Teodre ma de moivre (3)

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Teodre ma de moivre (3)

  1. 1. ESCUELADEINGENIERIAMECANICA TRIGONOMETRIA  Temas: UNIDAD IMAGINARIA NUMERO COMPLEJO TEOREMA DE DE MOIVRE  Nivel: - Primero “A”  Docente: - Ing.VICTORVASCONEZ  Periodo: 2009 - 2010
  2. 2. IMAGINARIOS COMPLEJOS REALES NÚMEROS
  3. 3. UNIDADIMAGINARIA  La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i. Potenciasde unidadimaginaria  i0 = 1  i1 = i  i2 = −1  i3 = −i  i4 = 1  Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.  Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.  i22  i22 = (i4)5 · i2 = − 1
  4. 4. NÚMEROS IMAGINARIOS Un número imaginario se denota por bi, donde : b =es un número real i =es la unidad imaginaria Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. x2 + 9 = 0
  5. 5. NUMERO COMPLEJO • Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica . • El número a se llama parte real del número complejo . • El número b se llama parte imaginaria del número complejo. • Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a. • Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. • El conjunto de todos números complejos se designa por: • Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos. • Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
  6. 6. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NUMEROS COMPLEJOS - • Los números complejos no se pueden representar como puntos de una recta. - • Para representarlos geométricamente se procede a asociarlos biunívocamente con los puntos del plano . - • Medimos la parte real a de a + bi a lo largo del eje horizontal (eje real) - • La parte imaginaria b a lo largo del eje vertical (eje imaginario) - • Este proceso es el mismo q para representar un par ordenado (a,b) - • Así se establece la correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano - • En l a figura el vector ŌĀ se puede admitir como la representación geométrica de numero complejo
  7. 7. FORMATRIGONOMÉTRICADENUMEROCOMPLEJO Para representarlo en forma trigonométrica ,es necesario conocer el radio vector (r) y el ángulo o (φ)argumento. El radio vector r= Geométricamente el módulo o valor absoluto es la longitud del vector ŌĀ es decir │a+bi │= a+bi=r(cosφ+isenφ) = a+bi
  8. 8. TEOREMADEMOIVRE - • Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos) con la trigonometría. La expresión "cos φ + i senφ " a veces se abrevia como cis x. - • Si z es un numero complejo y n es un entero positivo entonces un numero complejo w es una raíz n- ésimas de z si wⁿ=z se demostrara q todo número complejo distinto de cero tiene n raíces n- ésimas distintas. - • Como R-reales- están contenidos en C-complejos- se concluye que todo numero real distinto de cero tiene n raíces n-ésimas (complejas) distintas
  9. 9. Potencia y raíz de un numero complejo  POTENCIA. (FÓRMULA DE MOIVRE)  Si z=(m)se verifica que: zⁿ = [(m)]ⁿ= (mⁿ)n  Expresión que escrita en forma trigonométrica: se denomina FÓRMULA DE MOIVRE [m(cosφ+isen φ)]ⁿ= mⁿ(cosn φ +isenn φ)
  10. 10. Uso del teorema de moivre Representar (1+i)20 Forma trigonométrica 1+i=√2 (cosπ/4 + isenπ/4) Aplicando el teorema de moivre (1+i)20=(21/2)20[cos(20 . π/4)+i sen (20. π/4)] = 2 10 (cos5 π+isen5 π) =2 10 (-1) =-1024
  11. 11. Teorema sobre raíces n-simas  Si z=r(cosφ+isenφ) es cualquier número complejo de cero y si n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces n- ésimas distintas ,w0,w1,w2,….wn-1  Esas raíces cuando φ esta radianes son:  Para φ en grados sexagesimales:  Donde k=0,1,…..n-1
  12. 12. CALCULAR LAS CUATRO RAÍCES CUARTAS DE -8-8√3i Representación geométrica Forma trigonométrica -8 -8√3i=16(cos de 240 +isen 240) Aplicando el teorema sobre raíces n-esimas con n=4 y teniendo en cuenta que √16=2,tenemos: Para k=0,1,2,3, esta fórmula se puede escribir como: W k=2[ cos(60o+90ok) + i sen(60o+90ok)] Sustituyendo 0,1,2,3 en lugar de k en (60o+90ok) : W0=2(cos60o+isen60o) =1+√3i W1=2(cos150o+isen150o) =-√3+i W2=2(cos240o+isen240o) =-1-√3i W3=2(cos330o+isen330o) =√3-i

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