Algebra          vectorial      MAGNITUDES FÍSICAS.• Magnitudes físicas escalares•Magnitudes fisicas vectoriales..•Bibliog...
Magnitudes    físicaspor su naturaleza  Escalares  Vectoriales
Magnitudes                físicas               EscalaresAsociadas a propiedades que pueden sercaracterizadas a través de ...
Escalares                Masa, densidad,              temperatura, energía,Magnitudes        trabajo, etc  físicas        ...
Bases para el estudio del    movimiento mecánicoSR:   Cuerpos que se toman como referencia paradescribir el movimiento del...
Movimiento plano              Coordenadas Cartesianas               y (m)         ordenada      (x,y)                     ...
Movimiento plano         Coordenadas Polares                 (r,θ)             θ         Oorigen
Relacion entre (x,y) y (r,θ)                y (m)                            (x,y)          ordenada                      ...
z                         Vectores        θ   A                          y                    y         Ap    ϕx          ...
Propiedades                de Vectores                           A                                                      ...
Suma deVectores       A             C                     B               C   A           B       Ley del polígono       R
El vector resultante es aquel que vector que vadesde el origen del primervector hasta el extremo del          ultimo
Entonces si se tiene lossiguientes vectores                          A        B                               C       ...
      B       A            C              R                            D    R = A+ B +C + D
Propiedades                              de Vectores                      A      A = Aµ                                 ...
LeyPropiedadesde la suma de         Conmutativa  Vectores                    R = A+B = B+A  Diferencia         Ley Asociat...
Ley conmutativa      (Método paralelogramo)                A                                        B +A                +B...
Multiplicación de un vector por un              escalar                            Dado dos vectores          AyB       ...
A            1             B= A             2    B             1 A           B=− A              4        B
Ejemplo 8:Hallar el vector resultante de la suma de lossiguientes vectores             A        B                  C      ...
Vectores unitarios en el plano         y       ˆ       j             ˆ                     i            xˆi   Vector unita...
Vectores unitarios en el espacio             z             ˆ             k     ˆ     i           ˆ                 j      ...
zRepresentación de un vector              Az                                θ   A                                         ...
Observaciones:Las componentes rectangulares deun vector dependen del sistemacoordenado elegido.La magnitud del vector no c...
Determínese la resultante de lossiguientes vectores       4u                +                             3u       A    ...
            A       B8u         +   4u   =   4u                    R = A+ B
Observamos que, cuando los vectoresestán en la misma dirección podemosdeterminar fácilmente su magnitud¿Que sucede si los ...
                             A                  B                           3u            4u                         ...
A                          5u                3u          Ay               B           By                          10 ...
     3u            By4u        Ay                8u Ax                      A = Ax + Ay              Bx            ...
10u                            Ax + Bx                                    5u                            Ay + B y      ...
               Ay                   By                           Ax                BxCy                              ...
                     Rx              15 u                          5u                                    Ry             ...
(x2,y2,z2)                                  A    (x1,y1,z1)z                 Dados      los   puntos                 indi...
(x2,y2,z2)                                        A    (x1,y1,z1)z        yx       A = (x 2 − x1 )ˆ + (y 2 − y1 )ˆ + (z2...
Producto        escalar de dos   A ⋅ B = AB cos θ   vectores                 Proyección de A sobre B                    ...
i ⋅i = 1 ˆ ˆ                     i⋅ˆ=0                         ˆ j ˆ⋅ ˆ =1 j j                     ˆ ˆ                    ...
Producto           vectorial de dos    vectores        C = A×B                    C = AB senθ                         ...
Demostrar:  C = A × B = (A x ˆ + A y ˆ + A z k) × (Bx ˆ + B y ˆ + Bz k)                 i       j       ˆ        i     ...
Ejemplo 1:Determinese la suma de los siguientes vectores:A = 3 ˆ + 8ˆ + 5k      i     j    ˆB = -5 ˆ + 2ˆ − 3k        i ...
Ejemplo 2:       Determine la suma de los                 vectores indicados             z   5m                           ...
Ejemplo 9Dados los vectores:    A = 3ˆ + 3ˆ − 5k       i j ˆ    B = 4ˆ + 5ˆ − 3k       i j ˆDetermine :a) El producto es...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Vectores en el plano

