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Ecuaciones exactas

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Ecuaciones exactas

  1. 1. Ecuaciones exactas<br />Gustavo Alfredo Elias Franco<br />9310108<br />Aula F-102<br />Bibliografiaecuacionesdiferenciales<br />Dennis G. Zill<br />
  2. 2. Ecuaciones exactas<br />Definición:<br />Una ecuación diferencial M(x,y)+N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma <br /> M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 <br /> es una ecuación diferencial exacta(diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.<br />
  3. 3. Criterios para una ecuacion diferencial exacta<br />Sean continuas M(x,y) y N(x,y), con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a<x<b, c<y<d. entonces, la condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dy sea una diferencial exacta que es que<br />dM/dy=dN/dx<br />
  4. 4. Demostración de la necesidad<br />Para simplificarsupongamosque M(x,y) y N(x,y) tienenprimerasderivadasparcialescontinuas en toda (x,y).si la expresion M(x,y)dx+N(x,y)dyesexacta,existeunafuncion f tal, paratodo x de R, <br />
  5. 5. Metodo de solucion.<br />Dada unaecuacion de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, se determinasiesvalida la igualdad. En casoafirmativo, existeunafuncion f para la cual<br />df/dx=M(x,y).<br />Podemosdeterminar f siintegramos M(x,y) con respecto a x, manteniendo y constante<br />En donde la funcionarbitraria g(y)es la constante de integrasion. Ahoraderivamos con respecto a y, y suponemosquedf/dy=N(x,y):<br />Por ultimo integramos con respecto a “y” ysstituimos el resultado en la ecuacion. La solucion de la ecuaciones f(x,y)=c.<br />
  6. 6. Solucion de un problema<br />

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