TEKNIK PENARIKAN SAMPEL ACAK SEDERHANA

116,796 views

Published on

Published in: Technology, Business
5 Comments
35 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
116,796
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
47
Actions
Shares
0
Downloads
8,567
Comments
5
Likes
35
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

TEKNIK PENARIKAN SAMPEL ACAK SEDERHANA

  1. 1. TEKNIK PENARIKAN SAMPEL ACAK SEDERHANA Oleh Muhammad Ali Gunawan Nyoman Rida 1. Pendahuluan Secara garis besarnya metode penarikan sampel dapat dipilah menjadi dua, yaitu pemilihan sampel dari populasi secara acak (random atau probability sampling) dan pemilihan sampel dari populasi secara tidak acak (non random atau nonprobability sampling). Pemilahan dari kedua prosedur sampling tersebut terlihat dalam bagan berikut: Teknik Sampling Probabilitas Non Probabilitas Acak Sistematik Berstrata Berkelompok Conveni- Judgment Quota Snowball Sederhana (Stratified) (Cluster) ence Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai teknik pemilihan sampel dari populasi secara acak (random atau probability sampling) dengan menggunakan teknik sampling acak sederhana (simple random sampling) 2. Pengertian Beberapa definisi mengenai teknik sampling acak sederhana, banyak ditemukan dalam buku-buku statistik terutama pada pembahasan mengenai sampling. Di antaranya, seperti yang diungkap oleh Thompson (2002:11): “Simple random sampling, or sampling without replacement, is a sampling design in which n distinct units are selected from the N units in the population in such a muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 1
  2. 2. way that every possible combination of n units is equally likely to be the sample selected”. Pendapat yang sama diberikan oleh Supranto (2000:81) dan Sugiyono dkk. (2003:46): “Teknik pengambilan sampel acak sederhana (simple random sampling) adalah pengambilan suatu sampel dengan n elemen dipilih dari suatu populasi N elemen sedemikian rupa sehingga setiap kemungkinan sampel dengan n elemen mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih. Ini berarti semua anggota populasi menjadi anggota dari kerangka sampel”. Cochran (1991:21) mengatakan bahwa penarikan sampel acak sederhana (simple random sampling) adalah sebuah metode untuk memilih n unit dari N sehingga setiap elemen dari N C n (baca n kombinasi dari N obyek) sampel yang berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Untuk sekadar mengingatkan kita kepada materi kombinatorik, ada baiknya dipaparkan kembali mengenai permutasi dan kombinasi. (lihat lampiran 01) Dan untuk membuktikan bahwa seluruh N C n sampel yang berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih dengan metode ini, dapat dijelaskan dengan ilustrasi berikut ini: Misalkan satu sampel yang berbeda, yaitu himpunan n unit-unit tertentu. Pada penarikan pertama, probabilita bahwa satu dari n unit tertentu akan terpilih adalah n/N. Pada penarikan kedua, probabilita bahwa satu dari (n-1) unit-unit sisanya akan terpilih adalah (n-1)/(N-1), dan seterusnya. Sehingga probabilita seluruh n unit-unit tertentu yang terpilih dalam n penarikan sampel adalah: n (n − 1) (n − 2) 1 n!( N − n)! 1 . . ... = = N ( N − 1) ( N − 2) ( N − n + 1) ( N )! N Cn (tanpa pengembalian/without replacement) Sedangkan penarikan sampel acak dengan pengembalian (with replacement) secara keseluruhan dapat dilakukan: pada setiap penarikan, seluruh anggota N dari populasi memberikan kesempatan yang sama untuk terpilih, tanpa melihat sudah berapa kali unit- unit telah terpilih. Dalam kejadian ini, unit ke-I dapat muncul 0,1,2,..n kali dalam sampel. Misalkan ti merupakan jumlah unit ke-i muncul dalam sampel. Maka, muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 2
