Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Jacobiano

155 views

Published on

Desarrollo conceptual y matematico de jacobiano para dar intuición del mismo al educando

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Jacobiano

  1. 1. [[11]] JJaaccoobbiiaannoo JJaaccoobbiiaannoo AAbbssttrraacctt..-- EEll JJaaccoobbiiaannoo eess uunnaa ooppeerraacciióónn ddee uussoo ffrreeccuueennttee eenn llaa cciieenncciiaa ppaarraa ccaammbbiiaarr ddee ccoooorrddeennaaddaass ddoobblleess òò ttrriipplleess ddee uunn ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo aa oottrroo;; EEssttee aarrttííccuulloo ttrraattaa ddee llaa vvaalliiddeezz ddee ssuu ffuunnddaammeennttoo tteeóórriiccoo.. PPaarrttee II EEss llaa ddeemmoossttrraacciióónn ddee qquuee uunn ddeetteerrmmiinnaannttee ddee sseegguunnddoo oorrddeenn rreepprreesseennttaannddoo llaass llíínneeaass ddeell mmiissmmoo ppoorr ddooss vveeccttoorreess lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieenntteess eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐 ,, eess iigguuaall aall áárreeaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo eennccllaauussttrraaddoo ppoorr eessooss ddooss vveeccttoorreess;; ttaammbbiiéénn ccoommoo ttrreess vveeccttoorreess,, lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieenntteess,, eenn 𝑹𝑹 𝟑𝟑 ,, EEll ddeetteerrmmiinnaannttee ffoorrmmaaddoo ccoonn eellllooss rreepprreesseennttaa eell vvoolluummeenn qquuee ggeenneerraann eessooss ttrreess vveeccttoorreess;; PPaarrttee IIII RReepprreesseennttaacciióónn ddee llooss ddiiffeerreenncciiaalleess eenn eell ssiisstteemmaa oorriiggiinnaall ccoommoo vveeccttoorreess eenn eell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo;; PPrrooppiieeddaadd ddee llooss ddeetteerrmmiinnaanntteess ppaarraa ffaaccttoorriizzaarr eelleemmeennttoo ccoommúúnn eenn uunnaa llíínneeaa ddeell ddeetteerrmmiinnaannttee;; PPaarrttee IIIIII EEjjeemmpplloo ddee oobbtteenncciióónn ddee jjaaccoobbiiaannoo eenn 𝑹𝑹 𝟑𝟑 ppaarraa ttrraannssffoorrmmaarr ddee ssiisstteemmaa ccaarrtteessiiaannoo aa eessfféérriiccoo yy vviicceevveerrssaa oobbtteenncciióónn ddee jjaaccoobbiiaannoo ppaarraa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee eessfféérriiccoo aa ccaarrtteessiiaannoo;; ssiiggnniiffiiccaaddoo ddee vvoolluummeenn ddiiffeerreenncciiaall eenn aammbbooss ccaassooss;; PPaarrttee IIVV SSuussttiittuucciióónn eerrrróónneeaa aall hhaacceerr ddiirreeccttaammeennttee uunnaa ssuussttiittuucciióónn ddee ddiiffeerreenncciiaalleess ssiinn uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn vveeccttoorriiaall ccoovvaarriiaannttee;; vveennttaajjaass ddee rreepprreesseennttaacciióónn ggeeoommééttrriiccaa ddee ddiiffeerreenncciiaalleess yy ddee ccóómmoo eessttoo