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Sondage aléatoire simple ou a probabilité égal

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Sondage aléatoire simple ou a probabilité égal

  1. 1. Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Plan de sondage 2.2.2 Probabilit´es d’inclusion 2.3 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE AVEC REMISE (PEAR) 2.3.1 Plan de sondage 2.3.2 Probabilit´es d’inclusion 2.4 VARIABLES INDICATRICES 2.5 ESTIMATEUR 2.6 ESTIMATION D’UNE MOYENNE 2.6.1 Sondage al´eatoire PESR 2.6.2 Sondage al´eatoire PEAR 2.7 ESTIMATION D’UN TOTAL 2.7.1 Estimateur de 2.7.2 Esp´erance de ˆ 2.7.3 Pr´ecision de ˆ 1
  2. 2. 2.8 ESTIMATION D’UNE PROPORTION 2.8.1 Estimateur de 2.8.2 Esp´erance de ˆ 2.8.3 Pr´ecision de ˆ 2.9 EFFET DE (PLAN DE) SONDAGE 2.9.1 D´efinition 2.9.2 Exemple 2.10 INTERVALLES DE CONFIANCE 2.10.1 Distribution d’´echantillonnage de ˆμ 2.10.2 Intervalles de confiance 2.10.3 Incertitude absolue et relative 2.10.4 D´etermination de la taille d’un ´echantillon 2.10.5 Exemples 2.11 ALGORITHMES POUR LES PLANS SIMPLES SANS REMISE 2.11.1 M´ethode du tri al´eatoire 2.11.2 D’autres m´ethodes fournissant un plan de son-dage de type PESR avec ´echantillons de taille n fix´ee a priori 2.11.3 Tirage de Bernoulli 2
  3. 3. 2.1 DEFINITIONS • Le nombre n de tirages `a effectuer dans la population est fix´e a priori • 2 proc´edures possibles de tirage al´eatoire : a) n tirages au hasard avec remise : n tirages au hasard successifs et en repla¸cant l’unit´e selectionn´ee dans la population avant le tirage suivant b) n tirages au hasard sans remise : n tirages au hasard successifs et sans replacer l’unit´e s´electionn´ee dans la population avant le tirage suivant + = {s1, s2, . . . , sM} : ensemble des ´echantillons que l’on peut obtenir par la proc´edure de tirage al´eatoire choisie Caract´eristiques du plan de sondage : • Tous les individus de U ont la mˆeme probabilit´e de faire partie de l’´echantillon S qui sera s´electionn´e : ils ont tous la mˆeme probabilit´e d’inclusion • Tous les ´echantillons appartenant `a se voient as-socier une (mˆeme) probabilit´e connue non nulle de s´election 3
  4. 4. D´enominations : • sondage PEAR : sondage al´eatoire simple ou `a proba-bilit ´es ´egales, avec remise • sondage PESR : sondage al´eatoire simple ou `a proba-bilit ´es ´egales, sans remise 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Plan de sondage • Les ´echantillons sont de la forme s = {i1, i2, . . . , in}, avec i16= i26= . . .6= in 2 U et ns = n • Nombre M d’´echantillons possibles : M = N n = N! n!(N − n)! • Pour tout s 2 : p(s) = 1 N n 4
  5. 5. • Exemple 2.1 : Population : U = {1, 2, 3, 4} =) N = 4 Taille de l’´echantillon `a pr´elever : n = 2 Taux de sondage : f = n/N = 50% Ensemble des ´echantillons pouvant ˆetre obtenus par tirage al´eatoire PESR : = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} =) M = 6 On v´erifie que N n = 4 2 = 4! 2!(4 − 2)! = 4! 2!2! = 4 · 3 · 2 2 · 2 = 6 = M Probabilit´e de s´election d’un ´echantillon s particulier : p ({2, 4}) = P ((le 1er s´electionn´e est 2 et le 2`eme s´electionn´e est 4) ou (le 1er s´electionn´e est 4 et le 2`eme s´electionn´e est 2)) = P(le 1er s´electionn´e est 2 et le 2`eme s´electionn´e est 4) +P(le 1er s´electionn´e est 4 et le 2`eme s´electionn´e est 2) = P(le 1er s´electionn´e est 2) ·P(le 2`eme s´electionn´e est 4| le 1er s´electionn´e est 2) +P(le 1er s´electionn´e est 4) ·P(le 2`eme s´electionn´e est 2| le 1er s´electionn´e est 4) 4 · 1 3 + 1 4 · 1 3 = 2 12 = 1 6 = 1 =) tous les ´echantillons s de ont la mˆeme probabilit´e de s´election : p(s) = 1/6 pour tout s 2 5
