Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Bandung
2002
Danang Mursita
Danang Mursita
DAFTAR ISI
Judul i
Kata Pengantar ii
Daftar Isi iv
Bab 1 Fungsi Real 1
1.1 Sistem Bilangan Real 1
1.2 Fungs...
Danang Mursita
6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat 115
6.5 Deret Kuasa 116
6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin 119
6.7 Turunan ...
Danang Mursita
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Edwin J Purcell, Dale Van berg, Calculus with analytic Geometry, 5th
, Prentice
Hall, U...
21
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
BAB 2 TURUNAN DAN PENGGUNAAN
2.1 Turunan Fungsi
2.2 Tur...
22
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Secara fisis, pengertian atau definisi dari turunan fun...
23
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 2.2
Tentukan nilai a dan b agar fungsi




...
24
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Jawab :
1. 2
11
)(
−
== x
x
xf . Digunakan rumus pertam...
25
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi b...
26
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
3.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x x
xsec
sec tan
cos
= =
1
4.
( )...
27
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
3. lim sin
x x→∞






1
4. lim sin
x
x
x→∞


...
28
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
( )( ) ( )( )
( ) ( )
dy
dx
d f u
du
d u x
dx
f u u x= ...
29
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
7. y = sin [ cos ( sin 2x ) ]
8. Hitung f ‘ ( 3 ) bila ...
30
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Turunan ketiga,
( ) 2
5
2
1
3
)('"
x
x
xf
+
−
=
Gerak P...
31
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
8. Dua buah partikel bergerak sepanjang garis koordinat...
32
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Karena
dy
dxdx
dy 1
= maka
( )
422
24
2
22
++
−
=
yy
y
...
33
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
7. Tentukan persamaan garis singgung dan normal dari ku...
34
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 2.12
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turu...
35
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
2. f x x x( ) = + −2 9 133 2
3. f x x x x( ) = − + +3 2...
36
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Untuk x = - ½ , 1)(" 2
1 −=−f dan fungsi mencapai maksi...
37
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Asymtot
Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebag...
38
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 2.17
Carilah asymtot dari fungsi
1
32
)(
2
−
−−
...
39
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
10. f x x x x x( ) = − − + +4 3 26 24 2
( Nomor 11 sd 2...
40
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
2.8 Dalil Delhospital
Dalam perhitungan limit fungsi se...
41
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 2.19
Hitung limit berikut
a. lim sec
/x
x x
→
−
...
42
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Jawab:
a. lim lim
( )
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x→−∞ →−∞
−
...
43
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
15. lim
tan
sinx
x
x→0
5
2
16. lim
sin ( )
x
x
x→0
2
2
...
64
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
BAB 4 FUNGSI TRANSENDEN
4.1 Fungsi Invers
4.2 Fungsi Lo...
65
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
nyatakan fungsi yang diperoleh tersebut menjadi fungsi ...
66
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Bilangan Natural
Bilangan natural dinotasikan dengan e ...
67
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
(i) [ ]D a a a
du
dxx
u u
= (ln )
(ii) a du
a
a Cu u
= ...
68
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Soal Latihan 4.2
( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pert...
69
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
18. 10
5 1x
dx
−
∫
19. ( )x e dx
x x
+
+
∫ 3
2
6
20. ( ...
70
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Untuk fungsi invers trigonometri yang lain dapat dipero...
71
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Soal Latihan 4.3
( Nomor 1 sd 10 ) Carilah turunan dari...
72
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
4.4 Fungsi Hiperbolik
Fungsi sinus hiperbolik dan cosin...
73
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
19. sinh sinh sinh coshx y
x y x y
+ =
+





−
...
74
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Soal Latihan 4.4
( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan perta...
75
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
du
u
u C
2
1
1+
= +−
∫ sinh
Dengan cara sama diperoleh ...
76
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 4.10
Hitung integral : ∫
+ 42x
dx
Jawab :
C
x
x
...
77
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
15.
dx
x9 252
−
∫
16.
dx
e x
1 2
−
∫
17.
sin
cos
x dx
x...
78
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Misal nilai dari lim ln
x a
y A
→
= . Maka lim
x a
Ay e...
79
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
3. lim cos
x
x
x→∞




2
2
4. ( )lim ln
x
xe x
→ ...
103
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
BAB 6 BARISAN DAN DERET
6.1 Barisan Bilangan
6.2 Deret...
104
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
3. lim lim lim
n
n n
n
n
n
na b a b
→∞ →∞ →∞
=
4. lim ...
105
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
4.
n
n
n
n
+
+














=
∞
3
1
1...
106
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Misal { }Sn n=
∞
1
merupakan barisan jumlah parsial de...
107
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Deret Harmonis
Bentuk deret harmonis yaitu :
1
1
1
2
1...
108
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
1. Suku ke-k,
1
12
+
−
=
k
k
ak dan 2
1
12
limlim =
+
...
109
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
1 1
1
1
11
1 k
dk
p bp b p
=
−
−






→∞ −
∞
∫ ...
110
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
2. Pandang :
k
k k3 21
1
+
< dan karena deret-p
1
2
1 ...
111
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 6.7
Tentukan kekonvergenan deret
3 2
2 11
k
k
k...
112
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
4.
5 2
1
sin
!
k
k
k=
∞
∑
5.
2
4
1 k kk +=
∞
∑
6.
3
1
...
113
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
19.
( )
1
3
2 5
1 +=
∞
∑
kk
/
20.
ln k
k
k=
∞
∑
1
21.
...
114
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
1. Misal a
kk =
1
. Maka
a
a
k
k k
k
k+
=
+
= + >
1
1
...
115
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat
Deret uk
k=
∞
∑
1
d...
116
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
2. Misal
( )
u
k
k
k
=
− 4
2 . Maka
( )
( ) ( )
lim li...
117
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
a x a a x a xk
k
k=
∞
∑ = + + +
0
0 1 2
2 ... (**)
Der...
118
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Soal Latihan 6.5
( Nomor 1 sd 9 ) Tentukan semua nilai...
119
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
17.
( )( )Ln k x
k
k−
∑
3
18.
( )2 3
42
x k
k
−
∑
6.6 ...
120
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 6.13
Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret ...
121
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
( Nomor 11 sd 16 ) Carilah polinomial Taylor pada x = ...
122
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
3. Karena
( )
f x
x
( ) =
−
1
1 2
merupakan hasil penu...
123
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
BAB 7 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
7.1 Order Persamaan ...
124
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
6.
∂
∂
∂
∂
u
t
u
x
=
2
2
[ Persamaan Panas ]
7.
∂
∂
∂
...
125
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
1.
dy
dx
xy+ =2 1
2.
d y
dx
d y
dx
dy
dx
y
3
3
2
2
0+ ...
126
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 7.1
Diketahui PD : y y ex'− = . Tentukan :
1. S...
127
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
ampere) yang melalui rangkaian tersebut dalam fungsi t...
128
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Soal Latihan 7.3
( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan solusi umum...
129
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
2. ( )xyxyxG sin),( 2 −=
Jawab :
1. ( )( ) ( ) ( ) ),(...
130
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Soal latihan 7.4
( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan solusi umum...
131
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen
Ben...
132
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
1. Akar Karakteristik Real dan Berbeda.
Misal persamaa...
133
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
a v x
b
a
v x
b
a
v x e b v x
b
a
v x e cv x e
a v x
b...
134
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Karena solusi PD yang diharapkan dalam fungsi bernilai...
135
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Solusi homogen dicari seperti penjelasan terdahulu, se...
136
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 7.9
Tentukan solusi khusus PD : y y y e x" '− +...
137
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
( )
( )
v
y
f x y
y y
y y
v
y f x
y y y y
dx
v
y
y f x...
138
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
9. y y x x" sec tan+ =
10. y y y
e x
" '− + =
+ −
3 2
...
139
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
BAB 8 KALKULUS FUNGSI VEKTOR
8.1 Kurva Bidang
8.2 Fung...
140
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Contoh 8.2
Hitung
dx
dy
dan
2
2
dx
yd
bila
1. 32 1, ty...
141
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
2. Dari titik ( 1,1 ) didapatkan t = -1. turunan perta...
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Matematika dasar
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Matematika dasar

4,496 views

Published on

  • Sex in your area is here: ❶❶❶ http://bit.ly/36cXjBY ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating for everyone is here: ♥♥♥ http://bit.ly/36cXjBY ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Matematika dasar

  1. 1. Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung 2002 Danang Mursita
  2. 2. Danang Mursita DAFTAR ISI Judul i Kata Pengantar ii Daftar Isi iv Bab 1 Fungsi Real 1 1.1 Sistem Bilangan Real 1 1.2 Fungsi dan Grafik 6 1.3 Limit dan kekontinuan 13 1.4 Limit tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 17 Bab 2 Turunan dan Penggunaan 21 2.1 Turunan Fungsi 21 2.2 Turunan Fungsi Trigonometri 25 2.3 Teorema Rantai 27 2.4 Turunan Tingkat Tinggi 29 2.5 Fungsi Implisit 31 2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi 33 2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot 35 2.8 Dalil Delhopital 40 Bab 3 Integral dan Penggunaan 44 3.1 Integral Tak Tentu 44 3.2 Notasi Sigma 46 3.3 Integral Tentu 48 3.4 Luas Daerah 54 3.5 Volume Benda Putar 56 3.6 Panjang Kurva 60 Bab 4 Fungsi Transenden 64 4.1 Fungsi Invers 64 4.2 Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponen 65 4.3 Fungsi Invers Trigonometri 69 4.4 Fungsi Hiperbolik 72 4.5 Fungsi Invers Hiperbolik 74 4.6 Limit Bentuk Tak Tentu 77 Bab 5 Teknik Pengintegralan dan Integral Tak Wajar 80 5.1 Rumus Baku Integral 80 5.2 Integral Bagian 82 5.3 Integral Fungsi Trigonometri 85 5.4 Integral dengan Substitusi 91 5.5 Integral Fungsi Rasional 94 5.6 Integral Tak Wajar 99 Bab 6 Barian dan Deret 103 6.1 Barisan Bilangan 103 6.2 Deret Tak Hingga 105 6.3 Deret Berganti Tanda 113
  3. 3. Danang Mursita 6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat 115 6.5 Deret Kuasa 116 6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin 119 6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa 121 Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa 123 7.1 Order Persamaan Diferensial 123 7.2 Persamaan Diferensial Linear Order Satu 125 7.3 Peubah Terpisah 127 7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen 128 7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen 131 7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen 134 Bab 8 Kalkulus Fungsi Vektor 139 8.1 Kurva Bidang 139 8.2 Fungsi Vektor 142 8.3 Gerak Partikel dan Kelengkungan 148 8.4 Komponen Normal dan Tangensial 151 Bab 9 Fungsi Peubah Banyak 153 9.1 Domain dan Range 153 9.2 Permukaan 154 9.3 Turunan Parsial 156 9.4 Vektor Gradien dan Turunan Berarah 163 9.5 Nilai Ekstrim 168 Bab 10 Integral Rangkap 171 10.1 Integral Rangkap Dua 171 10.2 Volume dan Pusat Massa 179 10.3 Integral Rangkap Tiga 181 10.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola 185 Bab 11 Kalkulus Integral Vektor 189 11.1 Medan Vektor 189 11.2 Integral Garis 191 11.3 Integral Permukaan 199 Daftar Pustaka 205
  4. 4. Danang Mursita DAFTAR PUSTAKA [1]. Edwin J Purcell, Dale Van berg, Calculus with analytic Geometry, 5th , Prentice Hall, USA, 1987 [2]. Anton Howard, Calculus, 3rd , John Wiley and sons, USA, 1988 [3]. Kurt Arbenz, Alfred Wohlhauser, Advanced Mathematics for Practicing Engineering , Artech House Inc, USA, 1986 [4]. Earl D Rainville, Phillip E Bedient, Elementary Differential Equations, 7th , Maxwell Macmillan international Editions, Singapore, 1989 [5]. Stanley J Farlow, An Introduction to Differential Equations and Their Applications , Mc Graw-Hill Inc, USA, 1994 [6]. William E Boyce, Richard C Diprima, Elementary Differential Equation and Boundary Value Problems, 5th , John Wiley and Sons Inc, Canada, 1992.
  5. 5. 21 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom BAB 2 TURUNAN DAN PENGGUNAAN 2.1 Turunan Fungsi 2.2 Turunan Fungsi Trigonometri 2.3 Teorema Rantai 2.4 Turunan Tingkat Tinggi 2.5 Fungsi Implisit 2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi 2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot 2.8 Dalil Delhopital 2.1 Turunan Fungsi Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x). Bila titik Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat dinyatakan dengan : m y b x a f x f a x aPQ = − − = − − ( ) ( ) Bila titik Q digerakkan sehingga berimpit dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis singgung kurva f(x) di titik P dengan gradien : m f x f a x ax a = − −→ lim ( ) ( ) Definisi Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan: f a f x f a x ax a '( ) lim ( ) ( ) = − −→ Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a. Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan : f a f a h f a hh '( ) lim ( ) ( ) = + − →0 Notasi lain : f a df a dx dy a dx y a'( ) ( ) ( ) '( )= = =
  6. 6. 22 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Secara fisis, pengertian atau definisi dari turunan fungsi f(x) di titik x = a menyatakan kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena itu, didapatkan hubungan V a f a( ) '( )= dan percepatan , A(x) , A a dV a dx ( ) ( ) = . Teorema Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka y = f(x) kontinu di x = a. Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, yaitu ada fungsi yang kontinu tetapi tidak diferensiabel. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut. Contoh 2.1 Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab : Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f x x ( ) lim ( )0 0 0 = = → Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut : f f h f h h hh h '( ) lim ( ) ( ) lim | | 0 0 0 0 0 = + − = → → Karena − = ≠ = → →− + 1 1 0 0 lim | | lim | | h h h h h h maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0. Sebagaimana pengertian dari keberadaan limit fungsi ( limit kiri = limit kanan ) dan kekontinuan fungsi ( kontinu kanan dan kontinu kiri ), dapat juga diturunkan suatu pengertian diferensiabel kanan dan diferensiabel kiri. Definisi Misal fungsi f(x) diferensiabel di x = a. Maka dapat didefinisikan : Diferensiabel Kanan, h afhaf af h )()( lim)( 0 ' −+ = +→ + dan Deferensiabel Kiri, h afhaf af h )()( lim)( 0 ' −+ = −→ − Kekontinuan suatu fungsi merupakan syarat perlu dari suatu fungsi yang diferensiabel. Artinya untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi deferensiabel di suatu titik maka fungsi tersebut harus kontinu di titik tersebut. Selanjutnya diperiksa apakah nilai diferensiabel kanan sama dengan diferensiabel kiri. Hal ini diperlihatkan pada contoh berikut.
