Introducción
En este apunte encontrarás desarrollados los contenidos de Matemáticas de 3º año, según el
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Resta de Polinomios: Para restar hay al menos dos métodos, el primero es la resta normal como
todos la conocemos, y el seg...
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Factorización de polinomios

La factorización es el procedimiento mediante el cuál se transforma un polinomio en un produc...
3.- Cuadrado de un binomio (Trinomio Cuadrado Perfecto)
La expresión (a + b)2, se puede desarrollar de acuerdo a las regla...
5.- Diferencia de Cuadrados
Se presenta cuando en el binomio, los dos elementos son cuadrados perfectos y además se están
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Aquí se aplicó lo siguiente: el 10 estaba restando, pasó al otro lado del igual, sumando; el 2
estaba multiplicando, pasó ...
etc.    Los sistemas de ecuaciones se clasifican de acuerdo a su conjunto solución; estos pueden
ser:
   I.   La solución ...
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                 Δ=                                     = (1 • (-2)) - (3 • 4) = - 2 – 12 = -14

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Para nuestro caso las rectas se cortan en un punto (sistema compatible determinado). Este punto
determina los valores de x...
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Cuadernillo Matemática 3º

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Cuadernillo de matemáticas de 3º año E.N.S.Nº 75 "Julio Cortázar"

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Cuadernillo Matemática 3º

  1. 1. Introducción En este apunte encontrarás desarrollados los contenidos de Matemáticas de 3º año, según el programa de la E.N.S.Nº 75 “Julio Cortázar”. Si bien están muy resumidos, te servirán de guía para todo el año. Las actividades se complementarán con trabajos prácticos y otros temas que se darán durante el ciclo lectivo. Quiero aclararte que no es un “librito de cuentos”, por lo tanto tendrás que leerlo detenidamente y hacer todos los ejercicios planteados, memorizar alguna definición y plantear contraejemplos si quieres aprender. Como lo expresé, es una “guía de estudio”, te sugiero para su mejor y mayor comprensión ampliar con la lectura de la bibliografía recomendada; asistir a clases, prestar atención en las mismas y participar preguntando sobre todo aquello que te genere dudas. Comenzamos con Monomios y terminamos en inecuaciones. Aclaración: Esta guía será sujeta a revisión durante el ciclo lectivo 2007. El autor: Profesor Miguel A. Parente – Enero – Febrero/2007- Monomios y Polinomios Llamamos monomios a toda expresión del tipo axn, en donde a ∈ Real, x es la variable y n ∈ Natural. Además, a es el coeficiente del monomio y n representa el grado del mismo. Los 3 5 7 monomios pueden ser de una variable o más. Ejemplos de monomios: -5m2 ; a b ; etc. 4 Monomios semejantes: son aquellos que tienen igual parte literal. Ejemplo: 2x3y, 5yx3 ; 4y5, -y5 Polinomios: Llamamos polinomios a toda expresión de la forma anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a0. en donde a ∈ R y n ∈ N. Un polinomio de un término se llama monomio, de dos: binomio, de tres: trinomio y de cuatro: cuatrinomio. Función polinómica es aquella que se define a través de un polinomio, o sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ……+ a0 , por ejemplo P(z) = 5z6 – 4z4 + 3z - 8, y devuelve un valor para un cierto z. Ejemplo: Sea P(x) = 4x3 – 3x2 + x – 4; hallar P(-2) → P(-2)= 4(-2)3 – 3(-2)2 + (-2) – 4 → 4(-8) -3(4) + (-2) – 4= -32 -12 -2 – 4= -50 7 1 1 Ejercicios: encontrar el valor de la función polinómica P(x) = x 3 − x 2 − 6 para x = 0 ∧ x = . 