  3. 3. − 1 N y= ∑ t i yi .......................................................................... (1) n i =1 Karena probabilita bahwa unit ke-i terambil adalah 1/N, variasi ti berdistribusi binomial dengan jumlah sukses dari n percobaan dengan p = 1/N. Karenanya n  1  1 E (t i ) = , dengan varian V (t i ) = n 1 −  ...............................(2) N  N  N  Secara bersamaan, variasi ti mengikuti distribusi multinomial. Untuk ini, n Kov (t i t j ) = − ...........................................................(3) N2 Dengan menggunakan persamaan (1), (2) dan (3), untuk penarikan sampel dengan pengembalian, kita peroleh: − 1  N 2 n( N − 1) N n  V ( y ) = 2 ∑ y i 2 − 2∑ y i y j 2  ............................(4) n  i =1 N i <1 N  1 N − 2 σ2 N −1 S 2 = nN ∑ ( yi − Y ) = i =1 n = N . n ...............................(5) − ( N − n) ini berakibat V ( y ) pada penarikan sampel tanpa pengembalian adalah kali ( N − 1) nilainya dalam penarikan sampel dengan pengembalian. Penjelasan mengenai distribusi sampling (silahkan dibaca pada lampiran 02). 3. Teknik Pengambilan Sampel Acak Sederhana Teknik pengambilan sampel acak sederhana dapat dilakukan dengan cara: 1) undian/lotre, 2) Kalkulator, 3) komputer, dan 4) tabel angka random. 1. Undian (lotre) Cara undian atau lotre dapat dilakukan pada elemen populasi yang jumlahnya relatif sedikit (100 atau kurang). Caranya dapat dilihat pada ilustrasi berikut: Misalkan seorang peneliti ingin mengetahui pandangan anak-anak jalanan terhadap kehidupan sosial mereka di kota Selong. Jumlah anak jalanan di Selong tercatat 95 anak. Untuk menghemat waktu dan biaya si peneliti akan mengambil 20 anak sebagai sampelnya dengan cara acak. Maka yang dilakukan oleh si peneliti adalah: muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 3
  4. 4. a. Membuat 95 potongan kertas yang diberi nomor dari 1 s.d 95. b. Kertas dilipat dan dimasukkan ke dalam kotak atau gelas yang diberi lubang kecil pada penutupnya (bayangkan saat ibu-ibu darma wanita yang sedang arisan) c. Kotak/gelas dikocok (diaduk-aduk), lalu diambil 1 potong setiap kali pengocokan atau pengadukan. d. Angka atau nomor yang tertera dalam kertas tersebut dilihat dan dicatat angkanya sampai dengan pengocokan/pengadukan yang ke dua puluh. Misalkan yang terambil adalah angka 35, maka elemen populasi yang terpilih adalah nomor 35. 2. Kalkulator, tekan tombol: Ran #, untuk mengeluarkan angka acak 3. Komputer, misal melalui Excel: fungsi = Rand ( ) 4. Tabel angka random Tabel bilangan acak (table of random number) ialah tabel yang memuat bilangan atau angka-angka sedemikian rupa sehingga dapat dipergunakan untuk memilih sampel secara acak. Tabel bilangan acak terdiri dari beberapa kolom dan baris. Setiap baris dan setiap kolom dalam blok terdapat satu angka. Apabila elemen atau dokumen dalam populasi belum diberi nomor, maka untuk penghematan kolom elemen-elemen harus diberi nomor, caranya sebagai berikut: Untuk N ≤ 10, nomor 0,1,2...,9 cukup satu kolom Untuk N ≤ 100, nomor 00,01,02...,99 cukup dua kolom Untuk N ≤ 100, nomor 000,001,002,...,999, cukup tiga kolom Untuk N ≤ 10000, nomor 0000,0001,0002,...,9999, cukup empat kolom. Setelah elemen atau dokumen diberi nomor, maka nomor dokumen ini harus diadakan penyesuaian dengan nomor dalam tabel bilangan acak. Contoh: Seorang pengusaha kopi, ingin mengetahui tingkat harga jual kopi yang ada di Lombok dan Sumbawa. Pengusaha tersebut telah mengumpulkan kopi dari berbagai daerah di Lombok dan Sumbawa sebanyak 70 paket, masing-masing paket diberi tanda asal daerah (desa dan kecamatan). Dari 70 paket tersebut pengusaha tersebut akan mengambil 14 paket sebagai sampel. Langkah-langkah yang dilakukan oleh pemeriksa: • Tentukan Kerangka Sampling (sampling frame) yaitu: Daftar nama-nama daerah pengumpul/yang memproduksi kopi. muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 4
