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2080 ex-+-sol

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  1. 1. www.tifawt.com
  2. 2. www.tifawt.comfi˜liothèque d9exer™i™es version RD o™to˜re PHHQ re™ueil ré—lisé p—r ern—ud fodin
  3. 3. www.tifawt.com
  4. 4. www.tifawt.comsntrodu™tione(n de f—™iliter le tr—v—il de tousD voi™i l— qu—trième version de ™e re™ueil d9exer™i™esF v9espritn9— p—s ™h—ngé X simpli(er le ™on™o™t—ge des feuilles d9exer™i™es p—r un simple ™opierE™oller Fte n9—i p—s s—isi tous les exer™i™esD loin de làD je remer™ie vivement les gros ™ontri˜uteurs X E Éli—ne gousquer Y E pr—nçois qourio Y E €ierreE‰ves veg—ll Y E €—s™—l yrtiz Y E pr—nz ‚iddeFƒ—ns ou˜lier tous ™eux qui m9ont fourni leurs feuilles d9exer™i™es X te—nEpr—nçois f—rr—udD géE™ile hrouetD gornéli— hrutuD ylivier qinesteD †in™ent quir—rdelD te—nEw—r™ r陗rtD ern—udrilionD te—nEw—rie ves™ureD ss—˜elle viousseD ƒylv—in w—illotD xi™ol—s w—r™oD fertr—nd wonEthu˜ertD x—dj— ‚e˜inguetD ƒ—ndrine ‚ousselD w—rieErelène †ign—lF u9ils et elles en soient tousremer™iésFv— ˜i˜liothèque s9—gr—ndie en™ore X environ 2000 exer™i™esF ves (™hiers sour™es sont dispoE eni˜les en v „ ˆD et ré™upér—˜les à l9—dresse suiv—nte X i http XGGwwwEg—tFunivElilleIFfrG ∼˜odinGƒur ™e siteD une p—ge permet de ré™upérer les exer™i™es qui vous intéressent en s—isiss—nt leurnuméroF gert—ins exer™i™es sont ™orrigés @environ 15%AD ™epend—nt —(n des s—uver quelques—r˜res les ™orre™tions ne sont p—s in™luses d—ns ™ette version p—pierF fien sûr lorsque vous ré™uEpérez des exer™i™es pour f—ire une feuille de td les ™orre™tions exist—ntes sont —utom—tiquement—joutées en (n de feuilleF†ous pouvez ™ontri˜uer à ™e re™ueil en m9envoy—nt vos (™hiers X ern—udFfodind—g—tFunivElilleIFfrhon™ n9hésitez p—s à t—per vos feuilles et ™orre™tionsD ™e ser— f—it une fois pour toutes et pourtous 3 ern—ud fodin
  5. 5. www.tifawt.com
  6. 6. www.tifawt.comƒomm—ires evqÈf‚i I II xom˜res ™omplexes IP vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IQQ snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PPR ‚el—tion d9équiv—len™eD rel—tion d9ordre PSS hénom˜rement PTT erithmétique d—ns Z QHU €olynômes RPV pr—™tions r—tionnelles SHss exev‰ƒi I SPW €ropriétés de R SPIH ƒuites SVII vimites de fon™tions UHIP gontinuité et étude de fon™tions UTIQ hériv—˜ilité VPIR pon™tions ™ir™ul—ires et hyper˜oliques inverses VUIS g—l™uls d9intégr—les WHIT Équ—tions diérentielles IHPsss evqÈf‚i P IHUIU isp—™es ve™toriels IHUIV eppli™—tions liné—ires IIPIW isp—™es ve™toriels de dimension (nie IPHPH w—tri™es IPUPI hétermin—ntsD systèmes liné—ires IQUs† exev‰ƒi P ISQPP ƒuites X ™ompléments ISQPQ gontinuité et ™omp—r—ison de fon™tions ISSPR hériv—˜ilité X ™ompléments ISUPS héveloppements limités ISW
  7. 7. www.tifawt.comPT sntégr—les @™omplémentsAD intégr—les impropres ITS† evqÈf‚i Q IUHPU qroupes X génér—lités IUHPV enne—ux et ™orps IUTPW qroupes (nis IVHQH qroupes quotients IVUQI isp—™es eu™lidiens IWHQP indomorphismes p—rti™uliers IWWQQ €olynômes d9endomorphismes PIHQR ‚édu™tion d9endomorphismes X di—gon—lis—tion PIPQS ‚édu™tion d9endomorphismes X —utres rédu™tions PPU†s exev‰ƒi Q PQVQT pon™tions ™onvexes PQVQU xotions de topologie PQWQV pon™tions de deux v—ri—˜les PRSQW isp—™es métriques et esp—™es ve™toriels normés PSURH ƒuites d—ns Rn PTSRI sntégr—les multiples PTTRP ƒéries numériquesD séries de pourier PTV†ss qÉywɄ‚si PURRQ qéométrie —0ne PURRR ssométries ve™torielles PUURS qéométrie —0ne eu™lidienne PUVRT gour˜es p—r—métrées PVWRU €ropriétés métriques des ™our˜es pl—nes PWHRV goniques PWIRW en—lyse ve™torielle PWI†sss gy‚‚ig„syxƒ PWQ
  8. 8. www.tifawt.comsˆ gw et py‚w…ves‚iƒ QUI
  9. 9. I xom˜res ™omplexes I www.tifawt.com€remière p—rtieevqÈf‚i I I xom˜res ™omplexes IFI porme ™—rtésienneD forme pol—ireixer™i™e I wettre sous l— forme a + ib @a, b ∈ RA les nom˜res X 2 3 + 6i 1+i 3 + 6i 2 + 5i 2 − 5i ; + ; + . 3 − 4i 2−i 3 − 4i 1−i 1+i‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e P ərire les nom˜res ™omplexes suiv—nts sous l— forme a + ib @a, b ∈ RA X √ 3 5 + 2i 1 3 (1 + i)9 ; − +i ; . 1 − 2i 2 2 (1 − i)7ixer™i™e Q ərire sous l— forme a + ib les nom˜res ™omplexes suiv—nts X IF xom˜re de module 2 et d9—rgument π/3F PF xom˜re de module 3 et d9—rgument −π/8F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e R €l—™er d—ns le pl—n ™—rtésienD les points d9—0xes suiv—ntes X z1 = i, z2 = 1 + i, z3 = −2 +ixer™i™e S wettre ™h—™un des nom˜res ™omplexes suiv—nts sous l— forme a + ib, a ∈ R etb ∈ R. −2 1 1 + 2i 2 + 5i 2 − 5i √ D D , + . 1 − i 3 (1 + 2i)(3 − i) 1 − 2i 1 − i 1+iixer™i™e T IF wettre sous forme trigonométrique les nom˜res ™omplexes suiv—nts X √ 4 z1 = 3 + 3iD z2 = −1 − 3iD z3 = − iD z4 = −2D z5 = eiθ + e2iθ . √ 3 PF g—l™uler ( 1+i 3 )2000 Fixer™i™e U 2 ie™tuer les ™—l™uls suiv—nts X IF (3 + 2i)(1 − 3i)F PF €roduit du nom˜re ™omplexe de module 2 et d9—rgument π/3 p—r le nom˜re ™omplexe de module 3 et d9—rgument −5π/6F 3+2i QF F 1−3i RF uotient du nom˜re ™omplexe de module 2 et d9—rgument π/3 p—r le nom˜re ™omplexe de module 3 et d9—rgument −5π/6F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e V g—l™uler le module et l9—rgument des nom˜res ™omplexes suiv—ntsD —insi que deleurs ™onjugués X √ IF 1 + i(1 + 2)F √ √ PF 10 + 2 5 + i(1 − 5)F
