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CAPITULO I 
INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR 
1.1. Generalidades 
La Transferencia de calor es la energía en tráns...
Realizando un análisis de la transmisión de calor, permite predecir la 
velocidad de la transferencia térmica del agua a l...
é  , , .  
k Conductividad t rmica w BTu m k h pie R   
A = área de sección transversal de la transferencia de calor 
...
Existen dos tipos de convección: 
a) Convección libre o natural, ocurre cuando la fuerza motriz procede de 
la variación d...
Figura N° 1.2 Distribución de la temperatura y velocidad de un fluido 
sobre una placa plana en convección forzada 
Fuente...
6 
3 
g 
 
Gr   
2 T L 
V 
………………………. (1,6) 
 El número adimensional para la convección forzada es el número 
de Reyno...
evaluación de una transferencia neta de energía radiante requiere una 
diferencia en la temperatura superficial de dos o m...
1.5. Ecuación Fundamental de la Transmisión de Calor por Conducción 
Fig. Nº 1.4 Conducción tridimensional del calor a tra...
 Energía que atraviesa   Variación de la energía 
 
   Energía generada en 
  por conducción el  +       i...
 La variación U de la energía interna de dt, para el caso de sólidos y 
líquidos, en los que los calores específicos a p...
Nota 1: El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas: 
2 ……………………….. (1,25) 
  , difusividad térmica. (1.26) 
T ………...
Fig. Nº 1.5 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento 
de volumen de control en coordenadas cilíndricas ...
  
T T 
        
  
p p . 
E U mc c r z r 
  
t t 
             
            ...
1.5.3 Ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas 
Deducción de la ecuación diferencial de transferencia de c...
3. El contenido de energía en dicho elemento y la velocidad de generación de 
calor dentro del mismo se pueden expresar co...
q q 
1 1 
Lim 
r 0 3 
        
 
                                    
1 T 1 T...
a) Temperatura especificada constante (condición de Dirichlet) 
T(x)  TS , x 0 
Figura Nº 1.7 Sistema con borde a temper...
18 
 4 4  dT 
, 0 
 T   T   k x 
 
dx 
(b) Ambiente radiactivo 
Figura N° 1.10 Sistema con borde expuesto a radia...
En ella se incorpora t c R , " que es precisamente la resistencia térmica de 
contacto,.si " 0 ,  t c R . Se satisface qu...
1.7 Problema Resueltos 
Problema N° 1 
Un recubrimiento especial, que se aplica a la superficie interior de un tubo de 
pl...
Figura N° 1.13-b Cilindro con fuentes de calor 
Fuente : Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio 
21 
2. Balan...
7. Con las condiciones de frontera. 
22 
C.F1 
CF2 
8. Aplicando la primera condición de frontera, se obtiene: 
Dado que, ...
23 
14.Para una emisividad de ε = 0.85 
15.Reemplazo en la ecuación (5): 
16.Luego: 
Problema N° 2 
A través de un tubo de...
Figura N° 1.14 Tubo de acero sometido a fluidos interior y exterior 
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing Alberto Emilio Panana...
Problema N° 3 
Un tubo de diámetro de = 0,5 m, cuya emitancia superficial vale e = 0,9 que 
transporta vapor de agua posee...
r  tubo ext  r  tubo ext  Q A T 4  T 4  h A T  T 
w 
m K 
r 1 500 300 
26 
4. Despejando (hr) 
  
  
  
x ...
Figura N° 1.16 Tubo de acero sometido a fluidos interior (vapor) y exterior 
27 
(aire) 
Fuente: Elaboración propia, Ing. ...
7. Realizando el reemplazo de los valores de las variables se tiene 
hr = 0.6x(5.67x10-8W/m2k4)(4232 + 2832 )(423 + 283)K3...
  
2 ( ) Ln (r /r ) 
Ln (r /r ) ( ) 
 
L T T 
29 
Solución.- 
1. Diagrama de flujo 
Figura N° 1.17 Tubo de acero someti...
        
30 
Problema N° 6 
Una esfera de 2 in de diámetro, cuya superficie se mantiene a una 
temperatura de 170°...
            
 
4 4 8 2 4 4 
2 ( ) 0,8 0,1714 10 8,7266 10 (630 530 ) 
   
   
130,4 / 9,408 / 140,308 ...
  T  T  Btu     T 
          
  
Q k A pie 
 (  )  3,2  825 (  510) 
 
( ) 0,8 0,1714 10 825 ( ...
se mantiene a 250 °C. Calculese la transferencia de calor entre las 
superficies por hora y por unidad de área de la super...
34 
Conductividad térmica de la pared. 
Figura N° 1.20 Superficie sólida sometido a convección y radiación 
Fuente: Elabor...
Figura N° 1.22 Circuito térmico de un Superficie sólida sometido a 
convección interior y convección y radiación exterior ...
CAPITULO II TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION 
2.1 Conducción en estado estable 
Se llama estado estable, al caso de t...
d ………………….. (2.4) 
37 
 
dT 
0 0   
 
 
dx 
x 
dx 
La ecuación y condiciones de frontera que se deben satisfacer so...
( ) 0 ………(2.12) 
T T L 
dT 
Q KA x   …………………. (2.13) 
38 
1 0 T C X T L   
T T 
C L 0 
L 
1 
 
 ………………….. (2.11) 
5)...
             
    
 
K Si K Ko T 
 
  K 1   
T dt  T  T  T  T 
   2 
 
         ...
d r (2.18) 
40 
2.2.2 Cilindros Huecos 
Figura N° 2.2 Cilindro hueco, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de ...
    
T T T T 
  i o    i 
 
T Ln r T Ln r 
i i 
Ln r r L n r r 
  
dT , dado por el resultado de la primera i...
AK 
Q i 
K A T KL T 
r r Ln r r 
r  , A se puede expresar como: 
  
i 0 i o 
o i o i 
A0 < 2, el área media aritmética ...
un 4%, por lo cual la primera puede usarse satisfactoriamente, para 
paredes de mayor espesor, esta aproximación no es ace...
 
 
T T 
i o 
C r r 
      …….. (2.32) 
C T C T 
r r 
dT esta dado por: 
 
T T 
dT 
 
 
  (2.34) 
 2 
= - ……...
de coeficiente de convección h1, a un medio exterior Tf2 con 
coeficiente de convección h2, se tendrá: 
f f T T 
Q r r 
1 ...
 K = conductividad del aislante. 
R2 
T2 T∞ 
R1 
  
L r 0 
n 
r 
R 
R 
   2 
1 2 
i 
 KL 
1 
 r Lh 
0 
2 
 
ro ...
3. Para los valores de h suficientemente pequeñas, la perdida de calor por 
convección puede de realidad incrementarse con...
( ) 4 4 1 5 Q U A T T ; A r L 4 4  2 
1 
= æ ö æ ö ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ + è ø+ è ø+ 
n n 1 
48 
 Basado en el radio r4 
Fi...
 Suponga que dos sólidos A y B se colocan uno junto al otro en 
paralelo y que la dirección del flujo de calor es perpend...
coeficiente promedio de transferencia de calor h = 12 BTU/h.pie2. ºF, así como 
por radiación hacia el cielo abierto, con ...
51 
CF: 
CF: 
b. Obteniendo una relación para la variación de la temperatura en 
la placa. 
 Primero hallamos las ecuacio...
 Reemplazamos estos datos en la ecuación (3): 
52 
 Despejando T1: 
 Por último reemplazamos los datos del problema: 
...
Figura N° 2.9 Barras planas colocados en serie, para evaluar la temperatura de 
53 
contacto 
Fuente: Elaboración propia I...
intercala entre los materiales A y C, es de espesor conocido. LB = 0,15 m, pero 
de conductividad térmica. Ka desconocida....
 
C C 
780 
 ………………… () 
0.15 0.15 
B B 
55 
x 
K K 
q 
0.15 
0.058 
50 
0.3 
20 
1 
25 
800º 20º 
 
 
   
3.-La t...
i. La temperatura media de la pared. 
 
 0.35  ,115 35 T  
75º 
C m  m K , K w m C m  30.5 / º 
  
Q T T C 
   ...
26 26 2.30769 10 3 115 
35 
26 2.30769 10 
26(115 35) 2 2 
57 
K T dT 
 
  
dT 
Km 
( ) 
; 
  
 
115 35 
 
 
  x...
0.02 
1 4 2     
A 0.079365 / 
0.025 
   
B 0.23148 / 
0.025 
   
C 0.34722 / 
0.04 
3 4 2     
D 0.55555 / ...
3 1 
      k 
59 
1 
0.079365 0.13888 0.55555 0.773795 
 
 
 
 
w 
Rn 
5. Reemplazando: 
w 
150º   
C 
w 
C ...
60 
Q = QA + QB 
3. Cálculo de las resistencias térmicas 
4. Reemplazando valores tenemos 
Problema N°7 
Vapor con calidad...
61 
1. Diagrama de flujo 
Figura N° 2.14 Tubería aislada donde fluye vapor por su interior 
Fuente: Elaboración propia Ing...
1 H  2644,6673 2,78581.10 
Q V 
2 2    
2 4  
62 
w 
mk 
Ka  0,07788 
K w mk C  43,27 / 
m  2,78581.104 kg / s...
 
1904,1258 455,3593 
( / ) 
 
(108,6 21)º 
Q C 
L Ln Ln 
1 (2,7 / 2,1) (7,7 / 2,7) 1 
      
h 2 
2  → 2 4 
 Kg...
2.4PROBLEMAS PROPUESTOS 
PROBLEMA 1 
La conductividad calorífica de una lámina aislante varía con la temperatura. De 
acue...
b) Evalúe cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre las 
temperaturas. 
Datos: k a K W m K vidrio ( 300 )  1,...
T (K)  (kg /m3 ) k (W /m.K) 
300 16 0,046 
300 28 0,038 
300 40 0,035 
Tablero de madera contra placada: k (a 300 K) = 0,...
transferencia de calor desde la base de 40cmx40cm de la hielera, determine 
cuanto tiempo transcurrirá para que el hielo q...
PROBLEMA N° 7 
Considere el caso de la conducción estable unidimensional a través de un 
material que tiene una sección tr...
CAPITULO III CONDUCCION CON FUENTES DE CALOR (Generación 
Q Cantidad de energía 
q W o 
Btu V unidad de tiempo y unidadad ...
dx      (3.1) 
º 
0  (3.2) 
d T Ecuación diferencial de 2do orden (3.4) 
dT (3.5) 
1 º 
º    
KA x L 2 
1 º 
º ...
Reemplazando esta condición en en la distribución de temperatura se 
obtiene: Tc  Tw   (3.11) 
max 
  . o 
dT q L 
dx...
3. Las condiciones de frontera para resolver la ecuación (16), son : 
CF: 1 r=r0 T=Tw (3.17) 
CF: 2 r=0 dT  0 
(simetría)...
V   r , dV  4 r2dr A  4 r2 (3.27) 
   (3.28) 
  dT      dT   d dT 
  
d (3.30) 
dT (3.32) 
73 
3.4 E...
5. Separando variable (30) e integrando, se tiene: 
dT    (3.33) 
T     (3.34) 
  (3.36) 
C Tw 
   (3.37) 
 ...
tiempo), se puede determinar Tw para las tres geometrías en la 
forma siguiente, si el coeficiente de transferencia de cal...
º 
º (3.46) 
76 
2   
0 .4 . w f Qc  h  r T T 
 Igualando estas expresiones 
 4 
 q   
 r  h  r T  T  3  
...
3. El calor generado por unidad de longitud y tiempo es: 
2 2 
1 
oq 
24,000 0.20 ' ' 4 3       
r 
r k W x m W ks x...
PROBLEMA 2 
Un muro de espesor 2L = 40 mm y conductividad térmica k = 5 W/m·K 
experimenta una generación volumétrica de c...
79 
 
4. Al comparar de (3) con la ecuación del enunciado: T(x) = a + bx + cx2 
Se tiene que: 
°C/m2 
5. Despejando: qo=2...
Figura 3.5 Alambre cilíndrico aislado sólida con generación interna de Calor 
80 
Uniforme 
Fuente: Elaboración propia, Al...
   (i) 
  
   
 
f T Ts 
  
   
´´ (ii) f T Ts r 
81 
3.4 Evaluando se tiene; 
2 
1 
1 2 
o q r 
1 
0 ; 
4 
...
  
   
q r dT dT T T 
´´ ´´ 1 
     
o f s 
     
  
             
  
   
    
T L...
dT q x C T q x C x C 
dx K K 
= - + = - + + ; 
dT 
dT 
K h T T 
dx      
dT q q 
L T L C 
83 
Solución: 
1. Diagrama ...
            