  7. 7. 23 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 2.2 Tentukan nilai a dan b agar fungsi     >+ ≤− = 1, 1,2 )( 2 xbax xxx xf diferensiabel di x = 1. Jawab : Ditunjukkan f(x) kontinu di x = 1, yaitu ( )baxxff xx +== ++ →→ 11 lim)(lim)1( atau a + b = 1 Dari diferensial kanan sama dengan diferensial kiri, didapatkan : h hh h bha h fhf h fhf ff hh hh 1)1()1(2 lim 1)1( lim )1()1( lim )1()1( lim )1()1( 2 00 00 '' −+−+ = −++ −+ = −+ = −+ −+ →→ →→ −+ Dari persamaan terakhir didapatkan nilai a = 0. Sehingga nilai b = 1. Jadi agar fungsi diferensiabel di x = 1 maka bentuk fungsi yaitu     > ≤− = 1,1 1,2 )( 2 x xxx xf Untuk menentukan turunan suatu fungsi sangat sulit bilamana harus digunakan definisi formal di atas, namun akan lebih mudah digunakan rumus sebagai berikut : 1. ( )d x dx r x r R r r= ∈−1 ; 2. ( ) ( ) ( )d f x g x dx d f x dx d g x dx ( ) ( ) ( ) ( )+ = + 3. ( ) ( ) ( )d f x g x dx g x d f x dx f x d g x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 4. ( ) ( ) ( )d dx g x d f x f x d g x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − 2 Contoh 2.3 Cari turunan dari fungsi berikut : 1. x xf 1 )( = 2. ( ) xxxf 12)( −= 3. 1 1 )( 2 + + = x x xf
  8. 8. 24 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Jawab : 1. 2 11 )( − == x x xf . Digunakan rumus pertama, didapatkan : xx xxf 2 1 2 1 )( 2 3 ' − =−= − 2. ( ) 2 1 2 3 212)( xxxxxf −=−= . Digunakan rumus kedua, didapatkan : x xxxxf 2 1 3 2 1 3)( 2 1 2 1 ' −=−= − Dapat juga diterapkan rumus ketiga dengan memandang f(x) = U(x) V(x) , xxVxxU =−= )(dan12)( 3. Misal U(x) = x + 1 dan V(x) = x 2 +1. Dengan menerapkan rumus keempat didapatkan, ( ) ( ) ( )22 2 22 2 ' 1 21 1 121 )( + −− = + +−+ = x xx x xxx xf Soal latihan 2.1 ( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan dy dx dari : 1. y x = − 12 2 6 2. y x x = − 1 1 2 3. y = x ( x 2 + 1 ) 4. ( )( )y x x x x= + + + 4 3 2 2 2 1 5. ( )( )y x x x x= + − +3 2 3 1 2 4 6. y x = + 1 3 9 2 7. y x x = − − 2 1 1 8. y x x x = − + + 2 3 1 2 1 2 9. y x x x x = − + + − 2 2 2 5 2 3 10. y x x x = + + − 5 2 6 3 1 2
  9. 9. 25 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom ( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang diberikan. 11. f x a x x x bx x ( ) ; ; = + ≤ < − ≥    3 0 1 12 ; x = 1 12. f x ax b x x x ( ) ; ; = − < − ≥    2 2 1 22 ; x = 2 13. f x x x ax b x ( ) ; ; = − < + ≥     2 1 3 2 3 ; x = 3 2.2 Turunan Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu : lim sin sin lim cos cos x a x a x a dan x a → → = = Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu : ( ) ( ) ( ) d a dx a h a h h a h h h h d a dx a h h h a sin lim sin sin lim sin cos lim sin sin cos = + − =       +             = = → → → 0 0 2 2 2 2 2 1Karena maka Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut: ( ) ( )d a dx a h a h h a h h a h h cos lim cos cos lim sin sin sin= + − = −       +       = − → →0 0 2 2 2 Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan : 1. ( ) ( )d x dx d dx x x xtan sec sin cos = = 2 2. ( ) ( )d x dx d dx x x xcot csc cos sin = = − 2
  10. 10. 26 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 3. ( ) ( )d x dx d dx x x xsec sec tan cos = = 1 4. ( ) ( )d x dx d dx x x xcsc csc cot sin = = − 1 Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit tak hingga , digunakan sifat atau teorema yang diberikan tanpa bukti berikut. Teorema Misal f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) berlaku untuk setiap x di dalam domainnya. Bila lim ( ) lim ( ) x x f x h x L →∞ →∞ = = maka lim ( ) x g x L →∞ = Contoh 2.4 Hitung limit berikut ( bila ada ) 1. lim sin x x x→∞ a. lim cos sinx x x→ + + 0 1 Jawab : a. Misal f x x x ( ) sin = . Dari -1 ≤ sin x ≤ 1 maka − ≤ ≤ 1 1 x x x x sin . Karena lim lim x xx x→∞ →∞ − = = 1 1 0 maka lim sin x x x→∞ = 0. b. Bila x mendekati nol dari arah kanan maka 1 + cos x mendekati 2, sedangkan nilai sin x akan mengecil atau mendekati nol. Oleh karena itu, bila 2 dibagi dengan bilangan positif kecil sekali ( mendekati nol ) maka akan menghasilkan bilangan yang sangat besar ( mendekati tak hingga ). Jadi lim cos sinx x x→ + + = ∞ 0 1 Soal latihan 2.2 ( Nomor 1 sd 7 ) Hitung limit fungsi berikut ( bila ada ) 1. lim cos sinx x x→ − + 0 1 2. lim cos x x →∞
  11. 11. 27 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 3. lim sin x x→∞       1 4. lim sin x x x→∞       1 5. lim sin x x→∞ +       π 6 1 6. lim sin sin x x x x →∞ +       −       1 7. lim cos x x x→−∞ −      1 1 ( Nomor 8 sd 10 ) Tentukan turunan pertama dari: 8. y x x = −1 sin cos 9. y x x = cos 10. y x x x = − tan sin cos 11. Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik ( a,b ) dengan gradien m dinyatakan dengan : y - b = m ( x - a ). Sedangkan persamaan garis normal dari y = f (x) ( garis yang tegak lurus terhadap garis singgung ) yang melalui titik ( a,b ) mempunyai persamaaan : y - b = -1/m ( x - a ). Tentukan persamaan garis singgung dan normal kurva berikut di titik yang diketahui dengan menghitung gradiennya terlebih dahulu. a. y = x 2 - 2x di ( 0,0 ) b. y = tan x di x = ¼ π 12. Tentukan nilai a agar fungsi berikut kontinu di x = 0 a. f x x x x a x ( ) sin , = ≠ =     3 0 0 b. f x ax x x x a x ( ) tan , , = < + ≥     0 3 2 02 2.3 Teorema Rantai Untuk mendapatkan turunan dari fungsi komposisi dapat dilakukan dengan cara mencari bentuk ekplisit dari hasil komposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara langsung menggunakan metode atau aturan rantai. Misal diberikan fungsi : ( )y f u x= ( ) . Maka turunan pertama terhadap x yaitu :
  12. 12. 28 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) dy dx d f u du d u x dx f u u x= = ' ' Bila y = f(u ) dengan u = v(x) maka turunan pertama dari y terhadap x dicari : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dy dx d f u du d u v dv d v x dx f u u v v x= = ' ' ' Metode penurunan di atas dikenal dengan teorema rantai. Contoh 2.5 Cari turunan dari fungsi ( )xxf 3sin)( = Jawab: Misal u(x) = 3x. Maka fungsi f(x) dapat dinyatakan dengan ( )uxf sin)( = . Turunan terhadap x yaitu ( ) ( ) ( )xxuuf dx df 3cos3'' == Contoh 2.6 Cari nilai turunan pertama di x = 1 dari fungsi xxf 2 tan)( π= Jawab : Misal v(x) = π 2 x dan vvu =)( ,. Maka fungsi dapat dituliskan dengan uxf tan)( = . Turunan terhadap x, ( ) ( ) ( ) x x xvvuuf dx df 22 2 2 sec 2 ''' π π π == . Nilai turunan di x = 1, yaitu 2 )1(' π =f Soal latihan 2.3 ( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari 1. ( )y x= −2 3 10 2. y x= sin3 3. ( )y x x= −cos 4 2 4. y x x = + −       1 1 2 5. y x x = − +        cos 2 1 4 6. y = sin x tan [ x 2 + 1 ]
  13. 13. 29 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 7. y = sin [ cos ( sin 2x ) ] 8. Hitung f ‘ ( 3 ) bila f x x x ( ) = + +         2 2 1 2 9. Hitung g ‘ ( ½ ) bila g t t t( ) cos sin= π π2 10. Tentukan ( ) ( )fog ' 1 bila f(x) = cos π x dan g x x ( ) = 1 2 11. Tentukan ( ) ( )fog ' −1 bila f x x g x x x( ) ( )= − = − 1 1 42dan 12. Tentukan persamaan garis singgung dan normal kurva ( ) ( )y x x= + +2 3 4 2 1 1 di titik dengan absis x = 1. 2.4 Turunan Tingkat Tinggi Turunan kedua dari fungsi f( x ) didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan pertama. Demikian seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan bentuk turunan ke-(n-1). Turunan pertama ( ) f x df x dx '( ) = Turunan kedua ( ) f x d f x dx "( ) = 2 2 Turunan ketiga ( ) f x d f x dx "'( ) = 3 3 Turunan ke-n ( ) ( ) f x d f x dx n n n ( ) = Contoh 2.7 Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi 2 1)( xxf += Jawab : Turunan pertama, 2 1 )(' x x xf + = Turunan kedua digunakan rumus turunan dari fungsi hasilbagi, ( ) 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 )(" xx x x x xf + = + + −+ =
  14. 14. 30 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Turunan ketiga, ( ) 2 5 2 1 3 )('" x x xf + − = Gerak Partikel Misal Lintasan gerak partikel P dinyatakan dengan fungsi parameter s(t). Maka Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gerak P diberikan oleh Kecepatan, )(')( tstv = Percepatan, )(")( tsta = Contoh 2.8 Lintasan gerak partikel P ditentukan oleh persamaan : 102)( 23 −+−= tttts Tentukan : a. Kapan partikel P berhenti ? b. Besar percepatan P pada saat t = 2 Jawab : a. Kecepatan, 143)(')( 2 +−== tttstv . Partikel P berhenti berarti kecepatan sama dengan nol, sehingga t = 1/3 dan t = 1. b. Percetapan, 46)(")( −== ttsta . Untuk t = 2, maka a( 2 ) = 8 Soal Latihan 2.4 ( Nomor 1 sd 4 ) Tentukan turunan kedua dari 1. ( )y x= −sin 2 1 2. ( )y x= −2 3 4 3. y x x = + 1 4. ( )y x= cos2 π 5. Tentukan nilai c dari f c"( ) = 0 bila f x x x x( ) = + − −3 23 45 6 6. Tentukan nilai a, b dan c dari fungsi g x ax bx c( ) = + +2 bila g (1) = 5, g ‘ (1 ) = 3 dan g “(1) = - 4 7. Tentukan besar kecepatan sebuah obyek yang bergerak pada saat percepatannya nol bila lintasan obyek dinyatakan dengan persamaan : a. s = ½ t 4 - 5 t 3 + 12 t 2 . b. ( )s t t t= − + 1 10 14 604 3 2
  15. 15. 31 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 8. Dua buah partikel bergerak sepanjang garis koordinat. Pada saat waktu t jarak berarah dari titik pusat diberikan dengan s1 dan s2. Bilamana kedua partikel mempunyai kecepatan sama bila : a. s1 = 4 t - 3 t 2 dan s2 = t 2 - 2 t b. s1 = 3 t 3 - 3 t 2 + 18 t + 5 dan s2 = -t 3 + 9 t 2 - 12 t 2.5 Fungsi Implisit Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan fungsi implisit. Dalam menentukan turunan fungsi implisit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunannya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara menurunkan fungsi dalam bentuk implisit berikut. Contoh 2.9 Tentukan dx dy bila 524 =+− xyxy Jawab : Bentuk fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, x x y 21 54 + + = . Digunakan aturan penurunan didapatkan, ( )2 21 6 xdx dy + − = Contoh 2.10 Tentukan nilai dx dy di ( 2,1 ) bila 324 2 −=+− xyxy Jawab : Bentuk fungsi dapat diubah menjadi fungsi eksplisit dalam y, 2 24 3 y y x − + = . Menggunakan aturan penurunan didapatkan, ( )22 2 24 422 y yy dy dx − ++ =
  16. 16. 32 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Karena dy dxdx dy 1 = maka ( ) 422 24 2 22 ++ − = yy y dx dy . Nilai turunan di ( 2,1 ) atau y = 1, 2 1 = dx dy Contoh 2.11 Tentukan nilai dx dy di x = 1 bila 324 22 −=+− yxxy Jawab : Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi implisit. Misal turunan dari x dan y berturut-turut dinyatakan dengan dx dan dy. Bila dalam satu suku terdapat dua peubah (x dan y ) maka kita lakukan penurunan secara bergantian, bisa terhadap x dahulu baru terhadap y atau sebaliknya. Hasil turunan dx dy akan nampak bila masing-masing ruas dibagi oleh dx. 324 22 −=+− yxxy 0444 22 =++− dyyxdxyxdxdy 0444 22 =++− dx dy yxyx dx dy ( ruas kiri dan ruas kanan dibagi dengan dx ) yx yx dx dy 2 2 41 44 + − = Substitusi x = 1 ke fungsi didapatkan 012 2 =−+ yy atau y = ½ dan y = -1. Untuk ( 1, -1 ) , 0= dx dy Untuk ( 1, ½ ), 1= dx dy Soal latihan 2.5 ( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan turunan pertama dari 1. x 2 - y 2 = 1 2. 2 x y + 3 x - 2 y = 1 3. ( )y xy+ =sin 1 4. x x y y3 2 23 0− + = 5. tan ( x y ) - 2 y = 0 6. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit : x 2 + xy + y 2 - 3 y = 10. Tentukan a. Turunan pertama di x = 2 b. Persamaan garis singgung dan normal di x = 2
  17. 17. 33 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 7. Tentukan persamaan garis singgung dan normal dari kurva berikut di titik yang diberikan. a. y x x xy+ = 2 ; ( 1,1 ) b. x 3 y + y 3 x = 10 ; ( 1,2 ) c. x 2 y 2 + 3 xy = 10 y ; ( 2,1 ) d. sin ( xy ) = y ; ( ½ π, 1 ) e. y + cos ( xy 2 ) + 3 x 2 = 4 ; ( 1, 0 ) 8. Sebuah kurva dinyatakan dalam persamaan implisit : ( )x y x y+ − + = 3 2 1. Tentukan : a. dy dx b. Persamaan garis singgung kurva di titik potongnya dengan garis x + y = 2. 2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Kurva Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titik beratkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi. Pada bagian akhir dari sub bab penggunaan turunan ini, akan dijelaskan tentang dalil Delhospital untuk menghitung limit fungsi baik limit di suatu titik, limit di tak hingga maupun limit tak hingga. Definisi : Fungsi Monoton Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila ( ) ( )f x f x1 2> untuk x x x x I1 2 1 2> ∈; , . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila ( ) ( )f x f x1 2< untuk x x x x I1 2 1 2> ∈; , . Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( α ) yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan α . Bila sudut lancip (α < ½ π ) maka m > 0 dan m < 0 untuk α > ½ π. Karena gradien garis singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang fungsi naik atau fungsi turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka kemonotonan fungsi diberikan berikut : 1. Fungsi f(x) naik bila f x'( )> 0 2. Fungsi f(x) turun bila f x'( )< 0
  18. 18. 34 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 2.12 Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi 52)( 234 −++= xxxxf Jawab : Turunan pertama, xxxxf 264)(' 23 ++= . Untuk 0264)(' 23 >++= xxxxf , maka fungsi naik pada –1 < x < - ½ atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ < x < 0. Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f ( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang melalui titik tersebut. Definisi : Kecekungan Fungsi Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f x'( )naik pada selang I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f x'( ) turun pada selang I. Oleh karena itu dapat disimpulkan : 1. Bila f x x I"( ) ,> ∈0 maka f(x) cekung ke atas pada I dan 2. Bila f x x I"( ) ,< ∈0 maka f(x) cekung ke bawah pada I. Contoh 2.13 Tentukan selang kecekungan dari fungsi : x x xf + + = 1 1 )( 2 Jawab : Turunan pertama, ( )2 2 1 12 )(' x xx xf + −+ = Turunan kedua, ( )3 1 4 )(" x xf + = Fungsi cekung ke atas, 0)(" >xf pada selang x > -1 dan fungsi cekung ke bawah pada selang x < -1. Soal Latihan 2.6 Tentukan selang kemonotonan dan kecekungan dari kurva berikut 1. ( )f x x( ) = − 3 3
  19. 19. 35 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 2. f x x x( ) = + −2 9 133 2 3. f x x x x( ) = − + +3 22 1 4. f x x x( ) = − +3 4 24 3 5. f x x x( ) = −6 43 6. f x x x ( ) = −2 2 7. f x x x ( ) = + 2 2 1 2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot Misal diberikan kurva f( x ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradien m = 0 ( )[ ]f a' = 0 . Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai x = a disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim. Definisi : Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk setiap x ∈ I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) < f(x) untuk setiap x ∈ I. Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x) dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut : 1. Tentukan turunan pertama dan kedua, )("dan)(' xfxf 2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama ( f x'( ) = 0 ), misalkan nilai stasioner adalah x = a 3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f a"( ) < 0, sedangkan nilai f (a) merupakan nilai minimum bila f a"( ) > 0 . Contoh 2.14 Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi 52)( 234 −++= xxxxf Jawab : Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, 21212)(" 2 ++= xxxf . Untuk x = -1, 2)1(" =−f dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
  20. 20. 36 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Untuk x = - ½ , 1)(" 2 1 −=−f dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum ( ) 16 15 42 1 −=−f Untuk x = 0, 2)0(" =f dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum adalah f ( 0 ) = -5 Definisi : Titik Belok Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) bila terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan disisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya. Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku f b"( ) = 0 atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b. Kata “ syarat perlu “ mirip artinya dengan kata “ calon “, maksudnya bahwa untuk nilai x = b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua syarat itu memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi syarat seperti halnya yang tertulis pada definisi. Contoh 2.15 Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut : a. f x x( ) = −2 13 b. f x x( ) = 4 c. f x x( ) = + 1 3 1 Jawab : a. Dari f x x( ) = −2 13 maka f x x"( ) = 12 . Bila f x"( ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut. Untuk x < 0 maka f x"( ) < 0 , sedangkan untuk x > 0 maka f x"( ) > 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 ) merupakan titik belok. b. Dari f x x( ) = 4 maka f x x"( ) = 12 2 . Bila f x"( ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut. Untuk x < 0 dan x > 0 maka f x"( ) > 0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok. c. Dari f x x( ) = + 1 3 1 maka f x x "( ) = − 2 9 5 3 . Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0. Untuk x < 0 maka f x"( ) > 0 , sedangkan untuk x > 0 maka f x"( ) < 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok
  21. 21. 37 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Asymtot Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva. Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu : 1. Asymtot mendatar 2. Asymtot tegak 3. Asymtot miring Misal diberikan kurva y = f ( x ). Maka garis y = b disebut asymtot mendatar dari y = f ( x ) bila : lim ( ) x f x b →∞ = atau lim ( ) x f x b →−∞ = . Sedangkan garis x = a disebut asymtot tegak bila berlaku salah satu dari : 1. lim ( ) x a f x → + = ∞ 2. lim ( ) x a f x → + = −∞ 3. lim ( ) x a f x → − = ∞ 4. lim ( ) x a f x → − = −∞ Contoh 2.16 Carilah asymtot datar dan asymtot tegak dari fungsi 1 )( 2 2 − − = x x xf Jawab : Asymtot datar, y = -1 sebab 1 1 lim)(lim 2 2 −= − − = ∞→∞→ x x xf xx atau 1)(lim −= ∞−→ xf x Asymtot tegak, x = -1 dan x = 1 sebab ∞= − − = ++ −→−→ 1 lim)(lim 2 2 11 x x xf xx dan −∞= − − = ++ →→ 1 lim)(lim 2 2 11 x x xf xx Garis y = a x + b dikatakan sebagai asymtot miring dari y = f ( x ) bila berlaku ( )[ ] ( )[ ]lim ( ) lim ( ) x x f x ax b f x ax b →∞ →−∞ − + = − + =0 0atau . Untuk mendapatkan asymtot miring dari fungsi rasional f x P x Q x ( ) ( ) ( ) = [ pangkat P(x) = 1 + pangkat Q(x) ] dilakukan dengan cara membagi P(x) dengan Q(x) sehingga hasilbagi yang didapatkan merupakan asymtot miring dari f(x).