  10. 10. I xom˜res ™omplexes P www.tifawt.com tan ϕ−i QF tan ϕ+i où ϕ est un —ngle donnéF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e W ‚eprésenter sous forme trigonométrique les nom˜res X √ √ √ 1+i 3 1+i ; 1+i 3 ; 3+i ; √ . 3−iixer™i™e IH Ét—˜lir les ég—lités suiv—ntes X √ 1−i 3 √ IF (cos(π/7) + i sin(π/7))( )(1 + i) = 2(cos(5π/84) + i sin(5π/84)), 2 √ √ PF (1 − i)(cos(π/5) + i sin(π/5))( 3 − i) = 2 2(cos(13π/60) + i sin(13π/60)), √ √ 2(cos(π/12)+i sin(π/12)) 3−i QF 1+i = 2 .‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e II g—l™uler le module et l9—rgument de u u = √ 2 √ 6−i 2 et v = 1 − iF in déduire lemodule et l9—rgument de w = F v‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IP ərire sous l— forme p—rtie réelleEp—rtie im—gin—ireD puis sous l— forme moduleE—rgument le nom˜re ™omplexe X √ 2 1 + i − 3(1 − i) . 1+iixer™i™e IQ héterminer le module et l9—rgument des nom˜res ™omplexes X iα ee et eiθ + e2iθ .‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IR héterminer le module et l9—rgument de 1+i 1−i F g—l™uler ( 1+i )32 F 1−i‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IS g—l™uler √ Z = (1 + i 3)2000 Fixer™i™e IT g—l™uler √ √ (1 + i 3)5 + (1 − i 3)5 et √ √ (1 + i 3)5 − (1 − i 3)5 Fixer™i™e IU g—l™uler le module et l9—rgument de z= 1 Fixer™i™e IV 1+i tan α g—l™uler les puiss—n™es nEièmes des nom˜res ™omplexes X √ 1+i 3 1 + i tan θ z1 = ; z2 = 1 + j ; z3 = . 1+i 1 − i tan θixer™i™e IW gomment ™hoisir l9entier n—turel √ n pour que ( 3+i)n soit un réel c un im—gin—ire cixer™i™e PH ƒoit z un nom˜re ™omplexe de module ρD d9—rgument θD et soit z son ™onjuguéFg—l™uler (z + z)(z 2 + z 2 ) . . . (z n + z n ) en fon™tion de ρ et θF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e PI @p—rtiel novem˜re VVA iα iβ ƒoient α et β deux nom˜res réelsF wettre le nom˜re iγ α+β™omplexe z = e +e sous forme trigonométrique z = ρe @indi™—tion X poser u = D 2 α−βv = 2 AFin déduire l— v—leur de n p Cn cos[pα + (n − p)β]. p=0‘ixer™i™e ™orrigé“
  11. 11. I xom˜res ™omplexes Q www.tifawt.comixer™i™e PP ərire l9expression (1 + cos φ + i sin φ) sous forme trigonométriqueF in déduirel9expression de (1 + cos φ + i sin φ)n .ixer™i™e PQ wettre sous forme trigonométrique 1 + eiθ où θ ∈] − π, π[F honner une interpréEt—tion géométriqueF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e PR wontrer que si |z| k 1 —lors 1−k |1 + z| 1 + kF p—ire un dessin etmontrer qu9il peut y —voir ég—litéFixer™i™e PS 2 wontrer —lgé˜riquement et géométriquement que si |z| = 1 —lors |1 + z| 1 ou|1 + z | 1 Fixer™i™e PT ‚ésoudre l9équ—tion exp(z) = √ 3 + 3iF IFP ‚—™ines ™—rréesD équ—tion du se™ond degréixer™i™e PU g—l™uler les r—™ines ™—rrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24iF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e PV „rouver les r—™ines ™—rrées de 3 − 4i et de 24 − 10iF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e PW IF g—l™uler les r—™ines ™—rrées de 1+i √ F in déduire les v—leurs de 2 cos(π/8) et sin(π/8)F PF g—l™uler les v—leurs de cos(π/12) et sin(π/12)F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e QH wontrer que les solutions de az 2 + bz + c = 0 —ve™ aD bD c réelsD sont réelles ou™onjuguéesF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e QI ‚ésoudre d—ns C les équ—tions suiv—ntes X √ z2 + z + 1 = 0 ; z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 ; z2 − 3z − i = 0 ; z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ; z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 ; 4z 2 − 2z + 1 = 0 ; z 4 + 10z 2 + 169 = 0 ; z 4 + 2z 2 + 4 = 0.‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e QP „rouver les r—™ines ™omplexes de l9équ—tion suiv—nte X x4 − 30x2 + 289 = 0.ixer™i™e QQ €our z ∈ C {2i}D on pose 2z − i f (z) = . z − 2i IF ‚ésoudre l9équ—tion z 2 = i, z ∈ C. PF ‚ésoudre l9équ—tion f (z) = z, z ∈ C {2i}.ixer™i™e QR yn note j=e3. 2π IF wettre j et j2 sous forme —lgé˜riqueF PF †éri(er que 1 + j + j 2 = 0F
  12. 12. I xom˜res ™omplexes R www.tifawt.com QF p—™toriser le polynôme z 3 − 8iFixer™i™e QS IF g—l™uler les r—™ines ™—rrées de 1 + iD 7 + 24iD iD 5 + 12iD √ √ 1+i 3 3+i F PF ‚ésoudre les équ—tions suiv—ntes X @—A z2 + z + 1 = 0 @˜A z2 + z − 2 = 0 @™A z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 @dA z 2 + 4z + 5 = 0 @eA z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 @f A z 4 − (1 − i)z 2 − i = 0 @gA z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z − 15 = 0ixer™i™e QT ‚ésoudre d—ns C les équ—tions suiv—ntes X IF z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0F PF z 3 + 3z − 2i = 0F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e QU yn ™onsidère d—ns C l9équ—tion (E) suiv—nte X z 2 − (1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0,où a est un p—r—mètre réelF IF g—l™uler en fon™tion de a ∈ R les solutions z1 et z2 de (E) @indi™—tion X on pourr— déterminer les r—™ines ™—rées ™omplexes de −2i(1 − a)2 AF PF yn désigne p—r Z1 @respF Z2 A les points du pl—n ™omplexe d9—0xe z1 @respF z2 A et p—r M le milieu de [Z1 , Z2 ]F „r—™er l— ™our˜e du pl—n ™omplexe dé™rite p—r M lorsque a v—rie d—ns RFixer™i™e QV IF €our α ∈ RD résoudre d—ns C l9équ—tion z 2 − 2 cos(α)z + 1 = 0. in déduire l— forme trigonométrique des solutions de l9équ—tion X z 2n − 2 cos(α)z n + 1 = 0, où n est un entier n—turel non nulF Pα (z) = z 2n − 2 cos(α)z n + 1. @—A tusti(er l— f—™toris—tion suiv—nte de Pα X α α 2π α 2(n − 1)π Pα (z) = z 2 − 2 cos +1 z 2 − 2 cos + + 1 . . . z 2 − 2 cos + n n n n n @˜A €rouverD à l9—ide des nom˜res ™omplexes p—r exempleD l— formule suiv—nte X θ 1 − cos θ = 2 sin2 , θ ∈ R. 2 @™A g—l™uler Pα (1)F in déduire 2 α α π α (n − 1)π sin2 α sin sin2 + . . . sin2 + = 2 . 2n 2n n 2n n 4n−1
  13. 13. I xom˜res ™omplexes S www.tifawt.com PF €our tout α —pp—rten—nt à ]0, π[D et pour tout entier n—turel n 2D on pose X α π α 2π α (n − 1)π Hn (α) = sin + sin + . . . sin + . 2n 2n 2n n 2n n @—A wontrer queD pour tout α non nulD on — X sin(α/2) 2n−1 Hn (α) = . sin(α/2n) @˜A uelle est l— limite de Hn (α) lorsque α tend vers 0c @™A in déduire queD pour tout entier n—turel n supérieur ou ég—l à 2D on — π 2π (n − 1)π n sin sin . . . sin = . n n n 2n−1 IFQ ‚—™ine nEièmeixer™i™e QW IF €our quelles v—leurs de z ∈ C —EtEon |1 + iz| = |1 − iz|. 