  5. 5. • Pilih 14 dari 70 paket tersebut sebagai sampel. Misalnya dengan menggunakan tabel angka random yang dimulai dengan menentukan titik awal dari tabel angka acak (sugiono,2003) dan misalkan yang terpilih adalah baris 1 kolom 4 maka akan didapat dua digit angka acak sebagai berikut: 11,93,65,80,56,51,94,72,88,76,27,37,89,78,59,68,04,……..dst.(lihat tabel angka acak ) • Sekatlah angka random di atas dengan jumlah sekatan sebanyak digit ukuran populasinya yaitu tiap 2 angka karena N = 70 (dua digit). • Ambil nomor sampel (ci) sesuai angka random yang terpilih: ci = A-k (N); dimana A = sekatan angka random, k = 0, 1, 2,... • Daftar hasil pemilihan sampel : No Angka Nomor Urut (Ci) Misal Nama Nomor Random Paket Paket (A) (Karung) 1 11 11 =11-0(70) Sembalun 50 2 93 23 =93-1(70) Pringgabaya 56 3 65 65 =65-0(70) Alas 70 4 80 10 =80-1(70) Masbagik 55 5 56 56 =56-0(70) Keruak 74 6 51 51 =51-0(70) Aikmel 69 7 94 24=94-1(70) Bima 67 8 72 2=72-1(70) Dompu 59 9 88 18=88-1(70) Montong Gading 56 10 76 6 = 76-1(70) Sikur 65 11 27 27=27-0(70) Pringgasela 63 12 37 37=37-0(70) Sakra 71 13 89 19=87-1(70) Terara 60 14 78 8=78-1(70 Jerowaru 68 muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 5
  6. 6. Jadi paket kopi yang terpilih sebagai sampel adalah paket dengan nomor paket: 11,23,65,10,56,51,24,2,18,6,27,37,19,dan 8. 4. Cara Membuat Perkiraan Rata-rata dan Total Perlu diketahui, bahwa perkiraan yang dibuat berdasarkan informasi (data) dari hasil penelitian sampel, merupakan perkiraan yang mengandung kesalahan sampling, jadi kesimpulan yang ditarik (dibuat) tidak 100% benar akan tetapi mengandung unsur ketidakpastian (uncertainty). Perkiraan interval harus disertai dengan pernyataan probabilitas (probability statement) berupa tingkat keyakinan sebesar (1 – α), sebagai berikut: Pθ I ≤ θ ≤ θ II = (1 − α ) Pernyataan probabilitas dalam bentuk tingkat keyakinan seperti di atas mempunyai arti ’bahwa kalau seluruh kemungkinan sampel dibuat perkiraan intervalnya dengan tingkat keyakinan (1 – α) = 0,95 misalnya, maka kurang lebih sebanyak 95% interval akan memuat parameter θ dan sisanya sebanyak kurang lebih 5% tidak memuat. Oleh karena di dalam prakteknya kita hanya mengambil sampel satu kali saja (tidak seluruh kemungkinan sampel diteliti), maka kita tidak bisa mengatakan bahwa dengan tingkat keyakinan 95% interval yang dibuat dari sampel tersebut akan memuat parameter θ. Memang bisa juga interval yang terpilih tak memuat θ, akan tetapi probabilitasnya hanya 5%. Bahkan walaupun tingkat keyakinan ditetapkan 99%, kalau dipilih satu sampel belum tentu interval yang dibuat berdasarkan sampel tersebut akan memuat parameter θ, sebab memang ada sekitar 1% yang tak memuat. Ibarat memberikan salah satu obat kepada seorang pasien yang mengidap penyakit tertentu. Dari 100 pasien yang mengkonsumsi obat tersebut (diinjeksi), terdapat seorang pasien yang mati/obatnya tidak bekerja (=1%). Kebetulan pasien yang bersangkutan sedang sial (bernasib jelek) bisa saja ia alergi atau obatnya tidak mempan, atau memang Tuhan berkehendak lain dan sebagainya. muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 6