    
K L h L C hT 
  q L  q   q L   k 
 o o o   
 
k 
x x 
84 
2 
o o q q 
2 2...
Figura 3.7 Barra de acero conectada a placas en sus extremos, con su 
superficie aislada y con generación interna de Calor...
T - T - q L C = K C = T - T - 
q L 
  
T   
  
 
  
 x 
 
81487.33086 ² 0.3 90 70 
 dT   0  2 2829.4212 ...
Transferencia de calor
Transferencia de calor
Transferencia de calor
Transferencia de calor
Transferencia de calor
Transferencia de calor
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Transferencia de calor

Problemario de conduccion

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Transferencia de calor

  1. 1. CAPITULO I INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR 1.1. Generalidades La Transferencia de calor es la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos diferentes. Siempre que exista una diferencia de temperatura, la energía se transfiere de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura De acuerdo con los conceptos de la Termodinámica, la energía que se transfiere como resultado de una diferencia de temperatura es el calor. - Las leyes de la termodinámica tratan de la transferencia de energía, pero sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio (pueden utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para modificar un sistema de un estado de equilibrio a otro), pero no sirven para predecir la rapidez (tiempo) con que pueden producirse estos cambios. - La transferencia de calor, complementa los principios termodinámicos, proporcionando métodos de análisis que permitan predecir esta velocidad de transferencia térmica. Ejemplo: El calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente, los principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad de energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero nada nos dice respecto a la velocidad de la transferencia térmica o la temperatura de la barra al cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que haya que esperar para obtener una temperatura determinada en una cierta posición de la barra. 1
  2. 2. Realizando un análisis de la transmisión de calor, permite predecir la velocidad de la transferencia térmica del agua a la barra y de esta información se puede calcular la temperatura de la barra, así como la temperatura del agua en función del tiempo. - Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del calor es necesario considerar tres mecanismos diferentes: conducción, convección y radiación. - El diseño y proyecto de los sistemas de un intercambio de calor y conversión energética requieren de cierta familiaridad con cada uno de estos mecanismos, así como de sus interacciones. 1.2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN La conducción, es el único mecanismo de transmisión de calor posible en los medios sólidos opacos, cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura. El calor se trasmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura, debido al movimiento cinético o el impacto directo de las moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre de los electrones como sucede en los metales. La ley básica de la conducción del calor (Joseph Fourier), establece: “La tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección”.            Q T BTu w q K 2  BTu w h T Q K A X ,  x    …………….…….………….. (1,1) 2 2 , . x x A x h pie m .……………… (1,2) Donde: Qx = Tasa de flujo de calor a través del área A en la dirección positiva.
  3. 3. é  , , .  k Conductividad t rmica w BTu m k h pie R   A = área de sección transversal de la transferencia de calor 3   T x = gradiente de temperatura El flujo real de calor depende de la conductividad térmica (k), que es una propiedad física del cuerpo El signo (-) es consecuencia del segundo principio de la termodinámica, según el cual el calor debe fluir hacia la zona de temperatura mas baja. El gradiente de temperatura es negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x, por lo que el calor transferido de la dirección positiva debe ser una magnitud positiva, por lo tanto, al segundo miembro de la ecuación anterior hay que introducir un signo negativa, esto se puede ver en la figura Nº 1) Fig. Nº 1.1. Signos para la transmisión de calor por conducción Fuente: Elaboración propia Ing. Alberto Emilio Panana Girio 1.3. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN Cuando un fluido a TF se pone en contacto con un sólido cuya superficie de contacto está a una temperatura distinta TS, al proceso de intercambio de energía térmica se denomina CONVECCIÓN.
  4. 4. Existen dos tipos de convección: a) Convección libre o natural, ocurre cuando la fuerza motriz procede de la variación de densidad en el fluido como consecuencia del contacto con una superficie a diferente temperatura, lo que da lugar a fuerzas ascensionales, el fluido próximo a la superficie adquiere una velocidad debida únicamente a esta diferencia de densidades, sin ninguna fuerza motriz exterior. Ejemplo: La convección en un tanque que contiene un líquido en reposo en el que se encuentra sumergida una bobina de calefacción. b) Convección forzada, tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior mueve un fluido con una velocidad (v), sobre una superficie que se encuentra a una temperatura Ts mayor o menor que la del fluido Tf, como la velocidad del fluido en la convección forzada es mayor que en la convección natural, se transfiere por lo tanto, una mayor cantidad de calor para una determinada temperatura. Independiente de que la convección sea natural o forzada, la cantidad de calor transmitido Qc, se puede escribir (Ley de enfriamiento de Newton) ( ) C S F Q  h A T T ………… (1,3) Donde: h = Coeficiente de transmisión del calor por convección en la interface líquido – sólido (w/m2 .k) A = Área superficial en contacto con el fluido (m2) La ecuación anterior sirve como definición de (h), su valor numérico se tiene que determinar analítica o experimentalmente. En la figura adjunta se puede visualizar el perfil de un fluido adyacente a una superficie sólida 4
  5. 5. Figura N° 1.2 Distribución de la temperatura y velocidad de un fluido sobre una placa plana en convección forzada Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio  El coeficiente de transmisión de calor por convección forzada depende en general, de la densidad, viscosidad, de la velocidad del fluido, de las propiedades térmicas del fluido (K, Cp), es decir h  f  , ,v, k,CP  ……………… . (1,4)  En la convección forzada la velocidad viene impuesta al sistema con una bomba, ventilador y se puede medir directamente V Q A  ……………………… …… (1,5) 5 v F  En la convección natural, la velocidad es de la forma v  f (T, , g) , es decir depende de: ΔT = diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido β = Coeficiente de dilatación térmica del fluido, que determina el cambio de densidad por unidad de diferencia de temperatura. g = Campo de fuerzas exteriores, en general es la gravedad  El número adimensional característico para la convección natural es el número de Grashoff (Gr)
  6. 6. 6 3 g  Gr   2 T L V ………………………. (1,6)  El número adimensional para la convección forzada es el número de Reynolds (#Re) . . . #Re V D V D     ……………………….. (1,7) Donde: ρ = densidad del fluido, ( kg/m3) μ = viscosidad dinámica del fluido, (kg/m.s) ν = viscosidad cinemática del fluido (m2/s) V = velocidad media del fluido, (m/s) D = diámetro del tubo, (m) 1.4.Transmisión de Calor por Radiación Mientras que la conducción y la convección térmica tienen lugar sólo a través de un medio natural, la Radiación térmica puede transportar el calor a través de un fluido o del vacío, en forma de ondas electromagnéticas o fotones como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas, estos se propagan a la velocidad de la luz. La cantidad de energía que abandona una superficie en forma de calor radiante depende de la temperatura absoluta a la que se encuentra y también la naturaleza de la superficie. El radiador perfecto o cuerpo negro, emite una cantidad de energía radiante de su superficie, Qr b Qr  AT 4  AE …………………….. (1,8) Eb = poder emisivo del radiador.  = constante dimensional de Stefan – Boltzmann 5, 67 x 10-8 w/m2.K4 para el sistema Internacional (SI) 0, 1714 x 10-8 Btu/h pie2. R4 para el sistema americano de ingeniería La ecuación anterior dice: que toda superficie negra irradia calor proporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. Siendo la emisión independiente de las condiciones de los alrededores, la
  7. 7. evaluación de una transferencia neta de energía radiante requiere una diferencia en la temperatura superficial de dos o más cuerpos entre los cuales tiene lugar el intercambio. Si un cuerpo negro irradia calor a un recinto que la rodea completamente y cuya superficie es también negra, es decir, absorbe toda la energía radiante que incide sobre él, la transferencia neta de energía radiante viene dada por: 7  4 4  2 1 1 Q A T T r   ………………………… (1, 9) Siendo: T1 y T2 = la temperatura del cuerpo negro y la temperatura superficial del recinto en (K). Un cuerpo gris emite radiación según la expresión Qr =  A Eb =   A T4 (1-10) El calor radiante neto transferido por un cuerpo gris a la temperatura T1 a un cuerpo negro que lo rodea a la temperatura T2 es: 4 - T2 Qr = 1  A ( T1 4 ) ……..…………………….. (1,11)  = Emisividad, propiedad de la superficie es numéricamente igual al cociente de la emisión de radiación del cuerpo en estudio con respecto a la de uno negro, adquiere valores entre 0 y 1 y constituye una medida para evaluar cuan efectivamente emite radiación un cuerpo real con respecto a uno negro. En la figura N° 3 se visualiza los tres mecanismos de transferencia de calor Figura N° 1.3 Mecanismos de transferencia de calor por conducción, Convección y radiación, Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da Edición
  8. 8. 1.5. Ecuación Fundamental de la Transmisión de Calor por Conducción Fig. Nº 1.4 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento Rectangular de volumen de control Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio 1.5.1 Deducción de la Ecuación Diferencial para la conducción de calor Qx qx  8 (coordenadas rectangulares) Para el flujo térmico de la dirección (x), la ley de Fourier viene dada por:  T x Qx kA    T x k A     (1.12) QX = calor que atraviesa la superficie A en la dirección positiva de las x qX = flujo de calor por unidad de superficie transversal k = conductividad térmica del material (magnitud positiva), para flujo unidireccional (según x)  Considerando un elemento de volumen infinitesimal de dimensiones Δx, Δy, Δz; estableciéndose el balance energético:
  9. 9.  Energía que atraviesa   Variación de la energía     Energía generada en   por conducción el  +       interna dentro del elemento  el elemento de control     elemento de control     de control    Q Qx x x                                 Q Q y y y y y      (1-14)           (1-15) z z    Q Q z z z  (1-16) 9 (1,12)  La energía Qx que entra por conducción al elemento de volumen infinitesimal en la dirección x es: Qx = qx Δy Δz  La energía saliente en la misma dirección x Qx x      El balance de energía que atraviesa el elemento de volumen en la dirección x: x x x x x Q Q q Q Q x x x y z x x x (1-13)  Haciendo lo mismo en las direcciones y, z x y z q y y Q y y Q y           x y z q z z Q z z Q z          La energía que por conducción atraviesa el elemento de volumen es:     q x y z      x y z q z q y x          La energía generada o disipada de el elemento de volumen por fuentes o sumideros de energía Q q x y z gen     0 (1.19)  0 q Energía generado por unidad de volumen (W/m3 ), (BTU/h.m3)
