2/7 6 3 1/5 9 8 0 10 0
  10. 10. p[2] = 2/7 cho biết số 2 lúc đầu xuất hiện tại vị trí 2 trong dãy a, sau đó xuất hiện tại vị trí 7 trong dãy a. p[8] = p[10] = 0 cho biết các số 8 và 10 không xuất hiện trong dãy a.Ta gọi p là dãy trỏ ngược hay dãy vị trí của dãy a. Ta xử lý từng đoạn d của ai như sau. Mỗi đoạn d sẽ baogồm một dãy liên tiếp các phần tử đôi một khác nhau tính từ chỉ số i đến j. Thí dụ trên cho ta lần lượt 3đoạn sau:  Đoạn thứ nhất d = a[1..4] = (5, 2, 4, 1), i = 1, j = 4,  Đoạn thứ hai d = a[2..6] = (2, 4, 1, 5, 3), i = 2, j = 6,  Đoạn thứ ba d = a[3..10] = (4, 1, 5, 3, 2, 7, 6, 9), i = 3, j = 10.Mỗi đoạn d được xác định như sau: Mỗi khi gặp phần tử aj đầu tiên trùng với một phần tử trong dãy tính từi thì ta cắt ra được đoạn d = a[i..j1].Với mỗi đoạn d[i..j] ta tính số phần tử của đoạn đó là ji+1 và cập nhật giá trị dmax. Để khởi trị cho đoạntiếp theo, ta đặt i = p[aj]+1. Chú ý rằng p[aj] là vị trí xuất hiện của giá trị lặp aj.Độ phức tạpO(n)Chương trình Pascal (* diff.pas Tim doan dai nhat gom cac phan tu doi mot khac nhau *) const fn = diff.inp; gn = diff.out; bl = #32; nl = #13#10; mn = 100001; var p: array[0..mn] of longint; n: longint; imax, dmax: longint; { imax - chi so dau tien cua doan dai nhat dmax - so phan tu cua doan dai nhat } f,g: text; procedure Run; var i, j, v, istart: longint; begin imax := 0; dmax := 0; fillchar(p,sizeof(p),0); assign(f,fn); reset(f); readln(f,n); read(f,v); { phan tu dau tien trong day } p[v] := 1; istart := 1; for i := 2 to n do begin read(f,v); if (p[v] >= istart) then begin if (i-istart > dmax)then begin dmax := i-istart; imax := istart; end; istart := p[v]+1;
  11. 11. end; p[v] := i; end; close(f); i := n+1; if (i-istart > dmax) then begin dmax := i-istart; imax := istart; end; assign(g,gn); rewrite(g); write(g, imax, nl, dmax); close(g); end; BEGIN Run; write(nl, Fini ); readln; END.Chương trình CPP /* DevC++: Diff.cpp Tim doan dai nhat gom cac phan tu doi mot khac nhau */ #include <fstream> #include <iostream> using namespace std; // D A T A A N D V A R I A B L E S const char * fn = "diff.inp"; const char * gn = "diff.out"; const int mn = 100001; int p[mn]; // p[v] = i: noi xuat hien so v trong day int n; int imax; // chi so dau tien cua doan dai nhat int dmax; // so phan tu cua doan dai nhat // P R O T O T Y P E S int main(); void Run(); // I M P L E M E N T A T I O N int main() { Run(); cout << endl; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } void Run() { int i, j, v, istart; imax = 0, dmax = 0;
  12. 12. memset(p,0,sizeof(p)); ifstream f(fn); f >> n; f >> v; // v phan tu dau day p[v] = 1; istart = 1; for (i = 2; i <= n; ++i) { f >> v; if (p[v] >= istart) { // so v co trong doan istart..i if (i-istart > dmax) { dmax = i-istart; imax = istart; } istart = p[v]+1; } p[v] = i; } f.close(); i = n+1; if (i-istart > dmax) { dmax = i-istart; imax = istart; } ofstream g(gn); g << imax << endl << dmax; }Hoán vị 1kCho dãy a gồm n số nguyên dương đôi một khác nhau. Hãy tìm đoạn dài nhất gồm các phần tử tạo thànhmột hoán vị của dãy (1, 2 ,..., k), 1  n, ai  100000.Dữ liệu vào: Tệp văn bản hv1k.inp  Dòng đầu tiên: số n.  Từ dòng thứ hai trở đi: dãy số a.Dữ liệu ra: Tệp văn bản hv1k.out chứa 2 số:  imax  chỉ số đầu tiên của đoạn dài nhất tìm được trong dãy a  dmax  số phần tử của đoạn dài nhất.Các số trên cùng dòng cách nhau qua dấu cách. hv1k.inp hv1k.out Giải thích 10 3 Tính từ phần tử thứ 3 có 6 số 5 2 4 1 5 6 liên tiếp tạo thành một hoán vị 3 2 6 9 8 của 1..6 là 4 1 5 3 2 6Thuật toánKí hiệu a[i..j] là đoạn gồm các phần tử liên tiếp từ ai đến aj của dãy a và kí hiệu set(x) là tập chứa các phầntử (khác nhau) của dãy x. Với thí dụ đã cho ta có, a[1..5] = (5, 2, 4, 1, 5) và do đó set(a[1..5]) = {1, 2, 4,5}. Gọi p là dãy vị trí (trỏ ngược) của dãy a. Vì dãy a gồm các phần tử đôi một khác nhau nên p cũng chứacác chỉ số đôi một khác nhau. Khi đó a chứa một đoạn là hoán vị của k số tự nhiên đầu tiên (1,2,...,k) khi vàchỉ khi tìm được hai chỉ số s và e thỏa đồng thời hai tính chất sau:  es+1 = k, và  set(a[s..e]) = {1, 2, ... , k}.
  13. 13. Trong thí dụ trên ta tìm được s = 3, e = 8, k = 6, a[3..8] = (4, 1, 5, 3, 2, 6), và do đó set(a[3..8]) = {1, 2, 3, 4,5, 6}.Xét dãy chỉ số 1, 2, ..., i thỏa tính chất  j: 1  j  i: p[j] ≠ 0.Để ý rằng điều kiện p[j] ≠ 0 tương đương với điều kiện giá trị j của dãy a xuất hiện tại vị trí p[j]. Đặt s =min p[1..i] = min {p[1], p[2], ... , p[i]} và e = max p[1..i] = max {p[1], p[2], ... , p[i]}. Ta thấy a chứa mộtđoạn là hoán vị của dãy (1,2,...,i) khi và chỉ khi es+1 = i.Độ phức tạpO(n).Chương trình Pascal (* -------------------------------------- hv1k.pas Tim doan dai nhat trong day so doi mot khac nhau tao thanh mot hoan vi 1..k -----------------------------------------*) const fn = hv1k.inp; gn = hv1k.out; mn = 1000002; nl = #13#10; bl = #32; var p: array[0..mn] of longint; n: longint; imax, dmax: longint; f,g: text; procedure Doc; var i, v: longint; begin assign(f,fn); reset(f); fillchar(p,sizeof(p),0); readln(f,n); for i := 1 to n do begin read(f,v); p[v] := i; end; close(f); end; function Min(a,b: longint): longint; begin if (a <= b) then Min := a else Min := b end; function Max(a,b: longint): longint; begin if (a >= b) then Max := a else Max := b end; procedure Hv; var i, pmin, pmax: longint; begin pmin := n+1; pmax := 0; imax := 0; dmax := 0; for i := 1 to n do begin if (p[i] = 0) then break;
  14. 14. pmin := Min(pmin,p[i]); pmax := Max(pmax,p[i]); if (pmax - pmin + 1 = i) then begin imax := pmin; dmax := pmax - pmin + 1; end; end; end; procedure Ghi; begin assign(g,gn); rewrite(g); writeln(g, imax,nl,dmax); close(g); end; procedure Run; begin Doc; Hv; Ghi; end; BEGIN Run; write(nl, Fini ); readln; END.Chương trình CPP /* -------------------------------------- devCPP: hv1k.cpp Tim doan dai nhat trong day so doi mot khac nhau tao thanh mot hoan vi 1..k -----------------------------------------*/ #include <fstream> #include <iostream> using namespace std; // D A T A A N D V A R I A B L E S const char * fn = "hv1k.inp"; const char * gn = "hv1k.out"; const int mn = 100002; int p[mn]; int n; int imax, dmax; // P R O T O T Y P E S int main(); void Doc(); int Min(int, int); int Max(int, int); void Hv(); void Ghi();
  15. 15. void Run(); // I M P L E M E N T A T I O N int main() { Run(); cout << endl; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } void Doc() { int i, v; ifstream f(fn); memset(p,0,sizeof(p)); f >> n; for (i = 1; i <= n; ++i) { f >> v; p[v] = i; } f.close(); } int Min(int a, int b) { return (a <= b) ? a : b; } int Max(int a, int b) { return (a >= b) ? a : b; } void Hv() { int i, pmin = n+1, pmax = 0; imax = 0; dmax = 0; for (i = 1; i <= n; ++i) { if (p[i] == 0) break; pmin = Min(pmin,p[i]); pmax = Max(pmax,p[i]); if (pmax - pmin + 1 == i) { imax = pmin; dmax = pmax - pmin + 1; } } } void Ghi() { ofstream g(gn); g << imax << endl << dmax; g.close(); } void Run() { Doc(); Hv(); Ghi(); }Hoán vị skCho dãy a gồm n số nguyên dương đôi một khác nhau. Hãy tìm đoạn dài nhất gồm các phần tử tạo thànhmột hoán vị của dãy số tự nhiên liên tiếp (s, s+1 ,..., k), 1  n, ai  100000.