8 4 2 Operaciones con Polinomios: Las operaciones con polinomios se basan en las mismas reglas básicas de operación de números Reales. Suma de Polinomios: La suma de dos o más polinomios se obtiene sumando sus monomios semejantes. Es conveniente primero ordenarlos de mayor a menor grado. Ejemplo: 1 2 3 3 Sean: P(x)= 2 + x − x 2 + 5 x 3 y Q(x)= x − x 3 − 5 Los ordeno de mayor a menor: 2 3 2 4 1 2 2 2 2 1 3 3 3 3 2 + x − x + 5x 3 = 5x 3 − x + x + 2 ; x − x3 − 5 = − x3 + x − 5 2 3 3 2 2 4 4 2 los sumo: 2 1 P(x) 5x 3 − x 2 + x + 2 3 2 3 3 3 Q(x) − x + x −5 4 2 17 3 2 2 P(x) + Q(x)= − x − x + 2x − 3 4 3 Parente Miguel Angel – 2007- 1
  2. 2. Resta de Polinomios: Para restar hay al menos dos métodos, el primero es la resta normal como todos la conocemos, y el segundo consiste en cambiar todos los signos del polinomio sustraendo, y luego efectuar la operación suma. Para los polinomios del ejemplo anterior, resto Q(x) a P(x): 2 1 P(x) 5x 3 − x 2 + x + 2 3 2 3 3 3 Q(x) + x − x+5 4 2 23 3 2 2 P(x) - Q(x)= + x − x − 1x + 7 4 3 Producto de Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se aplican la ley distributiva del producto respecto a la suma y luego se suman los términos semejantes, si los hay. Ejemplo: P(x)= -6x2 + 3x - 5 ; Q(x)= -2x2 + 4x Aplicando distributiva: (-6x2 + 3x - 5) • (-2x2 + 4x) = 12x4 - 24x3 - 6x3 + 12x2 + 10x2 – 20x = 12x4 - 30x3 + 22x2 – 20x O bien: P(x) 4x4y – 7x2y + 3y Q(x) – 3x2y + 2y -12x6y2 + 21x4y2 – 9x2y2 8x4y2 -14x2y2 + 6y2 P(x) • Q(x)= -12x6y2 + 29x4y2 - 23x2y2 + 6y2 División de polinomios: La división de polinomios se efectúa siguiendo las reglas: Se ordenan de mayor a menor ambos polinomios y si el dividendo no está completo, se lo completa antes de comenzar el proceso de división. Ejemplo: Sean P(x) = 6x5 + 4x4 - 2x2 – 5; y Q(x) = 2x 3 − 3 Observamos que los polinomios P(x) y Q(x) están ordenados, pero P(x) no está completo, motivo por el cuál completamos P(x), quedando así: P(x) = 6x5 + 4x4 + 0x3 - 2x2 + 0x – 5 Ahora procedemos a efectuar la división: dividendo 6x5 + 4x4 + 0x3 - 2x2 + 0x – 5 2x3 -3 → divisor -6x5 +9x2 3x2 + 2x → cociente 4x4 + 0x3 +7x2 + 0x – 5 -4x4 + 6x +7x2 + 6x – 5 → Resto Regla de Ruffini: Esta regla se usa para dividir un polinomio por otro de la forma (x ± a). 1 5 2 1 1 Ejemplo: J(x) = − x 4 + x + 2x − ; D(x) = x + . Efectuar T(x) = J(x)/D(x). 4 16 3 2 1 4 5 2 1 Ordeno y completo el dividendo → J(x) = − x + 0 x 3 + x + 2x − 4 16 3 Tomo los coeficientes de J(x) y el término independiente de D(x) cambiado de signo, y los coloco de la siguiente manera: Parente Miguel Angel – 2007- 2
