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Varian 4, Utilidad

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Capítulo 4, Varian, Utilidad

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Varian 4, Utilidad

  1. 1. Capítulo 4 Utilidad
  2. 2. Funciones de Utilidad <ul><li>Una función de utilidad U(x) representa una relación de preferencias si y sólo si: </li></ul>
  3. 3. <ul><ul><li>x’ ≻ x” U(x’) > U(x”)‏ </li></ul></ul>
  4. 4. <ul><ul><li>x’ ≺ x” U(x’) < U(x”)‏ </li></ul></ul>
  5. 5. <ul><ul><li>x’  x” U(x’) = U(x”). </li></ul></ul>
  6. 6. <ul><li>La utilidad es un concepto ordinal </li></ul><ul><li>si U(x) = 6 y U(y) = 2, entonces la combinación x es estríctamente preferida a y. Sin embargo, no es cierto que la combinación x es tres veces preferida frente a la combinación y. </li></ul>
  7. 7. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  8. 8. <ul><li>Considere las combinaciones (4,1), (2,3) y (2,2). </li></ul><ul><li>Supongamos que (2,3) ≻ (4,1)  (2,2). </li></ul>
  9. 9. <ul><ul><li>Ahora vamos a asignar a estas combinaciones cualquier número que mantenga el orden de preferencias: U(2,3) = 6 y U(4,1) = U(2,2) = 4. </li></ul></ul><ul><ul><li>Llamamos a estos números niveles de utilidad . </li></ul></ul>
  10. 10. <ul><li>Una curva de indiferencia contiene combinaciones que son igualmente preferidas. </li></ul><ul><li>Las combinaciones son igualmente preferidas si y sólo si tienen el mismo nivel de utilidad. </li></ul>
  11. 11. <ul><ul><li>En consecuencia, todas las combinaciones en una curva de indiferencia, tienen el mismo nivel de utilidad. </li></ul></ul>
  12. 12. <ul><li>Y entonces las combinaciones (4,1) y (2,2) se encuentran sobre la misma curva de indiferencia con un nivel de utilidad U   , mientras que la combinación (2,3) se encuentra sobre una curva de indiferencia con un mayor nivel de utilidad U  6. </li></ul>
  13. 13. <ul><ul><li>Sobre un mapa de curvas de indiferencia, las preferencias aparecen como: </li></ul></ul>
  14. 14. U  6 U  4 (2,3) ≻ (2,2)  (4,1)‏ x 1 x 2
  15. 15. U  6 U  4 U  2 x 1 x 2
  16. 16. <ul><li>U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 (2,3) ≻ (4,1)  (2,2). </li></ul>
  17. 17. <ul><ul><li>Ahora vamos a definir la función W = 2U + 10. </li></ul></ul>
  18. 18. <ul><li>W(x 1 ,x 2 ) = 2x 1 x 2 +10 W(2,3) = 22 y W(4,1) = W(2,2) = 18. De nuevo: (2,3) ≻ (4,1)  (2,2). </li></ul>
  19. 19. <ul><ul><li>La función W preserva el mismo orden de preferencias que la función U y entonces representan las mismas preferencias. </li></ul></ul>
  20. 20. Bienes, males y neutros
  21. 21. <ul><li>Un bien es un bien cuando al incrementarse la cantidad se incrementa el nivel de utilidad. </li></ul>
  22. 22. <ul><ul><li>Un bien es un mal cuando al incrementarse la cantidad disminuye el nivel de utilidad. </li></ul></ul>
  23. 23. <ul><ul><li>Un bien es neutro cuando al incrementarse la cantidad el nivel de utilidad no cambia. </li></ul></ul>
  24. 24. Algunas funciones de utilidad y sus curvas de indiferencia
  25. 25. <ul><li>En lugar de la función U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 vamos a considerar la función V(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 . </li></ul>
  26. 26. <ul><ul><li>¿Cómo es esta función de utilidad para bienes “sustitutos perfectos” </li></ul></ul>
  27. 27. 5 5 9 9 13 13 x 1 x 2 x 1 + x 2 = 5 x 1 + x 2 = 9 x 1 + x 2 = 13 Todas son lineales y paralelas V(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 .