  16. 16. Dữ liệu vào: Tệp văn bản hvsk.inp  Dòng đầu tiên: số n.  Từ dòng thứ hai trở đi: dãy số a.Dữ liệu ra: Tệp văn bản hvsk.out chứa 2 số:  imax  chỉ số đầu tiên của đoạn dài nhất tìm được trong dãy a  dmax  số phần tử của đoạn dài nhất.Các số trên cùng dòng cách nhau qua dấu cách. hvsk.inp hvsk.out Giải thích 7 3 Tính từ phần tử thứ 3 trong dãy 12 1 4 7 8 5 a có 5 số liên tiếp tạo thành một 5 6 hoán vị của 4..8 là a[3..7]: 4 7 8 5 6Thuật toánGọi p là dãy trỏ ngược của dãy a. Vì dãy a gồm các phần tử đôi một khác nhau nên p cũng chứa các chỉ sốđôi một khác nhau. Khi đó a chứa một đoạn là hoán vị của dãy số tự nhiên liên tiếp s..k khi và chỉ khi tìmđược hai chỉ số i và j thỏa đồng thời hai tính chất sau:  ji = ks, và  set(a[i..j]) = {s, s+1, ... , k}.Trong thí dụ trên ta tìm được i = 3, j = 7, s = 4, k = 8, a[3..7] = (4, 7, 8, 5, 6), và do đó set(a[3..7]) = {4, 5,6, 7, 8}.Khi đọc dữ liệu ta đồng thời xác định hai giá trị cận vmin và vmax của dãy a. Để ý rằng p[vmin..vmax]gồm các đoạn toàn 0 và đoạn khác 0 đan xen nhau. Thí dụ trên cho ta ai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p 2 0 0 3 6 7 4 5 0 0 0 1 vmin = 1. vmax = 12Khi duyệt p[vmin..vmax] ta xét 2 trạng thái 0 và 1 như sau:Trạng thái 0: Duyệt đoạn p toàn 0, p[2..3] và p[9..11].Nếu gặp p[i] > 0 thì khởi trị cho trạng thái duyệt đoạn khác 0, p[istart..]:  Ghi nhận chỉ số đầu đoạn khác 0: istart = i,  Khởi trị cac giá trị pmin = min p[istart..k1] và pmax = max p[istart..k1] cho đoạn này: pmin = pmax = p[i],  Chuyển qua trạng thái 1.Trạng thái 1: Duyệt đoạn p khác 0, p[1..1], p[4..8] và p[12..12].Nếu p[i] > 0 thì cập nhật các chỉ số pmin và pmax. Kiểm tra đẳng thức pmaxpmin = iistart để cập nhậtchỉ số đầu tiên của đoạn hoán vị trong dãy a, imax và chiều dài của đoạn hoán vị, dmax.Nếu p[i] = 0 thì kết thúc việc duyệt đoạn p[isstart..i1] này, chuyển qua trạng thái 0.Độ phức tạpO(n).
  17. 17. Chương trình PascalChương trình CPP /* -------------------------------------- hvsk.cpp Tim doan dai nhat trong day so doi mot khac nhau tao thanh mot hoan vi cua day so tu nhien lien tiep s, s+1,...,k -----------------------------------------*/ #include <fstream> #include <iostream> using namespace std; // D A T A A N D V A R I A B L E S const char * fn = "hvsk.inp"; const char * gn = "hvsk.out"; const int mn = 100002; int p[mn]; int pmin, pmax; int vmin, vmax; int n; int imax, dmax; // P R O T O T Y P E S int main(); void Doc(); int Min(int, int); int Max(int, int); void Hv(); // Sliding window void Ghi(); void Run(); // I M P L E M E N T A T I O N int main() { Run(); cout << endl; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } void Doc() { int i, v; ifstream f(fn); memset(p,0,sizeof(p)); vmin = mn; vmax = 0; f >> n; for (i = 1; i <= n; ++i) { f >> v; p[v] = i; vmin = Min(vmin,v); vmax = Max(vmax,v);
  18. 18. } f.close(); } int Min(int a, int b) { return (a <= b) ? a : b; } int Max(int a, int b) { return (a >= b) ? a : b; } void Hv() { int i, istart, q = 0; // trang thai q dmax = 0; ++vmax; for (i = vmin; i <= vmax; ++i) { switch(q) { case 0: // duyet doan toan 0 if (p[i] > 0) { // Khoi tri khi gap so khac 0 pmin = pmax = p[i]; istart = i; q = 1; } break; case 1: // duyet doan khac 0 if (p[i] > 0) { pmin = Min(pmin,p[i]); pmax = Max(pmax,p[i]); if (pmax-pmin == i-istart && pmax-pmin+1 > dmax){ dmax = pmax-pmin+1; imax = pmin; } } else q = 0; break; } // end switch } // end for } void Ghi() { ofstream g(gn); g << imax << endl << dmax; g.close(); } void Run() { Doc(); Hv(); Ghi(); }Hoán vị 1k dài nhất IOIcamp Marathon 2005-2006Cho dãy a gồm n số nguyên dương. Hãy tìm đoạn dài nhất gồm các phần tử tạo thành một hoán vị của dãysố tự nhiên 1..k; 1  n, ai  100000.Dữ liệu vào: Tệp văn bản hv1kmax.inp  Dòng đầu tiên: số n.