  7. 7. 4.1 Cara Membuat Perkiraan Rata-rata (=U) Dalam makalah ini, kita hanya membicarakan sampel yang berasal dari populasi terbatas (finite population) dengan N elemen, yang diambil sampel secara acak sebanyak n elemen dengan tanpa pengembalian (without replacement), sehingga perlu diperhitungkan faktor koreksi untuk populasi terbatas (finite population correction = fpc) sebesar N −n N −n = , nilai N cukup besar sehingga N mendekati N. N −1 N Populasi: X 1 , X 2 ,...., X i ,..., X n N 1 1 U= N ∑= N (X i =1 1 + X 2 + ... + X i + ...N n Sampel : X 1 , X 2 ,...X i ,...X n − 1 N 1 X = ∑ X i = n ( X 1 + X 2 + ... + X i + ... + X n ) n i =1 − X = perkiraan tunggal (point estimate) untuk U. S2 N −n S− = , S − = S − dan ( KS ) − = Z α / 2 .S − 2 2 . X n N X X X X − di mana : S − = Perkiraan kesalahan (galat) baku atau standar error ( X ) X KS = Kesalahan Sampling Sehingga: 1 N − − 1 S2 = ∑ ( X i − X ), n − 1 i =1 X = n ∑ Xi atau 1 (∑ X i ) 2 S = 2 [∑ X i − 2 ] n −1 n Perkiraan interval U dengan tingkat keyakinan sebesar (1-α). − − n > 30 X − Zα / 2 S − ≤ U ≤ X + Zα / 2 S − X X muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 7
  8. 8. − − n ≤ 30 X − tα / 2 S − ≤ U ≤ X + tα / 2 S − atau X X − U = X ± B , di mana B = Z α / 2 S − = Kesalahan sampling. X Untuk n ≤ 30 harus menggunakan tabel t, Z α / 2 diganti dengan tα / 2 dari tabel t dengan df = n – 1. Catatan: (1) Tingkat keyakinan 95% dan nilai Z α / 2 diambil 2 (sebetulnya dari tabel normal 1,96). Juga walaupun dipergunakan tabel t, misalnya untuk n = 9, df = n – 1 = 8, tα / 2 = t 0, 025 = 2,262 dibulatkan menjadi 2 ∧ (2) Di dalam beberapa hal (KS) θ = B , sebagai batas kesalahan sampling tertinggi ∧ − (bound of error). Karena θ = X , maka( KS ) − = B = 2S − (dua kesalahan baku). X X (3) Faktor koreksi untuk populasi terbatas (finite population correction = fpc), harus dipergunakan kalau banyaknya elemen sampel (=n) 5% atau kurang dari elemen populasi N, yaitu kalau n ≤ 0,05 N à n ≤ 5%N atau kalau (N-n)/N > 0,95. (aturan ini pemakaiannya tidak mutlak, tergantung pada peneliti). Yang jelas kalau n > 0,05N, faktor koreksi harus dipergunakan. (4) Apabila faktor koreksi tidak dipergunakan, bentuk rumus menjadi lebih sederhana S S− = (rumus ini lebih sering digunakan). X n Contoh Aplikasi: Seorang ahli peternakan tamatan IPB yang bertugas pada Dinas Pertanian dan Peternakan di kabupaten Lombok Timur, ingin mengetahui rata-rata berat (dalam kg) sejenis ternak potong tertentu, di dalam rangka usaha peningkatan produksi daging, guna penanggulangan gizi buruk di daerah tersebut. Banyaknya ternak sebagai populasi ada 484 ekor. Untuk keperluan pembuatan perkiraan rata-rata berat diambil sampel sebanyak 9 ekor yang dipilih secara acak. (X = berat ternak dalam kg). Hasil penelitiannya sebagai berikut: 33,50; 32,00; 52,00; 43,00; 40,00; 41,00; 45,00; 42,50; 39,00. Dengan tingkat keyakinan 95%. Ahli tersebut akan membuat perkiraan interval rata- rata berat ternak potong yang ditelitinya. muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 8
  9. 9. Pemecahan: X X2 33.50 1122.25 32.00 1024.00 52.00 2704.00 43.00 1849.00 40.00 1600.00 41.00 1681.00 45.00 2025.00 42.50 1806.25 39.00 1521.00 2 ∑X = 368.00 ∑X = 15332.50 − 1 368.00 X = n ∑ X i = 9 = 40,89 Perkiraan rata-rata berat ternak potong sebesar 40,89 kg. 1 (∑ X i ) 2 1 (368) 2 S2 = [∑ X i2 − ] = [15332,50 − ] n −1 n 8 9 1 = (15332,50 − 15047,11) = 35,67 8 S 2 ( N − n) 35,67 (484 − 9) 2S − = 2 . =2 . = 2 3,890 = 3,94 X n N 9 484 − U I = X − 2S − = 40,89 − 3,94 = 36,95 X − U II = X + 2 S − = 40,89 + 3,94 = 44,83 X Jadi dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan interval antara 36,95 sampai dengan 44,83 kg akan memuat rata-rata berat ternak potong yang sebenarnya (=U). Probabilitas bahwa kesalahan sampling akan sama atau lebih kecil dari 3,94 kg, sebesar 95%, sedangkan kesalahan sampling akan melebihi 3,94 sebesar 5%. Jadi 3,94 kg merupakan batas kesalahan sampling yang ditolerir/bisa diterima. 4.2 Cara Membuat Perkiraan Total (=T) Di atas sudah dipaparkan bagaimana mengetahui perkiraan rata-rata. Masalahnya kemudian adalah bahwa dalam pelaksanaan penelitian, seorang peneliti tidak hanya ingin mengetahui rata-rata permintaan per rumah tangga mengenai jenis barang konsumsi akan muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 9