498 views

Published on

magnitudes escalares y vectoriales

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
498
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Vectores en el plano

  1. 1. Algebra vectorial MAGNITUDES FÍSICAS.• Magnitudes físicas escalares•Magnitudes fisicas vectoriales..•Bibliografia:Sears, Física universitaria 1999,
  2. 2. Magnitudes físicaspor su naturaleza Escalares Vectoriales
  3. 3. Magnitudes físicas EscalaresAsociadas a propiedades que pueden sercaracterizadas a través de una cantidad VectorialesAsociadas a propiedades que se caracterizanno sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido
  4. 4. Escalares Masa, densidad, temperatura, energía,Magnitudes trabajo, etc físicas Vectoriales Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.
  5. 5. Bases para el estudio del movimiento mecánicoSR: Cuerpos que se toman como referencia paradescribir el movimiento del sistema bajo estudio. Se le asocia y y(t) • Observador • Sistema de x(t) Coordenadas x • Reloj z(t) z
  6. 6. Movimiento plano Coordenadas Cartesianas y (m) ordenada (x,y) P (8,3) Q (-2,2) x (m) O abcisaorigen
  7. 7. Movimiento plano Coordenadas Polares (r,θ) θ Oorigen
  8. 8. Relacion entre (x,y) y (r,θ) y (m) (x,y) ordenada r θ x (m) O abcisa origenx = r cos θ y r= x +y 2 2 = tan θy = rsen θ x
  9. 9. z Vectores θ A y y Ap ϕx ϕ xNotación A Dirección θ, ϕMódulo A >0
  10. 10. Propiedades de Vectores A  B  C• Dados A y B, si A = B entonces A = B• Todo vector se puede desplazar paralelamente asi mismo    A=B=C
  11. 11. Suma deVectores A C B C A B Ley del polígono R
  12. 12. El vector resultante es aquel que vector que vadesde el origen del primervector hasta el extremo del ultimo
  13. 13. Entonces si se tiene lossiguientes vectores   A B  C  El vector resultante D de la suma de todos ellos será:
  14. 14.   B  A C  R  D    R = A+ B +C + D
  15. 15. Propiedades  de Vectores A A = Aµ ˆ µ -A Opuesto Nulo 0 = A + ( -A )  AVector unitario μ=  A
  16. 16. LeyPropiedadesde la suma de Conmutativa Vectores R = A+B = B+A Diferencia Ley Asociativa           R = A-B R = A + (B + C) = ( A + B) + C    R = A + (-B) -B A R B A
  17. 17. Ley conmutativa (Método paralelogramo) A B +A +B = = A B R A +B BB R = R Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma ¿Como se explica esta regla?
  18. 18. Multiplicación de un vector por un escalar  Dado dos vectores AyB  Se dicen que son paralelos si A = αB   si α > 0 A ↑↑ B   si α < 0 A ↑↓ B   si α = 1 A = B
  19. 19. A  1  B= A  2 B  1 A B=− A  4 B
  20. 20. Ejemplo 8:Hallar el vector resultante de la suma de lossiguientes vectores A B C A B R = 2C