  19. 19.  Từ dòng thứ hai trở đi: dãy số a.Dữ liệu ra: Tệp văn bản hv1kmax.out chứa 2 số:  imax  chỉ số đầu tiên của đoạn dài nhất tìm được trong dãy a  dmax  số phần tử của đoạn dài nhất.Các số trên cùng dòng cách nhau qua dấu cách. hv1kmax.inp hv1kmax.out Giải thích 10 3 Tính từ phần tử thứ 3 trong dãy 12 1 4 1 5 5 a có 5 số liên tiếp tạo thành một 3 2 3 1 2 hoán vị của 1..5 là a[3..7]: 4 1 5 3 2Thuật toánDuyệt dãy, dựa theo bài diff, xác định từng đoạn ứng viên a[d..c] chứa tối đa các phần tử liên tiếp nhautrong dãy a và đôi một khác nhau. Với mỗi đoạn ứng viên, dựa theo bài Hv1k, gọi thủ tục Hv(d,c) xác địnhvà cập nhật đoạn dài nhất trong a[d..c] tạo thành một hoán vị của dãy số tự nhiên 1..k.Độ phức tạpChương trình Pascal (* hv1kmax.pas: Tim doan dai nhat gom cac phan tu tao thanh mot hoan vi cua 1..k *) const fn = hv1kmax.inp; gn = hv1kmax.out; mn = 100002; bl = #32; nl = #13#10; var p: array[0..mn] of longint; { p[v] - noi xuat hien gia tri v trong day } n: longint; imax, dmax: longint; f, g: text; function Min(a,b: longint): longint; begin if (a <= b) then Min := a else Min := b; end; function Max(a,b: longint): longint; begin if (a >= b) then Max := a else Max := b; end; procedure Hv(d,c: longint); var i, pmin, pmax: longint; begin pmin := c+1; pmax := d-1; for i := 1 to c-d+1 do begin if (p[i] < d ) or (p[i] > c) then break; pmin := Min(pmin,p[i]); pmax := Max(pmax,p[i]); if (i > dmax) then begin if (pmax - pmin + 1 = i) then
  20. 20. begin imax := pmin; dmax := i; end end end; end; procedure Ghi; begin assign(g,gn); rewrite(g); writeln(g,imax, nl, dmax); close(g); end; procedure Run; var i, v , istart: longint; begin fillchar(p,sizeof(p),0); imax := 0; dmax := 0; assign(f,fn); reset(f); readln(f,n); read(f,v); { v – phan tu dau day a } p[v] := 1; istart := 1; { chi so dau doan } for i := 2 to n do begin read(f,v); if (p[v] >= istart) then { gap phan tu trung lap } begin if (i-istart > dmax) then Hv(istart, i-1); istart := p[v]+1; { Khoi tri dau doan moi } end; p[v] := i; end; close(f); if (n+1-istart > dmax) then Hv(istart,n); Ghi; end; BEGIN Run; write(nl, Fini ); readln; END.Chương trình CPP /* DevC++: hv1kmax.cpp Tim doan dai nhat gom cac phan tu tao thanh mot hoan vi cua 1..k */ #include <fstream> #include <iostream> using namespace std; // D A T A A N D V A R I A B L E S
  21. 21. const char * fn = "hv1kmax.inp";const char * gn = "hv1kmax.out";const int mn = 100002;int p[mn]; // p[v] - noi xuat hien gia tri v trong dayint n;int imax, dmax;// P R O T O T Y P E Sint main();void Run();int Min(int, int);int Max(int, int);void Hv(int, int); // Sliding windowvoid Ghi();// I M P L E M E N T A T I O Nint main() { Run(); cout << endl; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS;}int Min(int a, int b) { return (a <= b) ? a : b; }int Max(int a, int b) { return (a >= b) ? a : b; }// tim hoan vi 1..n trong doan// gom cac phan tu khac nhau doi motvoid Hv(int d, int c) { int i, pmin = c+1, pmax = d-1; int n = c-d+1; for (i = 1; i <= n; ++i) { if (p[i] < d || p[i] > c) break; pmin = Min(pmin,p[i]); pmax = Max(pmax,p[i]); if (i > dmax) { if (pmax - pmin + 1 == i) { imax = pmin; dmax = i; } } }}void Ghi() { ofstream g(gn); g << imax << endl << dmax; g.close();}void Run() { int i, v , istart; memset(p,0,sizeof(p)); imax = 0; dmax = 0;
  22. 22. ifstream f(fn); f >> n; f >> v; p[v] = 1; istart = 1; for (i = 2; i <= n; ++i) { f >> v; if (p[v] >= istart) { if (i-istart > dmax) Hv(istart, i-1); istart = p[v]+1; } p[v] = i; } f.close(); if (n+1-istart > dmax) Hv(istart,n); Ghi(); }Hoán vị sk dài nhấtCho dãy a gồm n số nguyên dương. Hãy tìm đoạn dài nhất gồm các phần tử tạo thành một hoán vị của dãysố nguyên dương liên tiếp s, s+1,...,k; 1  n, ai  100000.Dữ liệu vào: Tệp văn bản hvskmax.inp  Dòng đầu tiên: số n.  Từ dòng thứ hai trở đi: dãy số a.Dữ liệu ra: Tệp văn bản hvskmax.out chứa 2 số:  imax  chỉ số đầu tiên của đoạn dài nhất tìm được trong dãy a  dmax  số phần tử của đoạn dài nhất.Các số trên cùng dòng cách nhau qua dấu cách. hvskmax.inp hvskmax.out Giải thích 10 3 Tính từ phần tử thứ 3 trong dãy 5 1 9 7 5 5 a có 5 số liên tiếp tạo thành một 8 6 3 9 2 hoán vị của 5..9 là a[3..7]: 9 7 5 8 6Thuật toánPha 1. Đọc dãy a, với mỗi ai ghi nhận p[ai] = i là vị trí xuât hiện giá trị ai. Gọi vmin và vmax lần lượt là giátrị min và max của dãy a.Pha 2. Duỵệt dãy giá trị i = vmin..vmax tạo thành một đoạn d gồm các giá trị xuất hiện liên tiếp trong dãya, xác định các giá trị pmin và pmax là vị trí xuất hiện đầu tiên và cuối cùng trong đoạn d. Đoạn d là mộthoán vị của dãy số nguyên dương liên tiếp i, i+1,...,s khi và chỉ khi pmaxpmin+1 = si.Độ phức tạpChương trình PascalChương trình CPP /* DevC++: hv1kmax.cpp Tim doan dai nhat gom cac phan tu tao thanh mot hoan vi cua s..k */
  23. 23. #include <fstream>#include <iostream>using namespace std;// D A T A A N D V A R I A B L E Sconst char * fn = "hvskmax.inp";const char * gn = "hvskmax.out";const int mn = 100002;int p[mn]; // p[v] - noi xuat hien gia tri v trong dayint a[mn];int n;int imax, dmax;// P R O T O T Y P E Sint main();void Run();int Min(int, int);int Max(int, int);void Hv(int, int); // Sliding windowvoid Ghi();// I M P L E M E N T A T I O Nint main() { Run(); cout << endl; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS;}int Min(int a, int b) { return (a <= b) ? a : b; }int Max(int a, int b) { return (a >= b) ? a : b; }void Hv(int d, int c) { int i, istart, q = 0, pmin = c+1, pmax = d-1; int vmin, vmax; // trang thai q vmin = vmax = a[d]; for (i = d+1; i <= c; ++i) { vmin = min(vmin,a[i]); vmax = max(vmax,a[i]); } for (i = vmin; i <= vmax; ++i) { switch(q) { case 0: // duyet doan toan 0 if (p[i] > 0) { // Khoi tri khi gap so khac 0 pmin = pmax = p[i]; istart = i; q = 1; } break; case 1: // duyet doan khac 0 if (p[i] > 0) { pmin = Min(pmin,p[i]);
  24. 24. pmax = Max(pmax,p[i]); if (pmax-pmin == i-istart && pmax-pmin+1 > dmax){ dmax = pmax-pmin+1; imax = pmin; } } else q = 0; break; } // end switch } // end for } void Ghi() { ofstream g(gn); g << imax << endl << dmax; g.close(); } void Run() { int i, v , istart; memset(p,0,sizeof(p)); imax = 0; dmax = 0; ifstream f(fn); f >> n; f >> v; a[1] = v; p[v] = 1; istart = 1; for (i = 2; i <= n; ++i) { f >> v; a[i] = v; if (p[v] >= istart) { if (i-istart > dmax) Hv(istart, i-1); istart = p[v]+1; } p[v] = i; } f.close(); if (n+1-istart > dmax) Hv(istart,n); Ghi(); }Đoạn nguyên tốCho n số tự nhiên ai i = 1..n. Hãy tìm đoạn dài nhất gồm các phần tử là các số nguyên tố.1  n, ai  100000. /* --------------------------------------- Primes.cpp Tim doan dai nhat gom cac so nguyen to ----------------------------------------*/ #include <fstream> #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; // D A T A A N D V A R I A B L E S const int mn = 100001; const char * fn = "primes.inp";
  25. 25. char p[mn]; // p[i] = 0=> i nguyen to int n; int imax, dmax; // P R O T O T Y P E S void Run(); void Sang(int); void Duyet(); // I M P L E M E N T A T I O N int main() { Run(); cout << endl << " Fini "; cin.get(); return 0; } void Sang(int n) { int can = (int) sqrt(n); int i, j, k; p[0] = p[1] = 1; for (i = 2; i <= can; ++i) if (p[i]==0) for (k = n/i, j = i; j <= k; ++j) p[i*j] = 1; } void Duyet() { int i, x, d; imax = 0; dmax = 0; d = 0; ifstream f(fn); f >> n; for (i = 1; i <= n; ++i) { f >> x; cout << x << " "; if (p[x]) { // x khong nguyen to if (d > dmax) { dmax = d; imax = i; } d = 0; } else ++d; } f.close(); if (d > dmax) { dmax = d; imax = n+1; } imax = imax - dmax; } void Run() { Sang(mn); Duyet(); cout << endl << imax << " " << dmax; }Đoạn nguyên tố cùng nhau