  10. 10.  La variación U de la energía interna de dt, para el caso de sólidos y líquidos, en los que los calores específicos a presión (Cp) y volumen (Cv) constante son iguales Cp  Cv , es de la forma    U T T      m Cp Cp x y z t t t  T   0 ………………… (1,21) T     , , q k x y z                                      T T T T  k k k q Cp 2 ………………………. (1,24) 10     (1.20)  y Cp no varían con el tiempo.  En consecuencia el balance energético total proporciona la ecuaciónn diferencial de la conducción de calor, en la forma: t q Cp      q x y q z z q y x              Teniendo en cuenta la ecuación de Fourier para cada dirección: z q k T y q k T x         Se obtiene, la ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas rectangulares: o x x y y z z t ……….. (1,22) T = T (x, y, z, t) ;  , , ,  o o q  q x y z t Ó en notación simbólica: 0 ( . ) P T k T q C t        ……………….……….. (1,23)  Si la conductividad térmica es constante, entonces la ecuación se simplifica a:    T t k T q Cp      0
  11. 11. Nota 1: El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas: 2 ……………………….. (1,25)   , difusividad térmica. (1.26) T ……………………… (1,29) T ………………… ……… (1,30) 11      2 2 x y z     2 2 2 Nota 2: k  Cp  Si la conductividad térmica es constante (k), la ecuación se reduce a:  T t q 1 0 k T z T y T x             2 2 2 2 2 2 ………………… (1,27)  Cuando no hay generación interna de calor (se conoce como ecuación de Fourier, o ecuación del calor o de la difusión)  T t T z T y T x           1  2 2 2 2 2 2 ……………………… (1,28)  Para regiones estacionarias (Ecuación de Poisson) 0 0 T 2 2 T 2 2 2 2 q           k z y x  Regimen estacionaria sin generación interna de calor (Ecuación de Laplace) T 0 2 2 T 2 2 2 2          z y x 1.5.2 Deducción de la ecuación diferencial de conducción de calor en coordendas cilíndricas en estado transitorio 1. Considerar el pequeño elemento cilíndrico de control r , z , r , de   densidad y cp  calor específico .
  12. 12. Fig. Nº 1.5 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento de volumen de control en coordenadas cilíndricas Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio 2. Balance de Energía sobre este elemento durante un pequeño intervalo de tiempo t  se puede expresar como :  Velocidad de   Velocidad de   Velocidad de        conducción de   conducción de   generación de    calor de entrada   calor de salida   calor en el interior       al elemento   del elemento   del elemento        12   Velocidad de cambio de energía del elemento                 (1.31) Reemplazando valores     r z r r z z gen  E Q Q Q Q Q Q Q t       (1.32) 3. Siendo el volumen del elemento V  rrz . El contenido de energía en dicho elemento y la velocidad de generación de calor dentro del mismo se pueden expresar como :
  13. 13.   T T           p p . E U mc c r z r   t t                                      Q Q Q Q Q Q T        1 1 1 1              z z z z                                     1 T 1 T T T  Kr k k q Cp   13 (1.33) Qgenerado  q0V  q0rz.r 4. Operando en la ecuación (4) y dividiendo entre r.z.r , se tiene 0 1 1 1 . . r r r z z z p r q c r z r r z r r r z t 5. Dado que el área de transferencia de calor del elemento para la conducción de ese calor en las direcciones r, , z son: Ar  r.z , A  r.z ; Az  r.r 6. Tomamos el límite cuando r, z , r y t tiende a cero se obtiene por definición de derivada y de la Ley de Fourier de la conducción de calor. 0 1 1 1 1  lim r r r r r r Q Q Q T T kA kr r  z r r  z r r  z r r r r                                           0 2 lim r Q Q Q T T kA k r r z r r r z r r r zr r                                            0 1 1 1 lim . . . z z Q Q Q T T kA k r  r z r  r z r  z z z z z                                           8. Reemplazando en 6, se tiene 2 0 r r r r z z t (1.34) Ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas cilíndrica (estado transitorio).
  14. 14. 1.5.3 Ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas Deducción de la ecuación diferencial de transferencia de calor por conducción en coordenadas esféricas: Fig. Nº 1.6 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento de volumen de control en coordenadas esfèricas Fuente: Elaboraciòn propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio  = Polar, cenital o colatitud  = azimutal o longitud                                         14 r = radial V  r 2sen A  r 2 sen r   A  rr ;    A  rsen r ; Cp :CalorEspecifico ;   Densidad 1. Balance de energia : Velocidad de Velocidad de Velocidad de conducción de conducción de generación de calor de entrada calor de salida calor en el interior al elemento del elemento del elemento   Velocidad de cambio de energía del elemento                 (1.35) 2. Remplazando:     r r r generado  E Q Q Q Q Q Q Q t         (1.36)
  15. 15. 3. El contenido de energía en dicho elemento y la velocidad de generación de calor dentro del mismo se pueden expresar como:  T t - - - - - + = ¶ Q Q Q Q Q Q q V Cp T V 1 1 1               q q Lim r r r r 0 2    2       2    q kAr r  q q 1 1            T     15 VCp  T t mCp   U t  E t        1.37) V= Volumen del elemento = V  r 2senr 4. Reemplazando se tiene: ( ) ( ) ( ) r r r 0 r + D f + D f f q + D q q ¶ t 5. Dividiendo entre el volumen V:       T t q Cp q q r sen r q q q q   r r sen r r sen r r r                                         2 2 2 0 6. Tomando limites y reemplazando la ecuación de FOURIER:                                    q  r r r sen r sen 1 1   T r k r sen T r           T 1 Se tiene :     r kr r r 2 2                                          q rsen r sen r r r Lim rsen 0 3 2               k r r T q kA    1 Se tiene :       T k r 2sen2
  16. 16. q q 1 1 Lim r 0 3                                              1 T 1 T 1 T T   kr k ksen q Cp       16                                         q r r sen r rsen r   T                 k rsen r T q kA    1 Se tiene :         T ksen r 2sen 7. Ordenando, se obtiene la ecuación diferencial de la conducción de calor en coordenadas esféricas: 2 2 2 2 2 0 r r r r sen r sen t 1.6 Condiciones de bordes y condición inicial (1-38) Para poder realizar la integración de la ecuación general de conducción, en términos matemáticos es menester incluir las condiciones iniciales y de borde. En general, por ser la ecuación general de conducción de primer orden en tiempo se requiere del establecimiento de una única condición inicial. 1.6.1 La condición inicial, se refiere a la distribución de temperatura que existe en el instante de tiempo inicial. Condición inicial: T (x, y, z, t = 0) = Ti (x, y, z) 1.6.2 Para el caso de las condiciones de borde; se observa que en las variables espaciales (x, y, z), la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación general de conducción es dos; por tanto se requiere el establecimiento de dos condiciones de borde por cada variable espacial. A continuación incluimos un conjunto de condiciones de borde que aparecen con frecuencia en la formulación de problemas de conducción.
  17. 17. a) Temperatura especificada constante (condición de Dirichlet) T(x)  TS , x 0 Figura Nº 1.7 Sistema con borde a temperatura constante Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Panana Girio Alberto Emilio b) Flujo de calor especificado constante (condición de Neuman) Figura Nº 1.8 Sistema con flujo de calor en el borde constante Fuente: Elaboraciòn propia, Ing- Alberto Emilio Panana Girio 17 dT k q x dx " , 0 S    dT       ,  0 h T T k x dx c). Ambiente convectivo (Robin) Figura Nº 1.9 Sistema cuyo borde se encuentra adyacente a un fluido Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Ing. Alberto Emilio Panana Girio
  18. 18. 18  4 4  dT , 0  T   T   k x  dx (b) Ambiente radiactivo Figura N° 1.10 Sistema con borde expuesto a radiación Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Gario e). Resistencia térmica de contacto Figura Nº 1.11 Resistencia térmica de contacto entre dos sólidos Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Gario Realizando una ampliación en la interfaz de los materiales mostrada en la figura 10, se tiene: Figura Nº 1.12 – Resistencia de contacto entre dos paredes Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Gario
  19. 19. En ella se incorpora t c R , " que es precisamente la resistencia térmica de contacto,.si " 0 ,  t c R . Se satisface que A B T  T Desde el punto de vista del cálculo, la presencia de la resistencia térmica de contacto se cuantifica añadiendo una resistencia adicional, Circuito térmico, mostrando la resistencia térmica de contacto: A K B K La resistencia térmica de contacto, R”t,c, generalmente se determina experimentalmente, R”t,c depende en general de:  La presión de contacto  Del acabado superficial A continuación se presenta una tabla donde se muestra valores característicos de la resistencia térmica de contacto. Tabla 1.1. Resistencia térmica de contacto para: (a) Superficies metálicas bajo condiciones de vacío y (b) Interfaz de Aluminio (rugosidad; 10 nm) 105 N/m2 con diferentes fluidos interfaciales. Resistencia térmica de contacto R”t,c x 104 [ m2 . K /W Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da. Edición 19 A L B L t c R , "
  20. 20. 1.7 Problema Resueltos Problema N° 1 Un recubrimiento especial, que se aplica a la superficie interior de un tubo de plástico, se cura colocando una fuente de calor por radiación cilíndrica dentro del tubo. El espacio entre el tubo y la fuente se vacía, y la fuente entrega un flujo de calor uniforme , que se absorbe en la superficie interna del tubo. La superficie externa del tubo se mantiene a una temperatura uniforme, . Figura N° 1. 13-a Cilindro con fuentes de calor Fuente: Elaboración propia, Eng. Alberto Emilio Panana Girio Desarrolle una expresión para la distribución de temperatura en la pared del tubo en términos de , , , y . Si los radios interior y exterior del tubo son y , ¿Cuál es la potencia que se requiere por unidad de longitud de la fuente de radiación para mantener la superficie interna a ? la conductividad de la pared del tubo es w/m.K. SOLUCIÓN: 1. Diagrama de flujo 20
  21. 21. Figura N° 1.13-b Cilindro con fuentes de calor Fuente : Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio 21 2. Balance de energía Donde: ε = Emisividad de la superficie de frontera (superficie del tubo plástico) σ = 3. Este es un problema unidimensional de radiación y conducción de calor es estado estable, con conductividad térmica constante y sin generación de calor en el medio. 4. La ecuación balance de energía se puede expresar: 5. La solución de la ecuación diferencial general se determina por integración directa 6. Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias de integración.
  22. 22. 7. Con las condiciones de frontera. 22 C.F1 CF2 8. Aplicando la primera condición de frontera, se obtiene: Dado que, 9. Aplicando la segunda condición de frontera da: 10.Despejando se obtiene. 11.Reemplazando (2) y (3) en (4): 12.La expresión de la distribución de temperaturas en la pared del tubo queda expresada en términos de , , , y . 13.Potencia Requerida por la Fuente de Radiación
  23. 23. 23 14.Para una emisividad de ε = 0.85 15.Reemplazo en la ecuación (5): 16.Luego: Problema N° 2 A través de un tubo de acero de 60mm de diámetro interior y 75mm de diámetro exterior, fluye vapor a una temperatura de 250ºC. el coeficiente de convección entre el vapor y la superficie interna del tubo es de 500W/m2 .K, mientras que la superficie externa del tubo y los alrededores es 25W/m2.K. La emisividad del tubo es 0.8, y la temperatura del aire y los alrededores es 20ºC. ¿Cuál es la perdida de calor por unidad de longitud de tubo? La conductividad térmica del material es, k = 56, 5 W/m.°C
  24. 24. Figura N° 1.14 Tubo de acero sometido a fluidos interior y exterior Fuente: Elaboraciòn propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio 24 1. Circuito térmico Obteniendo Ts = 502K Luego:
  25. 25. Problema N° 3 Un tubo de diámetro de = 0,5 m, cuya emitancia superficial vale e = 0,9 que transporta vapor de agua posee una temperatura superficial de 500K. El tubo esta localizado en una habitación a 27ºC y el coeficiente de transmisión de calor por convección entre la superficie del tubo y el aire de la habitación se puede considerar igual a hc = 20 w/m2K; calcular: a) La conductancia superficial unitaria combinado radiación y convección. b) El calor disipado por unidad de tiempo y por metro de longitud del tubo. Solución.- 1. Diagrama de flujo Figura N° 1.15 Tubo de acero sometido a fluido Panana Girio 2. El tubo se puede considerar como un cuerpo emisor, rodeado por un cuerpo negro que es la habitación, se tiene que considerar también la convección de tal forma que la conductancia global será: C r h  h  h (hr = coeficiente de radiación) 25 h w m C C  20 / 2 º 3. Se tiene que el calor trasferido por radiación