1+iz n yn ™onsidère d—ns C l9équ—tion 1−iz = 1+ia , où a ∈ R. wontrerD s—ns les ™—l™ulerD que 1−ia les solutions de ™ette équ—tion sont réellesF „rouver —lors les solutionsF √ 3+i g—l™uler les r—™ines ™u˜iques de √ Fixer™i™e RH 3−i €our tout nom˜re ™omplexe ZD on pose P (Z) = Z 4 − 1F IF p—™toriser P (Z) et en déduire les solutions d—ns C de l9équ—tion P (Z) = 0F PF héduire de IF les solutions de l9équ—tion d9in™onnue z X ((2z + 1)/(z − 1))4 = 1ixer™i™e RI ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion suiv—nte X √ z 4 = (1 − i) / 1 + i 3 .ixer™i™e RP ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion 1 z 3 = 4 (−1 + i) et montrer qu9une seule de ses soluEtions — une puiss—n™e qu—trième réelleF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e RQ „rouver les r—™ines ™u˜iques de 2 − 2i et de 11 + 2iF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e RR √ 1+i 3 π g—l™uler √ 2 2(1+i) —lgé˜riquementD puis trigonométriquementF in déduire cos 12 D 2sin 12 D tan 12 D tan 5π F π π 12 ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion z 24 = 1F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e RS „rouver les r—™ines qu—trièmes de 81 et de −81F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e RT IF wontrer queD pour tout n ∈ N∗ et tout nom˜re z ∈ CD on — X (z − 1) 1 + z + z 2 + ... + z n−1 = z n − 1, et en déduire queD si z = 1D on — X zn − 1 1 + z + z 2 + ... + z n−1 = . z−1
  14. 14. I xom˜res ™omplexes T www.tifawt.com ix x PF †éri(er que pour tout x∈R D on — exp(ix) − 1 = 2i exp 2 sin 2 . ∗ QF ƒoit n∈N F g—l™uler pour tout x ∈ R l— somme X Zn = 1 + exp(ix) + exp(2ix) + ... + exp((n − 1)ix), et en déduire les v—leurs de Xn = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos((n − 1)x) Yn = sin(x) + sin(2x) + ... + sin((n − 1)x).‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e RU g—l™uler l— somme Sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e RV IF ‚ésoudre z3 = 1 et montrer que les r—™ines s9é™rivent 1D j D j 2 F g—l™uler 1+j+ j et en déduire les r—™ines de 1 + z + z 2 = 0F 2 PF ‚ésoudre z n = 1 et montrer que les r—™ines s9é™rivent 1, ε, . . . , εn−1 F in déduire les r—™ines de 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0F g—l™ulerD pour p ∈ ND 1 + εp + ε2p + · · · + ε(n−1)p F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e RW ‚ésoudre d—ns C X IF z5 = 1F PF z5 = 1 − iF QF z3 = −2 + 2iF RF z5 = z. ¯ixer™i™e SH IF g—l™uler les r—™ines nEièmes de −i et de 1 + iF PF ‚ésoudre z 2 − z + 1 − i = 0F 2n QF in déduire les r—™ines de z − z n + 1 − i = 0Fixer™i™e SI ƒoit ε une r—™ine nEième de l9unité Y ™—l™uler S = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 .ixer™i™e SP ‚ésoudreD d—ns CD l9équ—tion (z + 1)n = (z − 1)n Fixer™i™e SQ ‚ésoudreD d—ns CD l9équ—tion zn = z où n 1Fixer™i™e SR ‚ésoudre les équ—tions suiv—ntes X √ 1+i 3 1−i z6 = √ ; z4 = √ . 1−i 3 1+i 3ixer™i™e SS ‚ésoudre 6 z + 27 = 0 z ∈ C F @ Aixer™i™e ST @p—rtiel novem˜re WIA IF ƒoient z1 D z2 D z3 trois nom˜res ™omplexes distin™ts —y—nt le même ™u˜eF ixprimer z2 et z3 en fon™tion de z1 F PF honnerD sous forme pol—ireD les solutions d—ns C de X z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0. @sndi™—tion X poser Z = z3 Y ™—l™uler (9 + i)2 A‘ixer™i™e ™orrigé“
  15. 15. I xom˜res ™omplexes U www.tifawt.comixer™i™e SU ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion 27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0Fixer™i™e SV héterminer les r—™ines qu—trièmes de −7 − 24iFixer™i™e SW ƒoit β∈C tel que β7 = 1 et β = 1F wontrer β β2 β3 + + = −2 1 + β2 1 + β4 1 + β6 IFR qéométrieixer™i™e TH héterminer l9ensem˜le des nom˜res ™omplexes z tels que X z−3 IF = 1, z−5 √ z−3 2 PF = . z−5 2‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e TI IF ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion @IA (z − 2)/(z − 1) = i. yn donner— l— solution sous forme —lgé˜riqueF PF ƒoit M, A, et B les points d9—0xes respe™tives z, 1, 2F yn suppose que M = A et que M = B F snterpréter géométriquement le module et un —rgument de (z − 2)/(z − 1) et retrouver l— solution de l9équ—tion @IAFixer™i™e TP ve pl—n P est r—pporté à un repère orthonormé et identi(é à l9ensem˜le C desnom˜res ™omplexes p—r M (x, y) → x + iy = z,où z est —ppelé l9—0xe de M. ƒoit f : P rg P qui à tout point M d9—0xe z —sso™ie M d9—0xe z−iz = z+i . IF ƒur quel sous ensem˜le de PD f estEelle dé(nie c PF g—l™uler |z | pour z —0xe d9un point M situé d—ns le demi pl—n ouvert H := {M (x, y) ∈ P | y 0.}? QF in déduire l9im—ge p—r f de H.ixer™i™e TQ ve pl—n P est r—pporté à un repère orthonormé et on identi(e P à l9ensem˜le desnom˜res ™omplexes C p—r M (x, y) → x + iy = z,où z est —ppelé l9—0xe de M. ƒoit g : P rg P qui à tout point M d9(xe z = −1 —sso™ie g(M ) 1−zd9—0xe z = F 1+z IF g—l™uler ¯ z +z pour |z| = 1F PF in déduire l9im—ge du ™er™le de r—yon 1 de ™entre 0 privé du point de ™oordonnées (−1, 0) p—r l9—ppli™—tion g.ixer™i™e TR ƒoit C l— ™our˜e d9équ—tion x2 − xy + y 2 = 0 d—ns le pl—n P r—pporté à un repèreorthonorméF
  16. 16. I xom˜res ™omplexes V www.tifawt.com IF v— ™our˜e C —EtEelle des points d9interse™tion —ve™ le re™t—ngle ouvert R dont les sommets sont X A = (−3, 2) B = (4, 2) C = (4, −1) D = (−3, −1). PF wême question pour le re™t—ngle fermé R de sommets X A = (−1, 4) B = (2, 4) C = (2, 1) D = (−1, 1).ixer™i™e TS z−3 héterminer p—r le ™—l™ul et géométriquement les nom˜res ™omplexes z−a z tels que z−5 = 1F qénér—liser pour z−b = 1F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e TT z−3 héterminer p—r le ™—l™ul et géométriquement les nom˜res ™omplexes z−a z tels que z−5 = k @k 0D k = 1AF qénér—liser pour z−b = kF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e TU IF ƒoit AD B D C trois points du pl—n ™omplexe dont les —0xes sont respe™tiveE ment aD bD cF yn suppose que a+jb+j 2 c = 0 Y montrer que ABC est un tri—ngle équil—tér—l √ @j et j 2 sont les r—™ines ™u˜iques ™omplexes de 1 plus pré™isément j = −1+i 3 AF ‚é™iE 2 proque c PF ABC ét—nt un tri—ngle équil—tér—l dire™t du pl—n ™omplexeD on ™onstruit les tri—ngles équil—tér—ux dire™ts BOD et OCE D ™e qui détermine les points D et E @O est l9origine du pl—n ™omplexeAF uelle est l— n—ture du qu—dril—tère ADOE c gomp—rer les tri—ngles OBC D DBA et EAC F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e TV ƒoit H une hyper˜ole équil—tère de ™entre OD et M un point de HF wontrer quele ™er™le de ™entre M qui p—sse p—r le symétrique de M p—r r—pport à O re™oupe H en troispoints qui sont les sommets d9un tri—ngle équil—tér—lFsndi™—tions X en ™hoisiss—nt un repère —déqu—tD H — une équ—tion du type xy = 1D —utrement 2dit en identi(—nt le pl—n de H ¯2 —u pl—n ™omplexeD z − z = 4iF in not—nt a l9—0xe de M D le™er™le — pour équ—tion |z − a|2 = 4a¯F a yn pose ¯ Z = z − a et on élimine Z entre les équ—tionsdu ™er™le et de l9hyper˜oleF in divis—nt p—r Z + 2a pour éliminer l— solution déjà ™onnue du 3symétrique de M D on o˜tient une équ—tion du type Z − A = 0Fixer™i™e TW wontrer que pour u, v ∈ CD on — |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ).‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e UH ƒoient z, z ∈ C tels que erg (z) − erg(z ) = π 2 F IF wontrer que zz + zz = 0F PF wontrer que |z + z |2 = |z − z |2 = |z|2 + |z |2 F