  26. 26. Cho n số tự nhiên ai i = 1..n. Hãy tìm đoạn dài nhất gồm các phần tử, trong đó hai phần tử kề nhau thìnguyên tố cùng nhau.1  n, ai  100000. /* --------------------------------------- Primes.cpp Tim doan dai nhat gom cac so nguyen to cung nhau ----------------------------------------*/ #include <fstream> #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; // D A T A A N D V A R I A B L E S const int mn = 100001; const char * fn = "coprime.inp"; char p[mn]; // p[i] = 0=> i nguyen to int n; int imax, dmax; // P R O T O T Y P E S void Run(); void Duyet(); int Gcd(int, int); // I M P L E M E N T A T I O N int main() { Run(); cout << endl << " Fini "; cin.get(); return 0; } int Gcd(int a, int b) { int r; while (b) { r = a % b; a = b; b = r; } return a; } void Duyet() { int i, x, y, d; // d dem so cap nguyen to cung nhau imax = 0; dmax = 0; d = 0; ifstream f(fn); f >> n >> x; for (i = 2; i <= n; ++i) { f >> y; if (Gcd(x,y) == 1) ++d; else { if (d > dmax) { dmax = d; imax = i; }
  27. 27. d = 0; } x = y; } f.close(); if (d > dmax) { dmax = d; imax = n; } ++dmax; imax = imax - dmax; } void Run() { Duyet(); cout << endl << imax << " " << dmax; }Bài toán Euler N 28Trong ma trận vuông n X n, n lẻ xuất phát từ ô giữa ghi lần lượt các số từ 1..n2 theo đường xoắn ốc theochiều kim dồng hồ. Với n = 5 tổng các phần tử trên 2 đường chéo là 101. Hãy tính tổng này với n = 1001. 21 22 23 24 25 20 7 8 9 10 19 6 1 2 11 18 5 4 3 12 17 16 15 14 13Nhận xétXét các số nằm ở bốn góc của hình vuôn cạnh n. Số ở góc trên phải là n2, các số còn lạilần lượt là n2−(n−1), n2−2(n−1) và n2−3(n−1). Tổng 4 số này làd(n) = n2 + n2−(n−1) + n2−2(n−1) + n2−3(n−1) = 4n2 − 6(n−1), n > 1Với n = 1, d(1) = 1.Tổng các số trên hai đường chéo chính làs(n) = d(1) + d(3) +…+d(n). /* Name: Problem Euler 28
  28. 28. Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy Date: 10/06/10 10:53 Description: 2 mau (den, trang) va 16 mau */ #include <iostream> #include <stdio.h> using namespace std; int Euler28(int n) { int e = 1; for (int i = 3; i <= n; i += 2) e += 4*i*i - 6*(i-1); return e; } main() { cout << endl << Euler28(1001); // 669171001 cout << endl << " Fini"; cin.get();return 0 ; }Bài toán Euler N 52Số x = 125874, và 2x = 251748 được tạo bởi cùng chữ số theo trật tự khác nhau. Tìm số tự nhiên nhỏ nhấtx sao cho 2x, 3x, 4x, 5x và 6x có các chữ số ddoooi một khác nhau và là những hoán vị của x. (142857)Có trên 5 số thỏa tính chất trên hay ko?Nếu ko đòi hỏi các chữ số khác nhau?Với các số nguyên dương 1..4294967295 (232 − 1) có 10 số1. : 1428572. : 14285703. : 14298574. : 142857005. : 142985706. : 142998577. : 1428570008. : 1429857009. : 14299857010. : 142999857Chương trình tính và ghi file 10 số /* Name: Problem Euler 28 Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy
  29. 29. Date: 10/06/10 10:53 Description: 2 mau (den, trang) va 16 mau*/#include <iostream>#include <fstream>typedef uint32_t UI;const UI maxint = (UI)0xffffffff;using namespace std;char digits[10];char mark[10];void GetDigits(UI x, char dg[]) { for (int i = 0; i < 10; ++i) dg[i] = 0; do { ++dg[x%10]; x /= 10; } while (x);}bool SameDigits(UI x) { GetDigits(x,mark); for (int i = 0; i < 10; ++i) if (digits[i] != mark[i]) return false; return true;}bool Test(UI x) { GetDigits(x,digits); UI d = x; x += d; // 2x for (int i = 2; i <= 6; ++i, x += d) { if (!SameDigits(x)) return false; } return true;}UI Euler52(UI n) { bool b; for (UI x = n+1; x <= maxint; ++x) if (Test(x)) return x; return 0;}int Euler52m() { // co tren 10 so Euler52? int d; UI x = 0; ofstream f("Euler52.txt"); for (d = 0; (x = Euler52(x)) > 0;) { ++d; f << endl << d << ". : " << x;
  30. 30. // if (d == 10) break; } f.close(); return d; } main() { int d = Euler52m(); cout << "nn Found: " << d; cout << endl << " Fini"; cin.get();return 0 ; }Các số nguyên tốTìm được 340059 số, số cuối là 4870843 với lặp n < 500.Ý tưởng: nếu p[1..n] , c = p[n] là danh sách n số nguyên tố đầu tiên và x là một số lẻ trong khoảng c..c*c thìx là nguyên tố khi và chỉ khi x không có ước nguyên tố trong khoảng 3.. x.Xuất phát p = (2,3) − 2 số nguyên tố đầu tiên. n = 2 là số lượng các số nguyên tố hiện tìm được.Find: xét các số lẻ x trong khoảng từ pn + 2 đến pn2 − 2. Chú ý, do pn là số lẻ nên pn2 lẻ. Nếu x là ng tố thìthêm vào dãy.Để kiểm tra tính ng tố của x /* Name: Problem Euler 28 Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy Date: 10/06/10 10:53 Description: 2 mau (den, trang) va 16 mau */ #include <iostream> #include <math.h> typedef uint32_t UI; const UI maxn = 20000000; using namespace std; UI p[maxn]; UI n; bool IsPrime(UI x) { UI can = (UI) sqrt(x); for (UI i = 2; p[i] <= can; ++i) if (x % p[i] == 0) return false; return true; }
  31. 31. // Tim tu n void Find() { UI n2 = p[n]*p[n] - 2; for (UI i = p[n] + 2; i <= n2; i += 2) if (IsPrime(i)) p[++n] = i; } void Run() { p[1] = 2; p[2] = 3; n = 2; while (n < 500) { cout << endl << " Find with n = " << n; Find(); cout << endl << " Tong cong " << n << " so nguyen to "; cout << endl << " So nguyen to lon nhat: " << p[n]; cin.get(); } } main() { Run(); cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0 ; }Problem Euler 1If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and9. The sum of these multiples is 23.Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000. /* Name: Problem Euler 01 Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy Date: 10/06/10 10:53 Description: If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23. Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000. */ #include <iostream> #include <stdio.h> const int mn = 1001;
  32. 32. using namespace std; inline int Min(int a, int b) { return (a <= b) ? a : b; } int Euler01(int maxval) { int a[mn]; int n; int i3 = 0, i5 = 0; int s = 0; n = 0; a[0] = 1; while (a[n] < maxval) { while (3*a[i3] <= a[n]) ++i3; // 3*a[i3] > a[n] while (5*a[i5] <= a[n]) ++i5; // 5*a[i5] > a[n] a[++n] = Min(3*a[i3],5*a[i5]); } if (a[n] > maxval) --n; for (int i = 1; i <= n; ++i) s += a[i]; return s; } main() { cout << endl << Euler01(1000); // 3822 cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0 ; }Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms.By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...Find the sum of all the even-valued terms in the sequence which do not exceed fourmillion.Thuật toánTa có f1 = 1; f2 = 2 là số chẵn đầu tiên. Vì tổng lẻ + lẻ = chẵn và lẻ + chẵn = chẵn + lẻ =lẻ, nên sâu 2 số lẻ ta mới gặp 1 số chẵn. Từ đó suy ra các fi với i = 2 + 3k, k = 0, 1, … làcác số chẵn. của số chẵn. Gọi fi là số chẵn, ta có:fi−1 là số lẻ sát trước fi.fi+1 = fi−1 + fi (lẻ),
  33. 33. fi+2 = fi + fi+1 = fi + fi−1 + fi = 2fi + fi−1 (lẻ),fi+3 = f i+1 + fi+2 = fi−1 + fi + 2fi + fi−1 = 3fi + 2fi−1 = 2fi+2 − fi (chẵn)Ta sử dụng biến odd để lưu số lẻ và biến even lưu số chẵn sát sau odd. Ta có,Khởi trị: odd = 1; even = 2;Bước tiếp theo: odd = 2*even + odd; even = 2*odd – even; /* Name: Problem Euler 02 Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy Date: 10/06/10 10:53 Description: Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Find the sum of all the even-valued terms in the sequence which do not exceed four million. */ #include <iostream> #include <stdio.h> using namespace std; int Euler02(int maxval) { int odd = 1, even = 2; int s = even; while (even < maxval) { odd = 2*even + odd; even = 2*odd - even; s += even; } if (even > maxval) s -= even; return s; } main() { cout << endl << Euler02(4000000); // 4613732 cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0 ; }