iimmpplliiccaa uunnaa rreepprreesseennttaacciióónn vveeccttoorriiaall ddee ddiiffeerreenncciiaalleess eenn ccoooorrddeennaaddaass ddeell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo.. PPaarrttee IIDDeemmoossttrraacciióónn ddee ccóómmoo uunn ddeetteerrmmiinnaannttee ddee sseegguunnddoo oorrddeenn rreepprreesseennttaannddoo llaass llíínneeaass ddeell mmiissmmoo ppoorr ddooss vveeccttoorreess lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieenntteess eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐 ,, eess iigguuaall aall áárreeaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo eennccllaauussttrraaddoo ppoorr eessooss ddooss vveeccttoorreess.. aa))..--UUnn vveeccttoorr eenn ssiisstteemmaa ccaarrtteessiiaannoo eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐 ,, AA == AA((xx,,yy)),, ttiieennee uunn vveeccttoorr ppeerrppeennddiiccuullaarr aall mmiissmmoo,, DD ==|| 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒙𝒙 𝒚𝒚 || eennttoonncceess DD== yy ii–– xx jj((11)) MMuullttiipplliiccaammooss AA∙∙DD == xxyy−− yyxx == 00 eessttoo rreevveellaa qquuee DD eess ⊥⊥ AA AAhhoorraa mmuullttiipplliiccaammooss,, eessccaallaarrmmeennttee,, uunn vveeccttoorr lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieennttee aa AA,, ddiiggaammooss BB== BB((bb,, dd))ppoorr DD== DD((yyii,,−−xxjj)),, ppaarraa ddeemmoossttrraarr qquuee eessttoo rreepprreesseennttaa eell áárreeaa eennttrree llooss vveeccttoorreess AA yy BB.. BB∙∙DD == bbyy−− ddxx == || 𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝒚𝒚|| ((22)) EEss ddeecciirr qquuee BB∙∙DD ssee ppuuddoo rreepprreesseennttaarr ccoorrrreeccttaammeennttee ppoorr eell ddeetteerrmmiinnaannttee mmoossttrraaddoo ((22)),, AAhhoorraa aapplliiccaannddoo llaa ddeeffiinniicciióónn ddee pprroodduuccttoo eessccaallaarr eennttrree vveeccttoorreess nnooss ccoonneeccttaammooss ccoonn llaa ddeemmoossttrraacciióónn ddee llaa ppaarrttee II ((aa)) BB∙∙DD == ││BB││││DD││ 𝐜𝐨𝐬 𝜣𝜣((33)) PPeerroo ││DD││==││AA││ ((44)) YY ppuueeddoo ssuussttiittuuiirr ((44)) eenn ((33)) yy aaddeemmááss eell ccoosseennoo ddee ΘΘ lloo ppuueeddoo rreemmppllaazzaarr ppoorr eell 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝜶ccoommoo lloo iinnddiiccaa llaa ffiigguurraa ssiigguuiieennttee tteenniieennddoo eenn ccuueennttaa llaass pprrooppiieeddaaddeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ddee áánngguullooss ccoommpplleemmeennttaarriiooss.. EEnnttoonncceess qquueeddaa ddeemmoossttrraaddoo qquuee ppaarraa AA yy BB eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐 eell ddeetteerrmmiinnaannttee || 𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝒚𝒚 || == ÁÁrreeaa AABB bb))..