  3. 3. 1 5 1 − 0 2 − 4 16 3 -a 1 1 1 1 15 − + − − − Resto 2 8 16 8 16 1 1 1 15 61 − + + + − 4 8 4 8 48 Procedimiento: bajo el primer coeficiente del dividendo y lo multiplico por (-a) y lo ubico en la segunda columna. Sumo o resto dicho valor con el segundo coeficiente de J(x) de acuerdo al signo, y al resultado lo multiplico por (-a) y se ubica en la columna siguiente y así sucesivamente, 1 1 1 15 61 quedando el resultado de la división : T(x) = − x 3 + x 2 + x + y el resto es − . Observe 4 8 4 8 48 que en la división, el polinomio resultante tiene un grado menos que el dividendo. Ejercicios: a) Calcula las siguientes funciones polinómicas 1) P(x)= -4x3 + 2x2 – 7x + 5 obtén P(2). 2) Q(X)= 6x3 -12x2 - 8x - 3 obtén Q(-1). 3 2 3) P(x)= x - 4x + 3x - 7 obtén P(a). 4) Q(X)= 7x3 +10x2 +6 obtén Q(c/2). b) Dados los polinomios P(x) y Q(x) resuelve las operaciones siguientes: P(X) = - 36x3 + 40x2 – 16x + 75 Q(X) = + 50x3 - 28x2 + 34x + 100 bi) P(x) + Q(x) bii) Q(x) - P(x) biii) 4[P(x)] + 3[Q(x)] biiii) P(x) x Q(x) biiiii) P(x) ÷ Q(x). c) Analiza: ci) cómo es el grado del polinomio que resulta de la suma. Emite alguna ley. cii) cómo es el grado del polinomio que resulta del producto. Emite alguna ley. ciii) cómo es el grado del polinomio que resulta de la división. Emite alguna ley. 4 2 3 3 d) Sean los polinomios P(x) = x − x y Q(x) = - , Realiza P(x) • Q(x) 5 8 2 2 2 4 1 3 e) Sean los polinomios P(x) = x − x − 6 ; Q(x) = - x 4 − 3 ; R(x) = x 3 − x . 7 5 2 2 ei) Realiza [P(x) • Q(x)] ÷ R(x). eii) Verifica las leyes: Cierre, Asociativa y Conmutativa para la suma y el producto f) Evalúa J(x,y) = 3xy2 – 2x2y, para: x= 5, y= -2 g) Calcula (3 + 2)2 por suma y potencia simple y como producto de la base por si misma. h) Realiza (a + b)2, (c + d)2, (2a + 3b)2 y emite alguna ley. i) Realiza (a + b)3, (c + d)3, (2a + 3b)3 y emite alguna ley j) En centavos por kilómetro, el costo de conducir un automóvil a una velocidad v se aproxima por medio de la función polinómica C(v) = 0.002v2 – 0.21v + 15. ¿Cuánto cuesta conducir a 50 Km/h y a 80Km/h? k) El polinomio 0.524hD2 + 0.62hd2, proporciona el volumen aproximado de ciertos barriles, en donde d es diámetro interior, D es diámetro exterior y h la altura encuentra el volumen para h = 105cm, d = 48cm y D = 50cm. l) El polinomio π(R2 –r2), proporciona la superficie de una arandela. Calcula el área de una arandela de R =12mm y r = 4mm. ll) Con una chapa cuadrada de 50cm de lado, se pretende hacer una caja sin tapa, cortando las esquinas y doblando los lados. Obtén la expresión del volumen de la caja y calcula para que altura de lado el volumen es máximo. Parente Miguel Angel – 2007- 3
  4. 4. Factorización de polinomios La factorización es el procedimiento mediante el cuál se transforma un polinomio en un producto. Existen al menos 5 casos de factorización 1.- Extracción de factor común Consiste en verificar que factor es común (se repite en todos los términos) en el polinomio y extraerlo como constante. Ejemplo: 5x4 – 4x3 + x2 + 6x (polinomio completo de cuarto grado). Vemos que la x está en todos los términos del polinomio, aunque a distintas potencias (x4, x3, x2, x). De todos los posibles factores comunes, para el caso únicamente la x, lo extraemos con su menor exponente, para el caso x1 = x, de tal manera que quedaría así: 5x4 – 4x3 + x2 + 6x = x (5x3 – 4x2 + x + 6) Polinomio polinomio factorizado Si al polinomio factorizado, le aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y resta obtenemos el polinomio inicial, esto es: x • (5x3 – 4x2 + x + 6) = 5x3. x – 4x2. x + x .x + 6. x = 5x4 – 4x3 + x2 + 6x De la misma manera el polinomio: -3y5 + 6y3 +9y2 = 3y2 (-y3 + 2y +3), en este ejemplo, no sólo sale una letra (y), como factor común sino además un numero (3), esto es así porque al primer polinomio se lo podía expresar de la siguiente manera: -3y5 + 6y3 +9y2 = -1.3y5 + 2.3y3 +3.3y2, de donde se sigue que el 3 es un factor común. Ejercicios: Extraer el factor común de los siguientes polinomios: 2a4 -5a3 = 14b3 – 5b2 – 3b = 7xy -5xy2-3x2y = 2z2 – 4z3 +6z + 4z5 = 6bx3 + 3b2k3x3 – 9b5kx4 – 12bk6 = 1 4 2 1 3 3 1 x a − x a c − x 5a 4c 2 = 2 4 8 2.