  34. 34. Euler03The prime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29.What is the largest prime factor of the number 600851475143 ?Khởi trị với danh sách chứa k = 2 số nguyên tố p[1] = 2; p[2] = 3. Hàm NextPrime(k) tìm số nguyên tố sátsau sô nguyên tố p[k]. Gọi hàm NextPrime nhiều lần đến khi thu được số nguyên tố p[k] > n . DuTheprime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29.What is the largest prime factor of the number 600851475143 ? (6857) /* Name: Euler03 Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy Date: 10/06/10 10:53 Description: The prime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29. What is the largest prime factor of the number 600851475143 ? */ #include <iostream> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <time.h> using namespace std; typedef long double BI; // kieu gia nguyen BI p[100000]; BI x = 600851475143.0; // Test if y is a prime number bool IsPrime(BI y) { BI ys = floorl(sqrt(y)); for (int i = 1; p[i] <= ys; ++i) if (fmodl(y,p[i]) == 0.0) return false; return true; }
  35. 35. // Given a list consequenced first k prime numbers// p[1..k] = (3,5,7,..p[k]), k > 1.// Find the next prime number (after p[k])inline BI NextPrime(int k) { BI n; for (n = p[k] + 2; !IsPrime(n); n += 2); return n;}// Find the lagest prime factor of a given integer nBI Euler03(BI n) { BI sn; int i, imax, k = 2; BI m; // Initialize: p[1..2] = (2,3); k = 2: two firstprime numbers (2 and 3). p[1] = 2; p[2] = 3; sn = floorl(sqrt(n)); cout << endl << " n = " << n << " sqrt(n) = " <<sn; // Find consequenced prime numbers not greaterthan sqrt(n) while (p[k] < sn) { m = NextPrime(k); p[++k] = m; } cout << endl << " Found " << k << " primenumber(s). " << endl; cout << endl << " The last one is : " << p[k]; // Find the last index imax in p[1..k] so p[imax]is a prime factor of n imax = 0; for (i = 1; i <= k; ++i) if (fmodl(n,p[i]) == 0.0) { imax = i; do { n /= p[i]; } while (fmodl(n,p[i]) ==0.0); } cout << "n Now n = " << n << " imax = " <<imax; cout << " pmax = " << p[imax] << endl; // if imax = 0: n did not have any prime factorsin p[1..k]
  36. 36. // so n is a prime number. We return n if (imax == 0) return n; // n is a prime number return (n < p[imax]) ? p[imax] : n; } main() { time_t t1,t2; t1 = time(NULL); BI r = Euler03(x); // 6857 t2 = time(NULL); float d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; cout << "nn The result: " << r; cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Euler04A palindromic number reads the same both ways. The largest palindrome made from theproduct of two 2-digit numbers is 9009 = 91 99.Find the largest palindrome made from the product of two 3-digit numbers. /* Name: Problem Euler 04 Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy Date: 10/06/10 10:53 Description: Euler04 A palindromic number reads the same both ways. The largest palindrome made from the product of two 2- digit numbers is 9009 = 91 99. Find the largest palindrome made from the product of two 3-digit numbers. */ #include <iostream> #include <stdio.h>;
  37. 37. using namespace std;int Exp(int a, int x) { int z = 1; while (x) { if (x % 2 == 1) z *= a; a = a * a; x /= 2; } return z;}int Rev(int z) { int x = 0; while(z) { x = x * 10 + (z % 10); z /= 10; } return x;}void Euler04(int digitNumber, int & x, int & y) { int maxNum = Exp(10,digitNumber) - 1; int z; for (x = maxNum; x >= 0; --x) for (y = maxNum; y >= 0; --y){ z = x*y; if (z == Rev(z)) return; }}main() { int x, y; Euler04(3,x,y); cout << endl << x << " * " << y << " = " << (x * y);// x = 999, y = 91, x*y = 90909 cout << endl << " Fini"; cin.get();return 0 ;}1. 9 * 1 = 92. 99 * 91 = 90093. 995 * 583 = 5800854. 9999 * 9901 = 99000099
  38. 38. Euler69Eulers Totient function, φ(n) [sometimes called the phi function], is used to determine the number ofnumbers less than n which are relatively prime to n. For example, as 1, 2, 4, 5, 7, and 8, are all less thannine and relatively prime to nine, φ(9)=6.n Relatively Prime Φ(n) n/φ(n)2 1 1 23 1,2 2 1.54 1,3 2 25 1,2,3,4 4 1.256 1,5 2 37 1,2,3,4,5,6 6 1.1666...8 1,3,5,7 4 29 1,2,4,5,7,8 6 1.510 1,3,7,9 4 2.5It can be seen that n = 6 produces a maximum n/φ(n) for n 10.Find the value of n 1,000,000 for which n/φ(n) is a maximum.n = 100000 (một trăm ngàn); max phi(i)/i = 5.21354 đạt tại i = 30030; 1 sec.n = 1000000 (một triệu) ; max phi(i)/i = 5.53939 đạt tại i = 510510 dưới 1 sec.Nhận xét 1Nếu n = p1m1 p2m2 … pkmk thì (n) = p1m1−1 p2m2−1 … pkmk−1.(p1−1)(p2−1)…(pk−1).Do đó , kí hiệu E(n) = n/(n), ta có E(n) = n/(n) = (p1p2…pk)/((p1−1)(p2−1)…(pk−1)) (*)Kí hiệu S(n) là tập các ước nguyên tố (khác nhau) của n, thí dụ, n = 60 thf S(n) = { 2, 3, 5 }. Công thức (*)cho ta biết, nếu hai số tự nhiên n và m có S(n) = S(m) thì E(n) = E(m). Thí dụ, n = 10i và m = 10j sẽ chocùng giá trị E vì S(n) = S(m) = { 2, 5 }.Xét dãy liên tiếp các số nguyên tố pi 2, 3, 5,…Vì p < q suy ra pq−q < pq − p hay q(p−1) < p(q−1) tức q/(q−1) < p/(p−1). Vậy dãy pi/(pi-1) với i = 1, 2giảm dần: pi/(pi-1) < pi+1/(pi+1-1).Vậy tích p1/(p1-1) * p2/(p2-1) * … * pk/(pk-1) đạt max khi tích p1p2…pk là số lớn nhất không vượt quá n. /* Name: Problem Euler 02 Copyright: NXH 2010 Author: Nguyen Xuan Huy Date: 10/06/10 10:53 Description: It can be seen that n=6 produces a maximum n/phi(n) for n <= 10. Find the value of n <=1,000,000 for which n/phi(n) is a maximum. */
  39. 39. #include <iostream>#include <stdio.h>#include <math.h>#include <time.h>using namespace std;typedef uint32_t UI;UI p[10];inline UI Min(UI a, UI b) { return ( a <= b) ? a : b; }bool IsPrime(UI y) { UI ys = (UI)(sqrt(y)); for (UI d = 1; p[d] <= ys; ++d) if (y % p[d] == 0) return false; return true;}inline UI NextPrime(int k) { for (k = p[k] + 2; !IsPrime(k); k += 2); return k;}float Euler69(UI n, UI & a) { int k = 2; UI m; UI b; p[1] = 2; p[2] = 3; a = p[1]*p[2]; b = (p[1]-1)*(p[2]-1); while (a < n) { m = NextPrime(k); p[++k] = m; a *= m; b *= (m-1); } if (a > n) { a /= m; b /= (m-1); --k; } cout << endl << " Found " << k << " prime numbers " << endl; for (int i = 1; i <= k; ++i) cout << p[i] << " "; return (float) a/b;}void Test() { time_t t1,t2; t1 = time(NULL); UI n; float r = Euler69(1000000, n); cout << endl << " result: n/phi(n) = " << r << " n = " <<n; t2 = time(NULL); float d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl;}main() { Test(); cout << (UI)(2*3*5*7*11*13*17*19);
  40. 40. cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 530 November 20012520 is the smallest number that can be divided by each of the numbers from 1 to 10 without anyremainder.What is the smallest positive number that is evenly divisible by all of the numbers from 1 to 20?Problem 614 December 2001The sum of the squares of the first ten natural numbers is,12+ 22 + ... + 102 = 385The square of the sum of the first ten natural numbers is,(1 + 2 + ... + 10) 2 = 552= 3025Hence the difference between the sum of the squares of the first ten natural numbers and the square of thesum is 3025 − 385 = 2640.Find the difference between the sum of the squares of the first one hundred natural numbers and the squareof the sum.2 phương án.Phương án 1. Tính theo 2 vòng lặp, O(n2).Phương án 2. O(n).Các công thức: nS (i )  i  k k  i 1S(i) = i((i+1) + (i+2) + … + n) _(a1 + a2 + … + am)2 = a12 + a22 + … + an2 + a1a2 + a1a3 + … +a1an // Find the sum of all the primes below two million. #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; const int mn = 200; int a[mn]; int Diff1(int n) { int s = 0;