  22. 22. 38 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 2.17 Carilah asymtot dari fungsi 1 32 )( 2 − −− = x xx xf Jawab : Asymtot datar tidak ada sebab ∞= ∞→ )(lim xf x atau −∞= ∞−→ )(lim xf x . Asymtot tegak, x = 1 sebab ∞= − −− = −− →→ 1 32 lim)(lim 2 11 x xx xf xx . Asymtot miring, y = x – 1 sebab ( ) 0 1 4 lim1 1 32 lim 2 = − − =         −− − −− ∞→∞→ x x x xx xx Grafik Fungsi Dalam mengambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu : selang kemonotongan, selang kecekungan, titik ekstrim dan jenisnya, titik potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titik belok ( bila ada ), semua asymtot ( bila ada ) dan titik lain ( sembarang ) yang dapat membantu memudahkan menggambarkan grafik. Soal latihan 2.7 ( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari kurva dengan persamaan berikut : 1. f x x x( ) = − +3 23 2 2. f x x x( ) = − +3 3 4 3. ( )f x x x x( ) sin ,= − < < 2 0 2π 4. f x x x( ) cos ,= − < <      2 2 3 2 π π 5. f x x ( ) = + 4 4 1 6. f x x x( ) = −3 44 3 ( Nomor 7 sd 10 ) Tentukan titik belok dari kurva berikut ( bila ada ) 7. f x x x( ) = − 1 6 23 8. f x x( ) = + 2 9. f x x( ) = +4 4
  23. 23. 39 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 10. f x x x x x( ) = − − + +4 3 26 24 2 ( Nomor 11 sd 21 ) Cari semua asymtot dari fungsi berikut : 11. f x x x ( ) = − 2 3 12. f x x x ( ) = − 2 2 1 13. 2 1 )( x x xf − = 14. ( ) f x x x ( ) = − 1 2 2 15. f x x x ( ) = −2 1 16. f x x x ( ) = − 2 42 17. f x x x ( ) = + −2 3 1 3 18. f x x x ( ) = −2 2 19. f x x x x ( ) = − − + 2 2 3 2 20. ( ) f x x x ( ) = − 2 3 2 21. f x x x ( ) = −4 3 2 ( Nomor 22 sd 28 ) Gambarkan grafik kurva berikut : 22. f x x x( ) = − −3 3 1 23. f x x x x( ) = − + +3 22 1 24. f x x x( ) = − +3 4 24 3 25. f x x x( ) = −6 43 26. f x x x( ) = − +3 5 15 3 27. f x x x ( ) = + 2 1 28. ( ) f x x x ( ) = + 3 8 2
  24. 24. 40 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 2.8 Dalil Delhospital Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit yaitu : 0 0 0, , . ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞dan . Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan oleh Delhospital. Bentuk 0 0 dan ∞ ∞ Misal lim f(x) = lim g(x) = 0 atau lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka lim ( ) ( ) lim '( ) '( ) f x g x f x g x = . Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan bentuk 0 0 atau ∞ ∞ maka dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan merupakan bentuk tak tentu tersebut. Penulisan lim di atas mengandung maksud ∞→−∞→→→→ −+ xxaxaxax limataulim,lim,lim,lim . Contoh 2.18 Hitung limit berikut a. lim cos x x x→ − 0 2 1 2 b. lim x x x x→∞ + + 3 4 2 1 Jawab : a. lim cos lim sin lim cos x x x x x x x x → → → − = = = 0 2 0 0 1 2 2 2 2 4 2 2 2 b. lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x→∞ →∞ →∞ →∞ + + = + = = = 3 4 2 3 2 2 1 3 2 4 6 12 6 24 0 Bentuk 0 . ∞∞∞∞ Misal lim f(x) = 0 dan lim g(x) = ∞. Maka lim f(x) g(x) merupakan bentuk 0 . ∞ . Untuk menyelesaikannya kita ubah menjadi bentuk 0 0 atau ∞ ∞ yaitu : lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x g x f x = =1 1 . Selanjutnya solusi dari limit tersebut diselesaikan dengan cara seperti bentuk sebelumnya.
  25. 25. 41 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 2.19 Hitung limit berikut a. lim sec /x x x → −       π π 2 2 b. lim csc x x x →0 2 Jawab : a. lim sec lim cos lim sin/ / /x x x x x x x x→ → → −       = − = − = − π π π π π 2 2 22 2 1 1 b. lim csc lim sin lim cosx x x x x x x x x→ → → = = = 0 2 0 2 0 2 0 Bentuk ∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ Misal lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka untuk menyelesaikan lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f(x) - g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya. Contoh 2.20 Hitung ( )lim csc cot x x x → − 0 Jawab : ( )lim csc cot lim sin cos sin lim cos sin lim sin cosx x x x x x x x x x x x x→ → → → − = −       = − = = 0 0 0 0 1 1 0 Sebagai catatan bahwa tidak semua bentuk limit tak tentu dapat diselesaikan menggunakan dalil Delhospital. Hal ini seringkali terjadi di dalam menyelesaikan limit fungsi f(x) dengan f(x) bukan merupakan fungsi rasional. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh berikut. Contoh 2.21 Hitung limit berikut : a. lim x x x x→−∞ − − 2 3 1 b. lim x x x x →∞ + − +      2 2 1
  26. 26. 42 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Jawab: a. lim lim ( ) x x x x x x x x x x x x→−∞ →−∞ − − = − − − = 2 2 2 3 1 3 1 1 b. lim lim x x x x x x x x x x x→∞ →∞ + − +       = − + + + =2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 Soal latihan 2.8 Hitung limit berikut ( bila ada ) 1. lim x x x→+∞ + − 2 1 2 5 2. lim x x x x→−∞ − − 4 2 1 2 3 3. lim x x x→+∞ − + 5 3 4 3 4. lim x x x→+∞ − + 3 5 6 2 3 5. lim x x x→+∞ − + 2 1 1 2 6. lim x x x→−∞ + + 2 1 1 2 2 7. lim csc x x x →0 2 8. ( )lim cot cos x x x → − 0 2 1 2 9. lim x x x x →+∞ + −      2 10. lim x x x →+∞ + −      2 3 11. lim x x x x x →+∞ + − −      2 2 12. lim x x x x →−∞ − − −      2 23 3 13. l i m x x x x→ +∞ + − −      2 6 5 14. ( ) lim sin x ax ax→0
  27. 27. 43 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 15. lim tan sinx x x→0 5 2 16. lim sin ( ) x x x→0 2 2 5 17. lim sin cosx x x→ −01 18. lim sin cosx x x x→ −01 19. lim cos cosx x x→ − −0 2 1 1 5 20. lim cosx x x→ −0 2 1
  28. 28. 64 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom BAB 4 FUNGSI TRANSENDEN 4.1 Fungsi Invers 4.2 Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponen 4.3 Fungsi Invers Trigonometri 4.4 Fungsi Hiperbolik 4.5 Fungsi Invers Hiperbolik 4.6 Limit Bentuk Tak Tentu 4.1 Fungsi Invers Definisi : Fungsi Invers Misal dua fungsi f dan g berlaku komposisi berikut : (i) f ( g(x) ) = x , untuk setiap x ∈ Dg. (ii) g ( f(y) ) = y, untuk setiap y ∈ Df. Maka f disebut invers dari g ( notasi f = g -1 ) atau g disebut invers dari f ( g = f -1 ). Dari definisi di atas diperoleh hubungan, Ifoffof == −− 11 I merupakan fungsi identitas, yaitu fungsi yang memetakan ke dirinya sendiri. Berikut merupakan contoh fungsi dan inversnya. Fungsi f(x) = 1 + x mempunyai invers 1)(1 −=− xxf , sebab ( ) ( ) ( ) ( ) )(111)()( 11 xIxxxfxffxfof ==−+=−== −− . Satu hal yang menarik bagi kita, apakah setiap fungsi punya invers ? Bagaimana cara mendapatkan invers dari suatu fungsi ? Beberapa sifat berikut dapat digunakan untuk menjawab pertanyaan ini. Sifat-sifat : antara fungsi dan inversnya. 1. Grafik fungsi f dan f -1 simetri terhadap garis y = x. 2. Domain f sama dengan range f -1 atau range f sama dengan domain f -1 . 3. Fungsi f(x) punya invers bila dan hanya bila tidak ada garis mendatar yang memotong grafik f(x) lebih dari satu titik. 4. Fungsi f(x) punya invers bila dan hanya bila f(x) berkorespondensi satu-satu [ yaitu bila f(x1) ≠ f(x2) maka x1 ≠ x2 ]. 5. Misal interval I merupakan domain f(x) dan f(x) naik atau f(x) turun pada I. Maka f(x) punya invers pada I. Misal y = f -1 ( x ). Maka didapatkan x = f ( y ) . Hal ini memot4asi kepada kita suatu cara untuk menentukan invers dari fungsi y = f ( x ). Untuk menentukan invers dari suatu fungsi y = f ( x ) dilakukan dengan cara mensubstitusikan peubah y ke dalam x, sehingga fungsi dinyatakan secara eksplisit dalam peubah y. Tuliskan f ( y ) = x dan
  29. 29. 65 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom nyatakan fungsi yang diperoleh tersebut menjadi fungsi eksplisit dalam peubah x. Hasil terakhir merupakan invers dari y = f ( x ). Contoh 4.1 Tentukan invers dari fungsi f x x x ( ) = − + 1 2 Jawab : f y y y x y y y x x f x x x ( ) ( )= − + ⇒ = − + ⇒ = − − − ⇒ = − − − −1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 Soal Latihan 4.1 ( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1. f x x x x( ) ,= + > 1 0 2. f x x( ) = −2 13 3. f x x( ) = +4 25 4. f x x x( ) ,= + ≥ 5 1 02 5. f x x x ( ) = + − 1 1 6. Tentukan range ( daerah hasil ) dari invers fungsi di atas ( nomor 1 sd 5 ) 4.2 Fungsi Logaritma dan Eksponen Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers dan dinyatakan sebagai : 0,;log >=⇔= bxbxxy yb Sifat-sifat logaritma : 1. b log 1 = 0 2. b log b = 1 3. b log ac = b log a + b log c 4. b log a/c = b log a - b log c 5. b log a r = r b log a 6. b a a c c b log log log =
  30. 30. 66 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bilangan Natural Bilangan natural dinotasikan dengan e dan didefinisikan sebagai : ( ) ( )e x x x x x x = + = + = → →∞ lim lim , ... 0 1 1 1 1 2 718 Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai : ln ,x t dt x x = >∫ 1 0 1 ln x = e log x Turunan fungsi logaritma natural : [ ]D x xx ln = 1 Jadi secara umum : [ ]D u u du dx u du u Cx ln ln= ⇔ = +∫ 1 1 . Contoh 4.2 Hitung integral ∫ + dx x x cos1 sin Jawab : Misal u = 1 + cos x. Maka du = - sin x. Sehingga ( ) Cxdx x x ++−= + ∫ cos1ln cos1 sin Eksponen Natural Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan dinotasikan : y e x y x = ⇔ = ln Sifat yang dapat diturunkan langsung dari definisi adalah : 1. e y yyln ,= ∀ > 0 2. ln ,e x x Rx = ∀ ∈ Turunan dan integral dari eksponen natural: ( )D e e du dx e du e Cx u u u u = ⇔ = +∫ Misal a > 0 dan x ∈ R. Didefinisikan : a e x x a = ln . Maka :
  31. 31. 67 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom (i) [ ]D a a a du dxx u u = (ln ) (ii) a du a a Cu u = +∫ 1 ln Misal y x x a a = =log ln ln . Maka ( )D x x ax a log ln = 1 . Jadi secara umum ( )D u u a du dxx a log ln = 1 Contoh 4.3 Cari trunan pertama dari fungsi : 1. 12 2 )( −= xexf 2. xxxf 5)( = Jawab : 1. Misal 12 2 −= xu . Maka uexf =)( . Turunan pertama, 12 2 4 −== xex dx du du df dx df . 2. ( )5ln15 x dx df x += Contoh 4.4 Selesaikan integral berikut : 1. ( )∫ −− dxx xx 2 1021 2. ( ) dxex xx ∫ −− 1 0 22 1 Jawab : 1. Misal 2xxu −= . Maka du = ( 1 – 2x ) dx dan ( ) Cdxx xx xx +=− − − ∫ 10ln 10 1021 2 2 2. Misal xxu 22 −= . Maka du = ( 2x -2 ) dx. Sehingga : ( ) ( )1 2 1 0 1 2 1 1 12 1 0 2 22 −==− −−− ∫ eedxex xxxx
  32. 32. 68 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Soal Latihan 4.2 ( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari : 1. ( )y x x= − +ln 2 5 6 2. y = x ln x 3. y x x = ln 2 4. y x x x = + − + 13 4 2 13( ) 5. ( ) ( ) y x x x = + + + 2 2 3 23 3 2 1 / 6. ( )y x= ln sin 7. y + ln ( xy ) = 1 ( Nomor 8 sd 13 ) Selesaikan integral berikut : 8. 4 2 1x dx + ∫ 9. 4 2 5 2 x x x dx + + + ∫ 10. ( ) 2 2 x x dx ln ∫ 11. x x dx 3 2 1+ ∫ 12. 3 1 21 4 − ∫ x dx 13. ( ) 1 11 4 x x dx + ∫ ( Nomor 14 sd 16 ) Carilah y’ dari : 14. y x x = − 3 2 44 15. ( )y x= + 10 2 9log 16. y x= log ( Nomor 17 sd 22 ) Selesaikan integral tak tentu berikut : 17. x dxx 2 2 ∫
  33. 33. 69 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 18. 10 5 1x dx − ∫ 19. ( )x e dx x x + + ∫ 3 2 6 20. ( )e e dx x x− − −∫ sec 2 2 21. (cos ) sin x e dx x ∫ 22. e dx x2 ln ∫ 4.3 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi Trigonometri merupakan fungsi periodik sehingga pada daerah ℜ ( domainnya ) bukan merupakan fungsi satu-satu. Ini berarti fungsi trigonometri tidak mempunyai invers, Oleh karena itu untuk mendapatkan fungsi inversnya maka domain dari fungsi trigonometri harus dibatasi. Misal f(x) = sin x. Maka agar f(x) = sin x merupakan fungsi satu-satu maka domainnya diambil : − ≤ ≤ − ≤ ≤     π π 2 2 1 1x f x; ( ) Pada daerah di atas f( x ) = sin x merupakan fungsi satu-satu dan oleh karena itu mempunyai invers. Notasi invers : x f x arc f x= =−sin ( ) sin ( )1 Turunan fungsi invers Trigonometri Misal y u u y= − ≤ ≤ − ≤ ≤     −sin ;1 1 1 2 2 π π dengan u merupakan fungsi dalam x. Maka turunan y dy dx '=       didapatkan sebagai berikut : y u u y dy du y = ⇔ = ⇔ =−sin sin cos 1 1 Bila sin y = u maka cos y u= −1 2 . Oleh karena itu, dy du u = − 1 1 2 . Jadi : y u u ' ' = −1 2 . Dengan menggunakan anti turunan dari invers sinus didapatkan rumus integral : du u u C 1 2 1 − = +− ∫ sin