  10. 10. tetapi berapa jumlahnya; seorang perencana dari Bappenas tidak hanya ingin mengetahui berapa rata-rata biaya per proyek tetapi berapa jumlah biaya proyek, dan lain sebagainya. Untuk keperluan tertentu mungkin sudah cukup mengetahui rata-ratanya saja, misalnya rata-rata nikotin yang dikandung per batang rokok; rata-rata hidup masyarakat bali; rata-rata suatu jenis bola lampu bisa menyala, rata-rata waktu yang diperlukan untuk menyembuhkan sejenis penyakit tertentu dengan menggunakan obat tertentu, dan lain sebagainya. Katakan saja misalnya : Populasi: X 1 , X 2 ,..., X i ,..., X N N T = ∑ X i = X 1 + X 2 + ... + X i + ... + X N i =1 Sampel : X 1 , X 2 ,..., X i ,..., X n − 1 ∧ − X = n ∑ X i dan T = X N (perkiraan tunggal untuk total T). 1 1 Oleh karena U = N ∑X i = N T , maka T = U.N N banyaknya elemen populasi tidak dapat diperkirakan. Untuk memperkirakan total ∧ − ( T = T topi), yang diperkirakan U nya yaitu dengan X . Di dalam hal di mana N tidak diketahui, total (jumlah) tidak bisa diperkirakan. Perlu diingat bahwa total perkiraan tidak sama dengan total dari sampel. ∧ − n T = X N ≠ t = ∑ Xi i =1 Perkiraan interval T dengan tingkat keyakinan (1 – α). ∧ ∧ n > 30 T − Zα / 2 S ∧ ≤ T ≤ T + Z α / 2 S ∧ T T ∧ ∧ n ≤ 30 T − tα / 2 S ∧ ≤ T ≤ T + tα / 2 S ∧ atau T T ∧ T = T ± B di mana B = Z α / 2 S ∧ = kesalahan sampling. T ∧ S ∧ = kesalahan baku (standar error) T T muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 10
  11. 11. N 2S 2 N − n S ∧ = NS − = . T X n N −1 Contoh Aplikasi: Seorang peneliti dari Bank BNI ingin mengetahui jumlah permintaan kredit pengusaha kecil dalam jutaan rupiah dari suatu propinsi. Seluruh pengusaha yang memerlukan kredit sebanyak 750 sebagai populasi. Untuk membuat perkiraan tentang jumlah permintaan kredit dipilih sampel acak 50 orang pengusaha. Hasil wawancara menunjukkan bahwa rata-rata kredit yang diminta sebesar Rp. 10,31 juta dengan varian perkiraan (=S2) sebesar Rp. 2,25 juta. Dengan tingkat keyakinan sebesar 95%. Pemecahan: − N = 750, n = 50, X = 10,31, S2 = 2,25 ∧ − T = X N = (10,31x 750) = 7.732,5 Perkiraan jumlah permintaan kredit Rp. 7.732,5 juta (2,25) (750 − 50) B = 2 S ∧ = 2 (750) 2 x x = 2 23,625 = 307.4 T 50 750 ∧ NBB = T1 = T − B = 7.732,5 − 307,4 = 7,425,1 ∧ NBA = TII = T + B = 7.732,5 + 307, 4 = 8,039,9 Jadi dengan tingkat keyakinan 95%, jumlah permintaan kredit yang sebenarnya terletak dalam interval antara 7.425,1 s.d. 8.039,9 Probabilitas bahwa kesalahan sampling sama atau lebih kecil dari Rp. 307,4 juta sebesar 95%, sedangkan lebih besar dari Rp. 307,4 juta hanya sebesar 5%. 5. Cara Menentukan Besarnya Sampel Seringkali pertanyaan yang muncul dari para peneliti atau dari kita sendiri yang sedang belajar mengenai teknik sampling adalah: “Berapa banyaknya sampel yang harus dteliti agar hasil penelitian berupa data perkiraan dapat mewakili populasi dari mana sampel tersebut berasal?” muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 11
  12. 12. Untuk mengetahui jawabannya ada beberapa hal yang harus diketahui: (1) apa yang kita maksudkan dengan kata ‘mewakili’ (2) berapa tingkat keyakinan yang dipergunakan untuk menjamin hasil penelitian bahwa kesalahan samplingnya tidak melebihi nilai tertentu. (3) Tingkat variasi atau heterogenitas populasi dari mana sampel diambil/dipilih. Suatu hasil penelitian berupa data perkiraan disebut mewakili kalau perkiraan tersebut dekat dengan parameter yang akan diperkirakan. Istilah mewakili ini mempunyai arti relatif, artinya kalau nilai parameter 100, data