  41. 41. int i, j; for (i = 1; i < n; ++i) for(j = i+1; j <= n; ++j) s += i*j; return 2*s; } int Diff2(int n) { int s; int i; a[n] = n; for (i = n-1; i > 0; --i) a[i] = i+a[i+1]; s = a[2]; for(i = 2; i < n; ++i) s += i*a[i+1]; return 2*s; } main() { cout << endl << Diff1(100); cout << endl << Diff2(100); cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 728 December 2001By listing the first six prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, and 13, we can see that the 6th prime is 13. What is the10001th prime number?Phương án 1. Sàng, sau đó duyệt để lấy số thứ n. Trong khoảng 1..200000 có 17984 số nguyên tố.Phương án 2. NextPrime sinh số nguyên tố sát sau. // Find the 10001-th prime number. #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; const int mn1 = 200000; const int mn2 = 20000; char p[mn1+1]; int a[mn2]; void Eratosthenes(int n) { int i, j, n2, c = (int)sqrt(n); memset(p,0,sizeof(p)); for (i = 2; i < c; ++i) if (p[i] == 0) { n2 = n/i; for (j = i; j <= n2; ++j) p[i*j] = 1; } } int PrimeN1(int n) { // phuong an 1 int d = 0;
  42. 42. Eratosthenes(mn1); for (int i = 2; i < mn1; ++i) if (p[i] == 0) { ++d; if (d == n) return i; } } bool IsPrime(int m) { int sq = (int)sqrt(m); int i; for (i = 1; a[i] <= sq; ++i) if (m % a[i] == 0) return false; return true; } // Biet k so nguyen to. // Yim so thu k+1 int NextPrime(int k) { int m = a[k]; do { m += 2; } while (!IsPrime(m)); return m; } int PrimeN2(int n) { a[1] = 2; a[2] = 3; // Khoi tri voi 2 so ng to dau tien int k = 2, m; for (int i = 1; i <= n; ++i) { m = NextPrime(k); a[++k] = m; } return a[n]; } main() { cout << endl << PrimeN1(10001); // 104743 cout << endl << PrimeN2(10001); // 104743 cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 811 January 2002Find the greatest product of five consecutive digits in the 1000-digit number. 73167176531330624919225119674426574742355349194934 96983520312774506326239578318016984801869478851843 85861560789112949495459501737958331952853208805511 12540698747158523863050715693290963295227443043557 66896648950445244523161731856403098711121722383113 62229893423380308135336276614282806444486645238749 30358907296290491560440772390713810515859307960866
  43. 43. 70172427121883998797908792274921901699720888093776 65727333001053367881220235421809751254540594752243 52584907711670556013604839586446706324415722155397 53697817977846174064955149290862569321978468622482 83972241375657056057490261407972968652414535100474 82166370484403199890008895243450658541227588666881 16427171479924442928230863465674813919123162824586 17866458359124566529476545682848912883142607690042 24219022671055626321111109370544217506941658960408 07198403850962455444362981230987879927244284909188 84580156166097919133875499200524063689912560717606 05886116467109405077541002256983155200055935729725 71636269561882670428252483600823257530420752963450Biến thể 1. Tính tổng max của k phần tử liên tiếp. Cửa sổ trượt. // Find the greatest sum of k consecutive digits // in the n-digit number. #include <iostream> #include <fstream> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <time.h> using namespace std; const char * fn = "Euler8.txt"; const int mn = 5000; char a[mn]; int n; // so luong phan tu int k; // chieu dai doan inline bool IsDigit(char c) { return (c >= 0 && c <= 9); } void ReadData() { ifstream f(fn); int i = 0; char c; while (!f.eof()) { f >> c; if (IsDigit(c)) a[++i] = c-0; } f.close(); for (i = 1; i <= n; ++i) cout << (int)a[i]; } inline int Max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b; } int Sum() { int s = 0, smax; int i, j; // Sum of the first k elements
  44. 44. for (i = 1; i <= k; ++i) s += a[i]; smax = s; i = 1; for (j = k + 1; j <= n; ++j,++i) { s = s + a[j] - a[i]; smax = Max(smax,s); } return smax; } main() { time_t t1,t2; t1 = time(NULL); ReadData(); cout << endl << endl << Sum() << endl; t2 = time(NULL); float d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Biến thể 2. Tích max của k phần tử liên tiếp. Cửa sổ trượt. // Find the greatest product of k consecutive digits // in the n-digit number. #include <iostream> #include <fstream> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <time.h> using namespace std; const char * fn = "Euler8.txt"; const int mn = 5000; char a[mn]; int n; // so luong phan tu int k; // chieu dai doan inline bool IsDigit(char c) { return (c >= 0 && c <= 9); } void ReadData() { ifstream f(fn); f >> n >> k; cout << endl << " n = " << n << " k = " << k << endl; int i = 0; char c; while (!f.eof()) { f >> c; if (IsDigit(c)) a[++i] = c-0; } f.close(); for (i = 1; i <= n; ++i) cout << (int)a[i];
  45. 45. } inline int Max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b; } int Product() { int s , smax = 0 ; int i, j, d; s = 1; for (j = 1; j <= k; ++j) s *= a[j]; smax = Max(smax,s); i = 1; for (j = k+1; j <= n; ++j, ++i) { if (a[i] > 0) s /= a[i]; else { // a[i] = 0 s = 1; for (d = i+1; d < j; ++d) s *= a[d]; } s *= a[j]; smax = Max(s,smax); } return smax; } main() { time_t t1,t2; t1 = time(NULL); ReadData(); cout << endl << endl << Product() << endl; t2 = time(NULL); float d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Cải tiến biến thể 2. loại trừ nhưnTích max gx a[j] = 0.Ch][ng trinhf tinhs car 2 ph][ng ans vaf xacs ddinhj vị trì jmax (phần tử cuối dãy đạt tích max). // Find the greatest sum of k consecutive // digits in the n-digit number. #include <iostream> #include <fstream> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <time.h> using namespace std; const char * fn = "Euler8.txt"; const int mn = 5000;
  46. 46. char a[mn];int n; // so luong phan tuint k; // chieu dai doanint jmax;inline bool IsDigit(char c) { return (c >= 0 && c <= 9); }void ReadData() { ifstream f(fn); f >> n >> k; cout << endl << " n = " << n << " k = " << k <<endl; int i = 0; char c; while (!f.eof()) { f >> c; if (IsDigit(c)) a[++i] = c-0; } f.close(); for (i = 1; i <= n; ++i) cout << (int)a[i];}inline int Max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b; }int Product1() { int s , smax = 0 ; int i, j, d; s = 1; for (j = 1; j <= k; ++j) s *= a[j]; if (smax < s) { smax = s; jmax = k; } i = 1; for (j = k+1; j <= n; ++j, ++i) { if (a[i] > 0) s /= a[i]; else { // a[i] = 0 s = 1; for (d = i+1; d < j; ++d) s *= a[d]; } s *= a[j]; if (smax < s) { smax = s; jmax = j; } } return smax;}int Product2() { int s , smax = 0 ; int i = 0, j, d; s = 1; d = 0; for (j = 1; j <= n; ++j) { if (a[j] == 0) { i = j; s = 1; d = 0; } else { // s[j] > 0 s *= a[j]; ++d; if (d == k) { if (smax < s) { smax = s; jmax = j; } ++i; s /= a[i]; --d; }
  47. 47. } } return smax; } main() { float d; time_t t1,t2; ReadData(); t1 = time(NULL); cout << endl << endl << Product1() << " jmax = " << jmax << endl; t2 = time(NULL); d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; t1 = time(NULL); cout << endl << endl << Product2() << " jmax = " << jmax << endl; t2 = time(NULL); d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 925 January 2002A Pythagorean triplet is a set of three positive integes (a, b, c), for which,a2 + b2 = c2.For example, 32 + 42 = 52 ( 9 + 16 = 25).There exists exactly one Pythagorean triplet for which a + b + c = 1000. Find the product abc.Nhận xét1. Trong bộ ba Pithagor không có 2 số bằng nhau. Nếu a = b thì c  2 a là số vô tỷ, không phải sốnguyên. Nếu a = c thì b = 0, nếu b = c thì a = 0. Từ nhận xét này ta có thể quy định 0 < a < b < c.2. Nếu tổng a+b+c = k thì nhận xét 1 cho ta 1 ≤ a ≤ m, a+1 ≤ b ≤ 2m, c = k−a−b; m = k/3. /*−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− There exists exactly one Pythagorean triplet for which a + b + c = 1000.