  17. 17. I xom˜res ™omplexes W www.tifawt.comixer™i™e UI IF héterminer l9ensem˜le des points M du pl—n ™omplexeD d9—0xe z tels que X z(z − 1) = z 2 (z − 1)F PF héterminer l9ensem˜le des points M du pl—n ™omplexeD d9—0xe z tels que les im—ges de 1D z D 1 + z 2 soient —lignéesFixer™i™e UP ƒoit s = (1 − z)(1 − iz)F IF héterminer l9ensem˜le des im—ges des nom˜res ™omplexes z tel que s soit réelF PF héterminer l9ensem˜le des im—ges des nom˜res ™omplexes z tel que s soit im—gin—ire purFixer™i™e UQ IF ƒoit A un point du pl—n d9—0xe α = a 2 + ibF héterminer l9ensem˜le des points M du pl—n dont l9—0xe z véri(e |z| = α¯ + αz. z ¯ z1 PF uelles ™onditions doivent véri(er les points M1 et M2 d9—0xes z1 et z2 pour que z2 soit réel c QF héterminer les nom˜res ™omplexes z tels que les points du pl—n ™omplexe d9—0xes z, iz, i forment un tri—ngle équil—tér—lF z−1 RF ƒoit z = a + ibD mettre l9expression z+1 sous forme A + iB D F héterminer l9ensem˜le des z−1 π points du pl—n ™omplexe d9—0xe z telle que l9—rgument de soit Fixer™i™e UR z+1 2 héterminer les nom˜res ™omplexes z tels que le tri—ngle —y—nt pour sommets les 2 3points d9—0xes z, z , z soit re™t—ngle —u point d9—0xe z Fixer™i™e US héterminer les nom˜res ™omplexes z ∈ C∗ tels que les points d9—0xes 1 z, z et(1 − z) soient sur un même ™er™le de ™entre yFixer™i™e UT ‚ésoudre d—ns C le système X |z − 1| 1, |z + 1| 1.ixer™i™e UU @gomment ™onstruire un pent—gone réguliercA (A0 , A1 , A2 , A3 , A4 ) un ƒoitpent—gone régulierF yn note O son ™entre et on ™hoisit un repère orthonorm9e (O, − , − ) —ve™ → → u v→ −→u −− = OA0 D qui nous permet d9identi(er le pl—n —ve™ l9ensem˜le des nom˜res ™omplexes CF IF honner les —0xes ω0 , . . . , ω4 des points A0 , . . . , A4 F wontrer que ωk = ω1 k pour k ∈ 2 3 4 {0, 1, 2, 3, 4}F wontrer que 1 + ω1 + ω1 + ω1 + ω1 = 0F PF in déduire que cos( 2π ) 5 est l9une des solutions de l9équ—tion 4z 2 + 2z − 1 = 0F in déduire l— v—leur de cos( 2π )F 5 π QF yn ™onsidère le point d9—0xe −1F g—l™uler l— longueur BA2 en fon™tion de sin B puis √ π 2π 10 de 5 @on rem—rquer— que sin 10 = cos 5 AF i 1 RF yn ™onsidère le point I d9—0xe D le ™er™le C de ™entre I de r—yon et en(n le point 2 2 J d9interse™tion de C —ve™ l— demiEdroite [BI)F g—l™uler l— longueur BI puis l— longueur BJ F SF eppli™—tion X hessiner un pent—gone régulier à l— règle et —u ™omp—sF ixpliquerF‘ixer™i™e ™orrigé“
  18. 18. I xom˜res ™omplexes IH www.tifawt.com IFS „rigonométrieixer™i™e UV yn r—ppelle l— formule @ θ ∈ RA X eiθ = cos θ + i sin θ. IF it—˜lir les formules d9iuler @ θ ∈ RA X eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ cos θ = et sin θ = . 2 2i PF in utilis—nt les formules d9iulerD liné—riser @ou tr—nsformer de produit en sommeA @ a, b ∈ RA X 2 cos a cos b ; 2 sin a sin b ; cos2 a ; sin2 a. QF e l9—ide de l— formule X eix eiy = ei(x+y) @x, y ∈ RAD retrouver ™elles pour sin(x + y)D cos(x + y) et tan(x + y) en fon™tion de sinusD ™osinus et t—ngente de x ou de y Y en déduire les formules de ™—l™ul pour sin(2x)D cos(2x) et tan(2x) @x, y ∈ RAF x RF g—l™uler cos x et sin x en fon™tion de tan @x = π + 2kπ , k ∈ ZAF 2 SF it—˜lir l— formule de woivre @ θ ∈ RA X (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). TF in utilis—nt l— formule de woivreD ™—l™uler cos(3x) et sin(3x) en fon™tion de sin x et cos xFixer™i™e UW IF g—l™uler cos 5θ D cos 8θ D sin 6θ D sin 9θ D en fon™tion des lignes trigonométriques de l9—ngle θF 3 4 5 6 PF g—l™uler sin θ D sin θ D cos θ D cos θ D à l9—ide des lignes trigonométriques des multiples entiers de θ Fixer™i™e VH in utilis—nt les nom˜res ™omplexesD ™—l™uler cos 5θ et sin 5θ en fon™tion de cos θet sin θF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e VI IF ƒoit θ ∈ RF e l9—ide de l— formule de woivre exprimer en fon™tion de cos θ et de sin θ X @—A cos(2θ) et sin(2θ)F @˜A cos(3θ) et sin(3θ)F in déduire une équ—tion du troisième degré —dmett—nt pour soE π lution cos( ) et l— résoudreF 3 PF viné—riser les polynomes trigonométriques suiv—nts X 1 + cos2 xD cos3 x + 2 sin2 xFixer™i™e VP (cos 5x)(sin 3x) ixprimer en fon™tion de sin x et cos xFixer™i™e VQ x ƒoit un nom˜re réelF yn note C = 1+cos x+cos 2x+. . .+cos nx n = n k=0 cos kxDetS = sin x + sin 2x + . . . + sin nx = k=0 sin kxF g—l™uler C et S Fixer™i™e VR ‚ésoudre d—ns R les équ—tions X 1 1 sin x = , cos x = − , tan x = −1, 2 2et pl—™er sur le ™er™le trigonométrique les im—ges des solutions Y résoudre d—ns R l9équ—tion 2π cos(5x) = cos −x . 3