perkiraan sebesar 99 dikatakan lebih mewakili daripada data bernilai 95 atau 90. jadi erat kaitannya dengan pengertian tingkat ketelitian, makin teliti suatu perkiraan berarti makin dekat dengan nilai parameter. Sedangkan tingkat ketelitian yang diperlukan juga sangat berbeda dari bidang yang satu dengan bidang yang lainnya. Misalnya, dalam bidang-bidang ilmu sosial seperti pendidikan, politik dan lain sebagainya, kesalahan sampling sebesar 5% sudah dianggap cukup baik, cukup teliti, akan tetapi dalam bidang kedokteran hal ini cukup berbahaya. Bayangkan saja kalau seandainya setiap kali memberikan obat atau menyuntikkan obat kepada 100 orang pasien, kesalahannya sebesar 5%, berarti dalam 100 orang tersebut yang meninggal dunia karena kesalahan sebanyak 5 orang. Itulah sebabnya, dalam bidang kesehatan tingkat kesalahan samplingnya lebih kecil yaitu 1% atau 0,01. Dalam prakteknya cukup ditentukan besarnya nilai B = batas kesalahan sampling tertinggi (bound of error) di mana B = 2 S − untuk tingkat keyakinan 95%. Tingkat variasi X atau heterogenitas populasi dinyatakan dalam standar error σ − dan di samping itu X besarnya sampel juga dipengaruhi N = banyaknya populasi yang akan diambil sampelnya. Yang perlu diperhatikan ialah mengambil sampel terlalu besar walaupun hasilnya mungkin mewakili akan tetapi biayanya sangat mahal (hanya berlaku untuk ‘consistent estimator’. Bagi ‘inconsistent estimator’ besarnya sampel tidak menjamin bahwa hasil penelitian akan mewakili populasi). Sebaliknya kalau sampel terlalu kecil, walaupun biayanya murah biasanya hasil penelitian kurang teliti, kesalahan sampling mungkin terlalu besar, sehingga resiko akan besar bagi pengambil keputusan yang menggunakan data tersebut untuk mengambil keputusan. muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 12
  13. 13. Untuk menentukan nilai n = besarnya sampel guna memperkirakan parameter U dengan kesalahan sampling yang ditolerir sebesar B kita harus melihat kembali rumus yang sudah diberikan di atas. 2σ − = B, σ − = σ2 − X X X σ 2  N − n σ2 = −   = var ian( X ) X n  N  S2  N − n − S2 = −   = perkiraan varian ( X ) X n  N  2σ − =B X σ 2  N − n 2  =B n  N  Untuk mencari n kuadrat masing-masing suku. σ 2  N − n  =B 2 4 n  N −1  σ 2  N −n B2   = , kalau D = B2, maka n  N −1  4 N .σ 2 − nσ 2 = D , Nσ 2 − nσ 2 = n( N − 1) D n( N − 1) Nσ 2 = n( N − 1) D + nσ 2 = n[( N − 2) D + σ 2 ] Nσ 2 B2 n= . (Ingat bahwa: D = ) ( N − 1) D + σ 2 4 n tidak bisa dicari sebab tergantung pada nilai σ 2 yaitu varian populasi. Bagaimanapun juga agar dapat menghitung n, nilai σ 2 harus diperkirakan, misalkan berdasarkan masa lampau atau berdasarkan rumus tertentu sebagai suatu pendekatan. Contoh Aplikasi: di dalam penelitian sektor industri ingin diketahui rata-rata modal perusahaan besar. Untuk keperluan ini ingin diketahui berapa besarnya sampel apabila kesalahan sampling sebesar Rp. 3 juta, (merupakan batas kesalahan sampling yang ditolerir). Berdasarkan rumus untuk menentukan n ternyata tergantung pada σ 2 yang tidak diketahui nilainya. muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 13
  14. 14. Seluruhnya ada 1000 perusahaan sebagai populasi dan jarak (range) nilai terbesar dengan yang terkecil sebesar Rp.100 juta, ini merupakan gambaran kasar tentang tingkat variasi populasi. Pemecahan: Karena σ 2 tidak diketahui harus diperkirakan. Perlu dicatat bahwa menurut aturan empiris (empirical rule), besarnya jarak (range) nilai observasi 4 simbangan baku (= 4 σ ) dengan demikian seperempat range merupakan perkiraan yang cukup bagi σ . range 100 Jadi σ = = = 25 dan σ 2 = (25) 2 = 625 4 4 Dengan menggunakan rumus di atas untuk menghitung n. Nσ 2 B 2 32 n= . Nilai D = = = 2,25 ( N − 1) D + σ 2 4 4 