  28. 28. <ul><li>Ahora en lugar de la función U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ó la función V(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 , vamos a considerar la función W(x 1 ,x 2 ) = min{x 1 ,x 2 }. </li></ul>
  29. 29. <ul><ul><li>¿Cómo es esta función de utilidad para bienes “complementarios perfectos” ? </li></ul></ul>
  30. 30. x 2 x 1 45 o min{x 1 ,x 2 } = 8 3 5 8 3 5 8 min{x 1 ,x 2 } = 5 min{x 1 ,x 2 } = 3 Todas son ángulos rectos con vértices sobre un rayo desde el orígen W(x 1 ,x 2 ) = min{x 1 ,x 2 }
  31. 31. <ul><li>Una función de utilidad de la forma U(x 1 ,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 lineal en x 2 se conoce como cuasi-lineal . </li></ul>
  32. 32. <ul><ul><li>U(x 1 ,x 2 ) = 2x 1 1/2 + x 2 . </li></ul></ul>
  33. 33. x 2 x 1 Cada curva de indiferencia es una copia verticalmente desplazada de las otras.
  34. 34. <ul><li>Una función de utilidad de la forma U(x 1 ,x 2 ) = x 1 a x 2 b con a > 0 y b > 0 se conoce como Cobb-Douglas . </li></ul>
  35. 35. <ul><ul><li>U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 1/2 (a = b = ½) V(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 3 (a = 1, b = 3)‏ </li></ul></ul>
  36. 36. x 2 x 1 Todas las curvas son hipérbolicas asintóticas a los ejes.
  37. 37. Utilidad Marginal
  38. 38. <ul><li>Marginal significa “incremental”. </li></ul><ul><li>La utilidad marginal es la tasa de cambio de la utilidad total cuando cambia la cantidad del bien i. </li></ul>
  39. 39. Marginal Utilities <ul><li>si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 entonces </li></ul>
  40. 40. <ul><li>Si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 entonces </li></ul>
  41. 41. <ul><li>Entonces si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 </li></ul>
  42. 42. Utilidad Marginal y tasa marginal de sustitución
  43. 43. <ul><li>La ecuación general para una curva de indiferencia es U(x 1 ,x 2 )  k donde k es una constante. Tomando la diferencial total </li></ul>
  44. 44. Y reordenando
  45. 45. reordenando y Y esta la TMS (TSC)‏
  46. 46. <ul><li>Si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 . Entonces </li></ul>y
  47. 47. TSC(1,8) = - 8/1 = -8 TSC(6,6) = - 6/6 = -1. x 1 x 2 8 6 1 6 U = 8 U = 36 U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ;
  48. 48. TSC y funciones de utilidad cuasilineales
  49. 49. <ul><li>Si U(x 1 ,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 </li></ul>y
  50. 50. <ul><li>TSC = - f'(x 1 ) no depende de x 2 y entonces las pendientes de las cuarvas de indiferencia son constantes a lo largo de cualquier línea para la que x 1 es constante. </li></ul>
  51. 51. <ul><ul><li>Entonces ¿cómo es el mapa de curvas de indiferencia de una función de utilidad cuasilineal? </li></ul></ul>
  52. 52. x 2 x 1 TSC =- f(x 1 ’)‏ TSC = -f(x 1 ”)‏ x 1 ’ x 1 ”
  53. 53. Transformaciones monotónicas y TSC
  54. 54. <ul><li>Al aplicar una transformación monotónica a una función de utilidad que representa una relación de preferencias, se obtiene otra función de utilidad que representa la misma relación de preferencias. </li></ul>
  55. 55. <ul><ul><li>¿Qué sucede con la TSC cuando se aplica una transformación monotónica? </li></ul></ul>
  56. 56. <ul><li>Si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 la TSC = - x 2 /x 1 . </li></ul><ul><li>Creamos V = U 2 ; V(x 1 ,x 2 ) = x 1 2 x 2 2 . ¿cuál es la TSC para V? La misma que para U. </li></ul>
  57. 57. Capítulo 5 Óptimo del Consumidor

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