- Extracción de factor común por grupos Sea el polinomio: xy + 2x + 3y + 6. Para este ejemplo no podemos sacar un factor común, ya que no hay ninguno, pero podemos asociarlo de la siguiente manera: xy + 2x + 3y + 6 = (xy + 2x ) + (3y + 6) podemos sacar factor común del primer paréntesis x, y del segundo 3 → x •(y + 2) + 3 •(y + 2); ahora resulta que (y + 2) es factor común, por lo tanto factoreamos nuevamente, y nos queda x •(y + 2) + 3 •(y +2) = (x + 3) • (y +2). De tal manera que la cadena de igualdades nos queda: xy + 2x + 3y + 6 = (xy + 2x ) + (3y + 6) = x •(y + 2) + 3 •(y + 2) = (x + 3) • (y + 2) Ejemplo: 10xy - 15ab + 6x2y – 9abx Ordenando de la siguiente manera obtenemos: 10xy + 6x2y - 15ab – 9abx, asociando nos queda: (10xy + 6x2y) + (-15ab - 9abx), sacando factor común pasamos a la siguiente expresión: 2xy • (5 + 3x) - 3ab • (5 +3x), de donde se sigue que: 2xy • (5 + 3x) - 3ab • (5 +3x) = (5 +3x) • (2xy - 3ab) Ejercicios: Extraer factor común por grupos 2ax + 2ay + 3bx +3by= 4x3 – 2yx3 – 4y2x2 + 8yx2= X3 + 6y2 + 3x2y + 2xy - 5x – 15y= 3a2b5 + 2a3b3 - 3ab6 + 3a5b2 – 2a2b4 – 3a4b3= Parente Miguel Angel – 2007- 4
  5. 5. 3.- Cuadrado de un binomio (Trinomio Cuadrado Perfecto) La expresión (a + b)2, se puede desarrollar de acuerdo a las reglas conocidas de la potencia. Es decir dicha expresión quedaría así (a + b)2 = (a + b) • (a + b)= a2 + ab + ba + b2, si bien en un principio queda un cuatrinomio, observando que los términos centrales (1ab + 1ba) tienen la misma parte literal, se pueden sumar, y por lo tanto queda a2 + 2ab + b2, de donde se sigue que finalmente se transforma en un trinomio. En otras palabras y generalizando (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 y por supuesto, por ser una igualdad se da que: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2, que es lo que nos interesa. Como regla para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se deben dar dos condiciones: ▪ dos de sus términos deben ser cuadrados perfectos ▪ el restante es el doble producto del primero por el segundo Ejemplos: (analizar si los trinomios dados son cuadrados perfectos) 12xy + 4x2 + 9y2 a) hay dos términos que son cuadrados perfectos (4x2 y 9y2), cuyas raíces son ±2x y ±3y respectivamente. b) 12xy = 2. ±2x. ±3y, (doble producto del primero por el segundo) Por lo tanto 12xy + 4x2 + 9y2 verifica ser un trinomio cuadrado perfecto, y lo expresamos como: (2x + 3y)2. Si hubiera sido -12xy + 4x2 + 9y2, también verificaría las condiciones quedando (2x - 3y)2. r2 – 6rs + 4s2 a) verifica dos términos cuadráticos (r2 y 4s2), cuyas raíces son: ±r y ±2s b) -6rs ≠ 2. ±r . ±2s De donde se concluye que no es trinomio cuadrado perfecto. También se dice que el cuadrado de un binomio es igual a: “el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo” Ejercicios: (determinar si las expresiones son trinomios cuadrados perfectos y expresarlos como cuadrado de un binomio) - x + 1 + x2 - x= X2 + 4x + 1= 4a2b2 + 32abcd + 4c2d2= 1 2 1 1 2 u − uv + v = 4 4 16 1 2 2 a b + a 2b + a 2 = 4 4.