  34. 34. 70 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Untuk fungsi invers trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan cara sama : 1. [ ]y u u y= − ≤ ≤ ≤ ≤−cos ;1 1 1 0 π y u u du u u C' ' cos= − − ⇔ − = − +− ∫ 1 12 2 1 2. y u u y y u u = − ∞ < < ∞ − < <     ⇒ = + −tan ; ' '1 22 2 1 π π 3. y u u y y y u u = ≤ < ∞ − ≤ < ∨ < ≤     ⇒ = − + −cot ; ' '1 20 2 0 0 2 1 π π du u u C u C1 2 1 1 + = + − +     − −∫ tan cot 4. y u u y y y u u u = ≥ ≤ < ∨ < ≤     ⇒ = − −sec | | ; ' '1 2 1 0 2 2 1 π π π 5. y u u y y y u u u = ≥ − ≤ < ∨ < ≤     ⇒ = − − −csc | | ; ' '1 2 1 2 0 0 2 1 π π 6. du u u u C u C2 1 1 1− = + − +     − −∫ sec csc Contoh 4.5 Cari turunan pertama dari : ( )1sin)( 21 += − xxf Jawab : Misal 12 += xu . Maka du = 2 x dx dan ( )22 11 2 )(' +− == x x dx du du df xf Contoh 4.6 Hitung integral berikut : ∫ + 1 0 21 dx e e x x Jawab : Misal xeu = . Maka dxedu x= . Sehingga : ( ) ( ) 4 tan1tantan 0 1 tan 1 1 1 1111 1 0 2 1 0 2 π −=−== + = + −−−− ∫∫ eeeed e dx e e xx xx x
  35. 35. 71 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Soal Latihan 4.3 ( Nomor 1 sd 10 ) Carilah turunan dari : 1. ( )y x= +−cos 1 2 1 2. ( )y x= −cot 1 3. ( )y x= −cos cos1 4. y x= −tan 1 5. ( )y x x= −2 1 3 sin 6. ( )y x x= + −1 1 2 sec 7. ( )y e x= − −sin 1 3 8. y x x = − + −csc 1 1 1 9. ( )y x e x= −tan 1 2 10. ( )y x x= −sin ln1 2 ( Nomor 11 sd 17 ) Hitung integral berikut : 11. dx x1 4 2− ∫ 12. dx x x9 12 − ∫ 13. t dt t4 1+ ∫ 14. sec tan 2 21 x dx x− ∫ 15. ( ) dx x x1 2 − ∫ ln 16. e dx e x x − −       − ∫ 1 2 2 2 3 ln ln 17. ( ) dx x x +∫ 1 1 3
  36. 36. 72 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 4.4 Fungsi Hiperbolik Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut : sinh coshx e e dan x e ex x x x = − = +− − 2 2 Untuk fungsi hiperbolik yang lain : 1. tanh sinh cosh x x x e e e e x x x x = = − + − − 2. coth cosh sinh x x x e e e e x x x x = = + − − − 3. sec cosh h x x e ex x = = − − 1 2 4. csc sinh h x x e ex x = = + − 1 2 Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik : 1. cosh 2 x - sinh 2 x = 1 2. 1 - tanh 2 x = sech 2 x 3. coth 2 x - 1 = csch 2 x 4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y 5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 6. cosh x + sinh x = e x . 7. cosh x - sinh x = e -x . 8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x 9. cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x = 2 sinh 2 x + 1 = 2 cosh 2 x - 1 10. cosh ( -x ) = cosh x 11. sinh ( -x ) = - sinh x 12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y 13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y 14. ( )tanh tanh tanh tanh tanh x y x y x y + = + +1 15. ( )tanh tanh tanh tanh tanh x y x y x y − = − −1 16. tanh tanh tanh 2 2 1 x x x = + 17. ( )cosh cosh 1 2 1 2 1x x= + 18. ( )sinh cosh 1 2 1 2 1x x= ± −
  37. 37. 73 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 19. sinh sinh sinh coshx y x y x y + = +      −     2 2 2 20. cosh cosh cosh coshx y x y x y + = +      −     2 2 2 Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik Misal y = sinh u. Maka y D e e e e u u ux u u u u ' ' cosh '= −        = + = − − 2 2 . Jadi : cosh sinhu du u C= +∫ Untuk fungsi hiperbolik yang lain: 1. y u y u u u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫cosh ' sinh ' sinh cosh 2. y u y h u u h u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫tanh ' sec ' sec tanh2 2 3. y u y h u u h u du u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫coth ' csc ' csc coth2 2 4. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫sec ' sec tanh ' sec tanh sec 5. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫csc ' csc coth ' csc coth csc Contoh 4.7 Cari turunan pertama dari [ ]( )21lntanh)( xxf −= Jawab : Misal 21 xu −= dan v = ln u. Maka [ ]( )22 2 1lnsec 1 2 )(' xh x x dx du du dv dv df xf − − − == Contoh 4.8 Selesaikan integral : ( )∫ − dxx 12tanh Jawab : Misal u = 2x –1 . Maka ( ) ( ) [ ]( )∫∫ +−==− Cxud u dxx 12coshln 2 1 cosh cosh 1 2 1 12tanh
  38. 38. 74 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Soal Latihan 4.4 ( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari : 1. y = cosh x 4 . 2. y = ln ( tanh 2x ) 3. y = cosh ( 1/x ) 4. y = sinh 3 ( 2x ) 5. ( )y x x= +4 52cosh ( Nomor 6 sd 10 ) Hitung integral berikut : 6. ( )cosh 2 3x dx−∫ 7. ( )csch x dx2 3∫ 8. coth csc2 2x h x dx∫ 9. ∫ dxxcoth 10. sinh cosh6 x x dx∫ 4.5 Fungsi Invers Hiperbolik Tidak semua fungsi hiperbolik pada domainnya merupakan fungsi satu-satu sehingga tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, agar didapatkan fungsi invers hiperbolik maka kita batasi domain fungsinya. Sedangkan untuk mencari turunan dari fungsi invers hiperbolik dilakukan terlebih dahulu cara sebagai berikut. Misal y = sinh -1 u. Maka u = sinh y [ ∀ u, y ]. Jadi : u e e e u e e ue y y y y y y= − ⇔ − − = ⇔ − − = − − 2 2 0 2 1 02 ( )⇔ = ± + = + + > ∀e u u u u sebab e yy y2 21 1 0: , ⇔ = + +      y u uln 2 1 Turunan Fungsi invers Hiperbolik. Misal y u u u= = + +      −sinh ln1 2 1 . Maka : y u u u u u u u ' ' ' = + + + +         = + 1 1 1 1 12 2 2 Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperbolik, didapatkan :
  39. 39. 75 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom du u u C 2 1 1+ = +− ∫ sinh Dengan cara sama diperoleh turunan dan integral fungsi invers hiperbolik, sebagai berikut : 1. { }y u u u u= = + −      ≥− cosh ln ,1 2 1 1 y u u du u u C' ' cosh= − ⇔ − = +− ∫2 2 1 1 1 2. { }y u u u u= = + −       <− tanh ln , | |1 1 2 1 1 1 y u u du u u C bila u' ' tanh , | |= − ⇔ − = + <− ∫1 1 12 2 1 3. { }y u u u u y u u du u u C bila u = = + −       > = − ⇔ − = + > − − ∫ coth ln , | | ' ' coth , | | 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4. { }y h u u u u y u u u du u u h u C = = + −         < ≤ = − − ⇔ − = − + − − ∫ sec ln , ' ' sec | | 1 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 5. { }y h u u u u u y u u u du u u h u C = = + +        ≠ = − + ⇔ + = − + − − ∫ csc ln | | , ' ' | | csc | | 1 2 2 2 1 1 1 0 1 1 Contoh 4.9 Cari turunan pertama dari : ( )xehxf 1sec)( −= Jawab : Misal xeu = . Maka xe xf 21 1 )(' − − =
  40. 40. 76 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 4.10 Hitung integral : ∫ + 42x dx Jawab : C x x x d x dx +      = +            = + − ∫∫ 2 sinh 1 2 2 4 1 22 Soal Latihan 4.5 ( Nomor 1 sd 12 ) Tentukan dy/dx dari : 1. y x= +− cosh ( )1 2 1 2. ( )y x= − coth 1 3. ( )y h e x = − csc 1 2 4. y x = − 1 1 tanh 5. y x =      − sinh 1 1 6. ( )y x= − cosh cosh1 7. ( )y x= − ln cosh 1 8. y x= − coth 1 9. ( )y x= − sinh tanh1 10. y e h xx = − sec 1 11. y x x = − +      − tanh 1 1 1 12. ( )y x h x= + − 1 1 10 csc ( Nomor 13 sd 20 ) Hitung integral berikut : 13. dx x1 9 2 + ∫ 14. dx x2 2− ∫
  41. 41. 77 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 15. dx x9 252 − ∫ 16. dx e x 1 2 − ∫ 17. sin cos x dx x1 2 + ∫ 18. dx x x1 6 + ∫ 19. dt t2 0 3 1+ ∫ 20. dt t t1 1 4 1 2 −∫ / / 4.6 Limit Bentuk Tak Tentu Dalam menentukan turunan dari fungsi berpangkat fungsi dapat digunakan sifat logaritma natural. Misal y f x g x= ( ) ( ) . Maka didapatkan : ln ( ) ln ( )y g x f x= . Oleh karena itu, turunan dari y, yaitu : y g x f x g x f x f x f x g x' '( )ln ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )= +       Contoh 4.11 Tentukan turunan pertama dari fungsi ( ) xxy cos12 += Jawab : Misal f(x) = 2x + 1 dan g(x) = cos x. Maka f ‘(x) = 2 dan g ‘(x) = - sin x. Sehingga turunan pertama, ( ) ( ) xx x x xxy cos12 12 cos2 12lnsin' +      + ++−= Sedangkan limit dari fungsi berpangkat fungsi, lim lim ( ) ( ) x a x a g xy f x → → = akan memunculkan bentuk tak tentu berikut : 0 10 0,∞ ∞dan . Untuk menyelesaikannya dihitung: [ ]lim ln lim ( ) ln ( ) x a x a y g x f x → → =
  42. 42. 78 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Misal nilai dari lim ln x a y A → = . Maka lim x a Ay e → = . Contoh 4.12 Hitung limit berikut a. ( )lim x x x → + 0 1 1 b. ( )lim tan cos x x x →       −π 2 c. lim x xx → +0 Jawab : a. Limit mempunyai bentuk tak tentu 1 ∞ . Misal ( )y x x= +1 1 . Maka lim ln lim ln( ) x x y x x→ → = + 0 0 1 dan mempunyai bentuk tak tentu 0 0 . Menggunakan lhospital didapatkan : lim ln lim x x y x→ → = + = 0 0 1 1 1. Jadi ( )lim x x ex → + = 0 1 1 b. Limit mempunyai bentuk tak tentu ∞ 0 . Misal ( )y x x = tan cos . Maka ( )lim ln lim cos ln tan lim ln tan sec lim sec tan x x x x y x x x x x x →       →       →       →       − − − − = = = = π π π π 2 2 2 2 2 1 0 Jadi ( )lim tan cos x x x →       − = π 2 1 c. Limit mempunyai bentuk tak tentu 0 0 . Misal y = x x . Maka lim ln lim ln lim ln lim x x x x y x x x x x → → → − →+ + + + = = = − = 0 0 0 1 0 0. Jadi lim x xx → + = 0 1 Soal Latihan 4.6 Hitung limit berikut ( bila ada ) : 1. lim ( ) x x x → − 1 1 1 2. ( )lim sin x x x → + 0 1 2 1
  43. 43. 79 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 3. lim cos x x x→∞     2 2 4. ( )lim ln x xe x → + − 0 2 1 1 5. ( )lim ln x x x →∞ +1 2 1 6. ( )lim ln x x x →∞ 1 7. ( )lim x x x x →∞ +3 5 1 8. lim x xx x→∞ + +       1 2
  44. 44. 103 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom BAB 6 BARISAN DAN DERET 6.1 Barisan Bilangan 6.2 Deret Tak Hingga 6.3 Deret Berganti Tanda 6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat 6.5 Deret Kuasa 6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin 6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa 6.1 Barisan Bilangan Barisan bilangan tak hingga didefinisikan sebagai fungsi dengan domain merupakan bilangan bulat positif. Notasi yang biasa digunakan adalah: a : n → { }a a an n= ∞ = 1 1 2, ,... , n ∈ B + . an ∈ ℜ merupakan suku barisan ke-n dan tiga buah titik setelah suku kedua menunjukkan bahwa suku-suku barisan tersebut sampai tak hingga. Contoh 6.1 1. 1 1 1 2 1 3 1 1n nn       = = ∞ , , ,..., ,.... 2. n n n nn+       = += ∞ 1 1 2 2 3 11 , ,..., ,.... 3. ( ) ( ){ } ( ) ( )− + = − − ++ = ∞ +1 2 3 4 5 1 21 1 1n n nn n, , ,..., ,... Barisan bilangan tak hingga { }an n= ∞ 1 disebut barisan konvergen ke L ∈ ℜ bila lim n na L →∞ = , sedangkan bila limit tidak ada atau nilainya tak hingga maka barisan bilangan tak hingga { }an n= ∞ 1 disebut barisan divergen. Sifat limit barisan : 1. lim n C C →∞ = 2. ( )lim lim lim n n n n n n nCa Db C a D b →∞ →∞ →∞ + = +
  45. 45. 104 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 3. lim lim lim n n n n n n na b a b →∞ →∞ →∞ = 4. lim lim lim ; lim n a n n n n n n n n b a b b →∞ →∞ →∞ →∞ = ≠ 0 Contoh 6.2 Selidiki kekonvergenan barisan bilangan berikut 1. ∞ =      − + 12 1 nn n 2. ..., 6 27 , 4 9 , 2 3 Jawab : 1. Suku ke-n, 2 1 − + = n n an . 1 2 1 limlim = − + = ∞→∞→ n n a n n n . Jadi barisan konvergen ke 1 2. ..., 2 3 ...,, 6 3 , 4 3 , 2 3 ..., 6 27 , 4 9 , 2 3 32 n n = Suku ke-n , n a n n 2 3 = . Digunakan dalil Delhopital, ∞=== ∞→∞→∞→ 2 3ln3 lim 2 3 limlim n n n n n n n a . Jadi barisan divergen. Definisi : Barisan Monoton Barisan bilangan tak hingga { }an n= ∞ 1 disebut barisan : (i) Monoton Naik bila a an n≤ +1 (ii) Monoton Turun bila a an n≥ +1 Soal Latihan 6.1 ( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan konvergensi barisan berikut ! 1. n n n+       = ∞ 2 1 2. ( )−        + = ∞ 1 1 2 1 n n n 3. πn n n 4 1         = ∞
  46. 46. 105 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 4. n n n n + +               = ∞ 3 1 1 5. 1 2 1 −               = ∞ n n n 6. n n n2 1       = ∞ 7. 1 2 3 4 5 6 7 8 , , , ,... 8. 1 3 1 9 1 27 1 81 , , , ,... 9. 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 −       −       −      , , ,... 10. ( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 5− − −, , ,... 6.2 Deret Tak Hingga Bentuk deret tak hingga dinyatakan dengan notasi sigma sebagai berikut : a a a ak k k = + + + + = ∞ ∑ 1 2 1 ... ... ak disebut suku-suku deret. Jumlah Deret Misal Sn menyatakan jumlah parsial n suku pertama deret ak k= ∞ ∑ 1 . Maka S a S a a S a a a an n k k n 1 1 2 1 2 1 2 1 = = + = + + + = = ∑ .................... ..................... .................... ... Barisan { }Sn n= ∞ 1 disebut barisan jumlah parsial deret ak k= ∞ ∑ 1 .
