Relaciones

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Relaciones Binarias

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Relaciones

  1. 1. Universidad Los Ángeles de Chimbote Facultad de Educación y Humanidades PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  2. 2. ¿Qué es un producto cartesiano? Sean A y B conjuntos no vacíos el Producto cartesiano entre A y B es un conjunto de “pares ordenados” donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B. A x B = {(a,b) / a ∈ A y b ∈ A } Ejemplo (1) : Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, A x B consta de los 6 pares de la lista (1, a) (2, a) (3, a) (1, b) (2, b) (3, b) Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  3. 3. Producto cartesiano Los pares ordenados (a, b) ∈ A × B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A y filas B que representan los b (1,b) (2,b) (3,b) elementos de B. (1,a) (2,a) (3,a) a Ejemplo: La representación gráfica de los pares del ejemplo anterior se muestra a 1 2 3 A continuación. Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  4. 4. ¡¡Para reflexionar!! 1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A? 2) Si A y B son finitos ¿qué podemos decir de A x B? Respuestas: • No son iguales ... Por ejemplo sean los conjuntos A = {a, b, c} ^ B = {1, 2} A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) } 2) A x B= A. B ….. ¿Puedes decir por qué? ….. Además A. B = B. A= B x A Entonces A x B= B x A Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  5. 5. Ejemplo (2) • Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Haz una lista de los elementos de A x B. • Representa gráficamente al subconjunto R = { (a, b) ∈ A x B / a + b ≤ 3} B 3 Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano 2 1 0 1 2 3 A Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  6. 6. ¿Qué es una relación binaria? Sean A y B conjuntos no vacíos Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A x B. En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en A. A Ejemplo (3): Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u} A x B = {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} Son relaciones de A en B: 1) Ø 2) {(a,i), (a,u)} 3) {(a, i)} 4) A x B Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  7. 7. Notación: • Si (a,b) ∈ R decimos que “a está relacionado con b” y lo denotamos por a R b. Ejemplos: 1) En N definimos la relación R así: “a R b sii a es el doble de b”. Algunos elementos de la relación son: (2, 1), (8, 4), (2500, 1250), (120, 60) 2) En N se define la relación R por: “x R y si x divide a y” Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, .... Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  8. 8. Conteo de relaciones: Sean A y B conjuntos finitos y no vacíos ¿podemos determinar el número de relaciones entre A y B? Sí !. Supongamos |A|=m y |B|=n. Sabemos que |AxB|=m.n, por lo tanto, |℘(AxB)| = 2m.n Entonces pueden definirse hasta 2m.n relaciones incluyendo Ø. Ejemplo: Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {-1, -2} entonces hay 64 relaciones de A en B. Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  9. 9. A continuación se le sugiere resolver una serie de ejercicios en los que tendrá la oportunidad de aplicar el contenido repasado. Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)
  10. 10. ¡¡Comunique sus dudas y consultas en el foro de la sesión o la mensajería interna del campus virtual, recuerde que estamos para apoyar su trabajo!! (Le sugiero leer el documento denominado “Cuatro consejos para estudiar matemáticas) Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

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