- Cubo de un binomio (Cuatrinomio cubo perfecto) Para que un cuatrinomio sea cubo perfecto se deben dar las siguientes condiciones: ▪ dos de sus términos deben ser cubos perfectos ▪ uno de los restantes debe ser el triple producto del cuadrado del primero por el segundo y ▪ el que queda debe ser el triple producto del primero por el cuadrado del segundo Si tenemos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3, esto se puede verificar realizando el triple producto de la base: (a + b)3 = (a + b) • (a + b) • (a + b) (Verifíquelo!!!) Ejemplo: 27u3 + 54u2v + 36uv2 + 8v3 3 2 2 2 2 27u 3 = 3u ; 3 8v 3 = 2v ; además: 3• (3u) • (2v) = 54u v, y 3• (3u)• (2v) = 36uv , por lo tanto es cuatrinomio cubo perfecto. Ejercicios: (determinar si las expresiones son cuatrinomios cubos perfectos y expresarlos como cubo de un binomio) 1 9 3 6 3 3 2 1 3 x − x y+ x y − y = 8 16 32 64 -8a6 – 36a4b – 54a2b2 – 27b3= 3 1 8u 3 + 6u 2 v + uv 2 + v 3 = 2 8 125 + 225u + 115u2 + 27u3= Parente Miguel Angel – 2007- 5
  6. 6. 5.- Diferencia de Cuadrados Se presenta cuando en el binomio, los dos elementos son cuadrados perfectos y además se están restando. En este caso se transforma dicha diferencia en un producto de la siguiente manera: (x2 – y2) = (x – y) • (x + y) ∨ (81a4 – 16b2) = (9a2 – 4b) • (9a2 + 4b). En el primer caso (x2 – y2) = (x – y) • (x + y), aplicamos al segundo miembro la propiedad distributiva y obtenemos: x2 + xy – yx + y2, como los factores del medio son iguales y de signo opuestos, es válida la ley cancelativa para la suma, por lo tanto se anulan quedando x 2 – y2. Observando el segundo miembro mencionado, vemos que los signos en los paréntesis son distintos, lo cuál es lógico, pues si fueran los mismos sería el cuadrado de un binomio y no una diferencia de cuadrados. Ejercicios: 1 2 4 4 a b − = 4 9 81 2 49 4 x − z = 16 9 -4c2 + 9d9 = -16s2c4v9 + 81a81n49 = Simplificación de expresiones polinómicas Se trata de llevar una expresión polinómica compleja, a su mínima expresión, siempre que esto sea posible. Si bien la infinita variedad de casos que se pueden plantear excede a este programa, veremos algunos de ellos. La forma de resolver estas situaciones viene dada por la aplicación de los 5 primeros puntos. x 3 + 6 x 2 + 12x + 8 Ejemplo: = si miramos la parte superior, notamos que no podemos aplicar 2x 2 + 8 x + 8 extracción de factores comunes, excepto por grupo, pero también tiene “pinta” de ser un trinomio cuadrado perfecto. Al verificar esta situación obtenemos (x + 2)3; por el contrario en el denominador hay factor común, al extraerlo nos queda 2(x2 + 4x + 4) expresión que observando mejor vemos que dentro del paréntesis hay el cuadrado de un binomio (x 2 + 4x + 4) = (x +2) 2. Remplazando el numerador y el denominador tenemos: x 3 + 6 x 2 + 12x + 8 (x + 2) 3 (x + 2) Esta última simplificación es a raíz de la propiedad de = 2 = 2 2x + 8 x + 8 2 ⋅ (x + 2) 2 cociente de potencias de igual base. Ejercicios: x 2a + 2xay + y 2a − x 2b − 2bxy − by 2 1 • = 2 (a − b )2 (x + y)  8 − hy + 4 − 2y ( 4 + y ) 2  1  • ÷ =  (16 − y ) 2 (6 + 3h)  2 Ecuaciones lineales con una incógnita Dicho en términos “caseros”, una ecuación lineal de una incógnita, es una