  47. 47. 106 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Misal { }Sn n= ∞ 1 merupakan barisan jumlah parsial deret ak k= ∞ ∑ 1 dan barisan { }Sn n= ∞ 1 konvergen ke S. Maka deret ak k= ∞ ∑ 1 dikatakan deret konvergen ke S dan S disebut jumlah dari deret ak k= ∞ ∑ 1 , dinotasikan dengan : S ak k = = ∞ ∑ 1 . Sedangkan bila barisan { }Sn n= ∞ 1 divergen maka deret ak k= ∞ ∑ 1 dikatakan deret divergen dan tidak ada jumlah. Deret Geometri Bentuk deret geometri yaitu : a r a a r a rk k k − − = ∞ = + + + +∑ 1 1 1 ... ... dengan a ≠ 0 dan r merupakan rasio. Pandang jumlah parsial n suku deret geometri berikut : ( ) S a a r a r r S a r ... a r a r S a r r n n n n n n n = + + + = + + + − = − − − − ... .............................................................. 1 1 1 1 Bila r =1 maka Sn tidak terdefinisi. Sedang untuk | r | > 1 maka lim n nr →∞ = ∞ , sehingga lim n nS →∞ = ∞ atau barisan { }Sn n= ∞ 1 divergen. Oleh karena itu, deret a rk k − = ∞ ∑ 1 1 divergen.. Untuk | r | < 1 maka lim n nr →∞ = 0 sehingga lim n nS a r→∞ = −1 atau barisan { }Sn n= ∞ 1 konvergen ke ( ) a r a 1 0 − ≠ . Jadi deret a rk k − = ∞ ∑ 1 1 konvergen ke ( ) a r a 1 0 − ≠ atau a rk k − = ∞ ∑ 1 1 = ( ) a r a 1 0 − ≠ .
  48. 48. 107 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Deret Harmonis Bentuk deret harmonis yaitu : 1 1 1 2 1 1 k k k = + + + + = ∞ ∑ ... ... Pandang jumlah parsial n suku pertama deret : S n n n n = + + +       + + + +      + + > + + +       + + + +      + + = + + + + + 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 1 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ... ... .... Untuk n → ∞ maka ( 1+ ½ + ½ + … + 1/n ) → ∞, sehingga lim n nS →∞ = ∞ . Oleh karena itu, deret harmonis 1 1 k k= ∞ ∑ divergen. Tes Konvergensi Misal ak k= ∞ ∑ 1 merupakan deret positif ( ak ≥ 0 ). Maka lim k ka →∞ = 0 bila deret ak k= ∞ ∑ 1 konvergen . Hal ini menunjukkan bahwa bila lim k ka →∞ ≠ 0 maka deret ak k= ∞ ∑ 1 divergen. Menggunakan implikasi di atas dapat diselidiki kekonvergenan suatu deret yang diberikan pada contoh berikut Contoh 6.3 Selidiki kekonvergenan deret berikut : 1. ∑ ∞ = + − 0 1 12 k k k 2. ∑ ∞ = + − 0 2 1 12 k k k Jawab :
  49. 49. 108 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 1. Suku ke-k, 1 12 + − = k k ak dan 2 1 12 limlim = + − = ∞→∞→ k k a k k k . Sebab nilai limit tidak sama dengan nol maka deret divergen. 2. Suku ke-k, 1 12 2 + − = k k ak dan 0 1 12 limlim 2 = + − = ∞→∞→ k k a k k k . Sebab nilai limit sama dengan nol maka implikasi di atas tidak dapat digunakan untuk menentukan kekonvergenan deret. Untuk mengetahui konvergenan suatu deret dilakukan tes konvergensi sebagai berikut : 1. Tes Integral Misal ak k= ∞ ∑ 1 merupakan deret positif. Maka : (i) Deret konvergen bila a dkk 1 ∞ ∫ konvergen (ii) Deret divergen bila a dkk 1 ∞ ∫ divergen Contoh 6.4 Selidiki kekonvergenan deret k ekk 2 1= ∞ ∑ Jawab : a dk k a dk e b e e ek b k b b k b b1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 ∞ →∞ →∞ − →∞ ∫ ∫= = − = − −         =lim lim lim Karena integral tak wajar di atas konvergen ke 1 2e maka deret k ekk 2 1= ∞ ∑ konvergen ke 1 2e dan k ekk 2 1= ∞ ∑ = 1 2e . 2. Tes Deret-p Bentuk deret-p atau deret hiperharmonis : 1 1 k p k= ∞ ∑ dengan p > 0. Menggunakan tes integral didapatkan :
  50. 50. 109 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 1 1 1 1 11 1 k dk p bp b p = − −       →∞ − ∞ ∫ lim Bila p > 1 maka lim b pb→∞ − = 1 01 , sehingga 1 1 1 1 k dk pp = − ∞ ∫ ( konvergen ). Oleh karena itu, deret 1 1 k p k= ∞ ∑ untuk p > 1 konvergen ke 1 1p − . Untuk 0 < p < 1 maka lim b pb→∞ − = ∞ 1 1 sehingga 1 1 k dkp ∞ ∫ divergen. Sedang untuk p = 1 didapatkan deret harmonis. Oleh karena itu, deret 1 1 k p k= ∞ ∑ untuk 0 < p ≤ 1 divergen. 3. Tes Perbandingan Misal ak k= ∞ ∑ 1 dan bk k= ∞ ∑ 1 merupakan deret positif dan berlaku a b kk k≤ ∀, . Maka: (i) Bila deret bk k= ∞ ∑ 1 konvergen maka deret ak k= ∞ ∑ 1 konvergen (ii) Bila deret bk k= ∞ ∑ 1 divergen maka deret ak k= ∞ ∑ 1 divergen Contoh 6.5 Tentukan konvergensi deret berikut 1. 1 12 kk −= ∞ ∑ 2. k kk 3 1 1+= ∞ ∑ Jawab : 1. Pandang : 1 1 1k k < − dan karena deret harmonis 1 1 kk= ∞ ∑ divergen maka deret 1 12 kk −= ∞ ∑ juga divergen.
  51. 51. 110 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 2. Pandang : k k k3 21 1 + < dan karena deret-p 1 2 1 kk= ∞ ∑ konvergen maka deret k kk 3 1 1+= ∞ ∑ juga konvergen. 4. Tes Ratio Misal ak k= ∞ ∑ 1 deret positif dan lim k k k a a r →∞ + =1 . Maka : (i) Bila r < 1 maka deret ak k= ∞ ∑ 1 konvergen (ii) Bila r > 1 maka deret ak k= ∞ ∑ 1 divergen (iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ). Contoh 6.6 Selidiki kekonvergenan deret 1 1 k k ! = ∞ ∑ Jawab : Misal a kk = 1 ! . Maka lim lim k k k k a a k→∞ + →∞ = + =1 1 1 0. Jadi deret 1 1 k k ! = ∞ ∑ konvergen 5. Tes Akar Misal ak k= ∞ ∑ 1 deret positif dan lim k k k a a →∞ = . Maka : (i) Bila a < 1 maka deret ak k= ∞ ∑ 1 konvergen (ii) Bila a > 1 atau a = ∞ maka deret ak k= ∞ ∑ 1 divergen (iii) Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ).
  52. 52. 111 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 6.7 Tentukan kekonvergenan deret 3 2 2 11 k k k k + −       = ∞ ∑ Jawab : Misal a k kk k = + −       3 2 2 1 . Maka lim lim k k k k a k k→∞ →∞ = + − = 3 2 2 1 3 2 . Jadi deret 3 2 2 11 k k k k + −       = ∞ ∑ konvergen. 6. Tes Limit Perbandingan Misal ak k= ∞ ∑ 1 dan bk k= ∞ ∑ 1 merupakan deret positif dan lim k k k a b l →∞ = . Maka kedua deret konvergen atau divergen secara bersama-sama bila l < ∞ dan l ≠ 0. Contoh 6.8 Tentukan konvergensi deret 1 12 2 kk −= ∞ ∑ Jawab : Pandang deret-p , 1 2 2 kk= ∞ ∑ konvergen. Misal a k b k k k= = − 1 1 12 2 dan . Maka lim lim k k k k a b k k→∞ →∞ = − = 2 2 1 1. Jadi deret 1 12 2 kk −= ∞ ∑ konvergen. Soal Latihan 6.2 Tentukan konvergensi deret berikut 1. 1 3 51 k k += ∞ ∑ 2. 1 5 2 1 k kk −= ∞ ∑ 3. 2 1 3 21 k k k k − += ∞ ∑
  53. 53. 112 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 4. 5 2 1 sin ! k k k= ∞ ∑ 5. 2 4 1 k kk += ∞ ∑ 6. 3 1 41 kk −= ∞ ∑ 7. 9 11 kk += ∞ ∑ 8. k k kk + −= ∞ ∑ 1 2 1 9. 1 81 kk += ∞ ∑ 10. k kk 2 2 1 += ∞ ∑ sin 11. 4 2 6 8 8 2 7 1 k k k kk − + + −= ∞ ∑ 12. 5 3 11 k k += ∞ ∑ 13. ( ) ( )( )( ) k k k k k k + + + + = ∞ ∑ 3 1 2 5 1 14. 1 8 323 1 k kk −= ∞ ∑ 15. ( ) 1 2 3 17 1 kk += ∞ ∑ 16. 1 2 13 1 k kk + += ∞ ∑ 17. 1 9 2 1 k k − = ∞ ∑ 18. k kk 3 1 1+= ∞ ∑
  54. 54. 113 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 19. ( ) 1 3 2 5 1 += ∞ ∑ kk / 20. ln k k k= ∞ ∑ 1 21. 4 2 31 += ∞ ∑ k k k 22. ( ) 1 11 k kk += ∞ ∑ 23. 5 3 1 k k k k + + = ∞ ∑ ! 6.3 Deret Berganti Tanda Bentuk deret berganti tanda : ( )− = ∞ ∑ 1 1 k k k a atau ( )− + = ∞ ∑ 1 1 1 k k k a dengan ak ≥ 0. Pengujian konvergensi deret berganti tanda dilakukan dengan cara berikut : Deret berganti tanda ( )− = ∞ ∑ 1 1 k k k a atau ( )− + = ∞ ∑ 1 1 1 k k k a konvergen bila dipenuhi dua syarat : (i) a ak k≥ +1 (ii) lim k ka →∞ = 0 Bila paling sedikit salah satu syarat tidak dipenuhi maka deret dikatakan divergen. Contoh 6.9 Tentukan konvergensi deret : 1. a. ( )− = ∞ ∑ 1 1 1 k k k 2. ( )− + + + = ∞ ∑ 1 31 2 1 k k k k k Jawab :
  55. 55. 114 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 1. Misal a kk = 1 . Maka a a k k k k k+ = + = + > 1 1 1 1 1. Oleh karena itu, a ak k≥ +1. Sedangkan lim lim k k k a k→∞ →∞ = = 1 0 . Jadi deret ( )− = ∞ ∑ 1 1 1 k k k konvergen. 2. Misal a k k k k = + + 3 2 . Maka ( )a a k k k k k k k k k k k k k k k+ = + +       + + + +         = + + + = + + + > 1 2 2 2 2 2 3 1 1 4 5 6 4 1 6 4 1 ( ) . Oleh karena itu, a ak k≥ +1. Sedangkan lim lim k k k a k k k→∞ →∞ = + + = 3 02 . Jadi deret ( )− + + + = ∞ ∑ 1 31 2 1 k k k k k konvergen. Soal Latihan 6.3 Tentukan konvergensi deret berikut 1. ( )− + = ∞ ∑ 1 3 1 1 k k k k 2. ( )− + + + = ∞ ∑ 1 41 2 1 k k k k k 3. −       = ∞ ∑ 3 5 1 k k 4. ( )− = ∞ ∑ 1 1 k k k k ln 5. ( )− + − = ∞ ∑ 1 1 1 k k k e
  56. 56. 115 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat Deret uk k= ∞ ∑ 1 disebut konvergen mutlak bila deret uk k= ∞ ∑ 1 konvergen. Bila deret konvergen mutlak maka konvergen. Sedang deret uk k= ∞ ∑ 1 disebut konvergen bersyarat bila deret uk k= ∞ ∑ 1 konvergen tetapi deret uk k= ∞ ∑ 1 divergen. Pengujian kekonvergenan ( mutlak ) deret uk k= ∞ ∑ 1 dilakukan dengan tes ratio. Misal uk k= ∞ ∑ 1 dengan uk ≠ 0 dan lim k k k u u r →∞ + =1 . Maka (i) Bila r < 1 maka deret uk k= ∞ ∑ 1 konvergen absolut (ii) Bila r > 1 maka deret uk k= ∞ ∑ 1 divergen (iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan Contoh 6.10 Selidiki deret berikut konvergen mutlak / bersyarat / divergen : 1. ( )−       = ∞ ∑ 1 51 k k k k 2. ( )− = ∞ ∑ 4 2 1 k k k 3. ( )− = ∞ ∑ 1 1 k k k Jawab : 1. Misal ( )u k k k k = −      1 5 . Maka lim lim k k k k k ku u k k→∞ + →∞ + = + =1 1 1 5 5 1 5 . Jadi deret ( )−       = ∞ ∑ 1 51 k k k k konvergen mutlak.