  26. 26. r  tubo ext  r  tubo ext  Q A T 4  T 4  h A T  T w m K r 1 500 300 26 4. Despejando (hr)       x x m K m  K x A T T T ext A T T h t ext 5,67 10 0,9 1 500 300 2 2 4 4 4 2 4 8 4 4          13,88 / 2 h w m K r 5. Por lo tanto: h  20 13,88  33,88w/m2K 6. La pérdida de calor por unidad e tiempo y por metro de longitud de tubo   e tubo ext Q d Lh T T Q/ L  0,5mx1x33,88w/m2K 200K  10643,7159w/m Problema N° 4 Un tubo que conduce vapor sobrecalentado en un sótano a 10ºC tiene una temperatura superficial de 150ºC. El calor perdido en el tubo ocurre por radiación natural (e = 0.6) y por convección natural (hc =25W/m2 K). Determine el porcentaje de la perdida total de calor mediante ambos mecanismos. Solución.- 1. Diagrama de flujo:
  27. 27. Figura N° 1.16 Tubo de acero sometido a fluidos interior (vapor) y exterior 27 (aire) Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio 2. Para un sistema en donde hay convección y radiación: El calor transferido es: Q = Q + Q c r Q = h A(T -T ) + h A(T -T ) c 1 2 r 1 2 Q = (h + h )A(T -T ) c r 1 2 3. Donde hc, es el coeficiente de transferencia de calor por convección promedio entre el área A y el aire a una temperatura T2. 4. El coeficiente de transferencia de calor por radiación (hr) entre el área A y T2 es: 4 4 2 2 r 1 2 1 2 1 2 1 2 h = (T - T )/(T - es T )= es (T - T )(T + T ) 5. El coeficiente combinado de transferencia de calor se define: h = hc + hr 6. Este coeficiente de transferencia, especifica el promedio de la razón de flujo de calor total entre una superficie a un fluido adyacente y los alrededores por unidad de área y por intervalos de temperatura entre la superficie y el fluido.
  28. 28. 7. Realizando el reemplazo de los valores de las variables se tiene hr = 0.6x(5.67x10-8W/m2k4)(4232 + 2832 )(423 + 283)K3 hr = 6.221125W/m2k h = hc + hr h = 25 + 6.221125 = 31.22W/m2k 8. Por lo tanto la transferencia de calor por m es: Q = Ah(Ttubo - Taire)= Ax31.22(150 - 10)W/m2K q/A= 4.37KW (calor total) 28 9. El calor por convección: qc/A= h(T - Tf)= 3.5KW/m2 10.Calor por radiación: qr/A = £σ(T4 – Tf 4 )= 0.6x5.67x10-8(4234 - 2834) qr/A = 0.87KW/m2 Por tanto el porcentaje de perdida de calor por radiación respecto el total de calor: %Q = (0.87/4.37)x100 = 19.9% 11.Pérdida de calor por convección respecto el total de calor: %Q = (3.5/4.37)x100= 80.1% Problema N° 5 Un tanque Cilíndrico de oxigeno liquido (LOX, por sus siglas en ingles), tienes un diámetro de 4 pies, una longitud de 20 pies y extremos hemisféricos. La temperatura de ebullición del LOX es de -29oF. Se busca un aislante que reduzca la razón de evaporación en estado estacionario a no más de m = 25 lb/h. El calor de vaporización del LOX es de ΔHv = 92 Btu/lb. Si la temperatura exterior del aislante es de 68oF Y el espesor de este no debe ser mayor a 3 pulg, ¿Qué valor debería tener su conductividad térmica?
  29. 29.   2 ( ) Ln (r /r ) Ln (r /r ) ( )  L T T 29 Solución.- 1. Diagrama de flujo Figura N° 1.17 Tubo de acero sometido a fluidos interior (vapor) y exterior (aire) Fuente: Elaboración propia, Ing, Alberto Emilio Panana Girio 2. Condiciones  Según el problema, hay transferencia de calor por conducción.  Asumiremos calor conductivo unidimensional en el tanque cilíndrico. 3. Datos: r1= 2pies ε = 3pulg = 0.25pies; ε = r2-r1 r2 = 2.25pies K= ¿? m = 25lb/h hfg = 92Btu/lb T1= -29oF T2= 68oF 4. Cálculo de la cantidad de calor QK = m x hfg = (25lb/h)(1h/3600s) x (92Btu/lb) QK = -0.63889 Btu/s 5. Determinación de la conductividad térmica K: kL T T Q    1 2 2 1 Q k 2 1 1 2 -0.63889Btu/s L n (2.25/2) 2 (20pies) (-29F -68F) k     k = 6.1734 10-6 (Btu/s.pie.°F) x (3600s/h) k = 0.0222 Btu/h.pie.°F
  30. 30.         30 Problema N° 6 Una esfera de 2 in de diámetro, cuya superficie se mantiene a una temperatura de 170°F, está suspendida en medio de un cuarto que está a 70°F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15 Btu/h.ft2.°F y la emisividad de la superficie es 0,8. Determine: a. La razón transferencia de calor desde la esfera. b. La razón de transferencia de calor por unidad de área. Solución.- 1. Diagrama de flujo: Figura N° 1.18 Esfera sólida sometida a convección Fuente: Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio 2. El flujo de calor transferido por conducción en la superficie de la esfera es igual al calor transferido por convección mas el calor por radiación Qk  Qc Qr 3. Cálculo del área de transferencia A  4r2  4(1/12)2  8,7266102 pie2 4. Cálculo del calor transferido por convección 2 2 2 ( ) 15 8,7266 10 (170 70) . . c s S F 130,4 / c Btu Q hA T T pie F h pie F Q Btu h   5. Cálculo del calor transferido por radiación
  31. 31.              4 4 8 2 4 4 2 ( ) 0,8 0,1714 10 8,7266 10 (630 530 )       130,4 / 9,408 / 140,308 / Q Btu h Btu h Btu h 1607,82 31 r alr Q A T T Qr Btu h 9,408 / 6. Reemplazando en (2)El flujo de calor Qt y qt, son: 140,308 / 2 2 2 8,7266 10 . t t t Q Btu h Btu q A  pie h pie  En el Sistema Internacional: 41,1207 ; 5158, 2290 / 2 t Q  W q  W m Problema N° 7 El techo de una casa consta de una losa de concreto de t = 0,8 ft (pies) de espesor (k = 1,1 Btu/h.ft.°F) que tiene H = 25 ft de ancho y L = 35 ft de largo. La emisividad de la superficie exterior del techo es ε = 0,8 y se estima que el coeficiente de transferencia de calor por convección es h = 3,2 Btu/h.ft2.°F. En una noche clara de invierno se informa que el aire ambiental está a Tf = 50°F, en tanto que la temperatura del cielo nocturno para la transferencia de calor por radiación es Talrd =310 °R. Si la temperatura de la superficie interior del techo es T1 = 62°F, determine: a. La temperatura de su superficie exterior. b. La razón de la pérdida de calor a través del mismo cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. Solución.- 1. Diagrama de flujo Figura N° 1.19 Techo de concreto, la superficie exterior sometido a convección y radiación Fuente: Elaboración propia, Ing ° Alberto Emilio Panana Girio
  32. 32.   T  T  Btu     T             Q k A pie  (  )  3,2  825 (  510)  ( ) 0,8 0,1714 10 825 ( 310 ) Q A T T T Q T 32 2. Cálculo del calor transferido Qk  Qc Qr 2.1 Determinación del área de transferencia A  H  L  25pie35pie  825pie2 2.2 Determinación del calor transferido por conducción: 2 1 2 2 t h pie F 2 522 . 1,1 825 . . 0,8 592143,75 1134,375 Q T 2.3 Cálculo del calor transferido por convección: 2 2 2 2 c s F 2 . . 2640 1346400 / c Btu Q hA T T pie T R h pie F Q T Btu h    2.4 Cálculo del calor transferido por radiación: 4 4 8 4 4 2 2 4 2 r alr 0,00000113124 10447,2389 r             2.5 Reemplazando en (2), se tiene: 4 2 2 0,000001134T  3774,375T 1948990,9883  0 2.6 Resolviendo, la temperatura: T2 = 497,97 °R 3. El calor transferido 522 497,94 1,1 825 0,8 27293,06 / Q k Q Btu h k            1.8 Problemas propuestos P1. Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera que toda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a 800°C, es interceptada por la otra. La temperatura de esta última superficie
  33. 33. se mantiene a 250 °C. Calculese la transferencia de calor entre las superficies por hora y por unidad de área de la superficie que se mantiene a 800 °C. P2. Una placa de metal está perfectamente aislada por una de sus caras y por la otra absorbe el flujo radiante del sol de 700 W/m2. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la placa es 11 W/m2.°C y la temperatura del ambiente 30 °C. Calcúlese la temperatura de la placa en condiciones de equilibrio. P3. Un cilindro de 3 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200 °C, mientras que una corriente de aire a 30 °C y con un coeficiente de transferencia de calor de 180 W/m2.°C, le sopla transversalmente. Si la emisividad de la superficie es 0,7. Calcúlese la perdida total de calor por unidad de longitud si las paredes de la habitación en la que esta colocado el cilindro están a 10 °C. Comente sus cálculos. P4. Se deja una plancha de 1000 W sobre una tabla de planchar con su base expuesta al aire a 20 °C. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie de la base y el aire circundante es 35 W/m2.°C. Si la base tiene una emisividad de 0,6 y un área superficial de 0,02 m2, determine la temperatura de la base de la plancha. P5. Una esfera de 2 pulgadas de diámetro, cuya superficie se mantiene a una temperatura de 170 °F, está suspendida en medio de un cuarto que está a 70 °F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15 Btu/h.pie2.°F y la emisividad de la superficie es 0,8, determine la razón total de transferencia de calor desde la esfera. P6 En el verano, las superficies interna y externa de una pared de 25 cm de espesor se encuentran a 27 °C y 44 °C, respectivamente. La superficie exterior intercambia calor por radiación con las superficies que la rodean a 40°C, y por convección con el aire ambiente, también a 40 °C, con un coeficiente de transferencia de 8 W/m2. °C. La radiación solar incide sobre la superficie a razón de 150 W/m2. Si tanto la emisividad como la capacidad de absorción de la superficie exterior son 0,8, determine la 33
  34. 34. 34 Conductividad térmica de la pared. Figura N° 1.20 Superficie sólida sometido a convección y radiación Fuente: Elaboración propia-Ing. Alberto Emilio Panana Girio 1.9 CIRCUITOS TERMOELÉCTRICOS Para una pared plana simple cualquiera sometida a convección por una superficie (Izquierda) y a ( convección + radiación ) por la otra (derecha), tal como se muestra en la figura se tiene, Figura N° 1.21 Circuito térmico de un Superficie sólida sometido a convección interior y convección y radiación exterior Fuente: Elaboración propia. Ing Alberto E. Panana Girio
  35. 35. Figura N° 1.22 Circuito térmico de un Superficie sólida sometido a convección interior y convección y radiación exterior Fuente: Elaboración propia. Ing Alberto E. Panana Girio Figura N° 1.23 Circuito térmico de un Superficie sólidas colocadas en serie y paralelo,y sus superficies sometidas a convección Fuente: Elaboración propia. Ing Alberto E. Panana Girio 35
  36. 36. CAPITULO II TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION 2.1 Conducción en estado estable Se llama estado estable, al caso de transferencia de calor en que el tiempo no es un factor a considerar, la transferencia de calor en donde no interviene el tiempo permite simplificar el análisis en cierta medida. La ecuación principal para la conducción de estado estable con generación interna es la Ecuación de Poisson    (2.1) 36 q 2 T o 0 K La ecuación de Laplace se aplica para la conducción de estado estable sin generación de calor. 2T  0 (2.2) Las dos ecuaciones se aplican a un medio isótropo, medio donde sus propiedades no varían con la dirección, se supone que las propiedades físicas también son independientes de la temperatura. 2.2Conducción en estado estacionario – Unidimensional – Sin generación Se considera la conducción del calor en estado estable a través de sistemas simples en los que la temperatura y el flujo de calor son funciones de una sola coordenada. La ecuación diferencial gobernante es:        d dT x n 0 dx dx (2.3) Donde: n = 0 , para sistema de coordenadas rectangulares. n = 1, para sistema de coordenadas cilíndricas n = 2, para sistema de coordenadas esféricas. 2.2.1 Paredes planas En el caso de una pared como la mostrada en la figura 2.1 se aplica la ecuación (1) con n = 0
  37. 37. d ………………….. (2.4) 37  dT 0 0     dx x dx La ecuación y condiciones de frontera que se deben satisfacer son: Figura N° 2.1 Pared Plana, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de calor Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Gario 2 d T …………….. (2.5) 1).  0 2 dx 2). C.F: 1 x O O T  T  T ( ) ( ) x = 0 (2.6) C.F: 2 x L L T  T  T ( ) ( ) x = L (2.7) 3). La ecuación (2) se puede separar e integrar dos veces:  0    dx  dT d dx dT  ……………………. (2.8) 1 C dx ( ) 1 2 T C x C x   ………………(2.9) 4). Se evalúan las constantes de integración C1 y C2 aplicando las condiciones de frontera, con lo que se obtiene: Para x  0 0 T  T O C  T 2 ……………………………….(2.10) Para x  L L T  T