igualdad en donde interviene una variable (normalmente x, pero nada impide que sea otra letra). Resolver la ecuación es encontrar el valor de esa variable que justifica la igualdad. Ejemplo: 2x + 5= 11 Hay un solo valor de x para lo cual eso es cierto (3), verificamos la certeza reemplazando el valor hallado en la variable y nos queda: 2.3 + 5= 11. No existe otro valor distinto de 3, que multiplicado por 2 y aumentado en 5 de como resultado 11. Luego de resolver una cierta cantidad de ejercicios uno memoriza determinadas reglas que son válidas para el efecto, como: “lo que está sumando o restando pasa al otro lado haciendo la operación inversa” o “lo que está multiplicando o dividiendo pasa con su signo al otro lado haciendo la operación inversa”. Ejemplo: -2.x – 10 = 0 → -2.x = 10 → x = 10/(-2) → x = -5 Parente Miguel Angel – 2007- 6
  7. 7. Aquí se aplicó lo siguiente: el 10 estaba restando, pasó al otro lado del igual, sumando; el 2 estaba multiplicando, pasó al otro lado del igual con su signo, dividiendo. A todo este mecanismo lo llamamos “pasaje de términos”. Ahora veremos en que se sustenta o que justifica, el pasaje de términos. Arrancamos con la misma igualdad: -2.x + 10 = 0 La ley uniforme de la suma dice que si a ambos miembros de una igualdad le sumamos o restamos una misma constante, la igualdad no varía. -2.x + 10 - 10 = 0 – 10 La ley asociativa dice que en una suma o resta podemos agrupar los valores de manera conveniente, así: -2.x + (10 - 10) = (0 – 10) La existencia de inverso aditivo nos dice que la suma de un número con su inverso aditivo da como resultado el elemento neutro para la suma (0). -2.x + (0) = (0 – 10) La existencia del elemento neutro para la suma nos dice que si sumamos o restamos el elemento neutro a un número cualquiera, da como resultado dicho número. -2.x = -10 La ley uniforme del producto dice que si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por una misma constante, la igualdad no varía. 1 1 - • -2.x = - • -10 2 2 La ley asociativa permite agrupar los valores de manera conveniente, así: 1 1 (- • -2).x = (- • -10) 2 2 La existencia de inverso multiplicativo nos dice que el producto de un número por su inverso multiplicativo da como resultado el elemento neutro para el producto (1). 1. x = 5 La existencia del elemento neutro para el producto nos dice que si multiplicamos el elemento neutro a un número cualquiera, da como resultado el mismo número. Ejercicios: 1 3 3 1) 2 − x = − 5 5 25 2) 3a – 25 = -5 + 2a 3) La cuarta parte de un número disminuido en 2 es igual a 8 ¿Cuál es el número? 4) El doble de un número, aumentado el triple del siguiente da 58, ¿Cuál es el número? 5) El cuádruplo de un número, menos el doble de su antecesor es igual a su consecutivo. ¿Cuál es el número? Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas En muchas ocasiones se nos presentan problemas, o información, en donde una sola ecuación no alcanza para tratar de resolverla. Por ejemplo: La edad de Xavier más el cuádruple de la edad de Yanina da como resultado 148 años, por otra parte el triple de la edad de Xavier disminuida en el doble de la de Yanina da 52 años.¿Qué edad tiene cada uno?. Para resolver planteamos un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas: X + 4Y = 148 (1) 3X - 2Y = 52 (2) Hay varios métodos para resolver este sistema, a saber: Sustitución, Igualación, Suma o Resta (reducción), determinantes, gráficas, etc. Cabe aclarar antes de comenzar, que en general en todos los métodos a ver, y sobre todo en los tres primeros, las operaciones que se realicen están justificadas por las propiedades enumeradas anteriormente, como ser: ley uniforme, asociativa, existencia de inversos aditivo y multiplicativo, Parente Miguel Angel – 2007- 7
