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Esfuerzo normal y cortante en vigas

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Mecánica de materiales
"Esfuerzo normal y cortante"

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Esfuerzo normal y cortante en vigas

  1. 1. Mecánica de materiales Página 1Mecánica de materiales4.2Mecánica de materialesEsfuerzo normal y cortante envigasIng. mecatrónicaAsesor: Ing. Eusebio Muñoz RiosAlumna:Jessica Guadalupe Rodríguez FloresNo. de control: 11041142Grupo: 4VFecha de entrega: 29/abril/2013
  2. 2. Mecánica de materiales Página 2ÍndiceIntroducción…...…………………...….....página 03Momento flexionante……..……………...página03Esfuerzo normal…….....…………….…..página 04Esfuerzo cortante..........…………….…..página 06Ejemplos……………………………..……página 09Conclusión…………………………..……página 11Bibliografía…………….……………...…..página 11
  3. 3. Mecánica de materiales Página 3IntroducciónEl esfuerzo cortante (o de cizallamiento), es producido por fuerzas que actúanparalelamente al plano que las resiste, mientras que los de tensión o decompresión son lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por estarazón los esfuerzos de tensión y de compresión se llaman también esfuerzosnormales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzotangencial.Para poder analizar y comprender los esfuerzos normal y cortante que actúansobre una viga, debemos conocer primero el concepto de momento flexionante envigas, ya que a partir de éste podremos deducir dichos esfuerzos.Momento flexionanteDefinición:Se le denomina momento flexionante o momento flector, porque tiende acurvar o flexionar la viga y, es la suma de los momentos de todas lasfuerzasque actúan en la porción de viga a la izquierda o a la derecha deuna sección, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas y quepasa por el centro de gravedad centroide de la sección considerada. Asíque la podemos definir como:Como en un cuerpo actúan fuerzas tanto negativas como positivas, el signo delmomento flexionante sobre una viga se determina con un criterio que dice que sihay fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección, produciránmomentos flexionantes positivos y, por el contrario, las fuerzas que actúan haciaabajo, dan lugar a momentos flexionantes negativos.
  4. 4. Mecánica de materiales Página 4Ahora que conocemos el efecto del momento flexor en una viga, ya podemosdefinir la aplicación de los esfuerzos normal y tangencial sobre la viga.Esfuerzo normalLos esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llamanesfuerzos por flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momentoflexionante se expresa mediante la fórmula de flexión. Para su deducción,tomaremos en cuenta las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke quedeterminarán la forma de distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones deequilibrio se establecerá la relación entre los esfuerzos y las cargas.La figura a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas poruna distancia dx. Debido a la flexión producida por la carga P, lassecciones ab y cd giran con respecto a la otra un pequeño ángulo dθ,pero permanecen planas y sin distorsión.La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. Enalgún punto entre ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud novaría. Trazando la línea c’d’ por f, paralela a ab, se observa que la fibra
  5. 5. Mecánica de materiales Página 5ac se ha acortado una longitud cc’ y está, pues, comprimida, mientrasque la fibra bd se ha alargado la longitud d’d y está sometida a tensión.El plano que contiene todas las fibras como la ef se llama superficieneutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por lo tanto, no estánsujetas a esfuerzo alguno. La superficie neutra pasa por los centros degravedad de las secciones trasversales de la viga.En la deformación gh, el alargamiento es hk, que es el arco decircunferencia de radio y ángulo dθLa deformación se obtiene dividiendo el alargamiento dentre la longitudinicial efSi p es el radio de la curvatura de la superficie neutraSuponiendo que el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke (módulode elasticidad - E), el esfuerzo en la fibra gh es:Lo cual indica que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a sudistancia “y” a la superficie neutra, y el radio de curvatura “p” de la superficieneutra es independiente de la ordenada “y” de la fibra. Los esfuerzos no debensobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso contrario dejaría decumplirse la ley de Hooke.Ahora para completar la deducción de la fórmula de flexión, se aplicarán lascondiciones de equilibrio. La intersección de la superficie neutra con la secciónque producirá el equilibrio, se llama eje neutro (E.N.).Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componentesegún el ejeX ([ΣX=0]), se tieneSabiendo que , sustituyendo por Ey/py, resultaHaciendo los cálculos, tenemos:
  6. 6. Mecánica de materiales Página 6Así se deduce que la distancia a E.N., el eje de referencia, del centro de gravedadde la sección debe ser cero, es decir, la línea neutra pasa por el centroide del áreade sección trasversal.Esfuerzo cortanteAhora consideraremos la condición ΣMy=0. Las fuerzas exteriores no producenmovimiento con respecto al eje Y, ni tampoco las fuerzas cortantes interiores, porlo tanto ([ΣMy=0])
  7. 7. Mecánica de materiales Página 7Y ya haciendo las sustituciones y los despejes correctos conforme a al momentode inercia, obtenemos que el esfuerzo máximo es:Donde el cociente I/c se llama módulo de resistencia de la sección o simplementemódulo de sección, y se suele designar por S.Esta fórmula es muy empleada en vigas de sección constante, y muestra cómo elesfuerzo máximo se produce en la sección de momento flexionante máximo.A continuación se darán los valores del módulo de resistencia de las formas máscomunes en una sección recta.
  8. 8. Mecánica de materiales Página 8Dado que la suma de las fuerzas horizontales en la sección debe ser nula, lafuerza total de compresión C, en la mitad superior de la sección de la recta, ha deser igual a la fuerza total de tensión T en la mitad inferior. Por lo tanto, el momentoresistente Mr, está constituido por el par que forman las fuerzas C y T iguales yopuestas. La magnitud de cada una de estas fuerzas es igual al producto delesfuerzo medio por el área. Por consiguiente, como el esfuerzo medio en unadistribución lineal es la mitad del esfuerzo máximo se tiene:Las fuerzas C y T actúan en el centro de gravedad de la carga triangular a unadistancia k de E.N., y como k = 2/3 c = 2/3 (h/2), el brazo del par resistente ese= 2k = 2/3 h. Igualmente el momento flexionante al momento resistente resulta:Que coincide con la ecuación de σmax para una sección rectangular.
  9. 9. Mecánica de materiales Página 9Ejemplos Una viga de sección rectangular de 150 x 250 mm soporta la carga deindica la figura. Determinar el máximo esfuerzo por flexión que se produce.Primero hay que determinar el máximo momento flexionante. El diagrama defuerza cortante indica que éste se anula para x = 2m. El momento flexionante endicho punto, calculado por el área del diagrama de fuerza cortante, es, para x= 2m[ΔM = (área)v]Aplicaremos ahora la fórmula de flexión, cuidando que las unidades empleadassean congruentes. Para eso nos vamos a nuestra tabla para obtener el móduloresistente para sección rectangular, S = bh2/6
  10. 10. Mecánica de materiales Página 10 Una viga de madera de 100 x 300 mm y 8 m de longitud soporta las cargasindicadas en la figura. Si el máximo esfuerzo cortante admisible es de 9MPa, ¿para qué el valor máximo se w se anula la fuerza cortante bajo P ycuánto vale P?Para satisfacer las condiciones indicadas en el enunciado el diagrama de fuerzacortante debe tener la forma que representa la figura. El máximo valor de w queanula la fuerza cortante bajo P se determina por:Que proporciona la relación entre P y w, quedando: P=8 wEl máximo momento flexionante tiene lugar bajo P y su valor es[ΔM = (área)v]
  11. 11. Mecánica de materiales Página 11Aplicando la fórmula de flexión resulta:Y según P=18w, el valor de P esConclusiónDe este trabajo podemos concluir que necesitamos conocimientos básicos defuerzas que actúan sobre la viga y así poder determinar el esfuerzo, además derazonar sobre dónde actúan tales esfuerzos y deducir mejor la fórmula, no sólousarla, además en estos casos nos es muy útil hacer los diagramas ya que el áreaque forman las figuras nos sirve para plantear mejor el problema y solucionar demanera más fácil y eficiente los problemas.BibliografíaResistencia de MaterialesAndrew Pytel, Ferdinand L. SingerEditorial Alfaomega

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