最短経路問題 & 最小全域木

2. • • • • • • • • • • • 2

3. • • • • • • • • • • • 3

4. R×C • R C Sy Sx Gy Gx 𝑐(+,+) 𝑐(+,.) … 𝑐(+,0) 𝑐(1,+) 𝑐(1,.) … 𝑐(1,0) • 1 ≤ R, C ≤ 1000 4 S G

5. R×C • 5 S G

6. • G S G 6 S G

7. • G S G 7 S G

8. • G S G • 8 S G

9. • G S G • 9 S G

10. • G S G • 10 S G S G

11. • S 11 S G

12. • S S 12 S 1 1 G

13. • S S • S 13 S 1 1 G

14. • S S • S 14 2 S 1 2 1 2 G

15. • S S • S 15 2 S 1 2 1 2 G G

16. (Breadth First Search) • • 16 S ……

17. 17 S G 0 S S S S

18. 18 1 1 ★ 1 1 G 0

19. 19 1 1★ 1 1 G

20. 20 12 2 ★ 2 2 G 1

21. 21 1 2 2 2 ★ 2 G

22. 22 2 2 2★ 2 G 1

23. 23 2 2 ★ G 2

24. 24 2 3★ 3 G 2

25. 25 3 3 3 3 ★ G 3 2

26. 26 3 3 4 ★ 4 G 3

27. 27 3 3 4 ★ 4 G 3

28. 28 3 3 4 ★ 4 G 3

29. 29 11 11 11 G 11 ★ 10

30. 30 11 11 12 G 12 ★ 11

31. 31 11 12 12 G ★ 12 11

32. 32 12 12 G 12 1212 ★ 12 11

33. 33 12 G 12 12 1313 ★ 12

34. 34 G 12 12 13 13 13 ★ 12

35. 35 12 13 13 ★ G 12

36. 36 12 13 13 ★ G 12 G

37. (Queue) • • First In, First Out 37

38. 38

39. 39 #include <queue> queue< > q; q.push(x); O(1) q.front(); O(1) q.pop(); O(1) q.empty(); O(1)

40. • O(1) • O(RC) 40 R: C

41. 41

42. • • • • • • • • • • • 42

43. • • • 43

44. • • • • • 44

45. • • • • • 45

46. • • • • V E 46

47. 47

48. 48

49. • 49

50. • 50 INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF

51. 51

52. • 52

53. • 53

54. 54

55. 55

56. 56

57. 57 O(V. ) O(V + E) O(1) O(Δ) O(V) O(Δ) Δ:

58. 58 O(V. ) O(V + E) O(1) O(Δ) O(V) O(Δ) Δ:

59. s g g 59

60. v e a b c • v e s g 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑎^ 𝑏^ 𝑐^ • 1 ≤ v ≤ 100 1 ≤ e, c ≤ 10000 60

61. • 61

62. • 62 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 90

63. • = min ( + 210 , + 180 ) • 63 .. .. : 180 210 : : .. .. ..

64. • = min ( + 210 , + 180 ) • • u = min ( u + u ) 64 .. .. : 180 210 : : .. .. ..

65. (Bellman-Ford algorithm) • 65

66. (Bellman-Ford algorithm) • • 66

67. (Bellman-Ford algorithm) • • • 67

68. 0 INF INF INF INF INF INF INF INF INF 68 210 90 120 30 90 210 90 120 150 180120 210

69. 0 INF INF INF INF INF INF INF INF INF 69 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 210 120 90 210 90

70. 0 90 210 INF INF 120 INF INF INF INF 70 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 210 120 90 210 90

71. 0 90 210 INF INF 120 INF INF INF INF 71 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 90 180 210 90

72. 0 90 210 300 INF 120 INF INF INF INF 72 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 240 420 300 210 90

73. 0 90 210 300 510 120 420 INF INF 510 73 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 300 420 510 510 210 90

74. 0 90 210 300 510 120 420 INF INF 510 74 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 510 210 90

75. 0 90 150 300 510 120 210 INF INF 510 75 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 120 210 150210 90

76. 0 90 150 300 510 120 210 330 INF 510 76 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 330 210 90

77. 0 90 150 300 510 120 210 330 480 510 77 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 330 480 210 90

78. 0 90 150 300 510 120 210 330 480 510 78 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 510 210 90

79. 0 90 150 300 510 120 210 330 480 510 79 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 510 210 90

80. 0 90 150 300 510 120 210 330 480 510 80 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 90

81. 0 90 150 300 510 120 210 330 480 510 81 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 90

82. 0 90 150 300 510 120 210 330 480 510 82 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 210 90

83. 0 90 150 300 510 120 210 330 480 510 83 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 90 210 90

84. 0 90 150 240 510 120 210 330 480 510 84 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 150 240 210 90

85. 0 90 150 240 510 120 210 330 480 510 85 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 150 240 210 90

86. 210 90 0 90 150 240 510 120 210 330 480 510 86 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 150 240

87. 87 •

88. 88 • O(E)

