Distribuciones Muestrales

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Distribuciones Muestrales

  1. 1. Distribuciones fundamentales de Muestreo Población: Consiste en la totalidad de las observaciones en las que estamos interesados. Cada observación en una población es un valor de una v. a. X que tiene alguna distribución de probabilidad .
  2. 2. La media(valor esperado) de una población La varianza de la población población normal población
  3. 3. Muestra Población Muestra Población INFERIR Muestra Aleatoria: ''observaciones realizadas al azar en forma independiente'' ¿Qué información nos trasmiten los datos?
  4. 4. v. a. X i i= 1,...,n X i :''i_ésima medición o valor de la muestra que observemos'' muestra aleatoria de la población Muestra Aleatoria
  5. 5. <ul><ul><li>Cualquier función de las v. a. que forman una muestra aleatoria. </li></ul></ul>Estadístico
  6. 6. La distribución de probabilidad de un estadístico Distribución Muestral <ul><ul><li>Distribución Muestral de la Media </li></ul></ul>
  7. 7. E(X)=2.5 Var(X)=1.11803399 2 4 3 1
  8. 8. E(X)=2.5 Var(X)=1.11803399 2 4 3 1
  9. 11. Distribución de las medias de las muestras
  10. 12. Distribución de las medias de las muestras
  11. 13. Distribución de las medias de las muestras E(X m )=2.5 Var(X m )=0.645492722
  12. 14. Sea una población con media μ y desviación típica σ . tiene por media μ y desviación típica σ/√n La distribución de las medias de las muestras aleatorias (con reposición) de tamaño n,
  13. 15. Distribución de las medias de las muestras
  14. 16. Teorema del límite central Dada una población, con media μ y desviación típica σ finitas, y seleccionamos al azar muestras aleatorias de tamaño n, entonces a medida que n crece la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal.
  15. 17. Teorema del límite central Dada una población, con media μ y desviación típica σ finitas, y seleccionamos al azar muestras aleatorias de tamaño n, entonces la forma límite de la distribución de Z conforme n crece indefinidamente
  16. 18. Distribución muestral de la media Veremos primero el caso de que la distribución subyacente sea normal , con media y varianza La media de la distribución muestral de medias es La varianza de la distribución muestral de medias es La forma de la distribución muestral de la media muestral es normal.
  17. 19. Ejemplo 1 Distribución poblacional subyacente (dist. Normal): Media = 100 Varianza = 225 Desv. típica = 15 Distribución muestral de la media: Tamaño muestral =10 Media = 100 Varianza = 225/10 =22.5 Desv.típica = En este y sucesivos gráficos: Número de muestras n
  18. 20. Ejemplo 2 Distribución poblacional subyacente (dist. Normal): Media = 100 Desv. Típica = 15 Distribución muestral de la media: Tamaño muestral = 20 Media = 100 Varianza = 225/20 = 11.3 Desv. típica = 3.35
  19. 21. Ejemplo 3 Distribución muestral de la media: Tamaño muestral = 50 Media = 100 Varianza = 225/50 = 4.5 Desv. típica = 2.12 Distribución poblacional subyacente (dist. Normal): Media = 100 Desv. Típica = 15
  20. 22. Distribución muestral de la media Veamos ahora el caso en que la distribución subyacente sea arbitraria, con media y varianza La media de la distribución muestral de medias es La varianza de la distribución muestral de medias es La forma de la distribución muestral de la media TAMBIÉN tiende a ser normal. En concreto, la distribución muestral se acercará más y más a la distribución normal (media  y varianza  2 /n ) a medida que se aumente el tamaño de cada muestra .
  21. 23. Ejemplo 4 Distribución poblacional subyacente (dist. Gamma): Media = 100 Varianza = 100
  22. 24. Ejemplo 4 Distribución poblacional subyacente (dist. Gamma): Media = 100 Varianza = 100 Distribución muestral de la media: Tamaño muestral = 10 Media = 100 Varianza = 100/10 = 10 Desv. típica =