  8. 8. etc. Los sistemas de ecuaciones se clasifican de acuerdo a su conjunto solución; estos pueden ser: I. La solución es única (sistema compatible determinado) II. Las soluciones son infinitas (sistema compatible indeterminado) III. No tiene solución (sistema incompatible) Métodos de resolución a) Sustitución: despejo de una ecuación una incógnita y la reemplazo en la otra ecuación, luego hallo el valor de la que me queda. De (1) despejo X; → X = 148 – 4Y (1’) Ahora reemplazo en (2) el valor de X hallada en (1’) 3•(148 – 4Y) – 2Y = 52 → aplicando distributiva en el miembro izquierdo obtengo: 3•148 + 3•(-4Y) – 2Y = 52 → Resuelvo los productos 444 – 12Y – 2Y = 52 → Paso 444 al otro miembro y sumo los monomios -12Y -2Y -14Y = 52 - 444 → Resuelvo la diferencia -14Y = - 392 → Despejo Y − 392 Y= → Dividiendo obtengo el valor de la variable Y − 14 Y = 28 Obtenido el valor de Y lo reemplazamos en (1’) → X = 148 – 4•28, efectuando las operaciones determinamos que X = 36, de donde se sigue que la edad de Xavier es de 36 años y la de Yanina 28. Para comprobar la validez del resultado se reemplaza estos valores en (1) o en (2) y se verifica la igualdad. Por ejemplo reemplazamos en (2) y queda así: 3•36 - 2•28 = 52, con lo cual se demuestra que los resultados son correctos. b) Igualación: se trata de despejar de las dos ecuaciones la misma incógnita para luego igualarlas (para el ejemplo se elige la variable X). De (1) y (2), despejo X de tal manera que me queda: De (1) → X = 148 – 4Y (1’) 52 + 2Y De (2) → X= (2’) 3 Como los primeros miembros son iguales (X = X), los segundos miembros también lo serán. Igualando los segundos miembros nos queda: 52 + 2Y 148 – 4Y = → paso el 3 al otro miembro 3 3•(148 - 4Y) = 52 + 2Y → aplico distributiva y resuelvo 444 – 12Y = 52 + 2Y → hago los pasajes correspondientes -12Y – 2Y = 52 - 444 → resuelvo las operaciones en cada miembro -14Y = - 392 de donde Y = 28. Reemplazo este valor en (1’) o en (2’) de donde obtengo que el valor para X = 36. La comprobación es igual a la anterior. c) Reducción: se trata de igualar los coeficientes de alguna de las dos variables en las dos ecuaciones, de tal manera que al sumarlos o restarlos se anulen. Por ejemplo: multiplico la ecuación (2) por el número 2, de donde queda: 2•[3X - 2Y = 52]. Esto da como resultado la ecuación (2’): 6X - 4Y = 104. ahora el sistema nos queda de la siguiente manera: X + 4Y = 148 6X - 4Y = 104 Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos: X + 4Y = 148 6X - 4Y = 104 7X + 0Y = 252, es decir: 7X = 252 de donde X = 36. A este valor lo reemplazo en (1) o en (2) o en (2’) y despejo el valor de la incógnita Y, que ya se sabe será 28. La comprobación como las anteriores. d) Determinantes: para la resolución de determinante se sigue el siguiente método: Primero se halla el valor del determinante general (Δ), luego el de las variables (ΔX) y (ΔY), siguiendo el siguiente procedimiento: dentro de 2 barras se colocan los coeficientes de las variables sin las variables, se multiplican los valores que se encuentran sobre cada diagonal y se los resta: Parente Miguel Angel – 2007- 8