  19. 19. I xom˜res ™omplexes II www.tifawt.comixer™i™e VS g—l™uler sin(25π/3), cos(19π/4), tan(37π/6).ixer™i™e VT ‚ésoudre l9équ—tion X 2 sin2 x−3 sin x−2 = 0D puis l9inéqu—tion X 2 sin2 x−3 sin x−20 Fixer™i™e VU itudier le signe de l— fon™tion donnée p—r f (x) = cos 3x + cos 5x.ixer™i™e VV ƒimpli(erD suiv—nt l— v—leur de √ x ∈ [−π, π]D l9expression 1 + cos x + | sin x/2|Fixer™i™e VW ‚ésoudre d—ns R les équ—tions suiv—ntes X @donner les v—leurs des solutions —pEp—rten—nt à ]−π, π] et les pl—™er sur le ™er™le trigonométriqueAF 2π IF sin (5x) = sin 3 +x D π x PF sin 2x − 3 = cos 3 D QF cos (3x) = sin (x)F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e WH e quelle ™ondition sur le réel m l9équ—tion √ √ 3 cos(x) + sin(x) = m —EtEelle unesolution réelle c ‚ésoudre ™ette équ—tion pour m = 2F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e WI ‚ésoudre d—ns R les inéqu—tions suiv—ntes X cos(5x) + cos(3x) cos(x) 2 cos2 (x) − 9 cos(x) + 4 0.‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e WP ‚ésoudre d—ns R les équ—tions suiv—ntes X IF cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x)F PF cos4 (x) − sin4 (x) = 1F‘ixer™i™e ™orrigé“ IFT hiversixer™i™e WQ1+ir wontrer que tout nom˜re ™omplexe z non réel de module 1 peut se mettre sousl— forme D où r ∈ RFixer™i™e WR 1−ir ƒoit uD v des nom˜res ™omplexes non réels tels que |u| = |v| = 1 et uv = −1F u+vwontrer que est réelFixer™i™e WS 1+uv g—l™uler les sommes suiv—ntes X n n k cos(kx) ; Cn cos(kx). k=0 k=0ixer™i™e WT @intiers de q—ussA ƒoit Z[i] = {a + ib ; a, b ∈ Z}F IF wontrer que si α et β sont d—ns Z[i] —lors α+β et αβ le sont —ussiF PF „rouver les élements inversi˜les de Z[i]D ™9estEàEdire les éléments α ∈ Z[i] tels qu9il existe β ∈ Z[i] —ve™ αβ = 1F QF †éri(er que quel que soit ω∈C il existe z ∈ Z[i] tel que |ω − z| 1F
  20. 20. I xom˜res ™omplexes IP www.tifawt.com RF wontrer qu9il existe sur Z[i] une division eu™lidienneD ™9estEàEdire queD quels que soient α et β d—ns Z[i] il existe q et r d—ns Z[i] véri(—nt X α = βq + r —ve™ |r| |β|. α @sndi™—tion X on pourr— ™onsidérer le ™omplexe A β‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e WU wontrer que ∀z ∈ C | (z)| + | (z)| √ 2 |z| | (z)| + | (z)|F Étudier les ™—sd9ég—litéFixer™i™e WV ƒoit (a, b, c, d) ∈ R4 tel que ad − bc = 1 et c = 0F wontrer que si z=− d c —lors az + b (z) ( )= F cz + d |(cz + d)|2ixer™i™e WW ue dire de trois ™omplexes aD bD c non nuls tels que |a + b + c| = |a| + |b| + |c|Fixer™i™e IHH IF Étudier l— suite (zn )n∈N dé(nie p—r X z0 = 4, zn+1 = f (zn ) où f est l9—ppli™—tion de C sur luiEmême dé(nie p—r X 1 √ ∀z ∈ C, f (z) = i + (1 − i 3)z. 4 sndi™—tion X on ™ommen™er— p—r re™her™her les ™oordonnées ™—rtésiennes de l9unique point α tel que f (α) = αD puis on s9intéresser— à l— suite (xn )n∈N dé(nie p—r X ∀n ∈ N, xn = zn − α. PF yn pose ∀n ∈ N, ln = |zn+1 − zn |F g—l™uler n lim lk n→∞ k=0 et interpréter géométriquementFixer™i™e IHI @ix—men o™to˜re IWWWA yn dé(nit une fon™tion f de C − {i} d—ns C − {1}en pos—nt z+i .f (z) = z−i IF yn suppose z réelF uel est le module de f (z) c PF „rouver les nom˜res ™omplexes z tels que f (z) = z Fixer™i™e IHP @ix—men novem˜re PHHIA1+z ƒoit f l— fon™tion de C d—ns C dé(nie p—r f (z) = F1−z IF g—l™uler les points (xes de l— fon™tion fD ™9est à dire les nom˜res ™omplexes z tels que f (z) = z F PF héterminer les nom˜res ™omplexes z pour lesquels f (z) est réelFixer™i™e IHQ IF wontrer que si x + y + z = aD yz + zx + xy = bD xyz = cD —lors xD y et z sont solutions de l9équ—tion Z 3 − aZ 2 + bZ − c = 0F „rouver xD y et z si on suppose a = b = 0 et c = −8F PF ‚ésoudre le système   x+y+z = 4 x + y2 + z2 = 4 2  3 x + y3 + z3 = 1‘ixer™i™e ™orrigé“
  21. 21. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IQ www.tifawt.com P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements PFI vogiqueixer™i™e IHR ƒoient R et S des rel—tionsF honner l— nég—tion de R ⇒ SFixer™i™e IHS hémontrer que (1 = 2) ⇒ (2 = 3)F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IHT ƒoient les qu—tre —ssertions suiv—ntes X (a) ∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y 0 ; (b) ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y 0 ; (c) ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y 0 ; (d) ∃x ∈ R ∀y ∈ R y 2 x. IF ves —ssertions aD bD cD d sontEelles vr—ies ou f—usses c PF honner leur nég—tionF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IHU ƒoit f une —ppli™—tion de R d—ns RF xierD de l— m—nière l— plus pré™ise possi˜leDles énon™és qui suivent X IF €our tout x ∈ R f (x) 1F PF v9—ppli™—tion f est ™roiss—nteF QF v9—ppli™—tion f est ™roiss—nte et positiveF RF sl existe x ∈ R+ tel que f (x) 0Fyn ne dem—nde p—s de démontrer quoi que ™e soitD juste d9é™rire le ™ontr—ire d9un énon™éF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IHV gompléter les pointillés p—r le ™onne™teur logique qui s9impose X ⇔, ⇐, ⇒ . 2 IF x ∈ R x = 4 ...... x = 2Y PF z ∈ C z = z ...... z ∈ RY QF x ∈ R x = π . . . . . . e2ix = 1F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IHW 2 h—ns R2 D on dé(nit les ensem˜les F1 = {(x, y) ∈ R2 , y 0} et F2 = {(x, y) ∈R , xy 1, x 0}F Év—luer les propositions suiv—ntes X −− −→ IF ∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 / ||M1 M2 || ε −− −→ PF ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 / ∀ε ∈]0, +∞[ ||M1 M2 || ε −− −→ QF ∃ε ∈]0, +∞[ / ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 ||M1 M2 || ε −− −→ RF ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 ∃ε ∈]0, +∞[ / ||M1 M2 || εu—nd elles sont f—ussesD donner leur nég—tionF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IIH xier l— proposition X tous les h—˜it—nts de l— rue du r—vre qui ont les yeux˜leus g—gneront —u loto et prendront leur retr—ite —v—nt SH —nsF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e III ərire l— nég—tion des —ssertions suiv—ntes où P, Q, R, S sont des propositionsF IF P ⇒ QD PF P et non QD
  22. 22. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IR www.tifawt.com QF P et @ Q et RAD RF P ou @Q et RAD SF @P et QA ⇒ (R ⇒ S)F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IIP xier les —ssertions suiv—ntes X IF tout tri—ngle re™t—ngle possède un —ngle droit Y PF d—ns toutes les é™uriesD tous les ™hev—ux sont noirs Y QF pour tout entier xD il existe un entier y tel queD pour tout entier zD l— rel—tion z x implique le rel—tion z x + 1Y RF ∀ε 0 ∃α 0 / |x − 7/5| α ⇒ |5x − 7| εF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IIQ @ve missionn—ire et les ™—nni˜—lesA ves ™—nni˜—les d9une tri˜u se prép—rentà m—nger un missionn—ireF hésir—nt lui prouver une dernière fois leur respe™t de l— dignité et del— li˜erté hum—ineD les ™—nni˜—les proposent —u missionn—ire de dé™ider luiEmême de son sorten f—is—nt une ™ourte dé™l—r—tion X si ™elleE™i est vr—ieD le missionn—ire ser— rôtiD et il ser— ˜ouillid—ns le ™—s ™ontr—ireF ue doit dire le missionn—ire pour s—uver s— vie c @d9—près gerv—ntèsAixer™i™e IIR v— proposition P ∧Q (¬P ) ∨ Q estEelle vr—ie cixer™i™e IIS yn suppose que l— proposition P est vr—ie —insi que les propositions suiv—ntes X IF (¬Q) ∧ P ¬S F PF S (¬P ) ∨ QF QF P R ∨ SF RF S∧Q ¬P F SF R ∧ ¬(S ∨ Q) TF TF R (¬P ) ∨ (¬Q)Fv— proposition T estEelle vr—ie cixer™i™e IIT i™rire l— nég—tion des phr—ses suiv—ntes X IF (∀x)(∃n)/(x n)F PF (∃M )/(∀n)(|un | M )F QF (∀x)(∀y)(xy = yx)F RF (∀x)(∃y)/(yxy −1 = x)F SF (∀ε 0)(∃N ∈ N)/(∀n N )(|un | ε)F TF (∀x ∈ R)(∀ε 0)(∃α 0)/(∀f ∈ F)(∀y ∈ R)(|x − y| α |f (x) − f (y)| ε)Fixer™i™e IIU gomp—rer les diérentes phr—ses @sontEelles équiv—lentesD ™ontr—iresD quelles sont™elles qui impliquent les —utresFFFA IF (∀x)(∃y)/(x y)F PF (∀x)(∀y)(x y)F QF (∃x)(∃y)/(x y)F RF (∃x)/(∀y)(x y)F SF (∃x)/(∀y)(y x)F
