LAS FRACCIONES

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LAS FRACCIONES

  1. 1. FRACCIONES
  2. 2. ¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN? <ul><li>La fracción está formada por una parte que es el numerador y por otra que se llama denominador. </li></ul><ul><li>El denominador nos indica las partes en que vamos a dividir una cantidad </li></ul><ul><li>El numerador nos indica las partes que tomamos </li></ul><ul><li>La fracción es una manera de representar la división, dónde el numerador es el dividendo y el denominador el divisor. </li></ul><ul><li>Ejemplo: 2/6 2 6 </li></ul>
  3. 3. Fracciones equivalentes <ul><li>Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. </li></ul><ul><li>1/2 = 0,5 Y 2/4 = 0,5 </li></ul><ul><li>Las fracciones equivalentes representan la misma parte de una cantidad. </li></ul><ul><li>Si las representamos en la recta numérica, corresponden al mismo punto. </li></ul><ul><li>1/2 </li></ul><ul><li>0_________________._________________1 </li></ul><ul><li>2/4 </li></ul><ul><li>Representemos las fracciones equivalentes </li></ul><ul><li>     </li></ul><ul><li>   </li></ul><ul><li>     y       </li></ul><ul><li>     </li></ul><ul><li>Vemos que ambas fracciones representan la misma parte. </li></ul>1/2 2/4
  4. 4. fracciones equivalentes: amplificar. <ul><li>Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción. </li></ul><ul><li>Por amplificar se entiende multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Amplifiquemos la fracción 2/3 por 6 para obtener una fracción equivalente. </li></ul><ul><li>2 x 6 12 </li></ul><ul><li>3 x 6 18 </li></ul><ul><li>Luego las fracciones 2/3 y 12/18 son equivalentes. </li></ul><ul><li>Se puede decir que 2 12 </li></ul><ul><li>3 18 </li></ul>
  5. 5. fracciones equivalentes: amplificar. <ul><li>¿Cómo conseguir fracciones por ampliación? </li></ul><ul><li>Ejemplo: 2/3 </li></ul><ul><li>2x2 , 2x3 , 2x4 , 2x5 , ...... 4 , 6 , 8 , 10 , ...... </li></ul><ul><li>3x2 3x3 3x4 3x5 6 9 12 15 </li></ul><ul><li>Todas estas fracciones son equivalentes a 2/3. Puedes conseguir infinitas fracciones equivalentes al multiplicar numerador y denominador por los infinitos números Naturales </li></ul>
  6. 6. fracciones equivalentes: simplificar <ul><li>Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción. </li></ul><ul><li>Por simplificar , se entiende dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Simplifiquemos la fracción 9/12 por 3 para obtener una fracción equivalente. </li></ul><ul><li>9 : 3 3 </li></ul><ul><li>12 : 3 4 </li></ul><ul><li>Luego las fracciones 9/12 y 3/4 son equivalentes. Es decir </li></ul><ul><li>9 3 </li></ul><ul><li>12 4 </li></ul>
  7. 7. fracciones equivalentes: simplificar <ul><li>¿Cómo conseguir todas las fracciones equivalentes a una por la simplificación? </li></ul><ul><li>Vamos a realizar simplificaciones sucesivas hasta encontrar aquella que no se puede simplificar más. </li></ul><ul><li>Ejemplo: 18/24 (aplicamos los criterios de divisibilidad por los números primos) </li></ul><ul><li>18:2 9 9:3 3 ya no podemos seguir simplificando </li></ul><ul><li>24:2 12 12:3 4 </li></ul><ul><li>Así 9/12 y ¾ son fracciones equivalentes a 18/24. 18 9 3 </li></ul><ul><li>24 12 4 </li></ul><ul><li>Cuando una fracción no se puede reducir más, es decir, que no encontramos ningún número que pueda dividir a numerador y denominador, esta fracción se llama irreducible </li></ul>
  8. 8. Fracciones equivalentes: ¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?   <ul><li>1 - La fracción es una manera de representar la división de dos números. Así 4/5 es lo mismo que 4:5 </li></ul><ul><li>Por tanto dos fracciones serán equivalentes si tienen el mismo valor al hacer la división: </li></ul><ul><li>Ejemplo: 1 1:2= 0,5 y 5 5:10= 0,5 1 5 </li></ul><ul><li>2 10 2 10 </li></ul><ul><li>2- Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar el numerador de una por el denominador de la otra se obtiene la misma cantidad. Ejemplo </li></ul><ul><li>2 y 6 2 x 15 = 30 luego 2 6 son equivalentes </li></ul><ul><li>5 15 6 x 5 = 30 5 15 </li></ul><ul><li>3 y 4 3 x 9 = 27 luego 3 4 no son equivalentes </li></ul><ul><li>8 9 4 x 8 = 32 8 9 </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Comparar fracciones </li></ul><ul><li>Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los numeradores para definir cuál es mayor o menor. </li></ul><ul><li>Resulta mayor la que tiene mayor numerador. Resulta menor la que tiene menor numerador. Ejemplo </li></ul><ul><li>3 y 5 5 > 3 5 > 3 </li></ul><ul><li>8 8 8 8 </li></ul><ul><li>Para comparar fracciones con igual numerador, basta con comparar los denominadores para definir cuál es mayor o menor. </li></ul><ul><li>Resulta mayor la que tiene menor denominador. Resulta menor la que tiene mayor denominador. </li></ul><ul><li>7 y 7 9 > 8 7 > 7 </li></ul><ul><li>8 9 8 9 </li></ul>5/8 3/8 7/8 7/9
  10. 10. Comparar fracciones <ul><li>Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones equivalentes con denominador común. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Comparemos las fracciones 2/3 y 3/4 </li></ul><ul><li>Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador común, a través de la amplificación. </li></ul><ul><li>La fracción 2/3 la amplificaremos por 4 y la fracción 3/4 la amplificaremos por 3, obteniéndose respectivamente, 8/12 y  9/12 . </li></ul><ul><li>2 x 4 8 y 3 x 3 9 como tienen el mismo denominador </li></ul><ul><li>3 x 4 12 4 x 3 12 </li></ul><ul><li>Como 9 > 8, la fracción mayor es 9/12 o sea 3/4 > 2/3  </li></ul><ul><li>Como ves para hallar las fracciones equivalentes, con el mismo denominador, hemos ampliado la fracción por el denominador de la otra fracción </li></ul><ul><li>Cuando son muchas fracciones diferentes hay que aplicar el mínimo común múltiplo. </li></ul>
  11. 11. SUMA DE FRACCIONES <ul><li>Para sumar fracciones de igual denominador obtendremos otra fracción, con el mismo denominador y como numerador la suma de los numeradores </li></ul><ul><li>Ejemplo 2/8 + 3/8 = 5/8 </li></ul><ul><li>5/8 </li></ul>3/8 2/8
  12. 12. RESTA DE FRACCIONES <ul><li>Para restar fracciones de igual denominador se obtendrá otra fracción, de igual denominador y como numerador la resta de los numeradores. (siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo) </li></ul><ul><li>Ejemplo: 6/7 – 2/7 = 4/7 </li></ul><ul><li>6/7 está pintado de amarillo, se le quita 2/7 que son los dos recuadros con la cruz, nos queda 4/7 que son los pintados que nos quedan. </li></ul><ul><li>4/7 </li></ul>6/7 2/7
  13. 13. SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR <ul><li>BUSCAR DENOMINADOR COMÚN. </li></ul><ul><li>Trabajaremos igual que con la comparación de fracciones de distinto denominador. </li></ul><ul><li>Buscaremos fracciones, equivalentes a las que nos den, que tengan el mismo denominador. </li></ul><ul><li>Para ello haremos la amplificación de cada fracción por el denominador de la otra fracción. </li></ul><ul><li>Para terminar sumaremos las fracciones equivalentes con el mismo denominador </li></ul><ul><li>Ejemplo; 3/5 + 7/6 </li></ul><ul><li>3 x 6 18 y 7 x 5 35 </li></ul><ul><li>5 x 6 30 6 x 5 30 </li></ul><ul><li>3 7 18 35 18+35 53 </li></ul><ul><li>5 6 30 30 30 30 </li></ul>=
  14. 14. RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR <ul><li>BUSCAR DENOMINADOR COMÚN. </li></ul><ul><li>Trabajaremos igual que con la comparación de fracciones de distinto denominador. Importante que el minuendo sea mayor que el sustraendo </li></ul><ul><li>Buscaremos fracciones, equivalentes a las que nos den, que tengan el mismo denominador. </li></ul><ul><li>Para ello haremos la amplificación de cada fracción por el denominador de la otra fracción. </li></ul><ul><li>Para terminar restaremos las fracciones equivalentes con el mismo denominador </li></ul><ul><li>Ejemplo: 8/3 – 2/4 </li></ul><ul><li>8 x 4 32 y 2 x 3 6 </li></ul><ul><li>3 x 4 12 4 x 3 12 </li></ul><ul><li>8 2 32 6 32-6 26 </li></ul><ul><li>3 4 12 12 12 12 </li></ul>