1000 x625 n= = 217,56 = 218 999 x 2,25 + 625 Jadi untuk memperkirakan rata-rata modal perusahaan, agar kesalahan sampling sebesar Rp. 3 juta, simpangan baku Rp. 25 juta dan tingkat keyakinan untuk menjamin hasil penelitian sebesar 95%, haruas diteliti sebanyak 218 perusahaan. Catatan: B2 D = . Angka 4 diperoleh karena tingkat keyakinan 95%, di mana 4 Z α / 2 = Z 0, 05 = 1,96 dan dibulatkan menjadi 2 (22 = 4). Untuk tingkat keyakinan lainnya nilai D tergantung pada Z α / 2 , maka dari itu secara umum cara menghitung D sebagai berikut: 2  B  D=     Zα / 2  Selain membuat perkiraan rata-rata seorang peneliti mungkin sekaligus juga membuat perkiraan total (=T) atau jumlah sebenarnya, seperti misalnya jumlah muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 14
  15. 15. permintaan sejenis barang konsumsi, jumlah modal perusahaan besar, jumlah biaya proyek dan lain sebagainya. Seperti sudah kita ketahui T = X.N merupakan perkiraan total (=T). Seperti halnya menentukan n untuk memperkirakan rata-rata kita harus menyamakan 2σ ∧ = B dan n. T σ2 N −n 2σ ∧ = 2σ − = 2 N2 . =B T NX n N −1 N 2σ 2 ( N − n) B 2 dikuadratkan: = n( N − 1) 4 σ 2 N −σ 2n B2 = =D n( N − 1) 4N 2 σ 2 N − σ 2 n = n( N − 1) D Nσ 2 n[( N − 1) D + σ 2 ] = σ 2 N .... n = ( N − 1) D + σ 2 B2 berbeda dengan n untuk memperkirakan rata-rata di mana D = dalam hal untuk 4 B2 memperkirakan total, D = 4N 2 Contoh Aplikasi: Untuk keperluan pengangkutan 100 ekor anak ayam kampung berumur sekitar 4 minggu dari daerah peternakan ke kota perlu diketahui jumlah (total beratnya), sehingga dapat diketahui berapa truck disiapkan untuk keperluan pengangkutan. Untuk itu seorang peneliti ahli peternakan harus melakukan penelitian untuk memperkirakan jumlah berat. Persoalan yang timbul berapa banyaknya sampel anak ayam yang harus diteliti, kalau dipergunakan tingkat kepercayaan 95%, dengan kesalahan sampling terbesar (batas atas) 1000 gram. Berdasarkan data hasil penelitian anak ayam beberapa tahun sebelumnya diketahui bahwa varian berat badan anak ayam kampung 36 gram. Pemecahan: N = 1000, σ 2 = 36 , b = 1000 muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 15
  16. 16. B2 (1000) 2 D = 2 = = 0, 25 4 N 2 4(1000) 2 Nσ 2 1000(36) n= = = 125,98 = 126 ( N − 1) D + σ 2 999(0, 25) + 36 Jadi untuk membuat perkiraan jumlah berat anak ayam kampung berumur sekitar 4 minggi harus diteliti kemudian ditimbang sebanyak 126 ekor saja. muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 16
  17. 17. DAFTAR PUSTAKA Cochran, William G. 1991. Teknik Penarikan Sampel. Penerjemah Rudiansyah. Jakarta: UI-Press. Kusrini & Eti Tejo Dwi Cahyowati. 1995. Statistik Matematika Modul 1 -9. Jakarta: Depdikbud. Sugiarto, dkk. 2003. Teknik Sampling. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama. Supranto, J. 2000. Teknik Sampling. Jakarta: PT. Rineka Cipta. Thompson, Steven K., 2002. Sampling. Second Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Walpole, Ronald E., 1995. Ilmu Peluang Dan Statitika Untuk Insinyur Dan Ilmuwan. Penerjemah RK. Sembiring, Bandung: Penerbit ITB muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 17
  18. 18. LAMPIRAN 01 KOMBINATORIK 1. Permutasi Suatu susunan dari sekumpulan n obyek dalam suatu urutan yang tertentu disebut permutasi dari obyek tersebut. Susunan dari sebarang r < n dari obyek tersebut dalam urutan yang tertentu disebut suatu permutasi r atau suatu permutasi r obyek dari n obyek yang diketahui. Banyaknya permutasi r obyek dari n obyek, diberi notasi P(n,r). Eelemen pertama dari permutasi n objek dapat dipilih dalam n cara yang berbeda, berikutnya, elemen kedua dalam permutasi dapat dipilih dalam n – 1 cara; dan berikutnya elemen ketiga dalam permutasi dapat dipilih