  48. 48. Find the product abc. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-*/ #include <iostream> #include <stdio.h> using namespace std; int Pit() { const int k = 1000; int a, b, c, c2, a2, ab2, lim, lim2; lim = k/3; lim2 = 2*lim; for (a = 1; a <= lim; ++a) { a2 = a*a; for (b = a+1; b <= lim2; ++b) { ab2 = a2 + b*b; c = k - a - b; c2 = c*c; if (c*c == ab2) return (a * b * c); } } return 0; } main() { cout << endl << Pit(); cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 1008 February 2002The sum of the primes below 10 is 2 + 3 + 5 + 7 = 17.Find the sum of all the primes below two million. // Find the sum of all the primes below two million. #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; const int mn = 2000000; char a[mn]; void Eratosthenes(int n) { int i, j, n2, c = (int)sqrt(n); memset(a,0,sizeof(a)); for (i = 2; i < c; ++i) if (a[i] == 0) { n2 = n/i; for (j = i; j <= n2; ++j) a[i*j] = 1; } } unsigned int Sum(int n) {
  49. 49. unsigned int s = 0; Eratosthenes(n); for (int i = 2; i <= n; ++i) if (a[i] == 0) s += i; return s; } main() { int n = mn-1; cout << Sum(n); // 1179908154 cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 1122 February 2002In the 20 20 grid below, four numbers along a diagonal line have been marked in red. 08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08 49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00 81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65 52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91 22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80 24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50 32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70 67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21 24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72 21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95 78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92 16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57 86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58 19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40 04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66 88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69 04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36 20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16 20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54 01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48The product of these numbers is 26 63 78 14 = 1788696.What is the greatest product of four adjacent numbers in any direction (up, down, left, right, or diagonally)in the 20 20 grid?
  50. 50. Problem 1405 April 2002The following iterative sequence is defined for the set of positive integers:n → n/2 (n is even)n → 3n + 1 (n is odd)Using the rule above and starting with 13, we generate the following sequence:13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1It can be seen that this sequence (starting at 13 and finishing at 1) contains 10 terms. Although it has notbeen proved yet (Collatz Problem), it is thought that all starting numbers finish at 1.Which starting number, under one million, produces the longest chain?NOTE: Once the chain starts the terms are allowed to go above one million.Đề: Collatz Problem (Bài toán 3n+1).Với mỗi số tự nhiên n ta thực hiện các thao tác sau để sinh ra dãy số:Nếu n lẻ thì thay n bằng 3n+1; ngược lại, nếu n chẵn thì thay nn bằng n/2.Xác định số n  1000000 (1 triệu) để dãy số sinh ra là dài nhất.Đáp số: n = 837799 sinh dãy dài 525 số.Chú ý rằn có thể lúc đầu giá trị n nhỏ (dưới 1 triệu), nhưng sau một số bước giá trị này có thể tăng lên đếnvài tỷ. Thí dụ,837799 → 2513398 → 1256699→ 3770098→ 1885049→ 5655148→ 2827574→ 1413787→ 4241362→ 2120681→ 6362044→ 3181022→ 1590511→ 4771534→ 2385767→ 7157302→ 3578651→ 10735954→ 5367977→ 16103932→ 8051966→ 4025983→ 12077950→ 6038975→ 18116926→ 9058463→ 27175390→ 13587695→ 40763086→ 20381543→ 61144630→ 30572315→ 91716946→ 45858473→ 137575420→ 68787710→ 34393855→ 103181566→ 51590783→ 154772350→ 77386175→ 232158526→ 116079263→ 348237790→ 174118895→ 522356686→ 261178343→ 783535030→ 391767515→ 1175302546.Thuật toánTa tạm gọi dãy sinh ra là dãy 3n+1Nhận xét.1. Dãy 3n+1 là dãy không lặp, do đó sinh xuôi và sinh ngược đều các dãy không lặpPhương án 1: vétTa duyệt với mỗi n = 2..1000000 xác định chiều dài lớn nhất của dãy thu được theo quy tắc ra trong đề bài.Để ý rằng khi n lẻ ta tính n’ = 3n+1. Ta thấy n’ chẵn và n’ > n trong khi ta cần dãy giảm đến 1. Vì vậy, khin lẻ ta tính luôn 2 bước n’ = 3n+1 và n’’ = n’/2 = 2n/2 + (n+1)/2 = n + (n+1)/2. Với thời gian không quá 1’’bạn có thể tìm ra đáp số n = 837799 đạt chiều dài max = 525.Để ý rằng nếu n chẵn thì s(n) = s(n/2) + 1n lẻ thì s(n) = s(n+(n+1)/2) + 2;Nên chạy trong Turbo Pascal vì Free Pascal không ổn định.Thay n/2 bằng n >> 1 sẽ nhanh hơn là dùng phép chia. (*------------------------------------------------ Problem Euler 14 Ver. 1
  51. 51. Find an integer n under one million that generatesthe longest chain by the following ruleif n is even then replace n by n/2else replace n by 3n + 1--------------------------------------------------*)const mn = 1000000;function Try(n: longint): longint; var d: longint;begin d := 1; while (n > 1) do if Odd(n) then begin d := d+2; n := n+((n+1) shr 1); end else begin inc(d); n := n shr 1; end; Try := d;end;procedure Find(mn: longint); var i, d, dmax, imax: longint;begin dmax := 1; imax := 1; for i := 2 to mn-1 do begin d := Try(i); if (d > dmax) then begin dmax := d; imax := i; end; end; writeln(dmax, , imax);end;BEGIN Find(mn); readln;END./*------------------------------------------------ Problem Euler 14 Ver. 1Find an integer n under one million that generatesthe longest chain by the following ruleif n is even then replace n by n/2else replace n by 3n + 1--------------------------------------------------*/
  52. 52. #include <iostream> #include <fstream> #define Odd(n) (((n) & one) == one) using namespace std; typedef unsigned int UI; const UI mn = 1000000; const UI one = (UI)1; int Try(UI n) { int d = 1; while (n > 1) { if (Odd(n)) { d += 2; n = n+((n+1)>>1); } else { d++; n >>= 1; } } return d; } void Find(int mn) { UI i; int d, dmax = 1, imax = 1 ; for (i = 2; i < mn; ++i) { d = Try(i); if (d > dmax) { dmax = d; imax = i; } } cout << endl << imax << " " << dmax; } main() { float d; time_t t1,t2; t1 = time(NULL); Find(mn); t2 = time(NULL); d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Phương án 2. Dùng quy hoạch động hạn chế.Kí hiệu s(n) là chiều dài dãy 3n+1. Ta có ngay:s(n) = s(n/2) + 1, nếu n chẵns(n) = s(n+(n+1)/2) + 2, nếu n lẻTa sử dụng mảng a gồm mn = 1 triệu phần tử, a[i] = s(i) và sẽ lặp cho đến khi n < mn để đánh dấu