  6. 6. 2.2.2 Probabilit´es d’inclusion • La probabilit´e d’inclusion pi de l’individu i est la probabi-lit ´e que cet individu i fasse partie de l’´echantillon (al´eatoire) S qui sera pr´elev´e ; en d’autres termes, pi est la probabilit´e de pr´elever un ´echantillon qui contienne l’individu i : pi = P(i 2 S) = X s2 |i2s p(s) • Dans le cas du sondage PESR, pour tout i 2 U : pi = X s2 |i2s 1 N n = nombre d’´echantillons possibles contenant i N n = N − 1 n − 1 N n = n N = taux de sondage 6
  7. 7. • Exemple 2.1 (suite) : Probabilit´e d’inclusion de l’individu 2 : 3 ´echantillons sur les 6 ´echantillons possibles contiennent l’individu 2 =) p2 = 3 6 = 1 2 = n N On v´erifie que tous les individus de U ont bien la mˆeme probabilit´e d’inclusion : pi = 1 2 pour tout i 2 U 7
  8. 8. 2.3 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE AVEC REMISE (PEAR) 2.3.1 Plan de sondage • Les ´echantillons possibles sont de la forme s = {i1, i2, . . . , in} avec i1, i2, . . . , in 2 U. Un mˆeme individu peut ˆetre s´electionn´e `a plusieurs reprises (ns n). • Nombre M d’´echantillons possibles : M = . . . (expression tr`es complexe) M = nombre d’´echantillons dont les n individus sont dis-tincts + nombre d’´echantillons dans lesquels un individu est s´electionn´e 2 fois et les (n − 2) autres individus sont distincts + nombre d’´echantillons dans lesquels 2 indivi-dus sont chacun s´electionn´es 2 fois et les (n − 4) autres individus sont distincts + . . . 8
  9. 9. • Exemple 2.2 : Population : U = {1, 2, 3, 4} =) N = 4 Nombre de tirages `a effectuer : n = 2 Ensemble des ´echantillons pouvant ˆetre obtenus par tirage al´eatoire PEAR : = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 3}, {3, 4}, {4, 4}} =) M = 10 Probabilit´e de s´election d’un ´echantillon s particulier : mˆeme raisonnement que dans l’exemple 2.1 p ({2, 4}) = 1 4 · 1 4 + 1 4 · 1 4 = 2 16 = 1 8 p ({1, 1}) = 1 4 · 1 4 = 1 16 =) on v´erifie que p ({1, 1}) = p ({2, 2}) = p ({3, 3}) = p ({4, 4}) = 1 16 p ({1, 2}) = p ({1, 3}) = . . . = p ({3, 4}) = 2 16 = 1 8 9
  10. 10. • On peut associer `a tout ´echantillon s 2 une probabilit´e de s´election p(s) telle que p(s) 0 et X s2 p(s) = 1 MAIS, contrairement au sondage al´eatoire PESR, les ´echantillons de ne sont pas tous ´equiprobables. Remarque : Par contre, si on tient compte de l’ordre de tirage dans la d´efinition des ´echantillons, ces derniers re-deviennent ´equiprobables : – Les ´echantillons possibles sont de la forme so = (i1, i2, . . . , in) avec i1, i2, . . . , in 2 U et ik= individu s´electionn´e lors du k`eme tirage (k = 1, . . . , n) – Nombre Mo d’´echantillons possibles : Mo = Nn – Pour tout so 2 o : p(so) = 1 Nn 10
  11. 11. Exemple 2.2 (suite) : o = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} =) Mo = 16 = 42 p ((2, 4)) = P (le 1er s´electionn´e est 2 et le 2`eme s´electionn´e est 4) = 1 4 · 1 4 = 1 16 On v´erifie que p(so) = 1/16 pour tout so 2 o 11
  12. 12. 2.3.2 Probabilit´es d’inclusion Pour tout i 2 U : pi = P(i 2 S) = 1 − P(i 2 /S) = 1 − P(i n’est s´electionn´e `a aucun des n tirages) N − 1 = 1 − N n = 1 − 1 − 1 N n =) tous les individus de U ont bien la mˆeme probabilit´e d’inclusion Exemple 2.2 (suite) : Probabilit´e d’inclusion de l’individu 2 : p2 = 1 − 1 − 1 4 2 = 1 − 3 4 2 = 7 16 12
  13. 13. Remarque : Si n N, alors pi = n/N =)les probabilit´es d’inclusion pour le sondage PEAR sont pratiquement identiques `a celles pour le sondage PESR Exemple : N = 1 000 n = 10 =) f = n N = 1% PESR : pi = f = 1% PEAR : pi = 1 −

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