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Progressões aritmáticas e sequências por heloelaine

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ESTA É UMA AULA PARA O 2º ANO DO ENSINO MÉDIO, SOBRE PROGRESSÕES ARITMÁTICAS, EM SLIDE BEM SIMPLES, PARA TURMAS DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

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Progressões aritmáticas e sequências por heloelaine

  1. 1. PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA PROFESSORA: Heloisa Elaine
  2. 2. 1.Sequências1.Sequências É toda sentença matemática que expressaÉ toda sentença matemática que expressa valor de avalor de ann em relação a n.em relação a n.
  3. 3. Exemplos:Exemplos: • Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ...,Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ..., dezembro)dezembro) • As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si)As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) •Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7, ...)Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7, ...) •As letras do alfabeto: (a,b,c,e,...,n,...,x,y,z)As letras do alfabeto: (a,b,c,e,...,n,...,x,y,z) •Os dias da semana: (domingo, segunda...,Os dias da semana: (domingo, segunda..., sábado)sábado) •As quatro estações do ano: (primavera,As quatro estações do ano: (primavera, verão, outono, inverno)verão, outono, inverno)
  4. 4. Lei de formação É toda sentença matemática que expressa valor de an em relação a n. • Representação usual : • Seqüência finita:( a1, a 2,...,a n) . Primeiro termo Segundo termo Último termo • Seqüência infinita: (a1, a 2,...,a n,...)
  5. 5. Exemplo: Expresse os 3 primeiros termos da sequência an= 4n+1 n = 1  a1= 4.1 +1 = 4 + 1 = 5 n= 2  a2 = 4.2 + 1 = 8 + 1 = 9 n= 3  a3 = 4.3 + 1 = 12 + 1 = 13 A sequência é ( 5,9,13,17) n = 4  a4 = 4.4 + 1 = 16 + 1=17
  6. 6. DEFINIÇÃODEFINIÇÃO PROGRESSÃO É uma seqüência lógica de informações que possuem um critério específico e uma ordem estabelecida para o surgimento de seus valores. Uma progressão pode ser crescente ou decrescente ARITMÉTICA Indica uma relação numérica que será orientada sobre forma de soma. A aritmética consiste em realizar operações utilizando o sistema de contagem na forma de adição.
  7. 7. PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA É uma seqüência numérica orientada sobre forma de soma onde, cada termo a partir do segundo, terá um mesmo valor acrescido em sua seqüência, sendo este valor o mesmo para todos os elementos e chamado de razão.
  8. 8. Observe o exemplo:Observe o exemplo: { }24,21,18,15,12,9,6,3 Iremos chamar o primeiro elemento desta seqüência de a1 Iremos chamar de an o último termo de uma seqüência numérica A quantidade de números que compõe uma seqüência numérica será representada pela letra n A ordem de crescimento entre os elementos, a partir do segundo termo, sempre será a mesma e por isto é denominada de razão sendo representada pela letra r Então, neste caso, a1 é 3 Neste caso, an é 24 Podemos observar que a seqüência acima possui 8 números, ou seja, n = 8 Observe que a cada novo número nesta seqüência sempre é somado o valor 3 o que nos mostra que a nossa razão (ordem de crescimento)será o número 3
  9. 9. Fórmula do termo geral de uma P.A.Fórmula do termo geral de uma P.A. ( ) rnaan ⋅−+= 11 Último termo de uma P.A. ou termo procurado Primeiro termo da P.A. Número de elementos da P.A. Razão da P.A.
  10. 10. ExemploExemplo11:: ( ) rnaan ⋅−+= 11 Determine o 35º elemento de uma P.A. que possui 70 números onde o primeiro termo é 5 e a razão é 8 O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partir destas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A. O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partir destas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A. DADOS: a1= 7 n = 51 r = 4 an = ? Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar, ou seja, o último termo desta P.A. que no caso é o 35º elemento. Agora basta substituir os valores fornecidos na questão. Lembre-se que a resolução desta fórmula segue os princípios de resolução de uma equação de 1º grau. ( ) 207 2007 4507 41517 = += ⋅+= ⋅−+= n n n n a a a a
  11. 11. ExemploExemplo22:: ( ) rnaan ⋅−+= 11 Determine o 1º elemento de uma P.A. que possui 120 números onde o último termo é 570 e a razão é 4 Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A. Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A. DADOS: an= 570 n = 120 r = 4 a1 = ? Utilizamos a interrogação para indicar o valor de desejamos encontrar, ou seja, o primeiro termo desta P.A. ( ) 476570 4119570 41120570 1 1 1 += ⋅+= ⋅−+= a a a Neste momento iremos lembrar do princípio de resolução de uma equação onde a letra deve ficar isolada em um dos lados da equação. Neste caso, o número +476 irá para o 1º membro (antes do sinal de igual) mas, para tanto, é necessário mudar o sinal de positivo para negativo. 570 – 476 =a1 94 = a1
  12. 12. IMPORTANTE:IMPORTANTE: Existem algumas questões que procuram identificar a soma de todos os termos de uma P.A. Neste tipo de questão, iremos levar em conta que esta P.A. representa um conjunto finito de elementos, ou seja, podemos definir o primeiro e o último termo desta seqüência.
  13. 13. Fórmula da soma dos termos de uma P.A.Fórmula da soma dos termos de uma P.A. ( ) 2 1 naa S n n ⋅+ = Soma de todos os elementos de uma P.A. finita Primeiro termo da P.A. Último termo da uma P.A. Número de elementos Da P.A.
  14. 14. ExemploExemplo33:: Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. onde o primeiro elemento é 8 e o último 102 Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos, logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma P.A. finita Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos, logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma P.A. finita DADOS: a1= 8 an = 102 n = 50 Sn = ? ( ) 2 1 naa S n n ⋅+ = ( ) 2750 2 5500 2 50110 2 501028 = = ⋅ = ⋅+ = n n n n S S S S Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar, ou seja, a soma de todos os termos de uma P.A.
  15. 15. ExemploExemplo44:: ( ) rnaan ⋅−+= 11 ( ) 2 1 naa S n n ⋅+ = ( ) 116 1115 3375 31385 = += ⋅+= ⋅−+= n n n n a a a a Determine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A. onde a razão é 3 e o primeiro elemento 5. Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último termo desta P.A.? Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último termo desta P.A.? DADOS: a1= 5 n = 38 r = 3 an = ? Sn = ? Neste tipo de problema, iremos utilizar duas fórmulas para chegar ao resultado desejado. Primeiro utilizamos a fórmula do termo geral de uma P.A. onde o valor de an será encontrado. Após isto, utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita. ( ) 2299 2 4598 2 38121 2 381165 = = ⋅ = ⋅+ = n n n n S S S S O valor de an será substituído na fórmula da soma.

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