  57. 57. 116 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 2. Misal ( ) u k k k = − 4 2 . Maka ( ) ( ) ( ) lim lim k k k k k k u u k k →∞ + →∞ + = − + − =1 1 2 24 1 4 4 . Jadi deret ( )− = ∞ ∑ 4 2 1 k k k divergen. 3. Bila dilakukan pengujian di atas maka didapatkan r = 1 ( gagal ). Dari contoh sebelumnya, deret ( )− = ∞ ∑ 1 1 k k k konvergen tetapi deret ( )− = = ∞ = ∞ ∑ ∑ 1 1 1 1 k k kk k divergen ( deret harmonis ). Jadi deret ( )− = ∞ ∑ 1 1 k k k konvergen bersyarat. Soal Latihan 6.4 Selidiki kekonvergenan ( mutlak, bersyarat dan divergen ) deret berikut 1. ( )− = ∞ ∑ 1 1 k k k k ln 2. ( )− + = ∞ ∑ 1 21 1 k k k k! 3. ( )− + = ∞ ∑ 1 1 1 k k k k k! 4. ( )− + = ∞ ∑ 1 1 1 4 3 k k k 5. ( )− = ∞ ∑ 1 51 k k k k 6. cos ! k k k π = ∞ ∑ 1 6.5 Deret Kuasa Bentuk umum deret kuasa dalam (x - b ) yaitu : ( ) ( ) ( )a x b a a x b a x bk k k − = + − + − + = ∞ ∑ 0 0 1 2 2 ... (*) Sedang untuk b = 0 maka bentuk deret sebagai berikut :
  58. 58. 117 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom a x a a x a xk k k= ∞ ∑ = + + + 0 0 1 2 2 ... (**) Deret kuasa bentuk (*) konvergen untuk x = b dan bentuk (**) konvergen untuk x = 0 ( yaitu konvergen ke a0). Pengujian apakah ada nilai x yang lain yang menyebabkan deret konvergen dilakukan sebagai berikut : Misal diberikan deret ( )a x bk k k = ∞ ∑ − 0 dan ( ) ( ) lim x k k k k a x b a x b L →∞ + +− − =1 1 Maka : (1) L < 1, deret ( )a x bk k k = ∞ ∑ − 0 konvergen ( mutlak ) (2) L > 1, deret ( )a x bk k k = ∞ ∑ − 0 divergen. Untuk L = 1 tidak dapat disimpulkan, pengujian konvergensi deret dilakukan dengan mensubstitusikan nilai x yang bersesuaian dengan L = 1 sehingga didapatkan bentuk deret bilangan. Pengujian konvergensi deret bilangan dilakukan dengan berbagai uji ( Uji perbandingan, rasio, integral dll ) baik deret positif maupun deret berganti tanda. Nilai x yang didapatkan dari pengujian di atas disebut radius konvergensi atau selang konvergensi deret. Contoh 6.11 Tentukan selang konvergensi deret kuasa : 3 10 k k k x k( )+= ∞ ∑ Jawab : ( ) ( ) L x k k x x k k x k k k k k k = + + = + + = →∞ + + →∞ lim lim 3 2 1 3 3 1 2 3 1 1 Deret konvergen bila L < 1. Oleh karena itu, | 3 x | < 1 atau − < < 1 3 1 3 x . Bila x = - 1/3 maka didapatkan deret berganti tanda ( )− += ∞ ∑ 1 10 k k k( ) konvergen. (Tunjukkan : menggunakan tes deret berganti tanda ). Sedang untuk x = 1/3 didapatkan deret 1 10 ( )kk += ∞ ∑ divergen ( Tunjukkan : menggunakan tes perbandingan ). Jadi radius konvergensi deret kuasa adalah − ≤ < 1 3 1 3 x .
  59. 59. 118 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Soal Latihan 6.5 ( Nomor 1 sd 9 ) Tentukan semua nilai x yang menyebabkan deret konvergen. 1. x k k k k ( )+= ∞ ∑ 1 20 2. k xk!∑ 3. x k k ! ∑ 4. ( ) ( ) − + ∑ 1 3 1 k k k x k 5. 5 2 k k k x∑ 6. ( )− + + ∑ 2 1 1k kx k 7. ( ) ( ) − ∑ 1 2 2k kx k ! 8. ( ) ( ) − + + ∑ 1 2 1 2 1 k kx k ! 9. ( ) ( ) − + ∑ 1 1 2 k kx k Ln k ( Nomor 10 sd 18 ) Tentukan selang kekonvergenan dari deret: 10. ( ) ( ) − − + = ∞ ∑ 1 2 1 0 k k n x k 11. ( )x k k− ∑ 1 12. ( )x k k+ ∑ 2 ! 13. ( )x k k− ∑ 5 2 14. ( ) ( ) − ++ ∑ 1 11k kx k 15. ( ) ( ) ( ) − − + ∑ 1 4 1 2 k kx k 16. ( ) ( ) 2 1 23 k k x k+ −∑ !
  60. 60. 119 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 17. ( )( )Ln k x k k− ∑ 3 18. ( )2 3 42 x k k − ∑ 6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin Misal f(x) dapat diturunkan sampai k kali pada x = b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi menjadi deret kuasa dalam bentuk : ( ) ( )f x f b k x b f b f b x b f a x b k k k ( ) ( ) ! ( ) '( )( ) "( ) ! ... ( ) = − = + − + − + = ∞ ∑ 2 2 0 Deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b atau disebut dengan polinomial Taylor pada x = b. Bila b = 0 maka disebut Deret Mac Laurin, yaitu berbentuk : f x f k x f f x f x k k k ( ) ( ) ! ( ) '( ) "( ) ! ... ( ) = = + + + = ∞ ∑ 0 0 0 0 2 2 0 Contoh 6.12 Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mac Laurin 1. f x ex( ) = 2. f x x ( ) = − 1 1 Jawab : 1. Bila f x ex( ) = maka ( )f x en x( ) = dan ( )f n ( )0 1= . Oleh karena itu, deret Mac Laurin dari f x ex( ) = , yaitu : e x k x k k = = ∞ ∑ !0 . Dari perderetan tersebut terlihat bahwa deret konvergen untuk setiap nilai riil x atau selang / radius konvergensi deret adalah ℜ. 2. Bila f x x ( ) = − 1 1 maka ( ) ( ) f x n x n n ( ) ! = −1 dan ( )f x nn ( ) != . Oleh karena itu, deret Mac Laurin : 1 1 0− = = ∞ ∑x xk k . Selang konvergensi deret yaitu | x | < 1 atau ( -1,1 ). Kedua bentuk deret di atas dapat digunakan untuk membantu memperderetkan fungsi ke dalam deret Mac Laurin atau Taylor tanpa harus menghitung turunannya terlebih dahulu, dengan syarat bahwa radius atau selang konvergensinya sebanding.
  61. 61. 120 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 6.13 Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret taylor dengan pusat diberikan berikut 1. f x e x( ) = 3 ; x = 0 2. f x x ( ) = 1 ; x = 1 Jawab : 1. Karena f x e x( ) = 3 mempunyai turunan ke-n untuk setiap nilai riil x maka selang konvergensinya adalah ℜ. Oleh karena itu, dengan membandingkan pola perderetan e x k x k k = = ∞ ∑ !0 maka didapatkan perderetan dari f x e x( ) = 3 yaitu ( ) e x k x k k 3 0 3 = = ∞ ∑ ! . 2. Karena f x x ( ) = 1 tidak diferensiabel di x = 0 dan fungsi akan diperderetkan ke dalam deret taylor dengan pusat di x = 1 maka tempat kedudukan titik-titik | x - 1 | < 1 merupakan selang konvergensinya. Oleh karena itu, perderetan fungsi f x x ( ) = 1 dalam deret taylor dengan pusat di x = 1 : ( ) ( )f x x x xk k k ( ) ( ) = = + − = − − = ∞ ∑ 1 1 1 1 1 1 0 . Soal Latihan 6.6 ( Nomor 1 sd 10 ) Perderetkan fungsi berikut dalam deret Mac Laurin 1. f x e x( ) = 2 2. f x x ( ) = + 1 1 3. f x x ( ) = + 1 12 4. f x x ( ) = + 1 2 5. f x x ( ) = + 1 1 2 6. f x x x ( ) = +1 7. f(x) = sinh x 8. f(x) = sin x 9. f(x) = cos x 10. f(x) = sec x
  62. 62. 121 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom ( Nomor 11 sd 16 ) Carilah polinomial Taylor pada x = b, bila : 11. f(x) = Ln x ; b = 1 12. f x x b( ) ;= = − 1 1 13. f x x b( ) ;= + = 1 2 3 14. f(x) = cos x ; b = ½ π 15. f(x) = sinh x ; b = Ln 4 16. f(x) = sin πx ; b = ½ 6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa Misal deret ( )a x bk k k = ∞ ∑ − 0 mempunyai radius konvergensi R dan ( )f x a x bk k k( ) = − = ∞ ∑ 0 . Maka : (i) ( )f x k a x bk k k'( ) = − = ∞ − ∑ 0 1 (ii) ( )f t dt a t b dt C x k k C x k ( )∫ ∫∑= − = ∞ 0 Contoh 6.14 Perderetkan dalam Mac Laurin fungsi 1. f(x) = tan -1 x . 2. f(x) = ln ( 1 -x ) 3. ( ) f x x ( ) = − 1 1 2 Jawab : 1. Pandang : tan− = + ∫1 2 01 x dt t x dan ( ) 1 1 1 2 2 0+ = − = ∞ ∑ x xk k k Maka ( ) tan− + = ∞ = − + ∑1 2 1 0 1 2 1 x k x k k k . 2. Pandang : ( )ln 1 1 0 − = − − ∫x dt t x . Maka ( )ln 1 1 1 0 − = − + + = ∞ ∑x x k k k
  63. 63. 122 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 3. Karena ( ) f x x ( ) = − 1 1 2 merupakan hasil penurunan terhadap x dari 1 1− x , maka ( ) f x x k xk k ( ) = − = − = ∞ ∑ 1 1 2 1 0 Soal Latihan 6.7 Tentukan perderetan mac Laurin dari : 1. f(x) = ln ( 1 + x ) 2. f x x x ( ) ln= − +       1 1 3. f(x) = ln ( 1 + x 2 ) 4. ( ) f x x ( ) = − 1 1 3 5. ( ) f x x x ( ) = +1 2 6. ( )f x t dt x ( ) ln= +∫ 1 0 7. f x t dt x ( ) tan= − ∫ 1 0
  64. 64. 123 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom BAB 7 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA 7.1 Order Persamaan Diferensial 7.2 Persamaan Diferensial Linear Order Satu 7.3 Peubah Terpisah 7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen 7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen 7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen 7.1 Order Persamaan Diferensial Banyak permasalahan dalam bidang rekayasa yang berkaitan dengan persamaaan diferensial. Satu contoh yang ditampilkan disini, misal dalam rangkaian listrik , RL, besar kuat arus I ( Ampere ) dalam satuan waktu ( t ) yang melalui rangkaian tersebut dihitung menggunakan rumus berikut : ( ) ( )L dI dt R I E t L I R I E t+ = + =atau ' Bentuk rumus di atas merupakan persamaan diferensial dengan t merupakan satu- satunya peubah bebas. Sedangkan besaran Tahanan R ( Ohm ) dan Induksi L (Henry) diberikan. Fungsi E ( t ) merupakan besaran gaya elektromagnetik / voltase ( Volt ). Dalam notasi implisit, bentuk persamaan diferensial di atas dapat dituliskan : ( )f I I t', , = 0 Persamaan diferensial merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku-suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya. Bila fungsi tersebut tergantung pada satu peubah bebas real maka disebut Persamaan Diferensial Biasa ( PDB ). Sedangkan bila fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas maka disebut Persamaan Diferensial Parsial ( PDP ). Untuk lebih memperjelas pengertian PDB dan PDP diberikan beberapa contoh persamaan diferensial berikut. 1. d y dx xy 2 2 = [ Persamaan Airy ] 2. dy dx y y+ = 2 [ Persamaan Bernoulli ] 3. ( )x d y dx x dy dx x y2 2 2 2 4 0+ + − = [ Persamaan Bessel ] 4. ( )d y dx y dy dx y 2 2 21 0− − + = [ Persamaan Van Der Pol ] 5. ∂ ∂ ∂ ∂ u x u y + = 0 [ Persamaan Flux ]
  65. 65. 124 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 6. ∂ ∂ ∂ ∂ u t u x = 2 2 [ Persamaan Panas ] 7. ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 u t u x = [ Persamaan Gelombang ] 8. ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 0 u x u y + = [ Persamaan Laplace ] Persamaan 1 sd 4 merupakan PDB dengan peubah bebas, x dan peubah tak bebas, y, sedangkan persamaan 5 sd 8 merupakan PDP. Mengawali pembahasan tentang PDB dikenalkan suatu istilah dalam persamaan diferensial yaitu order . Order dari PD adalah besar turunan tertinggi yang terjadi pada PD tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunyai order 1 sedangkan persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol berorder 2. Berdasarkan sifat kelinearan ( pangkat satu ) dari peubah tak bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linear dan PD tidak linear. Bentuk umum PD linear order n diberikan : ( ) ( )a x y a x y a x y f x a xn n n+ + + = ≠..... ( ) ' ( ) ( ) ( )1 0 0dengan a x a xn( ),......., ( )0 disebut koefisien PD. Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linear Homogen sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linear tak Homogen. Bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk di atas dikatakan PD tidak Linear. Dari contoh terdahulu, persamaan Airy dan Bessel merupakan PD Linear ( Homogen ) sedangkan persamaan Bernoulli dan Van Der Pol merupakan PD tidak linear. Misal diberikan fungsi : y = sin x - cos x + 1. Bila dilakukan penurunan sampai duakali: y x x y x x' cos sin " sin cos= + = − +dan , didapatkan hubungan : y y"+ = 1 Bentuk di atas merupakan PD Linear tak Homogen order 2 dengan koefisien konstan. Sedangkan fungsi y = sin x - cos x + 1 disebut solusi PD. Yang menjadi permasalahan disini, Bila diberikan suatu PD bagaimana cara mendapatkan solusinya ? Beberapa cara mendapatkan solusi PD akan dibahas pada sub bab berikut. Untuk mempermudah dalam mempelajari cara mendapatkan solusi PD akan dimulai dengan pembahasan dari bentuk PD order satu . Soal Latihan 7.1 Klasifikasikan PD berikut menurut : order, linear atau tidak linear, homogen atau tidak homogen.