  21. 21. Vectores unitarios en el plano y ˆ j ˆ i xˆi Vector unitario en la dirección del eje x +ˆj Vector unitario en la dirección del eje y +
  22. 22. Vectores unitarios en el espacio z ˆ k ˆ i ˆ j yx
  23. 23. zRepresentación de un vector Az θ A Ay y Ax ϕ x Ax = A cos ϕ sen θ     A = Ax i + Ay j + Az k Ay = Asenϕ sen θ  A = A = Ax2 + Ay + Az2 2 Az = A cos θ
  24. 24. Observaciones:Las componentes rectangulares deun vector dependen del sistemacoordenado elegido.La magnitud del vector no cambia.Permanece invariante en cualquiersistema coordenado
  25. 25. Determínese la resultante de lossiguientes vectores 4u  +  3u A B    R = A+ B 7u
  26. 26.   A B8u + 4u = 4u    R = A+ B
  27. 27. Observamos que, cuando los vectoresestán en la misma dirección podemosdeterminar fácilmente su magnitud¿Que sucede si los vectores no están enla misma dirección ? , ¿ podremosdeterminar directamente su magnitud ?
  28. 28.   A B 3u 4u    R = A+ BLa magnitud en este caso no puede determinarsedirectamente , por lo que debemos tratar debuscar otra forma de determinarla
  29. 29. A 5u   3u Ay B  By 10 Ax u 8u4u  Bx 6u
  30. 30.  3u  By4u Ay  8u Ax   A = Ax + Ay Bx   6u  B = Bx + B y
  31. 31. 10u   Ax + Bx   5u Ay + B y      R = Ax + Bx + Ay + B yPor pitagoras podemos ahora determinar la 2 2 R = 10 + 5 = 5 5umagnitud del vector resultante
  32. 32.  Ay  By   Ax BxCy   Dy Cx  Dx
  33. 33.  Rx 15 u 5u  Ry        Rx = Ax + Bx + Cx + DxR = Rx + Ry     R = 5 10 Ry = Ay + By + C y + Dy
  34. 34. (x2,y2,z2)  A (x1,y1,z1)z Dados los puntos indicados el vector que y los une estax representado por
  35. 35. (x2,y2,z2)  A (x1,y1,z1)z yx  A = (x 2 − x1 )ˆ + (y 2 − y1 )ˆ + (z2 − z1 )k i j ˆ
  36. 36. Producto  escalar de dos A ⋅ B = AB cos θ vectores Proyección de A sobre B A B = A cosθ Proyección de B sobre A B A = B cosθ
  37. 37. i ⋅i = 1 ˆ ˆ i⋅ˆ=0 ˆ j ˆ⋅ ˆ =1 j j ˆ ˆ i ⋅k = 0 ˆ ˆ k ⋅k =1 j ˆ ˆ⋅k = 0A ⋅ i = Ax ˆ  A ⋅ ˆ = Ay j A ⋅ B = A XB X + A YB Y + A ZB Z ˆA ⋅ k = Az
  38. 38. Producto   vectorial de dos vectores C = A×B C = AB senθ   ˆ×ˆ = 0 i i ˆ×ˆ = 0 j j  ˆ ˆ k×k = 0 j ˆ iˆ × ˆ = k j ˆ ˆ × k = iˆ ˆ k × iˆ = ˆ j
  39. 39. Demostrar:  C = A × B = (A x ˆ + A y ˆ + A z k) × (Bx ˆ + B y ˆ + Bz k) i j ˆ i j ˆ C X = AY BZ − AZ BY C y = Az Bx − Ax Bz C z = Ax B y − Ay Bx
  40. 40. Ejemplo 1:Determinese la suma de los siguientes vectores:A = 3 ˆ + 8ˆ + 5k i j ˆB = -5 ˆ + 2ˆ − 3k i j ˆC = 4 ˆ − 7ˆ − 2k i j ˆ
  41. 41. Ejemplo 2: Determine la suma de los vectores indicados z 5m  B 10m  y C 8m  x A
  42. 42. Ejemplo 9Dados los vectores:  A = 3ˆ + 3ˆ − 5k i j ˆ  B = 4ˆ + 5ˆ − 3k i j ˆDetermine :a) El producto escalar entre ellos.b)el producto vectorial entre ambose) el ángulo que forman entre sí.Tarea 9c, 9d y 10

×