--PPaarraa 𝑹𝑹 𝟑𝟑 LLaa ddeemmoossttrraacciióónn eess aannáállooggaa ddoonnddee hhaabbrráá uunn vveeccttoorr DD ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ppllaannoo ggeenneerraaddoo ppoorr ddooss vveeccttoorreess lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieenntteess,, ddiiggaammooss AA == AA((xx,, yy,, zz)),, BB== BB((bb,, dd,, ee)) DDee eessttaa mmaanneerraa BB∙∙DD == ││BB││││DD││ 𝐜𝐨𝐬 𝜣𝜣 == ││BB││││AA││ 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝜶 EEnnttoonncceess eell ddeetteerrmmiinnaannttee ((22)) eess eell áárreeaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo ffoorrmmaaddoo ppoorr llooss vveeccttoorreess AA yy BB,, pprreeccaauucciióónn eell áárreeaa nnoo eess eell pprroodduuccttoo eessccaallaarr eennttrree AA yy BB ssiinnoo eell ddeetteerrmmiinnaannttee ((22))
  2. 2. [[22]] JJaaccoobbiiaannoo DD == ││ 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒆𝒆 ││LLaa ddeemmoossttrraacciióónn ddee llaa ppeerrppeennddiiccuullaarriiddaadd ddee DD ppaarraa ccoonn AA yy BB eess aannáállooggaa rreessoollvviieennddoo pprriimmeerroo eell ddeetteerrmmiinnaannttee DD.. PPeerroo ssee ssuuggiieerree mmeejjoorr qquuee ssee uuttiilliicceenn eejjeemmppllooss nnuumméérriiccooss.. AAssíí mmiissmmoo ccoommoo eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊éé 𝒏𝒏 𝒆𝒏𝒆𝒏 𝑹𝑹 𝟑𝟑 eell áánngguulloo αα eess eell ccoommpplleemmeennttoo ddeell áánngguulloo θθ,, ssiieennddoo θθ eell áánngguulloo eennttrree eell vveeccttoorr CC yy eell vveeccttoorr DD,, ddoonnddee DD == AA⤬⤬BB EEnnttoonncceess eell ttrriippllee pprroodduuccttoo vveeccttoorriiaall CC∙∙ AA⤬⤬BB == ││ 𝒄𝟏𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒄𝟐 𝒄𝟑𝒄𝟑 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒆𝒆 ││((55)) DDoonnddee CC == CC((cc11,, cc22,, cc33)) ││ 𝒄𝟏𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒄𝟐 𝒄𝟑𝒄𝟑 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒆𝒆 ││ == vvoolluummeenn ggeenneerraaddoo ppoorr AA,, BB,, CCyyaa qquuee ⃒⃒ 𝑨𝑨 ⤬⤬ 𝑩⃒⃒𝑩⃒⃒ == ⃒⃒DD⃒⃒ OO sseeaa qquuee ⃒⃒ 𝑨𝑨 ⤬⤬ 𝑩⃒⃒𝑩⃒⃒ == ⃒⃒DD⃒⃒ == áárreeaa ggeenneerraaddaa ppoorr AA yy BB PPaarrttee IIIIRReepprreesseennttaacciióónn ddee llooss ddiiffeerreenncciiaalleess eenn eell ssiisstteemmaa oorriiggiinnaall ccoommoo vveeccttoorreess eenn eell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo;; PPrrooppiieeddaadd ddee llooss ddeetteerrmmiinnaanntteess ppaarraa ffaaccttoorriizzaarr eelleemmeennttoo ccoommúúnn eenn uunnaa llíínneeaa ddeell ddeetteerrmmiinnaannttee EEjjeemmpplloo:: SSeeaann llaass ccoooorrddeennaaddaass ccaarrtteessiiaannaass xx,, yy,, zz qquuee ccoorrrreessppoonnddeenn aa llooss ddiiffeerreenncciiaalleess ddxx,, ddyy,, ddzz YY sseeaann llaass eeccuuaacciioonneess ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee ccoooorrddeennaaddaass ddeell