  66. 66. 125 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 1. dy dx xy+ =2 1 2. d y dx d y dx dy dx y 3 3 2 2 0+ + + = 3. d u dt t du dt u t 2 2 3+ + = 4. d v dt t v 2 2 2= 5. d y dx y x 3 3 + = sin 6. ( ) d y dx x y x 2 2 + + =sin sin 7. d y dx y 2 2 2 0+ = 7.2 Persamaan Diferensial Linear Order Satu Bentuk umum PD linear order satu : y p x y f x' ( ) ( )+ = . Untuk menentukan solusi PD dilakukan sebagai berikut : ( ) [ ] [ ] y p x y f x u x y p x y u x f x u x y u x p x y u x p x u x y u x y u x y u x p x y u x f x ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − − = Pandang [ ]u x y u x y u x y( ) ( ) ' '( )'= + . Misal u x y u x p x y'( ) ( ) ( )− = 0 . Maka didapatkan: [ ]u x y u x f x( ) ( ) ( )'= . Dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap x didapatkan solusi PD Linear order satu, yaitu : y u x u x f x dx= ∫ 1 ( ) ( ) ( ) Karena bentuk di atas merupakan integral tak tentu maka solusi masih mengandung konstanta C dan disebut Solusi Umum PD. Fungsi u(x) disebut faktor integrasi dan dicari dari : u x u x p x u x e p x dx'( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = = ∫0 atau Solusi khusus PD dapat ditentukan mensubstitusikan nilai awal - y(a) = b yang diberikan - ke dalam solusi umum untuk menghitung besar nilai C.
  67. 67. 126 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 7.1 Diketahui PD : y y ex'− = . Tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD bila nilai awal, y ( 0 ) = -3 Jawab : 1. Dari PD didapatkan p(x) = -1 dan f(x) = e x . Faktor integrasi, u x e e ep x dx dx x( ) ( )= = =∫ −∫ − Solusi umum, ( )y u x u x f x dx e x Cx= = +∫ 1 ( ) ( ) ( ) 2. Dari solusi umum, didapatkan dengan mensubstitusikan x = 0 dan y = -3 ke dalam solusi umum sehingga didapatkan C = -3. Jadi solusi khusus PD, ( )y e xx= − 3 Soal latihan 7.2 ( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan solusi umum PD berikut: 1. y y e x'+ = −2 2. y x y ex'− =2 2 3. dy dx y x+ = sin 4. dy dx y x x + = 1 2 5. x dy dx y x+ = 2 ( Nomor 6 sd 11 ) Tentukan solusi khusus PD berikut : 6. y x y x y' ; ( )− = =2 0 0 7. x y y x y' ; ( )+ = =2 4 1 22 8. dy dx x y x y+ = =2 1 13 ; ( ) 9. dy dx y y− = =1 0 1; ( ) 10. dy dx x y x y− = = 3 1 43 ; ( ) 11. ( )1 0+ + =e dy dx e yx x ; y(0) = 1 12. Dari rangkaian listrik, RL diketahui induksi L = 1 Henry, tahanan R = 10 6 Ohm dan gaya elektromagnetik / voltase E = 1 Volt. Tentukan besar kuat arus ( I dalam
  68. 68. 127 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom ampere) yang melalui rangkaian tersebut dalam fungsi t, bila pada saat t = 0, maka kuat arus I = 0. Hitung pula besar kuat arus, I setelah waktu t = 10. Rangkaian listrik, RC, dinyatakan oleh rumus : R dQ dt Q C E t+ = ( ) dengan muatan Q (Coulomb ) , Kapasitor C ( Farads ) dan gaya elektromagnetik / Voltase E(t) ( Volt ). ( Nomor 13 dan 14 ) Menggunakan rumusan di atas hitunglah besarnya muatan ( Q ) pada waktu t = 10 bila pada waktu t = 0 besar muatan Q = 0. 13. R = 5, C = 0,1 dan E(t) = 0 14. R = 1, C = 2 dan E(t) = e x . 7.3 Peubah Terpisah Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat dipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dx dan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang berbeda. Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung dicari tanpa harus menentukan faktor integrasi, dengan mengintegralkan kedua ruas. Bentuk umum PD peubah terpisah diberikan berikut : y dy dx M x N y N y dy M x dx' ( ) ( ) ( ) ( )= = =atau . Solusi umum PD didapatkan dari penyelesaian integral berikut : N y dy M x dx( ) ( )∫ ∫= . Contoh 7.2 Diketahui PD : y y x '− + = 1 0. Tentukan : 1. Solusi umum PD. 2. Solusi khusus PD bila diberikan y ( 0 ) = 1. Jawab : 1. PD dapat dituliskan dalam bentuk : dy y dx x = + 1 Sehingga ( ) ( )∫ ∫= + ⇔ = + + = + dy y dx x y x C C x 1 1 1ln ln ln ln . Solusi umum, y = C ( x + 1 ) 2. Dari solusi umum didapatkan C = 1. Solusi khusus, y = x + 1.
  69. 69. 128 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Soal Latihan 7.3 ( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan solusi umum PD berikut. 1. y x y '= − 2 21 2. dy dx y x y = + cos 1 2 2 3. dy dx y= +1 2 4. dy dx x x = − 1 3 5. dy dx ex y= + 6. dy dx y x x = − sin cos1 ( Nomor 7 sd 13 ) Tentukan solusi khusus PD berikut. 7. dy dx xy y= =; ( )0 1 8. dy dx y x y= + = 1 0 1; ( ) 9. dy dx y y= − = −2 4 0 6; ( ) 10. dy dx x xy y y= + = 2 4 1 0; ( ) 11. x dy dx y x y y e− = =2 12 ; ( ) 12. sin 2x dx + cos 3y dy = 0 ; y ( π/2 ) = π/3 13. ( )( )y x y y' ; ( )= + + =2 1 1 0 02 7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n ∈ ℜ sehingga berlaku ( )F k x k y k F x yn, ( , )= . n disebut order dari fungsi homogen F(x,y). Contoh 7.3 Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi homogen. Bila ya, tentukan ordernya. 1. 22),( yxyyxF −=
  70. 70. 129 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 2. ( )xyxyxG sin),( 2 −= Jawab : 1. ( )( ) ( ) ( ) ),(22),( 2222 yxFkyxykkykykxkykxF =−=−= . F(x,y) merupakan fungsi homogen dengan order dua. 2. ( ) [ ][ ]( ) ),(sin),( 22 yxGkkykxkxkykxG ≠−= . G(x,y) bukan merupakan fungsi homogen. Beberapa bentuk PD tak linear order satu dengan peubah tak terpisah namun koefisiennya merupakan fungsi homogen dengan order sama dapat dicari solusinya menggunakan metode substitusi sehingga didapatkan bentuk PD peubah terpisah. Bentuk PD order satu dengan koefisien homogen dapat dituliskan sebagai : M x y dy N x y dx( , ) ( , )= dengan M(x,y) dan N(x,y) merupakan fungsi homogen dengan order sama atau dy dx F x y= ( , ) dengan F(x,y) merupakan fungsi homogen order nol. Maka solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan dy = v dx + x dv ke dalam PD sehingga didapatkan bentuk PD dengan peubah terpisah. Contoh 7.4 Diketahui PD : ( )x y dy xydx2 2 0+ − = . Tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD bila y(0) = 1 Jawab : 1. Substitusikan y = v x dan dy = v dx + x dv ke dalam PD, didapatkan : ( )( ) ( )( ) ( ) x v x v dx x dv vx dx v v dx x dv v dx dx x v dv v x v v C Cxv e v 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 0 1 0 1 1 2 2 + + − = + + − = = − + = − − =         ln ln ln atau Solusi umum PD, C y e x y =         2 22 2. Solusi khusus PD, y e x y =         2 22
  71. 71. 130 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Soal latihan 7.4 ( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan solusi umum PD berikut. 1. dy dx y xy x = +2 2 2 2. dy dx x y x = + 3. dy dx x y x y = + − 3 4. 2 y dx - x dy = 0 5. ( )x x y y dx x dy2 2 23 0+ + − = Dalam Matematika terapan, seringkali dijumpai permasalahan untuk mendapatkan keluarga kurva yang tegak lurus terhadap suatu keluarga kurva yang diberikan. Masalah ini disebut Trayektori Ortogonal. Pengertian dari ortogonal / tegak lurus dari dua keluarga kurva adalah pada titik potongnya kedua garis singgung kurva saling tegak lurus. Misal diberikan keluarga kurva f(x,y) = C dengan C merupakan parameter. Maka untuk mendapatkan trayektori ortogonal dilakukan langkah sebagai berikut : (i) Turunkan f(x,y) = C secara implisit terhadap x, misal Df(x,y). (ii) Menggunakan fakta bahwa gradien dari dua buah garis ( m1 dan m2 ) yang tegak lurus berlaku : m m1 2 1 = − . Keluarga kurva yang tegak lurus dengan f(x,y) = C mempunyai turunan pertama, − 1 Df x y( , ) . Bila dari turunan pertama tersebut masih mengandung parameter C maka nyatakan C sebagai fungsi dalam x atau y. (iii)Trayektori ortogonal dari f(x,y) = C didapatkan dengan mencari solusi PD : y Df x y ' ( , ) = − 1 . ( Nomor 6 sd 15 ) Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva yang diberikan berikut. 6. y = C 7. x y = C 8. y = C x 2 . 9. y = C x 3 . 10. x 2 - y 2 = C 11. x 2 + y 2 = C 12. 4 x 2 + y 2 = C 13. x 2 = 4 c y 3 . 14. ( )x y C C2 2 + − = 15. y x C= +
  72. 72. 131 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen Bentuk umum PD linear order dua dengan koefisien konstan adalah : a y b y cy f x" ' ( )+ + = dengan a, b dan c konstanta. Bila f(x) = 0 maka a y b y c y" '+ + = 0 disebut PD linear order dua homogen, sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD linear order dua tak homogen. Solusi PD homogen ditentukan dengan memperkenalkan terlebih dahulu pengertian kebebasan linear dan Wronkian dari dua fungsi. Dua buah fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linear pada interval I bila persamaan kombinasi linear dari dua fungsi tersebut, m f(x) + n g(x) = 0 untuk setiap x ∈ I hanya dipenuhi oleh m = n = 0. Bila tidak demikian maka dikatakan f(x) dan g(x) tidak bebas linear atau bergantung linear. Misal diberikan dua fungsi f(x) dan g(x) yang diferensiabel untuk setiap x ∈ ℜ. Maka Wronkian dari f(x) dan g(x ) didefinisikan : ( )W f x g x f x g x f x g x ( ), ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) = Sifat dari kebebasan linear dan wronkian dari dua fungsi f(x) dan g(x) diberikan berikut. Dua fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linear pada I bila dan hanya bila wronkian dari dua fungsi tersebut, W [ f(x),g(x)] ≠ 0 untuk setiap x ∈ I. Dari PD order satu didapatkan sebuah solusi sedangkan PD order dua homogen didapatkan dua buah solusi yang bebas linear. Misal y1(x) dan y2(x) merupakan solusi PD homogen dan keduanya bebas linear. Maka kombinasi linear dari keduanya merupakan solusi umum PD homogen, yaitu y = C1 y1(x) + C2 y2(x). Selanjutnya dalam menentukan solusi PD homogen dilakukan hal berikut. Misal y e mx= merupakan solusi PD homogen : a y b y c y" '+ + = 0. Dengan mensubstitusikan solusi tersebut dan turunannya ke dalam PD didapatkan : ( ) ( ) ( ) a e b e ce e a m bm c mx mx mx mx " ' + + = + + = 0 02 Sebab e xmx ≠ ∀ ∈0 , ℜ, maka a m bm c2 0+ + = dan disebut persamaan karakteristik dari PD. Akar persamaan karakteristik dari PD adalah : m b b ac a b D a m b b ac a b D a1 2 2 24 2 2 4 2 2 = − + − = − + = − − − = − − dan Kemungkinan nilai m1 dan m2 bergantung dari nilai D, yaitu : 1. Bila D > 0 maka m1 ≠ m2 ( Akar real dan berbeda ) 2. Bila D = 0 maka m1 = m2 ( Akar real dan sama ) 3. Bila D < 0 maka m1 , m2 merupakan bilangan kompleks ( imajiner )
  73. 73. 132 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 1. Akar Karakteristik Real dan Berbeda. Misal persamaan karakteristik dari PD : a y b y c y" '+ + = 0 merupakan bilangan real dan berbeda, m1 ≠ m2 . Maka y e m x 1 1= dan y e m x 2 2= merupakan solusi bebas linear dari PD homogen tersebut. Solusi umum PD dituliskan : y C y C y C e C em x m x= + = +1 1 2 2 1 21 2 Sedangkan solusi khusus PD dapat ditentukan dengan mencari nilai dari C1 dan C2 dari nilai awal yang diberikan. Contoh 7.5 Diketahui PD : y y y" '− + =5 6 0. Tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD bila nilai awal y(0) = 1 dan y ‘ ( 0 ) = 0. Jawab : 1. Persamaan karakteristik PD : m 2 - 5 m + 6 = 0 = 0 mempunyai akar m = 3 dan m = 2. Solusi umum PD, y C e C ex x= +1 3 2 2 2. Substitusi nilai awal ke dalam solusi umum, y C e C ex x= +1 3 2 2 dan turunan pertamanya, y C e C ex x'= +3 21 3 2 2 didapatkan C1 = -2 dan C2 = 3. Jadi solusi khusus PD, y e ex x= − +2 33 2 2. Akar Karakteristik Real dan Sama. Misal persamaan karakteristik dari PD : a y b y c y" '+ + = 0 merupakan bilangan real dan sama, m b a = − 2 . Maka salah satu solusi PD : y e emx b x a 1 2= = − . Untuk menentukan solusi yang lain, solusi kedua PD, didapatkan dengan memisalkan : y v x y v x e b x a 2 1 2= = − ( ) ( ) . Fungsi v(x) dicari dengan mensubstitusikan solusi kedua dan turunannya ke dalam PD : y v x e y v x e b a v x e y v x b a v x b a v x e b x a b x a b x a b x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 = = − = − +         − − − − ( ) '( ) ( ) "( ) '( ) ( ) ' "
