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Ecuaciones diferenciales de bernuli

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Ecuaciones diferenciales de bernuli

  1. 1. Ecuacionesdiferenciales de bernuli<br />Gustavo Alfredo Elias Franco<br />9310108<br />Aula F-102<br />BibliografiaSpiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca<br />
  2. 2. Ecuacionesdiferenciales de bernoulli.<br />Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ordinarias, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma: <br />Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo <br />
  3. 3. Caso general<br />Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:<br />Definiendo:<br />lleva inmediatamente a las relaciones:<br />Gracias a esta última relación se puede reescribir como: <br />
  4. 4. Caso general<br />Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuacion diferencial lineal obteniendo como resultado:<br />Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:<br />Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:<br />Con <br />
  5. 5. Ejemplodedeunaecuacion de bernulli<br />Para resolver la ecuación:<br />Se hace el cambio de variable que introducido en da simplemente:<br />Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:<br />Si se sustituye en la última expresión y operando:<br />
  6. 6. ejemplo<br />Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:<br />Y se resuelve ahora la ecuación:<br />Deshaciendo ahora el cambio de variable:<br />Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :<br />

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