  38. 38. ( ) 0 ………(2.12) T T L dT Q KA x   …………………. (2.13) 38 1 0 T C X T L   T T C L 0 L 1   ………………….. (2.11) 5). Sustituyendo los valores de C1 y C2 en la expresión (4), la distribución de la temperatura será: 0 T T 0  x ( ) x T L T L  T T  ó x L x    0 De acuerdo con la ecuación (7), la variación de la temperatura es lineal en una pared bajo las condiciones específicas en la figura (1) 6). Se puede usar la ecuación de Fourier para determinar el flujo de calor en este caso. En forma escalar: dx En estado estable Qx es constante, se puede separar e integrar directamente esto es como: Qxò dx = - KAò dT 0 T L o L T çæ - ö÷ = - ÷ ç ÷÷ çè ø Q KA T T Lo que da: L o x L (2.14) La cantidad:, KA L es la conductancia térmica (Ct ), para una placa o pared plana. Se llama resistencia térmica por conducción al reciprocó de la conductancia térmica. L = R KA Resistencia térmica = t 7. Si la conductividad térmica varía con la temperatura de acuerdo con alguna relación lineal, como K  K 1 T  0 , la ecuación resultante para el flujo de calor (integrando ecuación Fourier)
  39. 39.                   K Si K Ko T    K 1   T dt  T  T  T  T    2                    T T T T T 39 con Δx = L, se tiene: 0    2 2  2 1 2 1 2 K A Qx T T T T L También se puede obtener:   2 1 K dT 2 1 ( ) ; 1 T T T m T T dT (2.15)          2 K 1 K 2 1 2 2 0 2 1 2 1 0  2 1 T T m T T dT T T        1     2 1  2 m o K K T T   0    2 2  1 2 1 2 2 K A Qx T T T T L (2.16)  1 2 m T T Q K A L    Donde: KO = conductividad térmica en T = 0  = constante llamada coeficiente por temperatura de la conductividad térmica.     1 2 1 2   1   0  2 Qx A K L L AKm    (2.17) Donde:         1 1 2 2 0 T T Km K  , valor medio de la conductividad térmica. Para una variación lineal de K con T, la conductividad térmica en a ecuación (1) deberá ser evaluada a la media aritmética de la temperatura:     1 2 T T 2
  40. 40. d r (2.18) 40 2.2.2 Cilindros Huecos Figura N° 2.2 Cilindro hueco, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de calor Fuente: Elaboración propia Ing. Alberto Emilio Panana Girio 1. Para la conducción de calor de estado estable a través de una pared cilíndrica en la dirección radial, la ecuación de Laplace toma la forma.  dT r ( ) 0       dr dr 2. Separando las variables e integrando se obtiene: C dT  1 r dr Integrando nuevamente: ( ) 1 2 T C Lnr C r   3. Si el sistema y las condiciones de frontera son como se indica en la figura o sea que: CF:1 ri i T  T ( ) , i r  r (2.19) CF: 2 ( 0) 0 T T r  , 0 r  r 4. Entonces las constantes de integración C1 y C2 son: i 1 i 2 0 1 0 2 T  C Lnr C T  C Ln r C i O 1 2 i i i O i T T C C T C Ln r r Ln r      (2.20)
  41. 41.     T T T T   i o    i  T Ln r T Ln r i i Ln r r L n r r   dT , dado por el resultado de la primera integración.  T T dT  1 ; Donde: 0 41   0  T  T    i  C T Ln r 2 / i i Ln r r  o i  5. Reemplazando las constantes C1 y C2 en la relación dada en (2) en la ecuación de (r ) T (perfil de temperatura), será   0 / / o i o i   0 T T r T T Ln r Ln 0 r i i i r i     (2.21) 6. La razón de flujo de calor, aplicando la ecuación de Fourier. dT dr Q KA r   7. El área para un sistema cilíndrico es, A  2 rL y el gradiente de temperatura dr C r dr 1   (2.22) 0 i i C r Ln r 8. Reemplazando estos términos en la expresión de la razón del flujo de calor se tiene: 0 0 2 / i r i T T Q K L Ln r r           (2.23)   0   0  2 / r i i KL Q T T Ln r r Por lo tanto, la temperatura dentro de un cilindro hueco es una función logarítmica del radio r, mientras que una pared plana la distribución de la temperatura es lineal. Nota 1- En cilindros se tiene:  Que en algunas aplicaciones es útil tener la ecuación para la conducción del calor a través de una pared curva, en la misma forma que la ecuación tal como:
  42. 42. AK Q i K A T KL T r r Ln r r r  , A se puede expresar como:   i 0 i o o i o i A0 < 2, el área media aritmética 42   T L AK T T L     0  Para obtener la ecuación de esta forma, se igualan esta ecuación con la ecuación siguiente: 0  0 i 2 i T T Q Ln r r  KL       Pero usando en la ecuación:   o i L  r  r , como el espesor de la pared del cilindro a través del cual es conducido el calor.  Haciendo A  A Como 2 o i o i          ; 2     o i r r L o i A Ln r r       Como A  2rL y i o i o A A r  o i o i A A A Ln A A      (2.24) A = área media logarítmica, entonces, la rapidez de conducción de calor a través de un cilindro hueco, se puede expresar como:     o i O i T T T T Q r r r r K A A A K Ln A A      (2.25) Nota 2: Para valores de i A  / 2 o i A  A y el área media logarítmica defieren aproximadamente en
  43. 43. un 4%, por lo cual la primera puede usarse satisfactoriamente, para paredes de mayor espesor, esta aproximación no es aceptable. d ………………….. (2.26) dT  ………………….. (2.27) T    ……………… (2.28) 43 2.2.3 Esferas Huecas Figura N° 2.3 Esfera hueca, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de calor Fuente: Elaboración Propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio  En el caso esférico, la forma unidimensional de la ecuación de Laplace para el flujo de calor es radial:  dT 0 2     dr r dr  Separando las variables e integrando dos veces se obtiene: C 1 r 2 dr 2 C 1 C r  Las condiciones aplicables de frontera para el caso esférico son: CF: 1 ri i T  T ( ) , i r  r …………. (2.29) CF: 2 ( 0) 0 T T r  , 0 r  r …………. (2.30)  Aplicando estas condiciones de frontera se obtiene las constantes de integración:   ( / )    ( / )  T C r C T C r C 1 2 i i 1 2 o o
  44. 44.   T T i o C r r       …….. (2.32) C T C T r r dT esta dado por:  T T dT     (2.34)  2 = - …………………….. (2.36) 44  T T   i → r r 0 i o C 1 1 1   T T  0 ……. (2.31) i r r 1  o i C 1 1 1 2 2 1 1 i o i i i i  Reemplazando las constantes en el perfil dado y despejando se tiene que la distribución de temperaturas para este caso es:   0 1 1 r r T T T T 1 1 r r 0 i i i i       (2.33)  La expresión para el flujo radial de calor en una capa esférica es: dT dr Q KA r    En donde A  4r 2 y dr dT C dr r 1 2 i o 1 1 r r r dr i o             Sustituyendo Qr queda:   0   0  4 r 1 1 i i K Q T T  r r Kr r 0   Q T T 0 4 i r i r r 0 i     …………… . (2.35)  La resistencia térmica para una esfera hueca es: R r r 0 i pKr r 0 4 t i  Para determinar el calor evacuado a través de una esfera hueca de radio interior r1 y radio exterior r2, calentada por un fluido TF1
  45. 45. de coeficiente de convección h1, a un medio exterior Tf2 con coeficiente de convección h2, se tendrá: f f T T Q r r 1 2 2 1 1 1 4 4 4 2 2 1 1 1 2 2 2 pr h pr r K pr h 45 - = + - + (2.37) 1 h = coeficiente de convección en el interior de la esfera 2 h = coeficiente de convección en el exterior de la esfera Resf = resistencia térmica de la esfera r r 2 1  r r K ,e 2 1 R 4 t sf   (2.38)  Para una esfera el radio crítico se puede determinar mediante: K h rC 2  (2.39) 2.2.4 Espesor Crítico de Aislante para una tubería Figura N° 2.4 Esfera hueca, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de calor Fuente: Elaboración propia, Ing° Alberto Emilio Panana Girio  Considerar una capa de aislante, que podría instalarse alrededor de una tubería circular.  La temperatura interior del aislante se fija en i T y la superficie exterior esta expuesta a un medio de convención (fluido) a una temperatura T
  46. 46.  K = conductividad del aislante. R2 T2 T∞ R1   L r 0 n r R R    2 1 2 i  KL 1  r Lh 0 2  ro  = radio crítico de aislante. (2.40) 46 a. Circuito térmico r L r 0 n 2 R i KL 1      1  r Lh R 0  2 2 t Q TC b. La transferencia de calor radial   o o L T T r i r Ln r K r h Q 1 2 0 1           Transformando esta expresión para determinar el radio extremo del aislante (r0), que hará máxima la transferencia de calor, es cuando dqr 0 ;  dr 0   1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 r i o L T T dQ Kr hr dr Ln r r K r h                               c. Por tanto K h Respecto al radio critico se debe considere: 1. Si el radio externo es menor al valor expresado por la relación (radio crítico), la transferencia de calor se incrementara adicionando más aislante. 2. Para radios externos mayores al valor crítico, un incremento en el espesor del aislante provocará una reducción en la transferencia de calor.
  47. 47. 3. Para los valores de h suficientemente pequeñas, la perdida de calor por convección puede de realidad incrementarse con la adición del aislante debido al incremento de área de superficie. 2.2.5 Coeficiente Total de Transferencia de Calor (U) El flujo de calor a través de una configuración plana, cilíndrica es:     (2.41) 1 ... 1 47 1 total total Q UA T U R A a. Para una pared plana Figura N° 2.5 Pared plana compuesta con supeficies convectivas para evaluar el coeficiente de convección global Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio  Si la pared esta formado por n capas con fronteras conectivas las temperaturas de los fluidos T1 y n3 T donde n =2 capas ( ) 1 3   n Q UA T T 1 23 34 12 23 34 ( n 2) ( n 3) U x x h K K h + + + = + D + D + + (2.42) b. Para un cilindro  El coeficiente global se puede expresa en función al área interna o en del área externa. Por ejemplo basado en área externa
  48. 48. ( ) 4 4 1 5 Q U A T T ; A r L 4 4  2 1 = æ ö æ ö ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ + è ø+ è ø+ n n 1 48  Basado en el radio r4 Figura N° 2.6 Cilindro hueco compuesto con supeficies convectivas para evaluar el coeficiente de convección global Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio 4 3 4 4 4 4 2 3 2 12 23 34 45 U r L r r L r r r r r h K K h (2.43) 2.2.6 Conducción a través de Materiales en paralelo Figura N° 2.7 Pared plana colocados en paralelo para evaluar la transferencia de calor Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio
  49. 49.  Suponga que dos sólidos A y B se colocan uno junto al otro en paralelo y que la dirección del flujo de calor es perpendicular al plano de la superficie expuesta de cada sólido.  Entonces el flujo de calor total es la suma del flujo de calor a través del sólido A, más el que pasa por B. Escribiendo la ecuación de Fourier para cada sólido y sumando. Q Q Q K A T T K A T T 1 ( ) 2 ( ) = + = A - + B - (2.44) 1 2 1 2 L   1    1   R R   A B    Q T T T T R R R R 49 t A B L L  Circuito térmico Resistencia A = L 1 K A R A A  Resistencia B = 2 K A R B B  O sea:     1 2 1 2 t A B A B = - Q T T R R 1 2 t A B + A B R R (2.45) 2.3Problemas Resueltos Problema N° 1 Una placa grande de acero que tiene un espesor de L= 4pulg, conductividad térmica K = 7.2 BTU/h.pie.ºF y una emisividad de ε = 0.6, esta tendida sobre el suelo. Se sabe que la superficie expuesta de la placa en x = L intercambia calor por convección con el aire ambiente que está a la temperatura de 90ºF, con un L
  50. 50. coeficiente promedio de transferencia de calor h = 12 BTU/h.pie2. ºF, así como por radiación hacia el cielo abierto, con una temperatura del cielo a 510 ºR. Así mismo la temperatura de la superficie superior de la placa es 75 ºF. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estable. a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera. b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella. c. Determine el valor de la temperatura en la superficie inferior de la placa. 50 Solución: 1. Diagrama de flujo Figura N° 2.8 Placa de acero con superficie exterior expuesta a convección y radiación Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio 2. Datos: ε = 0,6 3. Resolviendo las preguntas planteadas: a. Hallando la ecuación diferencial y las condiciones de frontera.  La ecuación diferencial para el problema será:  Las condiciones de frontera son:
  51. 51. 51 CF: CF: b. Obteniendo una relación para la variación de la temperatura en la placa.  Primero hallamos las ecuaciones de calor de conducción, convección y radiación:  De la ecuación diferencial, separamos e integramos variables:  Hallamos las constantes de integración:  Hallando C1 de la ecuación (2):  Reemplazando las constantes de integración en la ecuación general, hallamos la distribución de la variación de temperatura en la placa: c. Determinamos el valor de la temperatura en la superficie inferior de la placa.  De la primera condición de frontera:
  52. 52.  Reemplazamos estos datos en la ecuación (3): 52  Despejando T1:  Por último reemplazamos los datos del problema:  Así obtenemos el valor de la temperatura en la parte inferior de la placa: 4. Las respuestas respectivas son: a. La ecuación diferencial y las condiciones de frontera son: CF1: CF2: b. La relación para la variación de la temperatura en ella. c. El valor de la temperatura en la superficie inferior de la placa. PROBLEMA Nº2 Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata, una a continuación de la otra, ambas de la misma longitud y área transversal. Un extremo de la barra compuesta se mantiene a T1 = 80º C y el extremo opuesto a T2 = 30º C. Calcular la temperatura de la unión cuando el flujo de calor alcanza el estado estacionario.
  53. 53. Figura N° 2.9 Barras planas colocados en serie, para evaluar la temperatura de 53 contacto Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio Solución: 1. Con L1 = L2 = L (Longitudes de la barra de oro y de plata) 2. Calculo de los calores transferidos por cada barra, según la ley de la conducción de calor de Fourier: 3. Cuando se alcanza el estado estacionario estos dos valores son iguales: 4. Despejando la temperatura T, con k1 del oro y k2 de la plata, valores obtenidos de esta tabla: PROBLEMA N° 3 Una pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica conocida, KA = 20 W/mK y KC = 50W/mK y de espesor conocido LA= 0,30 m y LC = 0,15 m. El tercer material B, que se
  54. 54. intercala entre los materiales A y C, es de espesor conocido. LB = 0,15 m, pero de conductividad térmica. Ka desconocida. En condiciones de operación de estado estable, las mediciones revelan una temperatura de la superficie externa TS0 = 20ºC, una Temperatura de la superficie interna Tsi = 600ºC y una T∞ = 800ºC. Se sabe que el coeficiente de convección interior h = 25W/m2K ¿Cuál es el valor de KB? Diagrama de flujo.- Figura N° 2.10 Pared plana compuesta colocados en serie, con conductividad térnica del plano central desconocida Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio Datos.- KA = 20w/mk KC = 50w/mk KB =? LA = 0,3 m LB = 0, 15 m LC = 0, 15 m TF = 800ºC Tsi = 600ºC Tso = 20ºC Solución.- 1. La transferencia de calor a través del sistema mostrado en la figura, en condiciones estacionarias, unidireccional (dirección de las X), sin generación de calor, se tiene que : 54 Qconv = Qa = QB = Qc 2. Por lo tanto se deduce que la transferencia de calor se puede determinar mediante la ecuación: L C C  F s o B B A A x K L K L K h t t q     1 ,
  55. 55.  C C 780  ………………… () 0.15 0.15 B B 55 x K K q 0.15 0.058 50 0.3 20 1 25 800º 20º      3.-La transferencia de calor a través del sistema es igual a lo que se transfiere por convección a la pared A: qConv = q x q w C  25(800  600)  5000 …………………………………… () 4. Igualamos () y () tenemos: 780 0.15 B K 0.058 5000   5. Operando en (4 ), se obtiene la conductividad térmica de B K w mk B  1.5306 / Problema N° 4 Una pared plana grande, tiene un espesor de 0.35m; una de sus superficies se mantiene a una temperatura de 35ºC mientras que la otra superficie esta a 115ºC. Únicamente se dispone de dos valores de la conductividad térmica del material de que esta hecha la pared: así se sabe que a T = 0ºC, K = 26w/mk y a T = 100ºC, K = 32w/mk. Determine el flujo térmico que atraviesa la pared, suponiendo que la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura. Solución.- 1. Diagrama de flujo Figura N° 2.11 Pared plana con conductividad térmica variable Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio 2. Primera forma de solución:
  56. 56. i. La temperatura media de la pared.   0.35  ,115 35 T  75º C m  m K , K w m C m  30.5 / º   Q T T C    q K w m C x     x 32      115 35  10 30769 . 2 1 26 3   56 x m m 0.175 2 2  ii. La conductividad térmica media se puede obtener interpolando linealmente entre las dos temperaturas media.  32 26 100 0 26 75 0    iii. El flujo térmico a través de la pared. 0 (115 35)º 30.5 / º  0 35 x i x m A e m q 6971,4285w/m2 x  3. Segunda forma de solución: i. Suponiendo que K(T) varia linealmente de la forma: K  K 1T  0 Reemplazando: 26 1 (0) 0  K  …………………… (1) 32 1 (100) 0  K  …………………… (2) De (1) 26 0 K  ii. Reemplazando en (2) 32  26(1100 ) 1 /100 2.30769 10 3 26   K(T)  261 2.30769 x103T  ,          1 1 2 2 0 T T K K m  iii. Por tanto la conductividad térmica media es: 30.499 2      K   x  m 4. También se puede determinar mediante la relación:
  57. 57. 26 26 2.30769 10 3 115 35 26 2.30769 10 26(115 35) 2 2 57 K T dT    dT Km ( ) ;    115 35     x x T dT Km   w m C x x Km 30.499 / º 80 115 35 2 3       PROBLEMA N°5 Una sección de pared compuesta con las dimensiones mostradas a continuación se tiene temperaturas uniformes de 200ºC y 50ºC en las superficies izquierda y derecha respectivamente. Si las conductividades térmicas de los materiales de la pared son: KA = 70W/mK, KB = 60 w/mk, KC = 40 w/mk y KD = 20 w/mk. Determine la razón de transferencia de calor a través de esta sección de pared y las temperaturas en las superficies de contacto. Figura N° 2.12 Pared plana compuesta colocados en serie y en paralelo para evaluar la transferencia de calor Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio Datos: : AA = AD = 36 cm2 = 36 x10-4m2 AB = AC = 18 cm2 = 18 x10– 4m2 Solución: 1. Se tiene una pared compuesta que contiene resistencias térmicas en serie y paralelas, en este caso la resistencia de la capa intermedia (caso B y C) es:
  58. 58. 0.02 1 4 2     A 0.079365 / 0.025    B 0.23148 / 0.025    C 0.34722 / 0.04 3 4 2     D 0.55555 / 58 R R B C R R B C R   2 2. La razón de flujo de calor es: imo R n   3 T Q  1 max 3. El circuito térmico para este sistema es: T T T C A D 200 50 150º max       4. Las resistencias térmicas son: R R R R n     1 2 3 3 1 k w m w mk x m X K A R A A (70 / ) (36 10 ) R R B C R R B C R   2   k w x m w mk m X B K A R B B 60 18 10 4 2    k w x m w mk m X C K A R C C 40 18 10 4 2  k w 0.23148 x 0.34722 0.080374 2   R 0.13888 / 0.3787  0.23148 0.34722  k w m w mkx x m X K A R D D 20 / 36 10
  59. 59. 3 1       k 59 1 0.079365 0.13888 0.55555 0.773795     w Rn 5. Reemplazando: w 150º   C w C Qx 193.849 º 0.773795 PROBLEMA N° 6 El vapor a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared a una temperatura uniforme de 500K. El tubo está cubierto con una manta aislante compuesta con dos materiales diferentes A y B Figura N° 2.13 Cilindro hueco, con metrial aislante diferentes colocados en paralelo para evaluar la transferencia de calor Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene una resistencia de contacto infinita y que toda la superficie externa está expuesta al aire, para el cual y a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando los símbolos precedentes, marque todos los nodos y resistencias pertinentes. b) Para las condiciones que se establecen. ¿Cuál es la pérdida total del calor del tubo? ¿Cuáles son las temperaturas de la superficie externa Ts,2(A) y Ts,2(B)? Solución.- 1. El circuito térmico, de acuerdo al diagrama de flujo, es: 2. De la grafica de la conducción térmica tenemos
  60. 60. 60 Q = QA + QB 3. Cálculo de las resistencias térmicas 4. Reemplazando valores tenemos Problema N°7 Vapor con calidad del 98% fluye a una presión de 1,37. 105 N/m2, a una velocidad de 1 m/s por un tubo de acero de 2,7 cm. de diámetro exterior y 2,1 cm. de diámetro interior. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie interna donde ocurre condensación es de 567 w/m2k. Una película de grasa en la superficie interna añade una resistencia térmica unitaria de 0,18 m2k/w. Estime la razón de pérdida de calor por metro de longitud de tubo, si: a. El tubo está descubierto. b. El tubo está recubierto con 1 capa de 5 cm. de 85% Mg en ambos casos suponga que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa es de 11 w/m2k y temperatura ambiente 21ºC. Evalué x; L = 3m. Solución.-
  61. 61. 61 1. Diagrama de flujo Figura N° 2.14 Tubería aislada donde fluye vapor por su interior Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio 2. De tablas de vapor saturado a P = 0,137 MPa T C r  108,6º V m kg F  0,0011 3 / h KJ kg F  455,3593 / V m kg g  1,2687 3 / h KJ kg g  2689,3471 / 3. Cálculo de la entalpía de entrada ( ) 1 F g F h  h  x h  h 455,3593 0,98(2689,3471 455,3593) 1 h    455,3593 2189,3081 1 h   h 2644,6673 KJ / kg 1  4. Cálculo del volumen especifico a la entrada ( ) 1 F g F V  V  x V V 0,0011 0,98(1,2687 0,0011) 1 V    0,0011 1,2422 1 V   V 1,2433m3 / kg 1  5. Evaluación del flujo másico 1 m  V.A.(V ) m  Q. 1     1 m m   3   2 1,2433 (0,0105 ) 1 m kg m s
  62. 62. 1 H  2644,6673 2,78581.10 Q V 2 2    2 4  62 w mk Ka  0,07788 K w mk C  43,27 / m  2,78581.104 kg / s 6. Cálculo de la entalpía de entrada H h .m 1 1  4 watt KJ H 0,7368 736,8 1   s 7. Realizando un corte transversal se tiene en el siguiente Diagrama de flujo: 8. Cálculo de la cantidad de calor, cuando el tubo está descubierto T  V a ( / ) Ln r r 1    V C R K r ha r h T T Q L     2 2 1 1 2 1 2 2   2r 0,18 1 (2,7.10 )(11) (2,7 / 2,1) 2 (43,27) 1 (2,1.10 )567   Ln      T Ta L w m Q  38,7822 L 9. Cálculo de la entalpía de salida para un tubo de 3 m de largo Si L = 3m → Q  206,3467 watt H  H Q 2 1 → 736,8 206,3467 2 H   H 530,4533w 2  H h 2 2  → m w kg s h 530,4533 2,78581.10 /
  63. 63.  1904,1258 455,3593 ( / )  (108,6 21)º Q C L Ln Ln 1 (2,7 / 2,1) (7,7 / 2,7) 1       h 2 2  → 2 4  Kg s  h Kj kg  2 → 2381,5716 455,3593 63 KJ Kg h 1904,1258 2   2 F →  h h h h g F x   2689,3471 455,3593 x  x  64,8551% 10.Cálculo de la cantidad de calor perdido para la tubería con aislante T V ( / ) Ln r r V C R Ln r r Ka K r h  T Ta Q L      2  2 2 1 2 1 3 2 1 e 10cm 3 2 r  r  e  2,7  5  7,7cm 2 2 0,18 (2,1.10 )567 2 (43,21) 2 (0,07788) (7,7.10 )(11)      Q  w 32,14 L m 11.Determinación de la entalpía de salida para la tubería con aislante y la calidad del vapor a la salida Si L = 3m → Q  96,4374 w H  H Q 2 1 → 2 H  736,8 96,4374  640,3625W 2 H  640,3625w H m 640,3625 2298,658199 / w 2,78581.10 / F  h h h h g F x  0,8174 2689,3471 455,3593 x     x  81,76%
  64. 64. 2.4PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 1 La conductividad calorífica de una lámina aislante varía con la temperatura. De acuerdo con la expresión: 64 k  3,35x104T  0,1179 Donde: T (k) y k (Kj/h.m.K). Si el espesor de la lámina es de 0,10 m y las temperaturas a ambos lados de la misma son 673 y 373 K respectivamente, calcular: a) El flujo de calor a través de la lámina. b) La temperatura en un punto situado a 0,081 m del lado más frío. Para las condiciones del sistema mostrado en la tabla, se produce una conducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor. La conductividad térmica es 25 W/m.K y el espesor L = 0,5m. Determine las cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente: Caso T1 T2 dT / dC (K/m) qx (W/m2) 1 400K 300K 2 100ºC -250 3 80ºC 200 4 -5ºC 4000 5 30ºC -3000 PROBLEMA 2 La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna. a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente T, int = 40ºC y su coeficiente de convección h W m2K int  30 / y la temperatura del aire exterior T,ext =-10ºC y su coeficiente de convección h W m K ext  65 / 2 .