  23. 23. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IS www.tifawt.com TF (∃x)(∃y)/(y x)F UF (∀x)(∃y)/(x = y)Fixer™i™e IIV P (x) ƒi est une proposition dépend—nt de x ∈ X D on note P = {x ∈ X/P (x) est vr—ie }F Pixprimer en fon™tion de et Q les ensem˜les ¬P , P ∧ Q, P ∨ Q, P Q, P ⇔ QFixer™i™e IIW wontrer que ∀ε 0 ∃N ∈ N tel que (n N 2−ε 2n+1 n+2 2 + εAF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IPH f, g ƒoit deux fon™tions de R d—ns RF „r—duire en termes de qu—nti(™—teurs lesexpressions suiv—ntes X IF f est m—jorée Y PF f est ˜ornée Y QF f est p—ire Y RF f est imp—ire Y SF f ne s9—nnule j—m—is Y TF f est périodique Y UF f est ™roiss—nte Y VF f est stri™tement dé™roiss—nte Y WF f n9est p—s l— fon™tion nulle Y IHF f n9— j—m—is les mêmes v—leurs en deux points dist™in™ts Y IIF f —tteint toutes les v—leurs de NY IPF f est inférieure à gY IQF f n9est p—s inférieure à gF‘ixer™i™e ™orrigé“ PFP insem˜lesixer™i™e IPI wontrer que ∅ ⊂ XD pour tout ensem˜le XFixer™i™e IPP wontrer p—r ™ontr—position les —ssertions suiv—ntesD E ét—nt un ensem˜le X IF ∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B D PF ∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IPQ ƒoit A, B deux ensem˜lesD montrer (A ∪ B) = A ∩ B et (A ∩ B) = A ∪ B F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IPR E et F deux ensem˜lesD f : E → F F ƒoient hémontrer que X∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B))D∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)D∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)D∀A, B ∈ P(F ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)D∀A ∈ P(F ) f −1 (F A) = E f −1 (A)F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IPS A et B ét—nt des p—rties d9un ensem˜le ED démontrer les lois de worg—n X A ∪ B = (A ∩ B) et A ∩ B = (A ∪ B).
  24. 24. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IT www.tifawt.comixer™i™e IPT hémontrer les rel—tions suiv—ntes X A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).ixer™i™e IPU wontrer que si F et G sont des sousEensem˜les de E X (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = G) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = E).in déduire que X (F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = F ) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = ∅).ixer™i™e IPV E F ƒoit A⊂E et B⊂F des ensem˜lesF ƒi et montrer que A × B ⊂ E × FFixer™i™e IPW A = {a , a , a , a } B = {b , b , b , b , b } ƒoit 1 2 3 4 et 1 2 3 4 5 F ərire le produit ™—rtésienA×B A×B F uel est le nom˜re de p—rties de cixer™i™e IQH E ƒoit n un ensem˜le à p élémentsF uel est le nom˜re d9éléments de Ep c uel Eest le nom˜re de p—rties de cixer™i™e IQI x y z D D ét—nt des nom˜res réelsD résoudre le système X (x − 1)(y − 2)z = 0 (x − 2)(y − 3) = 0‚eprésenter gr—phiquement l9ensem˜le des solutionsFixer™i™e IQP ƒoit A une p—rtie de E D on —ppelle fon™tion ™—r—™téristique de A l9—ppli™—tion fde E d—ns l9ensem˜le à deux éléments {0, 1}D telle que X 0 si x∈A / f (x) = 1 si x∈Aƒoit A et B deux p—rties de ED f et g leurs fon™tions ™—r—™téristiquesF wontrer que les fon™tionssuiv—ntes sont les fon™tions ™—r—™téristiques d9ensem˜les que l9on déterminer— X IF 1 − fF PF f gF QF f + g − f gFixer™i™e IQQ ƒoit un ensem˜le E et deux p—rties A et B de E F yn désigne p—r A B l9ensem˜le(A ∪ B) (A ∩ B)F h—ns les questions ™iE—près il pourr— être ™ommode d9utiliser l— notion defon™tion ™—r—™téristiqueF IF hémontrer que A B = (A B) ∪ (B A)F PF hémontrer que pour toutes les p—rties AD B D C de E on — (A B) C = A (B C)F QF hémontrer qu9il existe une unique p—rtie X de E telle que pour toute p—rtie A de ED A X = X A = AF RF hémontrer que pour toute p—rtie A de ED il existe une p—rtie A de E et une seule telle que A A =A A = XFixer™i™e IQR IF ərire l9ensem˜le de dé(nition de ™h—™une des fon™tions numériques suiE √ 1 √ 1 v—ntes X x→ xD x → x−1 D x → x + x−1 F PF ƒimpli(er [1, 3] ∩ [2, 4] et [1, 3] ∪ [2, 4]F
  25. 25. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IU www.tifawt.com QF €our tout n ∈ ND on note nZ l9ensem˜le des entiers rel—tifs multiples de n X nZ = {np | p ∈ Z}F ƒimpli(er2Z ∩ 3ZFixer™i™e IQS yn dé(nit les ™inq ensem˜les suiv—nts X A1 = (x, y) ∈ R2 , x+y 1 A2 = (x, y) ∈ R2 , |x + y| 1 A3 = (x, y) ∈ R2 , |x| + |y| 1 A4 = (x, y) ∈ R2 , x + y −1 A5 = (x, y) ∈ R2 , |x − y| 1 IF ‚eprésenter ™es ™inq ensem˜lesF PF in déduire une démonstr—tion géométrique de (|x + y| 1 et |x − y| 1) ⇔ |x| + |y| 1.ixer™i™e IQT wontrer que ™h—™un des ensem˜les suiv—nts est un interv—lleD éventuellementvide ou réduit à un point +∞ +∞ 1 1 I1 = 3, 3 + 2 et I2 = −2 − , 4 + n2 . n=1 n n=1 n‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IQU wontrer que ™h—™un des ensem˜les suiv—nts est un interv—lleD éventuellementvide ou réduit à un point +∞ +∞ 1 1 1 I1 = − ,2 + et I2 = 1+ ,n . n=1 n n n=1 n‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IQV Eƒoient A, B, C un ensem˜le et E A∪B = A∪C trois p—rties de telles queetA∩B =A∩C B=C F wontrer que Fixer™i™e IQW Eƒoient A, B, C un ensem˜le et E trois p—rties de Fwontrer que(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) Fixer™i™e IRH A, B, C ⊂ E A ∪ B = B ∩ C honner les positions rel—tives de si Fixer™i™e IRI P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) istEil vr—i que P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) c it cixer™i™e IRP A∩B =A∩C ⇔A∩ B =A∩ C wontrer que Fixer™i™e IRQ P(P({1, 2})) honner l— liste des éléments de Fixer™i™e IRR A, B ⊂ E ƒoient X⊂E F ‚ésoudre les équ—tions à l9in™onnue IF A ∪ X = BF PF A ∩ X = BF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IRS E, F, G ƒoient trois ensem˜lesF wontrer que (E × G) ∪ (F × G) = (E ∪ F ) × GFixer™i™e IRT E, F, G, H ƒoient qu—tre ensem˜lesF gomp—rer les ensem˜les (E × F ) ∩ (G × H)et(E ∩ G) × (F ∩ H) Fixer™i™e IRU E ƒoit l9ensem˜le des fon™tions de N d—ns {1, 2, 3}F €our i = 1, 2, 3 on poseAi = {f ∈ E/f (0) = i}F wontrer que les Ai forment une p—rtition de EF