  53. 53. /*-------------------------------------------------------- Problem Euler 14 Ver. 2 Find an integer n under one million that generates the longest chain by the following rule if n is even then replace n by n/2 else replace n by 3n + 1 --------------------------------------------------------*/#include <iostream>#include <fstream>#define Odd(n) (n & 1) == 1#define Even(n) !Odd(n)using namespace std;typedef unsigned int UI;const UI mn = 1000000;UI a[mn];int Try(UI n) { int d = 1, v = n; if (Even(v)) { a[n] = a[v/2] + 1; return a[n]; } while (v > 1) { if (Odd(v)) { d += 2; v += ((v+1)>>1); } else { d++; v >>= 1; } if (v < n) { if (a[v] > 0) { a[n] = a[v] + d - 1; return a[n]; } } } a[n] = d; return a[n];}int Test(UI n) { int d = 1; while (n > 1) { if (Odd(n)) { d += 2; n += ((n+1)>>1); } else { d++; n >>= 1; } } return d;}void Find(int mn) { UI i; int d, dmax = 1, imax = 1; memset(a,0,sizeof(a)); a[1] = 1;
  54. 54. for (i = 2; i < mn; ++i) { d = Try(i); if (d > dmax) { dmax = d; imax = i; } } cout << endl << imax << " " << dmax; } main() { float d; time_t t1,t2; t1 = time(NULL); Find(mn); t2 = time(NULL); d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Phương án 3.FromOne: Sinh dãy ngược từ 1. Đánh dấu độ dài của các phần tử được sinh mới trong dãy.Sau đó duyệt lại mảng, xét những phần tử chưa đánh dấu ta sinh xuôi dãy và cũng đánh dấu các phần tửđược sinh trong dãy. /*------------------------------------------------ Problem Euler 14 Ver. 3 Find an integer n under one million that generates the longest chain by the following rule if n is even then replace n by n/2 else replace n by 3n + 1 --------------------------------------------------*/ #include <iostream> #include <fstream> #define Odd(n) (n & 1) == 1 #define Even(n) !Odd(n) using namespace std; typedef unsigned int UI; const UI mn = 1000000; const UI mn2 = mn+2; UI len[mn]; UI q[mn]; UI v,r; // con tro ngan xep st UI lenmax, imax; void FromOne() { UI x, y; UI s;
  55. 55. memset(len,sizeof(len),0); v = r = 0; len[1] = 1; q[++v] = 1; do { x = q[++r]; s = len[x]; y = 2*x; if (y < mn) if (!len[y]) { len[y] = s+1; q[++v] = y; } if (Even(x)&&((x-1)%3==0)) { y = (x-1)/3; if (!len[y]) { len[y] = s+1; q[++v] = y; } } } while (v != r); lenmax = s ; imax = x;}void ToOne(UI n) { int d = 1; int x = n; int s, i; q[d] = n; if (Even(x)) { len[n] = len[x/2] + 1; if (lenmax < len[n]) { lenmax = len[n]; imax = n; } return; } while (x > 1) { if (Odd(x)) { q[++d] = 3*x+1; x = q[d]/2; q[++d] = x; } else { x >>= 1; q[d++] = x; } if (x < mn) if (len[x]) { len[n] = len[x] + d - 1; if (lenmax < len[n]) { lenmax = len[n]; imax = n; } s = len[n]+1; for (i = 2; i <= d; ++i) if (q[i] < mn) len[q[i]] = s-i; return; } }}void Find() { UI i; FromOne(); for (i = 2; i < mn; ++i) if (len[i] == 0) ToOne(i); cout << endl << " lenmax = " << lenmax << " imax = " <<imax;}
  56. 56. main() { float d; time_t t1,t2; t1 = time(NULL); Find(); t2 = time(NULL); d = difftime(t2,t1);// sec. cout << endl << " Time: " << d << " sec. " << endl; cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 1519 April 2002Starting in the top left corner of a 2 2 grid, there are 6 routes (without backtracking) to the bottom rightcorner.How many routes are there through a 20 20 grid?Thuật toánTa giải bài toán tổng quát với lưới đơn vị gồm chiều dài n, rộng m. Trên lưới vuông này ta đánh nhãn cáccạnh đơn vị nằm ngang là D, dọc là R. Mọi đường đi không quay lui từ góc trên trái đến góc dưới phải đềuphải qua đúng n cạnh ngang và m cạnh dọc. Bài toán quy về dạng tổ hợp như sau. Có thể xây dựng baonhiêu xâu kí tự độ dài n+m từ hai kí tự D và R trong đó có đúng n kí tự D và m kí tự R. Như vậy ta chỉ cầnchọn đúng n vị trí trong số các vị trí từ 1..(n+m) để điền kí tự D. Các vị trí còn lại ta điền kí tự R.Vậy đápsố sẽ là tổ hợp chặp 2 của 2n Cnn+m = (n+m)!/(n!m!) = ((n+1)(n+2)...(n+m))/m! (*)Với n = m = 20 ta phải tính toán với các số lớn của tử và mẫu số trong công thức (*). Ta chọn phương pháptính khác, cụ thể là ta dùng tam giác Pascal. Tam giác Pascal có những tính chất sau : (T1) Dòng thứ n có n+1 phần tử mã số từ 0 đến n. (T2) Phần tử thứ k trên dòng n, Ckn = tổ hợp chặp k của n phần tử = số hạng thứ k trong dạng khai triển của nhị thức (a+b)n = tổng của số hạng thứ k và k-1 trên dòng sát trước, dòng n-1 (Ckn= Ckn-1 + Ck-1n-1). (T3) Mỗi dòng là một dãy số được bố trí đối xứng nhau. Tính chất này cho phép ta chỉ cẫn xác định các giá trị trên một nửa dòng.2 113 1214 13315 146416 1 5 10 10 5 1
  57. 57. 7 1 6 15 20 15 6 1 // Problem Euler 15 #include <iostream> #define Even(c) ((c)&1)==0 #define Odd(c) !Even(c) const int maxN = 21; int a[maxN]; using namespace std; int Pas(int n, int m) { int nm = n+m, i, i2, j; a[0] = a[1] = 1; for (i = 2; i <= nm; ++i) { i2 = i/2; a[i2] = (Odd(i)) ? a[i2]+a[i2-1] : 2*a[i2-1]; for (j = i2-1; j > 0; --j) a[j] = a[j]+a[j-1]; } return (n < m) ? a[n] : a[m]; } main() { cout << endl << Pas(2,2); // 407575348 cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Problem 1603 May 2002215 = 32768 and the sum of its digits is 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.What is the sum of the digits of the number 21000?Thuật toán Tính trực tiếp.Khởi trị a = 2;lặp n lần a = a * 2; // Problem Euler 16 // Tính tong cac chu so cua so 2^1000 #include <iostream> const int maxN = 500; int a[maxN]; int len; using namespace std; // 2^1 void Init() { memset(a,0,sizeof(a)); a[0] = 2; len = 1; }
  58. 58. // a = 2*a void Mult2() { int c = 0; for (int i = 0; i < len; ++i) { c = (a[i]<<1) + c; a[i] = c % 10; c /= 10; } if (c) a[len++] = c; } int Sum(int n) { int i,s = 0; Init(); for (i = 2; i <= n; ++i) Mult2(); for (i = 0; i < len ; ++i) s += a[i]; return s; } main() { cout << endl << Sum(1000) << " len = " << len; // 1366, 302 chu so cout << endl << " Fini"; cin.get(); return 0; }Viết dãy sốNếu sử dụng các tấm bìa, trên mỗi tấm ghi 1 chữ số thì đê ghi liên tiếp các số từ 1 đến 10 ta cần 21 tấm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5Cần bao nhiêu bìa để viết các số từ 1 đến 1000?Problem 1831 May 2002By starting at the top of the triangle below and moving to adjacent numbers on the row below, themaximum total from top to bottom is 23. 3 7 4 2 4 6 8 5 9 3That is, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

×