  74. 74. 133 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom a v x b a v x b a v x e b v x b a v x e cv x e a v x b a v x b a v x b v x b a v x cv x av x b a c b x a b x a b x a"( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) "( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) "( ) − +         + −       + = − +         + −       + = − − − − −2 2 2 2 2 4 2 0 4 2 0 4 2 2 2         =v x( ) 0 Sebab D b a c= − =2 4 0, maka a v x"( ) = 0. Oleh karena itu, v(x) dapat dinyatakan sebagai fungsi linear yaitu v(x) = p x + q. Ambil p = 1 dan q = 0, didapatkan v(x) = x dan solusi kedua : y xe b x a 2 2 = − Solusi pertama dan kedua PD, y1 dan y2 merupakan solusi bebas linear, sehingga solusi umum PD bila akar karakterisitik dimisalkan m, yaitu : y C e C xemx mx= +1 2 Cara untuk mendapatkan solusi kedua di atas dikenal dengan nama metode urutan tereduksi. Contoh 7.6 Diketahui PD : y y"− = 0. Tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD bila y(0) = 1 dan y ‘(0) = -1 Jawab : 1. Akar persamaan karakteristik PD, m = 1. Solusi umum , y C e C xex x= +1 2 2. Solusi khusus PD, y e xex x= − 2 3. Akar Karakteristik Kompleks Misal akar karakteristik PD : a y b y c y" '+ + = 0 kompleks : m p iq dan m p iq dengan i p b a dan q D a1 2 1 2 2 = + = − = − = − =: , Maka solusi umum PD dituliskan : ( ) ( )y C e C e C e C em x m x p iq x p iq x = + = ++ − 1 2 1 2 1 2 Menggunakan rumus Euler : e y i yi y = +cos sin , didapatkan : ( ) ( ) ( ) ( ) y C e qx i qx C e qx i qx C C e qx i C C e qx px px px px = + + − = + + − 1 2 1 2 1 2 cos sin cos sin cos sin
  75. 75. 134 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Karena solusi PD yang diharapkan dalam fungsi bernilai real, maka dapat diambil ( )C C C dan C i C C3 1 2 4 1 2= + = − . Sehingga didapatkan solusi umum PD : ( )y e C qx C qxpx= +3 4cos sin Hal ini dapat dilakukan karena terlihat bahwa solusi pertama dan solusi kedua PD, y e qx y e qxp x p x 1 2= =cos sindan merupakan solusi bebas linear. Contoh 7.7 Diketahui PD, y y"+ =4 0. Tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD bila y(0) = 1 dan y ‘(0) = -3 Jawab : 1. Akar persamaan karakteristik PD, m = ± 3 i. Didapatkan p = 0 dan q = 3. Solusi umum PD, y C x C x= +3 43 3cos sin . 2. Substitusikan nilai awal ke dalam solusi umum dan turunannya, didapatkan C3 = 1 dan C4 = -1. Solusi khusus PD, y x x= −cos sin3 3 Soal latihan 7.5 ( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan solusi umum PD berikut. 1. y y y" '+ − =5 6 0 2. y y y" '+ + =4 4 0 3. y y y" '+ + =2 5 0 4. y y y" '+ + =2 8 0 5. 3 4 9 0y y y" '+ + = ( Nomor 6 sd 10 ) Tentukan solusi khusus PD berikut. 6. y y y y y" ' ; ( ) , '( )− − = = = −4 5 0 0 0 0 1 7. y y y y" ; ( ) , '( )− = = =0 0 1 0 0 8. y y y y" ; ( ) , '( )+ = = = −4 0 0 1 0 1 9. y y y y y" ' ; ( ) , '( )− + = = =6 9 0 0 1 0 0 10. y y y y y" ' ; ( ) , '( )− + = = − =4 7 0 0 1 0 0 7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen Solusi umum PD linear orde dua tak homogen merupakan jumlah dari solusi PD homogen, yh dan solusi pelengkap, yp dituliskan : y y yh p= +
  76. 76. 135 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Solusi homogen dicari seperti penjelasan terdahulu, sedangkan solusi pelengkap dicari menggunakan dua metode yaitu : metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter. 1. Metode Koefisien Tak Tentu Misal f(x) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus atau cosinus. Maka solusi pelengkap, yp dimisalkan sebagai jumlah dari f(x) dan semua turunannya ( lihat tabel ). Selanjutnya y y yp p p, ' "dan disubstitusikan ke dalam PD untuk menghitung nilai dari koefisiennya. f(x) yp xn A x A x A x An n n n+ + + +− − 1 1 1 0... ea x A ea x x ea x A ea x + B x ea x sin ax A sin ax + B cos ax cos ax A sin ax + B cos ax Contoh 7.8 Tentukan solusi umum dari PD : 1. y “ - y = -3 e 2x . 2. y “ + y = 6 sin 2x Jawab : 1. Akar karakteristik PD, m = ± 1. Solusi homogen, yh = C1 e x + C2 e -x . Solusi pelengkap, yp = Ae 2x . Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya ke dalam PD : 4 A e 2x - A e 2x = -3 e 2x , didapatkan A = -1 sehingga solusi pelengkap, yp = - e 2x . Solusi umum PD, y = C1 e x + C2 e -x - e 2x . 2. Akar karakteristik PD, m = ± i. Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x. Solusi pelengkap, yp = A cos 2x + B sin 2x. Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya ke dalam PD didapatkan : A = 0 dan B = -2, sehingga solusi pelengkap, yp = -2 sin 2x. Solusi umum PD, y = C1 cos x + C2 sin x - 2 sin 2x. Bila f(x) merupakan suku-suku dari solusi homogen, maka solusi pelengkap diambil sebagai perkalian dari x s dan f(x) dengan s terkecil ( s = 1,2,3,… ) sehingga bukan merupakan suku-suku dari solusi homogennya.
  77. 77. 136 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 7.9 Tentukan solusi khusus PD : y y y e x" '− + =6 9 3 ; y(0) = -1 dan y ‘(0) =1. Jawab : Akar karakteristik PD, m = 3. Solusi homogen, yh = C1 e 3x + C2 x e 3x . Karena e 3x dan x e 3x merupakan suku-suku dari solusi homogen maka diambil solusi pelengkap , yp = A x 2 e 3x . Substitusikan solusi pelengkap dan turunannya ke dalam PD didapatkan A = ½ . Solusi umum PD, y = C1 e 3x + C2 x e 3x + ½ x 2 e 3x . Substitusi nilai awal ke dalam solusi umum dan turunannya, didapatkan C1 = -1 dan C2 = 4. Solusi khusus PD, y = - e 3x + 4 x e 3x + ½ x 2 e 3x . 2. Metode Variasi Parameter. Seringkali dijumpai pada pembahasan terdahulu, metode koefisien tak tentu bentuk solusi pelengkap tidak bisa ditentukan. Hal ini disebabkan fungsi f(x) mempunyai bentuk turunan sebanyak tak hingga, misal f(x) = sec x. Kadang pula terjadi terlalu banyak koefisien yang harus dicari, sehingga dirasa metode pengerjaan tersebut kurang praktis. Metode berikut akan membahas cara yang lebih umum tanpa memperhatikan bentuk fungsi f(x). Misal y C y C yh = +1 1 2 2 merupakan solusi homogen PD : y p y q y f x" ' ( )+ + = . Maka solusi pelengkap dimisalkan : y v y v yp = +1 1 2 2 Fungsi v1(x) dan v2(x) merupakan fungsi parameter. Bila solusi pelengkap diatas diturunkan sekali maka ( ) ( )y v y v y v y v yp ' ' ' ' '= + + +1 1 2 2 1 1 2 2 . Dipilih : v y v y1 1 2 2 0' '+ = , sehingga didapatkan turunan keduanya : y v y v y v y v yp " ' ' ' ' " "= + + +1 1 2 2 1 1 2 2 . Substitusikan y y yp p p, ' "dan ke dalam PD didapatkan : v y v y f x1 1 2 2 ' ' ' ' ( )+ = . Fungsi paramater v1(x) dan v2(x) didapatkan dari solusi dari sistem persamaan linear dalam v v1 2 ' 'dan berikut : v y v y1 1 2 2 0' '+ = v y v y f x1 1 2 2 ' ' ' ' ( )+ = . Menggunakan metode Crammer didapatkan :
  78. 78. 137 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom ( ) ( ) v y f x y y y y y v y f x y y y y dx v y y f x y y y y v y f x y y y y dx 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) = ⇒ = − − = ⇒ = − ∫ ∫ Contoh 7.10 Tentukan solusi umum PD : y “ + y = sec x Jawab : Akar karakteristik PD, m = ± i. Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x. Solusi pelengkap, yp = v1( x ) cos x + v2( x ) sin x. Fungsi parameter v1( x ) dan v2( x ) diselesaikan dari sistem persamaan berikut : v1( x ) cos x + v2( x ) sin x = 0 - v1( x ) sin x + v2( x ) cos x = sec x Didapatkan : v1( x ) = ln ( cos x ) dan v2( x ) = x, sehingga solusi pelengkap, yp = ln ( cos x ) cos x + x sin x. Solusi umum PD, y = C1 cos x + C2 sin x + ln ( cos x ) cos x + x sin x Soal latihan 7.6 Tentukan solusi umum PD berikut : 1. y y y e x" '+ + =3 2 2 3 2. y y y x" '− + =4 2 2 2 3. y y y x" ' sin− + =3 2 10 2 4. y y y e x" '− − = −3 4 5. y y y ex" '− + =2 6. y y y f x" ' ( )+ − =2 3 a. f x x x( ) = + −2 3 b. f(x) = sin 3x + cos 3x c. f(x) = x e x . 7. y y x" sec+ = 8. y y y e xx" ' ln+ + = −2
  79. 79. 138 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 9. y y x x" sec tan+ = 10. y y y e x " '− + = + − 3 2 1 1 11. y y y e xx" ' ln+ + = −2 12. y y y e e x x " '− + = + 3 2 1 ( Nomor 13 sd 15 ) Tentukan solusi khusus PD berikut : 13. y y x y y" ; ( ) , '( )+ = = =2 0 1 0 2 14. y y y e y yx" ' ; ( ) '( )− + = = =4 4 0 0 02 15. y y y x" ' cos ;+ + =3 2 20 2 y ( 0 ) = -1 , y ‘ ( 0 ) = 6. 16. Pada rangkaian listrik seri, RCL, berdasarkan hukum Kirchoff dirumuskan sebagai berikut : L Q RQ Q C E t" ' ( )+ + = dengan Induksi L (Henry ), Tahanan R ( Ohm ), Muatan Q ( Coulomb ), Kapasitor C ( Farads ) dan gaya elektromagnetik E(t) ( volt ). Karena I Q= ' maka dapat dituliskan : L I RI I C E t" ' '( )+ + = . Dengan menggunakan rumus di atas hitunglah muatan ( Q ) dan kuat arus ( I ) dalam fungsi t dari rangkaian RCL tersebut bila R = 16, L = 0,02 , C = 2 x 10 -4 dan E = 12. Anggap bahwa nilai Q = 0 dan I = 0 pada saat t = 0.
  80. 80. 139 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom BAB 8 KALKULUS FUNGSI VEKTOR 8.1 Kurva Bidang 8.2 Fungsi Vektor 8.3 Gerak Partikel dan Kelengkungan 8.4 Komponen Normal dan Tangensial 8.1 Kurva Bidang Bentuk kurva biang seringkali dinyatakan dalam persamaan parameter. Misal x = f(t) , y = g(t) dengan t ∈ I ( interval ) sebagai parameter ( bilanagn real ). Dengan melakukan eliminasi parameter t akan didapatkan bentuk kurva dalam peubah x dan y yang dapat dinyatakan sebagai y = f(x) atau f ( x, y ) = 0. Suatu kurva bidang dapat dinyatakan dengan lebih dari satu parameter. Sebagai contoh diberikan berikut. Contoh 8.1 Tunjukkan bahwa setiap persamaan parameter berikut menggambarkan setengah lingkaran. 1. x = t , 21 ty −= , -1 ≤ t ≤ 1 2. x = cos t, y = sin t , 0 ≤ t ≤ π Jawab : 1. Substitusi x = t ke bentuk 21 ty −= didapatkan 21 xy −= . Bila kedua ruas dikuadratkan maka 122 =+ yx . Sebab -1 ≤ x ≤ 1, kurva berupa setengah lingkaran dengan jari-jari 1dan pusat di salib sumbu. 2. 1sincos 2222 =+=+ ttyx . Sebab 0 ≤ t ≤ π maka Sebab -1 ≤ x ≤ 1. Jadi kurva berupa setengah lingkaran dengan jari-jari 1dan pusat di salib sumbu. Misal x = f(t) dan y = g(t) merupakan fungsi kontinu dan f ‘ ( t ) ≠ 0 untuk suatu t ∈ I. Maka turunan pertama dx dy dari kurva bidang diberikan dengan : ( ) ( )tf tg dx dy dt dx dt dy ' ' == Sedangkan turunan kedua 2 2 dx yd didapatkan dengan menurunkan sekali lagi dx dy , yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22 2 ' '"'" tf tgtftftg dx yd − = . Demikian seterusnya untuk turunan tingkat ke-n.
  81. 81. 140 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Contoh 8.2 Hitung dx dy dan 2 2 dx yd bila 1. 32 1, tyttx −=+= 2. x = 2 cos t , y = 5 sin t Jawab : 1. x ‘ = 2 t + 1, y ‘ = -3 t 2 , x “ = 2 dan y “ = - 6t. Jadi 12 3 ' ' 2 + − == t t x y dx dy dan ( ) ( )2 2 22 2 12 66 ' '"'" + −− = − = t tt x yxxy dx yd 2. x ‘ = - 2 sin t, y ‘ = 5 cos t, x “ = -2 cos t dan y “ = -5 sin t. Jadi t t dx dy sin2 cos5 − = dan ( ) t x yxxy dx yd 2 222 2 csc 5 ' '"'" = − = Penerapan turunan pertama digunakan dalam menyelesaikan permasalahan geometris yang muncul pada kurva bidang, yakni garis singgung dan garis normal. Misal P(a,b) merupakan titik pada kurva bidang x = x(t) dan y = y(t). Maka bentuk persamaan garis singgung dan garis normal kurva yang menyinggung titik P diberikan dengan : Garis singgung, ( )ax dx dy by −=− Garis normal, ( )ax dy dx by −−=− Contoh 8.3 Carilah persamaan garis singgung dan garis normal kurva x = 2t 2 –1 dan y = 2 + t di 1. t = 1 2. Titik ( 1,1 ) Jawab : 1. Turunan pertama di t = 1, 4 1 = dx dy , sedangkan nilai titik singgungnya , ( 1, -1 ). Jadi persamaan garis singgung dan garis normal berturut-turut, ( )1 4 1 1 −=+ xy dan ( )141 −−=+ xy
  82. 82. 141 Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 2. Dari titik ( 1,1 ) didapatkan t = -1. turunan pertama di t = -1 , 4 1 −= dx dy . Jadi persamaan garis singgung dan garis normal berturut-turut, ( )1 4 1 1 −−=− xy dan ( )141 −=− xy Bentuk integral yang melibatkan persamaan parameter diselesaikan dengan menyatakan integral dalam parameter tersebut. Sebagai contoh diperlihatkan berikut. Contoh 8.4 Hitung ∫ dxxy bila x = 2t + 2 dan y = t 2 . Jawab : ( ) Cttdtttdxxy ++=+= ∫∫ 342 3 4 222 Soal Latihan 8.1 ( Nomor 1 sd 5 ) Nyatakan persamaan kurva bidang berikut ke dalam persamaan cartesius ( dalam x dan y ) bila 1. x = 2 t + 1 dan y = 1 – t 2 . 2. x = t –1 dan t y 1 = 3. 12dan2 +=−= tytx 4. x = sin t dan y = 2 cos t 5. x = sin t dan y = sin 2t ( Nomor 6 sd 10 ) Hitung turunan pertama dx dy dan turunan kedua 2 2 dx yd dari kurva bidang berikut. 6. x = t 2 –1 dan y = t + 1 7. ty t t x 2dan 1 = + = 8. 22 1 dan 1 1 tt y t x − = − = 9. x = 2 sin t –2 dan y = sec t +2 10. x = 1- 2 sin t dan y = 2 cos t + 1 ( Nomor 11 sd 14 ) Carilah persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva bidang berikut di titik yang diberikan : 11. x = 2t dan y = t 2 di t = -2

×