  26. 26. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IV www.tifawt.com PFQ e˜surde et ™ontr—poséeixer™i™e IRV wontrer que √ 2 ∈ QF /ixer™i™e IRW ƒoit X un ensem˜le et f une —ppli™—tion de X d—ns l9ensem˜le P(X) des p—rtiesde X F yn note A l9ensem˜le des x ∈ X véri(—nt x ∈ f (x)F hémontrer qu9il n9existe —u™un x ∈ X /tel que A = f (x)Fixer™i™e ISH (fn )n∈N une suite d9—ppli™—tions de l9ensem˜le N d—ns luiEmêmeF yn dé(nit ƒoitune —ppli™—tion f de N d—ns N en pos—nt f (n) = fn (n) + 1F hémontrer qu9il n9existe —u™unp∈N tel que f = fp F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e ISI IF ƒoit p1 , p2 , . . . , pr r nom˜res premiersF wontrer que l9entier N = p1 p2 . . . pr + 1 n9est divisi˜le p—r —u™un des entiers pi F PF …tiliser l— question pré™édente pour montrer p—r l9—˜surde qu9il existe une in(nité de nom˜res premiersF‘ixer™i™e ™orrigé“ PFR ‚é™urren™eixer™i™e ISP hémontrerD en r—isonn—nt p—r ré™urren™eD que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisi˜lep—r111 quel que soit n ∈ NF @sndi™—tion X 1000 = 9 × 111 + 1 AFixer™i™e ISQ n wontrer X n(n + 1) IF k= ∀n ∈ N∗ . k=1 2 n n(n + 1)(2n + 1) PF k2 = ∀n ∈ N∗ . k=1 6‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e ISR in quoi le r—isonnement suiv—nt estEil f—uxcƒoit P(n) X n ™r—yons de ™ouleurs sont tous de l— même ™ouleurF! P(1) est vr—ie ™—r un ™r—yon de ™ouleur est de l— même ™ouleur que luiEmêmeF! ƒupposons P(n)F ƒoit n + 1 ™r—yonsF yn en retire 1F ves n ™r—yons rest—nts sont de l— même ™ouleur p—r hypothèse de ré™urren™eF ‚eposons ™e ™r—yon et retironsEen un —utre Y les n nouve—ux ™r—yons sont à nouve—u de l— même ™ouleurF ve premier ™r—yon retiré ét—it don™ ˜ien de l— même ™ouleur que les n —utresF v— proposition est don™ vr—ie —u r—ng n + 1F! yn — don™ démontré que tous les ™r—yons en nom˜re in(ni dénom˜r—˜le sont de l— même ™ouleurFixer™i™e ISS ƒoit l— suite (xn )n∈N dé(nie p—r x0 = 4 et xn+1 = 2x2 − 3 n xn + 2 F IF wontrer que X ∀n ∈ N xn 3F PF wontrer que X ∀n ∈ N xn+1 − 3 3 (xn − 3)F 2 3 n QF wontrer que X ∀n ∈ N xn 2 + 3F RF v— suite (xn )n∈N estEelle ™onvergente c‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IST
  27. 27. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IW www.tifawt.com IF h—ns le pl—nD on ™onsidère trois droites ∆1 , ∆2 , ∆3 form—nt un vr—i tri—ngle X elles ne sont p—s ™on™our—ntesD et il n9y en — p—s deux p—r—llèlesF honner le nom˜re R3 de régions @zones ˜l—n™hesA dé™oupées p—r ™es trois droitesF PF yn ™onsidère qu—tre droites ∆1 , . . . , ∆4 D telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntesD ni deux p—r—llèlesF honner le nom˜re R4 de régions dé™oupées p—r ™es qu—tre droitesF QF yn ™onsidère n droites ∆1 , . . . , ∆n D telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntesD ni deux p—r—llèlesF ƒoit Rn le nom˜re de régions délimitées p—r ∆1 . . . ∆n D et Rn−1 le nom˜re de régions délimitées p—r ∆1 . . . ∆n−1 F wontrer que Rn = Rn−1 + nF RF g—l™uler p—r ré™urren™e le nom˜re de régions délimitées p—r n droites en position génér—leD ™9estEàEdire telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntes ni deux p—r—llèlesF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e ISU ƒoit n+1 X un ensem˜leF €our f ∈ F(X, X)D on dé(nit f 0 = id et p—r ré™urren™epour n∈Nf = fn ◦ fF IF wontrer que ∀n ∈ N f n+1 = f ◦ f n F PF wontrer que si f est ˜ije™tive —lors ∀n ∈ N (f −1 )n = (f n )−1 F‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e ISV wontrer que n+1 n ∀n 2, n! . 2ixer™i™e ISW €our tout entier n—turel nD on pose Sn = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1) · nhémontrer que l9on — 1 Sn = n(n − 1)(n + 1)ixer™i™e ITH 3 €our n∈N on ™onsidère l— propriété suiv—nte X Pn : 2n n2 IF €our quelles v—leurs de n l9impli™—tion Pn =⇒ Pn+1 estEelle vr—ie c PF €our quelles v—leurs de n l— propriété Pn estEelle vr—ie cixer™i™e ITI ue pensezEvous de l— démonstr—tion suiv—nte c IF €our tout n 2D on ™onsidère l— propriété X P (n) : n points distin™ts du pl—n sont toujours —lignés PF sniti—lis—tion X P (2) est vr—ie ™—r deux points distin™ts sont toujours —lignésF QF rérédité X yn suppose que P (n) est vr—ie et on v— démontrer P (n + 1)F ƒoit don™ A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distin™tsF h9—près l9hypothèse de ré™urren™eD A1 , A2 , . . . , An sont —lignés sur une droite dD et A2 , . . . , An , An+1 sont —lignés sur une droite d F ves deux droites d et d —y—nt n−1 points ™ommuns A2 , . . . , An sont ™onfonduesF hon™ A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont —lignésD ™e qui montre l9hérédité de l— propriétéF RF gon™lusion X l— propriété P (n) est vr—ie pour tout n 2Fixer™i™e ITP IF hémontrer que pour tout entier n—turel nD 9 divise 10n − 1F