  23. 25. Ejemplo 5 Distribución poblacional (dist. EXPONENCIAL): Media = 0.1 = 1/  Varianza = 0.01 = 1/  2 La distribución EXPONENCIAL tiene 1 parámetro:  (en el ejemplo: 10)
  24. 26. Ejemplo 5 Distribución muestral de la media: Tamaño muestral = 10 Media = 0.1 Varianza = 0.01/10 = 0.001 Desv. típica = 0.03 Observad que la dist. muestral se aproxima a la normal Distribución poblacional (dist. EXPONENCIAL): Media = 0.1 = 1/  Varianza = 0.01 = 1/  2
  25. 27. Ejemplo 5b Distribución muestral de la media: Tamaño muestral = 20 Media = 0.1 Varianza = 0.01/20 = 0.0005 Desv. típica = 0.022 Distribución poblacional (dist. EXPONENCIAL): Media = 0.1 = 1/  Varianza = 0.01 = 1/  2
  26. 28. Distribuciones usadas en inferencia Distribución Ji-Cuadrado o Chi-cuadrado o  2 de Pearson con “n” grados de libertad. Sean X 1 , X 2 , ... ,X n n variables aleatorias continuas independientes tal que X i = N (0,1) con i = 1, ..., n (i.i.d.). Definamos la variable aleatoria: Su densidad de probabilidad será:
  27. 29. la función gamma es:
  28. 30. Distribución Muestral de S 2 Si S 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población normal que tiene la varianza entonces el estadístico: tiene una distribución ji cuadrada con n -1 grados de libertad.
  29. 31. Distribución Muestral de
  30. 32. Tipificando
  31. 33. TABLA DE  2  2 n grados de libertad valores acumulados de  2 n orden percentílico p 0.01 0.025 0.975 0.99 1 2 3 4 5 n
  32. 34. Usos de la Ji-Cuadrado <ul><li>a) Para hacer inferencias acerca de la varianza poblacional. Es decir, para calcular Intervalos de Confianza y Prueba de hipótesis para la varianza poblacional. </li></ul><ul><li>b) Para hacer pruebas de Bondad de Ajuste. O sea, para probar si un conjunto de datos sigue una distribución pre-determinada. </li></ul><ul><li>c) Para hacer análisis de tablas de contingencia. </li></ul>
  33. 35. Student era el seudónimo de W.S. Gosset, un pionero estadista que trabajó en la Cervecería Guiness de Dublín. Sea X v.a.c. tal que X ~ N (0,1) Y v.a.c. tal que Y ~  2 n Con función de densidad de probabilidad: Distribución t de Student
  34. 36. Distribución t de Student Supongamos que la población es normal con media y varianza desconocida y que se desea hacer inferencias acerca de  , basada en una muestra pequeña (n < 30) tomada de la población. En este caso la distribución de la media muestral ya no es normal, sino que sigue la distribución t de Student .
  35. 37. Distribución t de Student Si de una población Normal con media  y desviación estándar  se extrae una muestra de tamaño n, entonces el estadístico: se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad.
  36. 38. La distribución t de Student es bastante similar a la Normal Estándar, con la diferencia que se aproxima más lentamente al eje horizontal. El parámetro de esta distribución son los grados de libertad.
  37. 41. Cuando la distribución de la población de la que obtenemos las medias muestrales no es normal, el estadístico anterior, se distribuye como una normal tipificada para valores de n > 30.
  38. 42. TABLA DE LA DISTRIBUCION t DE STUDENT orden percentílico grados de libertad valores acumulados de t p tp t .995 t .99 t .60 t .55 1 2 3 4 5 n
  39. 43. Distribución F de Fisher o F-Snedecor Definamos Sea X v.a.c. tal que X ~  2 n Y v.a.c. tal que Y ~  2 m independientes
  40. 44. (m,n)
  41. 45. Distribución muestral del estimador Cuando las distribuciones de la que obtenemos las varianzas muestrales son normales: y extraemos dos muestras de tamaño n y m respectivamente. El estadístico anterior se distribuye según la distribución F de Fisher con n - 1 grados de libertad en el numerador y m -1 grados de libertad en el denominador, F n-1, m-1 .

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