  65. 65. b) Evalúe cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre las temperaturas. Datos: k a K W m K vidrio ( 300 )  1,4 / . Solución: a) T C y T C ext 7,7º 4,9º int   b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar T,ext PROBLEMA 3 En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala como sistema para desempeñar su superficie interior un elemento de calentamiento consistente en una película transparente delgado con resistencias eléctricas. Al calentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna. a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesaria para mantener la temperatura de la superficie interna a 15ºC cuando la temperatura del aire interior es T, int  25ºC y su coeficiente de convección h W m2K int  10 / . El aire exterior está en las mismas condiciones que en el problema anterior. b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana. c) Evalúe cualitativamente la influencia de T,ext y ext h sobre la potencia 65 eléctrica. Solución: a) P" 1,27 kW /m2 elec  b) T C ext  11,1º c) elec P" aumenta al aumentar ext h y disminuye al aumentar ext T, PROBLEMA 4 Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son h W m K ext  60 / 2 . y h W m2K int  30 / . El área total de la superficie es de 350 m2. Datos: Tablero de yeso: k (a 300K) = 0,17 W/m.K Propiedades termo-físicas de la fibra de vidrio:
  66. 66. T (K)  (kg /m3 ) k (W /m.K) 300 16 0,046 300 28 0,038 300 40 0,035 Tablero de madera contra placada: k (a 300 K) = 0,12 W/m.K. Figura N° 2.15 Pared plana aislada y sometido a convección interior y 66 exterior Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared incluyendo los efectos de convección. b) Determine la pérdida de calor total de la pared. c) Si el viento soplara de manera violenta elevando hext a 300 W/m2.K, ¿Cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor? d) ¿Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de calor a través de la pared? Solución: b. 4.214 W; c. 0, 45 % c. La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k menor. PROBLEMA N° 5 Una hielera cuyas dimensiones exteriores son: 30cm x 40cm x 40cm está hecha de espuma de estireno ( ). Inicialmente la hielera está llena con 40 Kg de hielo a 0 ºC y la temperatura de la superficie interior se puede tomar como 0 ºC en todo momento, el calor de fusión del hielo a 0 ºC es y el aire ambiente circundante esta a 30°C. Descartando toda
  67. 67. transferencia de calor desde la base de 40cmx40cm de la hielera, determine cuanto tiempo transcurrirá para que el hielo que está dentro de ella se funda por completo, si las superficies exteriores de la misma están a 8°C Figura N° 2.16 Hielera sometida a convección tanto interior y exterior Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio PROBLEMA N° 6 La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso del aire caliente sobre su superficie interior. a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de la ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente 40 °C y su coeficiente de convección (esto en el interior), y la temperatura del aire exterior es -10°C y su coeficiente de convección es . b) Evalúe cualitativamente la influencia de la temperatura del aire exterior y el coeficiente exterior sobre las temperaturas. Figura N° 2.17 Ventana de vidrio sometida a convección interior y exterior Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio 67
  68. 68. PROBLEMA N° 7 Considere el caso de la conducción estable unidimensional a través de un material que tiene una sección transversal que disminuye linealmente desde el valor, A0 en X = 0 hasta AL en X = L. Si su superficie lateral esta aislado y las temperaturas en X = 0 y x = L son To y TL respectivamente. La conductividad térmica del material es: K = K0 (1 + aT + b T2), donde K0, a y b son constantes. Determinar el flujo de calor. 1. Diagrama de flujo Figura N° 2.18 Sólido de área y conductividad térmica variable Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio PROBLEMA N° 8 Un recipiente esférico de radio interior r1 = 2m, radio exterior r2 = 2,1 m y conductividad térmica k= 30 W/m. °C está lleno de agua con hielo a 0 °C. El recipiente está ganando calor por convección del aire circundante que está a Tf = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h = 18 W/m2. °C. Si se supone que la temperatura de la superficie interior del recipiente es de 0 °C a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estable de calor a través del recipiente. b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura en él, resolviendo la ecuación diferencial. c. Evalúe la velocidad de la ganancia de calor del agua con hielo 68
  69. 69. CAPITULO III CONDUCCION CON FUENTES DE CALOR (Generación Q Cantidad de energía q W o Btu V unidad de tiempo y unidadad de volumen m h . pie Q W o BTU h V m o pie Cantidad de calor generado interno por unidadde tiempo ( ) ( / ) volumen del sólido 69 Interna de calor) 3.1 Generalidades Entre las aplicaciones de la transferencia de calor se requiere realizar el análisis en aquellos donde existe la generación o absorción de calor dentro de un sistema, dentro de estos casos se puede encontrar en: o Materiales a través de los cuales fluye corriente eléctrica. o En reactores nucleares. o Horno de Microondas. o Indústria de proceso químicos. o Proceso de combustión, o Esfuerzo térmico en el concreto durante su curado o secado, ya que se genera calor en el proceso de curado, procurando que ocurran diferencias de temperatura en la estructura. En esta sección se considera estudiara a una pared plana, un cilindro sólido y esfera sólida, con fuentes de calor interna en forma uniforme:   3 3 3 3 gen o gen                    3.2 Pared Plana Considere una placa delgada de cobre sumergida en un baño o temperatura constante igual a f T . Suponga que circula una corriente eléctrica o través de la placa, provocando en esta una generación de calor uniforme  º  º q por unidad de tiempo y volumen. El coeficiente de transferencia de calor por convección (h) en cada lado de la placa es el mismo, dando por resultado una temperatura (Tw) (temperatura de la pared) en ambos casos  Para encontrar la distribución de temperatura en la placa, se debe conocer la Ecuación Diferencial apropiada.  Haciendo un balance de energía en la placa de espesor (dx) y Área Transversal (A) Figura 3.1 – Pared Plana con generación de Calor Uniforme Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio panana Girio
  70. 70. dx      (3.1) º 0  (3.2) d T Ecuación diferencial de 2do orden (3.4) dT (3.5) 1 º º    KA x L 2 1 º º    KA x L 2    (3.7)   (3.9) T Tw x    (Distribución de temperatura) (3.10) 70 1. x x gen x dx x dQ Q Q Q Q dx 2. Q q Adx gen 3. Reemplazando en 3: dx d T KA 2 dx KA dT dx q Adx KA dT dx 2 ª ª      (3.3) 2  q º º  4. Simplificando: 0 2 K dx 5. Condiciones de Frontera: CF: 1 x=0  0 dx También se tiene que dT q LA dx 2 q LA dT dx 2 CF: 2 x=L T=Tw x=-L T=Tw (3.6) Estas ecuaciones expresan el hecho de que la distribución de temperatura es simétrica con respecto al eje y (x=0). 6. De la ecuación 4, separando variables e integrando se obtiene: 1 . o dT q x C dx K 7. Separando variables e integrando nuevamente º 2 º q x     T C x C ( x ) 2 K 1 2 8. Aplicando la CF:1 0 1 C  (3.8) 9. Con la CF:2 º 2 º 2 . 2 q L C Tw K 10.Reemplazando en ( x) T , 1 ,C y 2 C y Simplificando se tiene  2 2  º º q ( ) 2 L x K 11.La temperatura en el centro, se puede determinar en x=0 por lo tanto T=Tc
  71. 71. Reemplazando esta condición en en la distribución de temperatura se obtiene: Tc  Tw   (3.11) max   . o dT q L dx K    (3.12) Q Q Q Q r gen r dr r r      (3.15)   dT      dT   d dT   d (3.16) 71 2 q º º 2 L T K 12. El flujo de calor se obtiene a partir de la ecuación de Fourier x dT q K dx x L ( / ) x x L o q K q L K      x x L o q q L   (3.13) De igual forma la cantidad de calor se conduce para el otro lado, en x= -L 3.3 CILINDRO SÓLIDO Figura 3.2 Cilindro sólido con generación interna de Calor Uniforme Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio A  2rL V r 2L , dV  2 rLdr (3.14) 3.3.1 Se determinará la ecuación diferencial que describe la distribución de temperaturas, haciendo un balance de energía en una cáscara cilíndrica de espesor (dr) Q dr d dr 1. Reemplazando los valores de calor en la ecuación anterior 2. º º 2 2 2 2 K rL q rLdr K rL K L r dr   dr dr dr dr  q r 0 0      K dT r dr dr Sea el cilindro sólido de longitud L, que tiene una perdida de calor despreciable en los extremos, de K= cte, con generación interna de calor, la superficie exterior del cilindro se mantiene a una temperatura Tw (conocida)
  72. 72. 3. Las condiciones de frontera para resolver la ecuación (16), son : CF: 1 r=r0 T=Tw (3.17) CF: 2 r=0 dT  0 (simetría) (3.18) T n     (3.20) o q r   (3.22)   º     º    (3.23) T Tw r r = = + (3.24) q K r r ro    Como:        q r q r 72 dr 4. Separando variables e integrando la ecuación N° 3.16, se tiene 1 º 2 º 2 C dT r   q r  K dr dT C 1 r q r K dr º º 2    (3.19) Separando variable e integrando nuevamente (19) 1 2 º 2 º 4 C L r C q r K 5. Las constantes de integración se evalúan con las condiciones de frontera, con la CF:2, C1 = 0 (3.21) 6. Con la primera condición de frontera º 2 o o q r    Tw C 4 K 2 º 2 0 C Tw 2 4 K 7. Reemplazando en (3.20), los valores de las constantes C1 y C2, y simplificando, se obtiene la distribución de temperatura q r K Tw q r K T 4 4 2 0 º º º 2 q º 2 2 4 K 0 La temperatura máxima o el centro, para r = 0 y T = Tmáx º 2 º 0 Tc T Tw q r max 4 K 3.3.2 Cálculo del flujo de Calor dT dr q r   0 0  (3.25) K dT dr r ro 2 Reemplazando se tiene 0 0 0 0 2 2 r ro r r ro q K q K     (3.26)
  73. 73. V   r , dV  4 r2dr A  4 r2 (3.27)    (3.28)   dT      dT   d dT   d (3.30) dT (3.32) 73 3.4 ESFERA SÓLIDA Figura 3.3 Esfera sólida con generación interna de Calor Uniforme Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio 3 4 3 3.4.1 Se formulara la ecuación diferencial para lo cual se realizara un balance de energía en la cáscara esférica de espesor (dr) d   r gen r r Q Q Q Q dr dr  gen Q Calor generado por unidad de tiempo en la cáscara esférica de espesor dr y por área de la superficie 4r2 y representa un incremento de energía de volumen 4 2 gen o Q  q  r dr 1. Reemplazando las cantidades de calor en el balance anterior 2 º 2 2 2 º 4 4 4 4 K r q r dr K r K r dr   dr dr dr dr (3.29) 2. Simplificando, se obtiene la ecuación diferencial gobernante 2   r q dT r : 0 0 2     K dr dr 3. Esta ecuación diferencial es de segundo orden, requiere dos condiciones limítrofes para obtener su solución CF: 1 r = r0 T = Tw (3.31) 4. Debido a que ( 0 q ) es uniforme a través de la esfera y Tw es constante sobre toda la superficie exterior de la esfera, es de esperar que la distribución de temperatura sea simétrica con respecto al centro de la esfera, por tanto la otra condición de frontera es: CF: 2 r = 0  0 dr  Considerar una esfera sólida con una fuente de calor distribuida, (qo) uniformemente, de K= constante y su superficie a una tePperatura constante Tw.
  74. 74. 5. Separando variable (30) e integrando, se tiene: dT    (3.33) T     (3.34)   (3.36) C Tw    (3.37)    (3.38) q r   0 0  (3.39) 74 1 º 3 2 dT r   q r º  3 C K dr 1 2 º º 3 r C q r K dr 6. Separando variables de nuevo o integrando la relación anterior: 2 C 1 º 2 º 6 C r q r K 7. Aplicando la segunda condición en la frontera, a la ecuación (34) 1 0  0  C 0 1 C  (3.35) º 2 º 6 q r O sea T    C 2 K 8. Aplicando la primera condición de frontera: º 2 º o q r    → Tw C 6 K 2 º 2 º o q r 2 6 K 9. Reemplazando los valores C1 y C2 en (3 5 ), se tiene:   º q º 2 2 T Tw r r 6 K 0 10. Se puede determinar la temperatura Tc en el centro de la esfera (r=o) º 2 º max 6 o q r Tc Tw T K 3.4.2 Flujo de calor dT dx q K r   K dT dx r ro 3        q r q r 0 0 0 0 3 3 r q K K   (3.40) 3.5 DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA DE LA PARED NOTA 1.- Puede suceder que algunos problemas no se conozca Tw, pero en cambio, º º q , h y Tf (temperatura de fluido), son conocidas. En estado estacionario, todo el calor generado en el sólido se debe transmitir por convección hacia fuera al fluido que lo rodea (si no fuera así, se tendría un crecimiento de la energía en el sólido, que daría por resultado un incremento de la energía interna del material que posteriormente requeriría un cambio de temperatura con respecto al