  15. 15. SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR <ul><li>2.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. </li></ul><ul><li>Cuando tenemos fracciones de distinto denominador y queremos sumar podemos hacerlo de la siguiente manera: Buscar fracciones equivalentes a las que nos dan con el mismo denominador. </li></ul><ul><li>Buscaremos los múltiplos de los denominadores. </li></ul><ul><li>Hallaremos los múltiplos comunes a los denominadores. </li></ul><ul><li>Elegiremos el primer múltiplo común que será el m.c.m. y lo utilizaremos como denominador común </li></ul><ul><li>Hallaremos los numeradores correspondientes para que sean fracciones equivalentes. </li></ul><ul><li>Sumaremos los numeradores y como denominador el elegido </li></ul>
  16. 16. SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR <ul><li>Ejemplo: 2/6 + 4/10 + 8/5 </li></ul><ul><li>Múltiplos de 6= 6,12,18,24,30,... </li></ul><ul><li>Múltiplos de 10= 10,20,30,40,50,... </li></ul><ul><li>Múltiplos de 5= 5,10,15,20,25,30,... </li></ul><ul><li>Múltiplos comunes a (6,10,5)= 30,60,,,, una vez conseguido el primero los otros se consiguen multiplicando por 1,2,3,4,... </li></ul><ul><li>m.c.m. (6,10,5)= 30 tomaremos 30 como denominador común </li></ul><ul><li>2 10 4 12 8 48 (serán las fracciones equivalentes) </li></ul><ul><li>6 30 10 30 5 30 </li></ul><ul><li>2x30=6x10 4x30=10x12 8x30=5x48 </li></ul><ul><li>2 4 8 10 12 48 70 ( si simplificamos por 10 tendremos 7/3) </li></ul><ul><li>6 10 5 30 30 30 30 </li></ul>= = =
  17. 17. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO <ul><li>La descomposición factorial de un número en factores primos significa buscar los números primos que multiplicados entre si nos de cómo resultado dicho número. </li></ul><ul><li>Para obtener la descomposición iremos haciendo divisiones sucesivas de ese número por los números primos conocidos de menor a mayor (2,3,5,7,11,.) hasta encontrar en el cociente el 1. Estas divisiones deben ser exactas (resto 0) por lo que aplicamos los criterios de divisibilidad. </li></ul><ul><li>Ejemplo: 20 20:2=10 10:2=5 5:5=1 </li></ul><ul><li>20 2 20 2 </li></ul><ul><li>0 10 2 10 2 </li></ul><ul><li>0 5 5 5 5 </li></ul><ul><li>0 1 1 </li></ul><ul><li>Así 20= 2 x 2 x 5 = 2 2 x 5 como ves elegimos los divisores de las divisiones </li></ul><ul><li>Como factores </li></ul>
  18. 18. m.C.M de dos o más números por descomposición factorial <ul><li>El m.c.M. de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes a dichos números </li></ul><ul><li>¿Cómo se consigue? </li></ul><ul><ul><li>Se realiza la descomposición factorial en factores primos de los números </li></ul></ul><ul><ul><li>Se eligen los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente </li></ul></ul><ul><ul><li>Se realiza la multiplicación de dichos factores </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo: m.c.M. (16, 10, 24) 16 2 10 2 24 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>8 2 5 5 12 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>4 2 1 6 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>2 2 3 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>1 1 </li></ul></ul><ul><ul><li>16= 2x2x2x2=2 4 </li></ul></ul><ul><ul><li>10= 2x5 m.c.m. (16,10,24)=2 4 x3x5=240 </li></ul></ul><ul><ul><li>24= 2x2x2x3=2 3 x3 </li></ul></ul>
  19. 19. SUMA o RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR <ul><li>MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.(por descomposición factorial) </li></ul><ul><ul><li>Descomponer los denominadores en factores primos. </li></ul></ul><ul><ul><li>El m.c.m. de los denominadores (factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente). Será el denominador común. </li></ul></ul><ul><ul><li>Hallar los numeradores para que sean fracciones equivalentes. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sumar o restar los numeradores según sea la operación, como denominador el m.c.m. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo: 3/12 + 7/10 </li></ul></ul><ul><ul><li>12= 2x2x3 = 2 2 x3 m.c.m.(12,10)= 2 2 x3x5=60 </li></ul></ul><ul><ul><li>10= 2x5 </li></ul></ul><ul><ul><li>3 7 15 42 57 </li></ul></ul><ul><ul><li>12 10 60 60 60 </li></ul></ul>

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