  9. 9. 1 4 Δ= = (1 • (-2)) - (3 • 4) = - 2 – 12 = -14 3 -2 Para ΔX hago lo mismo pero en el lugar de X coloco los términos independientes respectivos: 148 4 ΔX = = (148 • -2) - (52 • 4) = -296 – 208 = - 504 52 -2 Para ΔY hago lo mismo pero en el lugar de Y coloco los términos independientes respectivos: 1 148 ΔY = = (1 • 52) - (3 • 148) = 52 – 444 = - 392 3 52 Los valores de X e Y se obtienen dividiendo ΔX/Δ y ΔY/Δ respectivamente, de donde: X = - 504 / -14 = 36, e Y = -392 / - 14 = 28. e) Solución gráfica Para este caso se cambiará el sistema de ecuaciones para hacer más clara la explicación. Sea el sistema de ecuaciones: 3x + y = 5 (1) 2x + y = 3 (2) De ambas ecuaciones despejo la variable “y”, de donde quedan dos funciones lineales: y = 5 – 3x (1’) ∧ y = 3 – 2x (2’) Con (1’) y (2’) grafico en un sistema de ejes cartesianos. Para ello construyo primero una tabla de valores para cada función: x y = 5 - 3x x y = 3 - 2x -2 11 -2 7 -1 8 -1 5 0 5 0 3 1 2 1 1 2 -1 2 -1 3 -4 3 -3 12 11 11 10 9 8 8 7 7 6 5 5 5 4 Y 3 3 2 2 1 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -1 -2 -3 -3 -4 -4 -5 X Parente Miguel Angel – 2007- 9
  10. 10. Para nuestro caso las rectas se cortan en un punto (sistema compatible determinado). Este punto determina los valores de x e y: (2, -1), que son solución de las ecuaciones planteadas, esto es x = 2 e y = -1. Se verifica de la misma manera que las anteriores. Ejercicios: resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones: 3 7 1 6 7 X + Y = -2 X - Y = -7 -2X + 2Y = 8 6 3 5 6 6 14 2 3 5 3 X + Y = -4 X + Y= -X +Y= 16 12 9 10 6 8 Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad en donde uno o más datos son desconocidos. En las inecuaciones hay dos miembros separados por un signo de orden (>, <, ≥, ≤). El resultado de una ecuación es generalmente único, pero en una inecuación el resultado suele ser un conjunto de valores. En cuanto a la resolución se emplea el mismo mecanismo que para las ecuaciones. Ejemplos: Ejemplo 1) x > 3, (esto se lee: “Todos los números mayores que tres”). El conjunto solución se escribe así: S= { 4, 5, 6, 7, ….+ ∞} y se lo grafica de la siguiente manera: - . . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . + 8 8 Ejemplo 2) x ≤ 1 (“todos los números que son menores o iguales a uno”) El conjunto solución es: S= {-∞, ….,-4, -3, -2, -1, 0, 1} y se lo grafica así: - . . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . + 8 8 4 Ejercicios: x ≥ − ; x < -4 x > -4 x≤7 x≤5 x > -3 5 3 x ≥ -2 x< x < -5 x > -1 x≤3 x≤6 x>0 8 3 3 4 5 -4 ≤ x ≤ 2 4≥x≥0 - ≤x< − >x> -2 > x ≥ 3 8 8 5 4 19 7 7 7 − <x≤0 8>x≥7 − ≤x< − > x > -1 -5 > x ≥ -3 32 6 6 6 Bibliografía Si bien no se ha usado una bibliografía en particular, en general cualquier libro o manual de matemáticas que trate estos temas te servirán. Particularmente te recomendaría dos libros: a) Álgebra y Trigonometría. Smith, Charles, Dossey y Otros (porque está en la biblioteca de la escuela) b) Matemática 3. Matemática 2. Matemática 1. De la serie Tapia (porque son clásicos) Parente Miguel Angel – 2007- 10

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