  75. 75. tiempo), se puede determinar Tw para las tres geometrías en la forma siguiente, si el coeficiente de transferencia de calor (h) es uniforme: ( ) superficie . gen o W f Q = q°V = hS T - T (3.41) º º (3.42) º º (3.43) 75 Donde: V= Volumen de todo el cuerpo Superficie = área de la superficie del cuerpo que transfiere calor por convección al fluido que se encuentra f T 3.5.1 PARED PLANA DE ESPESOR 2L  Calor total generado en la pared Qgen = . .2 o q A L  Calor que transfiere por convección la pared al fluido que lo rodea .2 .  w f Qc  h A T T , por tanto se tiene: . .2 .2 .  o w f q A L  h A T T q L T   w f T h 3.5.2 CILINDRO DE LONGITUD (L) Y RADIO ( 0 r ), donde   0 L  r  Calor total generado en el cilindro sólido , Qgen q r L 2 0 º º   Calor transferido por convección del cilindro al fluido que lo rodea   0 .2 . . . w f Qc  h  r L T T  Igualando estas expresiones º 2   º 0 0 2 w f q  r L  hL  r T T q r T   w f T h 2 0 3.5.3 ESFERA SOLIDA (de radio 0 r )  Energía total generado en la esfera, Qgen    (3.44) 3 0 º º º º 3 4  r q V q    Calor que transfiere por convección la esfera al fluido que lo rodea
  76. 76. º º (3.46) 76 2   0 .4 . w f Qc  h  r T T  Igualando estas expresiones  4  q    r  h  r T  T  3  w f º 3 4 2   º 0 0 (3.45) q r T  0  w f T 3 h Se puede afirmar que: 1. Para la esfera y el cilindro, siempre ocurre la temperatura máxima en el centro de simetría, si la fuente de calor es uniforme y el coeficiente (h) es constante de toda la superficie. 2. Para una pared plana con una fuente de calor uniforme la temperatura máxima ocurre en el plano central solamente si los coeficientes conectivos y las temperaturas ambientales son iguales por ambas caras. 3.6 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA Nº 01 1. Una varilla cilíndrica larga, de 200 mm de diámetro y conductividad térmica de 0,5 W/m.k, experimenta una generación volumétrica uniforme de calor de 24000 W/m3. La varilla está encapsulada en una manga circular que tiene un diámetro externo de 400 mm y una conductividad térmica de 4 W/m. K. La superficie externa de la manga se expone a un flujo de aire cruzado a 27 ºC con un coeficiente de convección de 25 W/m2.K a. Realizar el circuito térmico. b. Encuentre la temperatura en la interfaz entre la varilla y la manga y en la superficie externa. c. ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla? Solución: 1. Para resolver el problema se harán algunas suposiciones: La conducción en la varilla y la manga es radial unidimensional Condiciones de estado estable. La varilla presenta generación volumétrica uniforme. La resistencia de contacto entre la varilla y la manga es despreciable. 2. El circuito térmico para la manga.
  77. 77. 3. El calor generado por unidad de longitud y tiempo es: 2 2 1 oq 24,000 0.20 ' ' 4 3       r r k W x m W ks x mK ln ln 400R' 20 2.758 10 . R 1 1 3.183 10 . x m kh D W W = = = - 25 . 0.400 ¥ = + + = + + = s conv T T R R T C W x x K m m W T C T T R C W conv ' ' 27º 754 3.183 10 2 . 51.0º 2       W 24,000 77   m x x m W m q E D W gen 4 754.0 4. La resistencia térmica por conducción a través de la manga ( ) 2 1 2 S p p 2 2 4 . - çæ ö÷çç ÷÷÷ çè = ø= = 5. Resistencia térmica por convección 2 conv 2 2 m Kx x m p p 6. Cálculo de la cantidad de calor a través del sistema ( de la temperatura interior y la temperatura exterior de la manga, es ( ) 3 ( )2 2 1 0 0 1 0 24,000 0.100 71.8º 4 4 0.5 . 192º r W m m T = T = q r + T = + C K x W mK T = C ( ) ( 2 2 ) 1 1 1 q' ' ' 27º 754 2.758 10 - 3.183 10 - . 71.8º W C x x m K m  q 7. Cálculo de la temperatura del centro de la varilla:     C C 0.100 m m m K x W T q r K T T r 71.8º 192º 4 0.5 . 4 2 3 1 2 1 0 0       T(0) = 192 °C
  78. 78. PROBLEMA 2 Un muro de espesor 2L = 40 mm y conductividad térmica k = 5 W/m·K experimenta una generación volumétrica de calor qo,(W/m 78 3 ) mientras está sometido a un proceso de convección en sus dos superficies (x = -L, x = L) con un fluido a temperatura Tf= 20 ºC. En condiciones de estado estacionario la distribución de temperaturas en el muro es de la forma T(x) = a + bx + cx2, siendo a = 82 ºC, b = -210 ºC/m y c = -2·104 ºC/m2. El origen de coordenadas se encuentra en el plano medio del muro. a) Calcular el valor de la generación volumétrica de calor qo b) Calcular los valores de los flujos de calor en las dos superficies del muro, y . c) ¿Cómo están relacionados estos flujos de calor con la generación volumétrica de calor en el interior del muro? Solución: 1. Diagrama de flujo Figura 3.4 Pared sólida con generación interna de Calor Uniforme Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio 2. Se tiene que la ecuación diferencial gobernantes: 2 2 0 o k d T q dx + = 3. obtiene al resolver la ecuación de calor la ecuación anterior separando variables e integrando dos veces:
  79. 79. 79  4. Al comparar de (3) con la ecuación del enunciado: T(x) = a + bx + cx2 Se tiene que: °C/m2 5. Despejando: qo=2x105W/m3 6. Aplicando la ley de Fourier en los dos extremos de la pared: 7. Toda la energía generada en la pared ha de salir por las dos superficies PROBLEMA 3 Considere un alambre largo usado como resistencia con radio r1 = 0,3 cm y conductividad térmica kalambre = 18 W/m. °C en el cual se genera calor de manera uniforme a una razón constante de qo = 1,5 W/cm3, como resultado del calentamiento por resistencia. El alambre está recubierto con una capa gruesa de plástico de 0,4 cm de espesor, cuya conductividad térmica es kplástico = 1,8 W/m. °C. La superficie exterior de la cubierta de plástico pierde calor por convección hacia el aire ambiente que está a Tf = 25 °C, con un coeficiente combinado promedio de transferencia de calor de h = 14 W/m2. °C Al suponer una transferencia unidimensional de calor, determine en condiciones estacionarias: a. La temperatura en el centro del alambre. b. La temperatura en la inter-fase alambre – capa de plástico. c. La temperatura superficial del plástico Solución.- 1. Diagrama de flujo
  80. 80. Figura 3.5 Alambre cilíndrico aislado sólida con generación interna de Calor 80 Uniforme Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio 2. Sea: Tc = temperatura en el centro del alambre Ts = Temperatura en la interfase alambre – plástico Tp = temperatura superficial del plástico K1 = conductividad térmica del alambre K2 = conductividad térmica del plástico T´ = temperatura en función del radio para el alambre T´´= temperatura en función del radio para el plástico 3. Cálculos en el alambre 3.1 Ecuación diferencial de conducción de calor con generación interna de calor 1          d dT q r o k constante r dr dr k 3.2 Separando variables e integrando dos veces, se tiene dT q r C dr k r 1 2 1 2 + 2 T´= q r 4 o o C Lnr C k      3.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración     :1 0 0 : 2 1 dT CF r dr CF r r T Ts
  81. 81.    (i)       f T Ts      ´´ (ii) f T Ts r 81 3.4 Evaluando se tiene; 2 1 1 2 o q r 1 0 ; 4 C C Ts k    3.5 Distribución de temperatura para el alambre  2 2  T Ts r r 1 o q 1 ´ 4 k 4 Cálculos en el plástico 4,1 Ecuación diferencial de conducción de calor a través del plástico 0        d dT r dr dr 4.2 Separando e integrando dos veces  3  3 4 ; T´= dT C C Lnr C dr r 4.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración   : 3 T CF r r Ts 1 2 ´ dT : 4 -k ´ f CF r r h T T dr 4.4 Evaluando las constantes se tiene: 4 3 1 3 2 2 1 2 C Ts C Lnr C r k Ln r hr     4.5 Reemplazando y simplificando se tiene la siguiente distribución de temperaturas     T Ts Ln r k r Ln        2 2 1 r hr 1 2 5 En la interface alambre - plástico la cantidad de calor intercambiado ´ ´´ dr dr       =Q r r dT dT k r k 1 1 2 1 gen 6. El calor generado en el alambre es igual al que se conduce a la superficie del mismo, igual al que se conduce a través del plástico y es igual al transferido por convección al fluido.
  82. 82.      q r dT dT T T ´´ ´´ 1      o f s                              T Ln       82 1 2 1 1 2 ; 2 p k dr dr r kp r Ln r hr 7. Reemplazando y despejando, Ts q r r k 2 1 2 o p T Ln T s f 2 k r hr p 1 2          8. Calculo de la temperatura de la Inter-fase (Ts)  1,5 106 0,003 2 0,7 1,8 25 4 1,8 0,3 14 0,007 s T Ln 97,0549 97,1 s T   C 9. Cálculo de la temperatura en el centro, Tc   6 1,5 10 2 97,1 0,003 T 4 18 T C 97,28 97,3 c c         10. Cálculo de la temperatura superficial, Tp, de la relación (ii) 25 97,1 0,7 97,1 0,7 1,8 0,3 0,3 14 0.007  93,92  p p Ln T C PROBLEMA Nº 04 Una placa plana cuyo espesor es 10 cm. genera calor a razón de 30000 m3 w , cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de ella, una de las caras de la pared esta aislada y la otra esta expuesta al aire con temperatura de 25ºC. Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre el aire y la superficie de la placa es h = 50 w , y la conductividad térmica del material m 2 K 3w . Determine: K= mK a) El perfil de temperatura en función de la distancia x. b) La temperatura máxima de la pared.
  83. 83. dT q x C T q x C x C dx K K = - + = - + + ; dT dT K h T T dx      dT q q L T L C 83 Solución: 1. Diagrama De flujo Figura 3.6 Pared con superficies una aislada y otra expuesto a un fluido con generación interna de Calor Uniforme Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio 1. Ecuación diferencial gobernante 0 2 º  º  d T 2 q K dr 2. Separando variables e integrando 2 veces º º º º 2 1 1 2 ; 2 Las constantes 1 C y 2 C evaluadas a la C.F CF: 1 x=0  0 dx CF: 2 x=L   x L x 3. Los valores de las constantes son: 0 1 C       hT hT dT K dx x L x L ( x) 2 ( ) 2 ; x L 2 x L o o x dx k  k       Reemplazando las relaciones en la condición de frontera y simplificando
  84. 84.                 K L h L C hT   q L  q   q L   k  o o o    k x x 84 2 o o q q 2 2 k k 2 2 C T L T 2 2 1 2 2   h k k hL 4. El perfil de temperatura (Reemplazando 1 C y 2 C )               hL x L qL k T T 2 1 2 2 2 5. Operando las cantidades en el perfil y simplificando                 2 3 50 0.1 0.1 0.1 1 30000 2 3 25 2 2 x x T T 135  5000x2 Distribución de temperatura dT 6. La max T estará cuando  0 dx 5000(2 ) 0 dT x dx    , estará en, x = 0 7. max max T 135  5000(0) T 135 PROBLEMA 5 Dos Grandes placas de acero a 90ºC y 70ºC están separadas por una barra de acero de 0.3 m de largo y 2.5 cm de diámetro. La barra está soldada en cada placa. El espacio entre las placas se rellena de aislante que también aisla la circunferencia de la varilla. Debido al diferencial de voltaje entre ambas, fluye corriente a través de la barra, y se disipa energía eléctrica a razón de 12 W. Calcule: a. La temperatura máxima en la barra y la razón de flujo de calor en cada extremo. b. Verifique los resultados comparando la razón neta del flujo de calor en ambos extremos con la razón total de generación de calor. Dato: Conductividad del acero Kacero=14.4 W/mºC .
  85. 85. Figura 3.7 Barra de acero conectada a placas en sus extremos, con su superficie aislada y con generación interna de Calor Uniforme Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio T     ……………… () 85 Solución: 1. Cálculo del calor generado por unidad de volumen y por unidad de tiempo Q q xV gen 0  ³ 0.025² 0.3  x x   12 0 m w q 4    81487.33086 / ³ 0 q  w m 2. Ecuación diferencial gobernante 0 q ²  0  d T ² K dx 3. Separando variables e integrando 2 veces: dT    0 x C K 1 q dx 1 2 q x 0 2 ² C x C K 4. Condición de frontera C.F.1. x = 0 T = T1 = 70ºC  C2 = T1 = 70ºC C.F.2. x = L = 0.3 T = T2 = 90ºC T     1 1 q L 0 2 2 ² C L T K
  86. 86. T - T - q L C = K C = T - T - q L   T         x  81487.33086 ² 0.3 90 70  dT   0  2 2829.4212 x2  915.493029  q K ……………… (β)    81487.33086 / 3 0.3 3 86 . ² 2 ( ) 0 2 1 2 1 0 1 1 2 L L K Reemplazando C1 y C2 en () 1 q L T T 0 2 1 0 2 . . ² q 2 x T K L x K         T T   1 q  T 0 ² 2 1  2 x T L x Lx K           70 0.3 2 14.4   x x T T  2829.42121x²  915.493029x  70 5. La temperatura máxima se encuentra cuando x = 0.1617 por la condición  0 dx dT dx x  0.1617  2829.421210.1617²  915.49302980.1617 70 máx T T C máx  144.05º 6. Flujo de calor dT dx x    q K Q A x  Para X=0.3 0.3 0.3 |     x dT x x dx             81487.33086 / 0.3 w m x m 90º 70º C C w m x m  w m C m x w m C dT dx 14.4 / º 0.3 2 14.4 / º x 0.3 C m dT dx x º 782.1596 0.3    7. Remplazando en (β)

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