  28. 28. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements PH www.tifawt.com PF ƒoit k un entier stri™tement positifF Étudier l— propriété suiv—nte X pour tout entier n—turel n nD k divise (k + 1) + 2Fixer™i™e ITQ hémontrer que pour n 1D le produit de n entiers imp—irs est un entier imp—irFixer™i™e ITR yn ™onsidère une suite (un )n∈N telle que X u0 = 0 et u1 = 1 et ∀n 1, un+1 = un + 2un−1hémontrer que X IF ∀n ∈ N, un ∈ ND 1 PF ∀n ∈ N, un = 3 (2n − (−1)n )Fixer™i™e ITS ƒoitb 2 un entier (xéF hémontrer que pour tout N ∈ N∗ D il existe un entiern∈N et des entiers a0 , a1 , . . . , an —pp—rten—nt à { 0, 1, . . . , b − 1 } tels que Y N = a0 + a1 b + · · · + an bn et an = 0hémontrer que pour ™h—que ND le système (n, a0 , a1 , . . . , an ) est déterminé p—r l— propriété™iEdessusFyn dit que a0 , a1 , . . . , an sont les ™hires de l9é™riture du nom˜re N suiv—nt l— ˜—se bFixer™i™e ITT hémontrer p—r ré™urren™e que pour tout k ∈ ND k! divise le produit de k entiers™onsé™utifs X ∀n ∈ N, k! | n(n + 1) · · · (n − k + 1)ixer™i™e ITU ves propriétés Pn : 3 | 4n − 1 , ∀n ∈ N,et Qn : 3 | 4n + 1 , ∀n ∈ N,sontEelles vr—ies ou f—usses cixer™i™e ITV IF g—l™uler les restes de l— division eu™lidienne de 1, 4, 42 , 43 p—r 3F PF pormulerD pour tout n ∈ ND une hypothèse P(n) ™on™ern—nt le reste de l— division eu™liE n dienne de 4 p—r 3F hémontrer que P(n) est véri(ée pour tout n ∈ NF QF €our tout n ∈ ND le nom˜re 16n + 4n + 3 estEil divisi˜le p—r 3Fixer™i™e ITW hémontrerD en r—isonn—nt p—r ré™urren™eD que 32n+2 − 2n+1 est divisi˜le p—r 7 n∈Nquel que soit Fixer™i™e IUH IF hémontrer p—r ré™urren™e X n n(n + 1) k= k=0 2 PF g—l™uler de deux m—nières diérentes X n+1 n 3 k − (k + 1)3 . k=1 k=0 QF in déduire X n 1 k 2 = (2n3 + 3n2 + 3n). k=0 6
  29. 29. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements PI www.tifawt.comixer™i™e IUI wontrer que pour tout entier n 1 X 1 1 1 n + + ... + = . 1.2 2.3 n.(n + 1) n+1ixer™i™e IUP hémontrerD en le détermin—nt qu9il existe un entier n0 tel que ∀n n0 , 2n (n + 2)2 .ixer™i™e IUQ hémontrer p—r ré™urren™e sur n que pour tout n 2 l9impli™—tion [x −1, x = 0] ⇒ [(1 + x)n 1 + nx]est vr—ieFixer™i™e IUR IF ƒoit n ∈ NY montrer que pour tout entier k 1 on — nk + knk−1 (n + 1)k . PF ƒoit b un réel positif ou nulF wontrer p—r ré™urren™eD que pour tout n 1 on — nb (nb)2 (nb)n (1 + b)n 1+ + + ... + . 1! 2! n!ixer™i™e IUS wontrer p—r ré™urren™e que pour tout entier n ∈ ND n (a + b)n = Cn ak bn−k , k k=0pour tout réel a et bFixer™i™e IUT yn dé(nit une suite (Fn ) de l— f—çon suiv—nte X Fn+1 = Fn + Fn−1 ; F0 = 1, F1 = 1 . IF g—l™uler Fn pour 1 n 10F PF wontrer que l9équ—tion x2 = x+1 —dmet une unique solution positive a que l9on ™—l™uler—F QF wontrer queD pour tout n 2D on — an−2 Fn an−1 .ixer™i™e IUU wontrer que X π √ cos = 2+ 2 + . . . 2. 2nixer™i™e IUV €our n ∈ N, n 2, trouver une loi simpli(—nt le produit X 1 1 (1 − )...(1 − ). 4 nixer™i™e IUW €our n ∈ N, soient a0 , . . . , an des nom˜res réels de même signe tel que ai −1,montrer que X (1 + a0 )...(1 + an ) 1 + a0 + . . . + an .
  30. 30. Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PP www.tifawt.com PFS hiversixer™i™e IVH n 4n n! cixer™i™e IVI uels sont les entiers tels que wontrer que X n 1 ∀n 2, un = ∈ N. / k=1 ksndi™—tion X montrer que 2pn + 1 ∀n 2, ∃(pn , qn ) ∈ (N∗ )2 , un = . 2qnixer™i™e IVP ƒoit f : N ∗ → N∗ une —ppli™—tion véri(—nt X ∀n ∈ N∗ , f (n + 1) f (f (n)).wontrer que f = IdN∗ . sndi™—tions X que dire de k ∈ N tel que f (k) = inf{f (n)|n ∈ N} c indéduire que ∀n 0, f (n) f (0). wontrer ensuite que ∀n ∈ N, on — X ∀m n, f (m) f (n) et∀m n, f (m) m @on pourr— introduire k tel que f (k) soit le plus petit entier de l— formef (m) —ve™ m nAF in déduire que f est stri™tement ™roiss—nte et qu9il n9existe qu9une seulesolution —u pro˜lèmeF v—quelle cixer™i™e IVQ €our p ∈ {1, 2, 3} on note Sp = n k=0 kpF IF e l9—ide du ™h—ngement d9indi™e i=n−k d—ns S1 D ™—l™uler S1 F PF p—ire de même —ve™ S2 F ue se p—sseEtEil c QF p—ire de même —ve™ S3 pour l9exprimer en fon™tion de n et S2 F in utilis—nt l9exer™i™e ISQD ™—l™uler S3 Fixer™i™e IVR RF €our ™—l™uler des sommes port—nt sur deux indi™esD on — intérêt à représenter l—zone du pl—n ™ouverte p—r ™es indi™es et à sommer en lignesD ™olonnes ou di—gon—lesFFF g—l™uler X IF ij F 1 i j n PF i(j − 1)F 1 ij n QF (i − 1)j F 1 ij n RF (n − i)(n − j)F 1 i j n SF (p + q)2 @on poser— k = p + q AF 1 p,q n Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion QFI eppli™—tionixer™i™e IVS ƒoient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1F eEtEonf ◦g =g◦fc‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IVT ƒoit l9—ppli™—tion de R d—ns RD f : x → x2 F IF héterminer les ensem˜les suiv—nts X f ([−3, −1])D f ([−2, 1])D f ([−3, −1]∪[−2, 1]) et f ([−3, −1]∩ [−2, 1])F ves ™omp—rerF PF wêmes questions —ve™ les ensem˜les f −1 (]−∞, 2])D f −1 ([1, +∞[)D f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[) −1 et f (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[)F
  31. 31. Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PQ www.tifawt.com QFP snje™tionD surje™tionixer™i™e IVU honner des exemples d9—ppli™—tions de R d—ns R @puis de R2 d—ns RA inje™tiveet non surje™tiveD puis surje™tive et non inje™tiveFixer™i™e IVV ƒoit f :R→R dé(nie p—rf (x) = x3 − xF −1f estEelle inje™tive c surje™tive c héterminer f ([−1, 1]) et f (R+ )Fixer™i™e IVW ves fon™tions suiv—ntes sontEelles inje™tives c surje™tives c ˜ije™tives c f : Z → Z, n → 2n ; f : Z → Z, n → −n f : R → R, x → x2 ; f : R → R+ , x → x 2 f : C → C, z → z 2 .ixer™i™e IWH ves —ppli™—tions suiv—ntes sontEelles inje™tivesD surje™tivesD ˜ije™tives c N→N IF f: n→n+1 Z→Z PF g: n→n+1 R2 → R2 QF h: (x, y) → (x + y, x − y) R − {1} → R RF k: x+1 x → x−1ixer™i™e IWI ƒoit f :R→R dé(nie p—r f (x) = 2x/(1 + x2 )F IF f estEelle inje™tive c surje™tive c PF wontrer que f (R) = [−1, 1]F QF wontrer que l— restri™tion g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x) est une ˜ije™tionF RF ‚etrouver ™e résult—t en étudi—nt les v—ri—tions de fF‘ixer™i™e ™orrigé“ixer™i™e IWP v9—ppli™—tion f : C {0} → C, z → z + 1/z estEelle inje™tive c surje™tive c˜ije™tive chonner l9im—ge p—r f du ™er™le de ™entre 0 et de r—yon 1Fhonner l9im—ge ré™iproque p—r f de l— droite iRFixer™i™e IWQ yn ™onsidère qu—tre ensem˜les A, B, C et D et des —ppli™—tions f : A → BDg : B → C D h : C → DF wontrer que X g◦f inje™tive ⇒f inje™tiveD g◦f surje™tive ⇒g surje™tiveFwontrer que X g◦f et h◦g sont ˜ije™tives ⇔ f, g et h sont ˜ije™tives .‘ixer™i™e ™orrigé“

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