89. 89 • O(E) •

90. • O(E) • V O(VE) 90

91. 91

92. 92 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 300 210 90 • (Dijkstra’s algorithm)

93. 0 INF INF INF INF INF INF INF INF INF 0 93 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 90

94. 0 INF INF INF INF INF INF INF INF INF 94 0 210 120 90 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 210 90

95. 95 0 210 120 90 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 90 120 210 0 90 210 INF INF 120 INF INF INF INF 210 90

96. 120 210 9690 (180) 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 210 INF INF 120 INF INF INF INF 90 210 90

97. 120 210 9790 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 210 INF INF 120 INF INF INF INF 210 90 (180)

98. 210 98 120 150 240 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 210 INF INF 120 INF INF INF INF 120 210 90 (240)

99. 150 210 210 99 120 150 210 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 150 INF INF 120 210 INF INF INF 210 90 (240)

100. 210 210 240 100 150 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 240 0 90 150 240 INF 120 210 INF INF INF 150 210 90

101. 210 240 101 210 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 150 240 INF 120 210 INF INF INF 210 210 90

102. 240 330 102 210 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 330 0 90 150 240 INF 120 210 330 INF INF 210 210 90

103. 330 450 450 103 240 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 450 450 0 90 150 240 450 120 210 330 INF 450 240 210 90

104. 450 450 480 104 330 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 480 0 90 150 240 450 120 210 330 480 450 330 210 90

105. 450 480 105 450 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 150 240 450 120 210 330 480 450 450 210 90

106. 480 106 450 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 150 240 450 120 210 330 480 450 450 210 90

107. 107 480 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 0 90 150 240 450 120 210 330 480 450 480 210 90

108. 0 90 150 240 450 120 210 330 480 450 108 120 30 90 210 90 120 150 180120 210 210 90

109. • 109

110. • • O(E) 110

111. • • O(E) • sort 111

112. (Priority Queue) 112 •

113. 113 • (Priority Queue)

121. • • First In, First Out 121 (Priority Queue)

122. 122

123. 123 #include <queue> priority_queue< > pq; pq.push(x); O(log n) pq.top(); O(1) pq.pop(); O(log n) pq.empty(); O(1) n: pq

124. • O(E) • 124

125. • O(E) • O(log E) O(E log E) 125

126. • 126

127. • • 127

128. 128

129. • O(VE) O(E log E) 129

130. • O(VE) O(E log E) • • 130

131. 0 INF INF INF 0 131 10 30 −100 −50 20

132. 0 30 10 INF 10 30 132 10 30 −100 −50 20 0 0 30 10

133. 0 30 10 INF 30 133 10 30 −100 −50 20 10 10

134. 0 30 −20 50 −20 50 134 10 30 −100 −50 20 30 30 −20 50

135. 50 135 10 30 −100 −50 20 −20 0 30 −20 50 −20

136. −50 136 10 30 −100 −50 20 50 0 30 −50 50 −50 50

137. 137 10 30 −100 −50 20 −50 0 30 −50 50 −50

138. • • 138

139. • • • V 139

140. • • • V 140

141. • 141 (Warshall–Floyd algorithm) dp

142. • 142 (Warshall–Floyd algorithm) dp

143. • 143 dp 90 210 120 90 210 90 30 90 210 120 210 210 120 30 90 120 90 120 120 150 180 150 210 180

144. • 144 dp 0 90 210 120 90 0 210 0 90 30 90 0 210 120 210 210 0 120 30 0 90 120 90 0 120 120 0 150 180 150 0 210 180 0

145. 145 • dp 0 90 210 120 90 0 210 0 90 30 90 0 210 120 210 210 0 120 30 0 90 120 90 0 120 120 0 150 180 150 0 210 180 0 for(int k = 0; k < V; k++) for(int i = 0; i < V; i++) for(int j = 0; j < V; j++) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);

146. 146 • dp 0 90 150 240 450 120 210 330 480 450 90 0 240 330 540 210 300 420 570 540 150 240 0 90 300 30 120 240 390 300 240 330 90 0 210 120 120 240 390 300 450 540 300 210 0 330 330 450 600 420 120 210 30 120 330 0 90 210 360 330 210 300 120 120 330 90 0 120 270 300 330 420 240 240 450 210 120 0 150 180 480 570 390 390 600 360 270 150 0 300 450 540 300 210 420 330 300 180 330 0

147. for(int k = 0; k < V; k++) for(int i = 0; i < V; i++) for(int j = 0; j < V; j++) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]); • i j k • O( 𝐕 𝟑) 147

148. for(int k = 0; k < V; k++) for(int i = 0; i < V; i++) for(int j = 0; j < V; j++) if(dp[i][k] != INF && dp[k][j] != INF) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]); • • 148