ccaarrtteessiiaannoo aa ccuuaallqquuiieerr oottrroo llaass ssiigguuiieenntteess:: XX== xx((rr,, θθ,, φφ)) AAssíí ddxx == 𝛛𝐱 𝛛𝐫 ddrr ++ 𝝏𝒙 𝝏𝜽 ddθθ ++ 𝝏𝒙 𝝏𝝋 ddφφ;; AAssíí :: ddxx == 𝛛𝐱𝛛𝐱 𝛛𝐫𝛛𝐫 êê 𝒓𝒓ddrr ++ 𝝏𝒙𝝏𝒙 𝝏𝜽𝝏𝜽 êê 𝜽𝜽 ddθθ ++ 𝝏𝒙𝝏𝒙 𝝏𝝋𝝏𝝋 êê 𝝓𝝓ddφφ ((66)) AAnnaallooggaammeennttee:: SSii YY == yy ((rr,, θθ,, φφ));; yy ttaammbbiiéénn:: ZZ == zz ((rr,, θθ,, φφ)),, eennttoonncceess ssuuss ddiiffeerreenncciiaalleess vveeccttoorriiaalleess:: ddyy == 𝛛𝐲𝛛𝐲 𝛛𝐫𝛛𝐫 êê 𝒓𝒓 ddrr ++ 𝝏𝒚𝝏𝒚 𝝏𝜽𝝏𝜽 êê 𝜽𝜽ddθθ ++ 𝝏𝒚𝝏𝒚 𝝏𝝋𝝏𝝋 êê 𝝓𝝓 ddφφ ((77)),, AAssíí:: ddzz == 𝝏𝒛𝝏𝒛 𝛛𝐫𝛛𝐫 êê 𝒓𝒓ddrr ++ 𝝏𝒉𝝏𝒉 𝝏𝜽𝝏𝜽 êê 𝜽𝜽 ddθθ ++ 𝝏𝒉𝝏𝒉 𝝏𝝋𝝏𝝋 ȇȇ 𝝋𝝋 ddφφ((88)) ddoonnddee:: êê 𝒓𝒓,, êê 𝜽𝜽,, êê 𝝓𝝓;; ssoonn vveeccttoorreess uunniittaarriiooss eenn ddiirreecccciióónn ddee ccrreecciimmiieennttoo ddee:: rr,, θθ,, φφ;; ddee llaass nnuueevvaass ccoooorrddeennaaddaass;; eennttoonncceess eell eelleemmeennttoo ddiiffeerreenncciiaall ddee vvoolluummeenn ccaarrtteessiiaannoo eessttaarráá aahhoorraa rreepprreesseennttaaddoo ppoorr::
  3. 3. [[33]] JJaaccoobbiiaannoo DDee llaa pprrooppiieeddaadd ddee ddeetteerrmmiinnaanntteess,, qquuee uunnaa ccoolluummnnaa mmuullttiipplliiccaaddaa ppoorr llaa mmiissmmaa ccaannttiiddaadd,, eell ddeetteerrmmiinnaannttee qquueeddaa mmuullttiipplliiccaaddoo ppoorr eessaa mmiissmmaa ccaannttiiddaadd;; ssee ppuueeddee ffaaccttoorriizzaarr ddrr,, ddθθ,, ddϕϕ ;; yyaa qquuee ccaaddaa ffaaccttoorr eess ccoommúúnn eenn uunnaa ccoolluummnnaa.. AAll ddeetteerrmmiinnaannttee ssee llee llllaammaa JJaaccoobbiiaannoo nnootteemmooss qquuee ssii hhuubboo ssuussttiittuucciióónn ddee eelleemmeennttooss ddiiffeerreenncciiaalleess eenn ddVV== ddxx ddyy ddzz,, ppeerroo ffuueerroonn ssuussttiittuucciioonneess vveeccttoorriiaalleess eess ddeecciirr vveeccttoorriiaallmmeennttee.. PPaarrttee IIIIII EEjjeemmpplloo ddee oobbtteenncciióónn ddee jjaaccoobbiiaannoo eenn 𝑹𝑹 𝟑𝟑 ppaarraa ttrraannssffoorrmmaarr ddee ssiisstteemmaa ccaarrtteessiiaannoo aa eessfféérriiccoo yy vviicceevveerrssaa oobbtteenncciióónn ddee jjaaccoobbiiaannoo ppaarraa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee eessfféérriiccoo aa ccaarrtteessiiaannoo;; ssiiggnniiffiiccaaddoo ddee vvoolluummeenn ddiiffeerreenncciiaall eenn aammbbooss ccaassooss EEnn eell ccaassoo ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee ccaarrtteessiiaannaass aa eessfféérriiccaass ssee uuttiilliizzaann llaass ssiigguuiieenntteess rreellaacciioonneess:: XX == xx ((rr,, θθ,, ϕϕ)) == rr 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝓𝝓 ;; YY== yy ((rr,, θθ,, ϕϕ)) == rr 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝓𝝓 ;; ZZ== zz ((rr,, θθ,, ϕϕ)) == rr 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝜽 EEnnttoonncceess ssuu jjaaccoobbiiaannoo ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn sseerráá:: PPaarraa ttrraannssffoorrmmaacciióónn iinnvveerrssaa ddee eessfféérriiccaass aa ccaarrtteessiiaannaass ssuu jjaaccoobbiiaannoo ddeebbee sseerr eell rreeccíípprrooccoo eess ddeecciirr:: EEssttoo eess ppaarraa ppooddeerr rreeggrreessaarr aa llaa eexxpprreessiióónn ccaarrtteessiiaannaa ddeebbee sseerr eell rreeccíípprrooccoo ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn iinnvveerrssaa,, eecc..,, ((1122)),, ddee ccaarrtteessiiaannaass aa eessfféérriiccaa.. PPaarraa eelllloo ssee uuttiilliizzaann llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn::
  4. 4. [[44]] JJaaccoobbiiaannoo PPaarrttee IIVV SSuussttiittuucciióónn eerrrróónneeaa aall hhaacceerr ddiirreeccttaammeennttee uunnaa ssuussttiittuucciióónn ddee ddiiffeerreenncciiaalleess ssiinn uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn vveeccttoorriiaall ccoovvaarriiaannttee;; vveennttaajjaass ddee rreepprreesseennttaacciióónn ggeeoommééttrriiccaa ddee ddiiffeerreenncciiaalleess yy ddee ccóómmoo eessttoo iimmpplliiccaa uunnaa rreepprreesseennttaacciióónn vveeccttoorriiaall ddee ddiiffeerreenncciiaalleess eenn ccoooorrddeennaaddaass ddeell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo.. SSii ssee ssuussttiittuuyyeenn llooss eelleemmeennttooss ddiiffeerreenncciiaalleess ddee uunnaa iinntteeggrraall mmúúllttiippllee,, ssiinn ddaarrlleess ccaarráácctteerr vveeccttoorriiaall eenn eell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo,, ssee oobbttiieenneenn ppoorr eejjeemmpplloo pprroodduuccttooss ccoommoo ddrr ddrr ddθθ ++ ddθθ ddθθ ddθθ ++ eettcc;; yyaa qquuee ssee ttrraattaa ddee uunnaa mmuullttiipplliiccaacciióónn aallggeebbrraaiiccaa LLaa eexxpprreessiióónn ((1133)) nnoo ttoommaa eenn ccuueennttaa llaa ddeeffoorrmmaacciióónn ddeell eelleemmeennttoo ddiiffeerreenncciiaall ddee vvoolluummeenn ssuuffrree aall tteenneerr uunn ccaammbbiioo ddee ccoooorrddeennaaddaass,, lloo qquuee nnooss ddaann iinntteeggrraalleess ccoonn ddooss óó ttrreess ddiiffeerreenncciiaalleess rreeppeettiiddaass qquuee ccaarreecceenn ddee sseennttiiddoo ggeeoommééttrriiccoo.. EEnn ccaammbbiioo aall ddaarr ccaarráácctteerr vveeccttoorriiaall eenn eell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo,, aa llooss ddiiffeerreenncciiaalleess oorriiggiinnaalleess,, ssee ppuueeddee ttoommaarr eenn ccuueennttaa ssuu ddeeffoorrmmaacciióónn eessppaacciiaall:: SSiinn eemmbbaarrggoo eessttee ccoonncceeppttoo ttiieennee ssuuss lliimmiittaacciioonneess yyaa qquuee eell pprroocceessoo iinnvveerrssoo eell eelleemmeennttoo ddiiffeerreenncciiaall eessfféérriiccoo nnoo ccuueennttaa ccoonn iinntteerrpprreettaacciioonneess ggeeoommééttrriiccaa ppeerroo ssii eexxiissttee uunn jjaaccoobbiiaannoo iinnvveerrssoo..

×