dalam n – 2 cara. Begitu seterusnya, dengan cara yang sama, kita dapatkan elemen ke – r (elemen yang terakhir) dalam permutasi r objek dapat dipilih dalam n – (r – 1) cara atau n – (r – 1) = n – r + 1 cara. Dengan demikian: P (n, r) = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) Atau n! P(n, r ) = (n − r )! Contoh: Berapakah banyaknya cara, jika 3 orang dari kota Singaraja, 4 orang dari Denpasar, dan 2 orang dari Lombok duduk dalam satu baris sehingga yang sekota duduk bersisian? Pemecahan: Karena ada 3 kota asal, maka 3 kota asal itu dapat disusun pada satu baris dalam 3! = 6 cara. 3 orang Singaraja dapat duduk dalam 3! Cara, 4 orang Denpasar dalam 4! Cara dan 2 orang Lombok dalam 2! Cara. Jadi kalau bersama-sama ada 3!.3!.4!.2! = (3x2x1)x(3x2x1)x(4x3x2x1)x(2x1) = 6x6x24x2 = 1728 cara. 2. Permutasi dengan Pengulangan Terkadang kita ingin mengetahui banyaknya permutasi dari obyek-obyek yang beberapa diantaranya sama. Untuk itu digunakan teorema seperti berikut: n! n1!.n2 !.n3 ! Contoh: Berapakah permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata ”MUHAMMAD”? muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 18
  19. 19. Penyelesaian: Kata ”MUHAMMAD” terdiri atas 8 huruf, 3 huruf diantaranya huruf M, jadi banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf dari kata 8! 8 x7 x 6 x5 x 4 x3x 2 x1 40.320 ”MUHAMMAD” = = = = 6.720.cara 3! 3 x 2 x1 6 3. Kombinasi Misalkan kita mempunyai sebuah kumpulan n obyek. Suatu kombinasi r objek dari n objek, adalah sebarang pemilihan r objek dari n objek di mana urutan tidak diperhatikan. Jadi susunan ab dianggap sama dengan ba. Notasi kombinasi r objek dari n objek adalah:  n C (n, r )atau  atau.C rn r     n  P(n, r ) n! Rumus kombinasi : C (n, r ) =   =   = r  r! r!(n − r )! Contoh : Berapakah banyaknya cara dalam pemilihan pengurus inti yang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita dari 7 pria dan 5 wanita? Penyelesaian: 7! 7 x6 x5 1. 3 pria dapat dipilih dari 7 pria dalam C(7, 3) cara = = = 35 cara 3!(7 − 3)! 3x2 5! 5x4 2. 2 wanita dapat dipilih dari 5 wanita dalam C(5,2) cara = = = 10 2!(5 − 2)! 2 cara Jadi pengurus inti dapat dipilih dalam C(7, 3) x C(5, 2) = 35 x 10 = 350 cara. 4. Koefisien Binomial Teorema Binomial (a + b) n = ∑ C (n, r )a n− r b r r =0 n− 0 0 = C (n,0)a b + C (n,1)a n−1b1 + C (n,2)a n − 2 b 2 + ... + C (n, n − 1)a n −( n−1) b n−1 + C (n, n)a n − n b n muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 19
  20. 20. Aplikasi : (a + b) 0 = 1 ( a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 kalau koefisien-koefisiennya disusun dalam bentuk segi tiga, maka susunan segi tiga tersebut dinamakan ”segi tiga Pascal” seperti berikut ini: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 20
  21. 21. LAMPIRAN 02 Pengertian variabel random dalam suatu eksperimen yaitu suatu variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel. Variabel tersebut disebut DISKRIT jika variabel itu hanya dapat memiliki nilai tertentu dan disebut kontinu jika variabel itu dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Contoh variabel diskrit : setiap kemungkinan x dari pelemparan dadu, koin dan sebagainya. Sedangkan contoh variabel kontinu: variabel yang menyatakan tingginya temperatur udara, tebalnya suatu plat baja atau daya tahan suatu alat elektronika. DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI VARIABEL RANDOM DISKRIT 1. Distribusi Binomial Distribusi Binomial 2. Distribusi Poisson 3. Distribusi Geometrik 4. Distribusi Hipergeometrik DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI VARIABEL RANDOM KONTINU 1. Distribusi Uniform 2. Distribusi Eksponensial 3. Distribusi Normal muhammad ali gunawan & nyoman rida_pep_undiksha2007 21

×