149. • Dijkstra 149

152. • • • • • • • • • • • 152

153. 153 • • • •

154. • • • • 154

155. • • • • 155

156. • 156

157. • • 157

158. • • • 158

159. • • • • 159

160. (Spanning Tree) • 160 10 2 13 7 1013 7 10 2 7 2 13 7

161. (Spanning Tree) • 161 10 2 13 7 1013 7 10 2 7 2 13 7

162. (Spanning Tree) • 162 10 2 13 7 1013 7 10 2 7 2 13 7

163. 163

164. v e a b d • v e 𝑎+ 𝑏+ 𝑑+ 𝑎^ 𝑏^ 𝑑^ • 1 ≤ v ≤ 100 1 ≤ e, d ≤ 10000 164

165. • 165

166. • 166 160 45 135 260 125 180 135 170130 240 175 110

167. • • 167 (Prim’s MST algorithm) 29 7 61 43

168. • • 168 (Prim’s MST algorithm) 7 61 29 43

169. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 0 INF INF INF INF INF INF INF INF INF 0 169 (Priority Q) 260 0

170. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED INF INF INF INF INF INF INF INF INF 170 0 (Priority Q) 260 0

171. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED 110 175 INF INF 160 INF INF INF INF 110 160 175 171 175 160 110 (Priority Q) 260 0

172. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED 175 INF INF 160 INF INF INF INF 160 175 172 110 (110) (Priority Q) 260 110

173. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED 175 INF INF 160 INF INF INF INF 160 175 173 (110) (Priority Q) 260 110

174. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED 45 INF INF USED 125 INF INF INF 45 125 175 174 160 45 125 (160) (Priority Q) 260 270

175. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED 135 INF USED 125 INF INF INF 125 135 175 175 45 (Priority Q) 135 260 315

176. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED 130 INF USED USED 180 INF INF 130 135 175 180 176 125 (Priority Q) 130 440 180 260

177. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED 260 USED USED 180 INF 240 135 175 180 240 260 177 130 (Priority Q) 260 240260 570

178. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED 260 USED USED 180 INF 240 175 180 240 260 178 135 (Priority Q) 260 570

179. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED 260 USED USED 180 INF 240 180 240 260 179 175 (Priority Q) 260 570

180. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED 260 USED USED USED 135 170 135 170 240 260 180 180 (Priority Q) 170 135 260 750

181. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED 260 USED USED USED USED 170 170 240 260 181 135 (Priority Q) 260 885

182. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED 260 USED USED USED USED USED 240 260 182 170 (Priority Q) 260 1055

183. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED 260 USED USED USED USED USED 260 183 240 (Priority Q) 260 1055

184. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED USED USED USED USED USED USED 184 260 (Priority Q) 260 1315

185. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 USED USED USED USED USED USED USED USED USED USED 185 (Priority Q) 260 1315

186. U X X U＼X e e T’ 1. T’ e 2. X U＼X e e’ 3. T’ e’ e 4. e e’ e e 186

187. U X X U＼X e e T’ 1. T’ e 2. X U＼X e e’ 3. T’ e’ e 4. e e’ e e 187 e e

188. U X X U＼X e e T’ 1. T’ e 2. X U＼X e e’ 3. T’ e’ e 4. e e’ e e 188 T‘

189. U X X U＼X e e T’ 1. T’ e 2. X U＼X e e’ 3. T’ e’ e 4. e e’ e e 189 T‘ + e e e’

190. U X X U＼X e e T’ 1. T’ e 2. X U＼X e e’ 3. T’ e’ e 4. e e’ e e 190 T‘ − e’ + e e

191. • − + − USED − • O(E log E) 191

192. 192

193. • • 193 (Kruskal’s algorithm)

194. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 194 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 0

195. 160 135 125 180 135 170130 240 175 110 195 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 45 260 45

196. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 196 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 155

197. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 197 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 280

198. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 198 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 410

199. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 199 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 410

200. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 200 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 545

201. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 201 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 705

202. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 202 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 875

203. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 203 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 875

204. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 204 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 1055

205. 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 205 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 260 1055

206. 260 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 206 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 1315

207. 260 160 45 135 125 180 135 170130 240 175 110 207 45 110 125 130 135 135 160 170 175 180 240 260 1315

208. • O(E log E) 208

209. • O(E log E) • O(E) 209

210. • O(E log E) • O(E) • 210

211. 211

212. • Union-Find Tree (disjoint-set forest) Union-Find Tree 212

213. • 213 Union-Find Tree

214. • • 214 Union-Find Tree

215. • • 215 Union-Find Tree

216. • • • 216 Union-Find Tree

217. • • • 217 Union-Find Tree

218. 218 Union-Find Tree

219. O(n) 219 Union-Find Tree n:

220. O(n) 220 Union-Find Tree n:

223. • O(α(n)) 223 Union-Find Tree n:

224. • O(α(n)) • α(n) 𝜶 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟑 = 𝟒 224 Union-Find Tree n:

225. • O(α(n)) • α(n) 𝜶 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟑 = 𝟒 O(1) 225 Union-Find Tree n:

226. • O(E log E) • O(E) • 226

227. • O(E log E) • O(E) • O(1) O(E log E) + O(E) = O(E log E) 227

228. 228

229. 229

230. • Union-Find Tree 230

231. • Union-Find Tree • • O(E) • 231

232. • • 232

233. • • • 233

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