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Serie_Matemática_3

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El Infinito y los Números

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Serie_Matemática_3

  1. 1. Serie Matemática_3 Aritmética El Infinito
  2. 2. El Infinito <ul><li>¿Sabemos qué significa el infinito? </li></ul>
  3. 4. El Infinito <ul><li>Podemos suponer que el infinito es un número grande, muy grande; en realidad, el número más grande que pueda existir. </li></ul>
  4. 5. El Infinito no es un número <ul><li>El infinito no es ni un número grande ni absolutamente ninguna clase de número. </li></ul>
  5. 6. El Infinito no es un número <ul><li>El infinito no es el número más grande que pueda existir, puesto que ese número no existe. </li></ul>
  6. 7. Acercándonos al Infinito <ul><li>538 personas han pagado su entrada para ir al circo. </li></ul><ul><li>Usted quiere dejarle instrucciones por escrito a un niño inteligente para que se ocupe de contar las 538 personas. </li></ul>
  7. 8. Acercándonos al Infinito <ul><li>Supongamos que hay una determinada puerta por la cual debe salir toda la concurrencia en fila india. </li></ul>
  8. 9. Acercándonos al Infinito <ul><li>El niño sólo tendrá que asignar a cada persona cada uno de los distintos números enteros en el orden natural. Usted podría escribir: </li></ul><ul><li>1, 2, 3, etcétera. </li></ul>
  9. 10. Acercándonos al Infinito <ul><li>La palabra &quot;etcétera&quot; significa que hay que seguir contando hasta que toda la gente termine de salir, y que la última persona que salga habrá recibido el número 538. </li></ul><ul><li>Usted puede pedirle al niño que anote todos los números desde el 1 hasta el 538. </li></ul><ul><li>Sin duda que esto sería insoportablemente aburrido. </li></ul>
  10. 11. Acercándonos al Infinito <ul><li>Pero como el niño es inteligente usted le escribe: </li></ul><ul><li>&quot;Contarás así: 1,2,3,..., 536, 537, 538&quot;. </li></ul><ul><li>El niño entenderá que la línea de puntos indica un espacio en blanco que debe llenarse con todos los enteros desde el 4 hasta el 535 </li></ul><ul><li>en orden y sin ninguna omisión. </li></ul>
  11. 12. Acercándonos al Infinito <ul><li>Pero si usted no sabe cuál va a ser el total de la concurrencia. Puede ser 538 o 427 o 651. </li></ul><ul><li>Usted podría escribirlo así: </li></ul><ul><li>&quot;Debes contar: 1, 2, 3, ..., n - 2, n - 1, n&quot; . </li></ul>
  12. 13. Acercándonos al Infinito <ul><li>El niño listo entenderá que </li></ul><ul><li>n </li></ul><ul><li>representa algún número entero desconocido pero bien definido. </li></ul>
  13. 14. Acercándonos al Infinito <ul><li>Supongamos usted encomienda a este niño contar el número de personas que ingresan por la puerta, salen por la puerta de atrás, dan la vuelta a la carpa y vuelven a ingresar por la primera puerta. </li></ul>
  14. 15. Acercándonos al Infinito <ul><li>Imagínese que tanto los hombres que caminan como el muchacho que cuenta no se pueden cansar jamás y están dispuestos a pasarse una eternidad haciendo lo mismo. </li></ul>
  15. 16. Acercándonos al Infinito <ul><li>La tarea sería interminable. Jamás llegaría a haber una última persona ni se podría llegar al último entero. </li></ul>
  16. 17. Acercándonos al Infinito <ul><li>¿Cómo escribiríamos las instrucciones? </li></ul><ul><li>Podemos escribir: </li></ul><ul><li>&quot;Contarás así: 1,2,3, y así indefinidamente&quot;. </li></ul>
  17. 18. Acercándonos al Infinito <ul><li>La frase &quot;y así indefinidamente&quot; se puede escribir en forma abreviada así: </li></ul><ul><li>∞ </li></ul>
  18. 19. Acercándonos al Infinito <ul><li>La expresión &quot;1, 2, 3,..., ∞ &quot; </li></ul><ul><li>Se debe leer: </li></ul><ul><li>&quot;uno, dos, tres, y así indefinidamente&quot; o </li></ul><ul><li>&quot;uno, dos, tres, y así ilimitadamente“. </li></ul>
  19. 20. Acercándonos al Infinito <ul><li>Pero generalmente se la lee: &quot;uno, dos, tres, y así hasta el infinito&quot;. </li></ul>
  20. 21. Acercándonos al Infinito <ul><li>No es correcto decir &quot;y así hasta el infinito&quot; por que podríamos pensar que el infinito es un número y que una vez que hayamos llegado hasta él podemos detenernos. </li></ul>
  21. 22. Acercándonos al Infinito <ul><li>El infinito no es ni un número grande ni absolutamente ninguna clase de número. </li></ul><ul><li>El infinito no es el número más grande que pueda existir, puesto que ese número no existe. </li></ul>
  22. 23. Acercándonos al Infinito <ul><li>El infinito no es un número. </li></ul>
  23. 24. Acercándonos al Infinito <ul><li>El infinito no es un número. </li></ul><ul><li>Entonces ¿qué es el infinito? </li></ul>
  24. 25. Acercándonos al Infinito <ul><li>El infinito es una cualidad: </li></ul><ul><li>La cualidad de interminable. </li></ul>
  25. 26. Acercándonos al Infinito <ul><li>La sucesión de los números enteros desde el 1 en adelante constituye un ejemplo de &quot;conjunto infinito&quot;. </li></ul>
  26. 27. Acercándonos al Infinito <ul><li>Entonces ya sabemos que el ∞ no es un número, pero puede intervenir en ciertas operaciones aritméticas. </li></ul>
  27. 28. Restando dos <ul><li>3 - 2 = 1 </li></ul>
  28. 29. Restando dos <ul><li>17 - 2 = 15 </li></ul>
  29. 30. Restando dos <ul><li>4875 - 2 = 4873 </li></ul><ul><li> </li></ul>
  30. 31. Restando dos <ul><li>3 - 2 = 1 </li></ul><ul><li>17 - 2 = 15 </li></ul><ul><li>4875 - 2 = 4873 </li></ul><ul><li> </li></ul>
  31. 32. Restando dos <ul><li>Ahora restemos dos a una serie interminable de números: </li></ul><ul><li>3, 4, 5,..., ∞. </li></ul><ul><li>¿Cuál es el resultado?: </li></ul>
  32. 33. Restando dos <ul><li>Ahora restemos dos a una serie interminable de números: </li></ul><ul><li>3, 4, 5,..., ∞. </li></ul><ul><li>¿Cuál es el resultado?: </li></ul><ul><li>∞ - 2 = ∞ </li></ul>
  33. 34. Restando dos <ul><li>∞ - 2 = ∞ </li></ul><ul><li>∞ - 35 = ∞ </li></ul><ul><li>∞ - 1 000 000 = ∞ </li></ul><ul><li>∞ - n = ∞ </li></ul>
  34. 35. Pares e Impares <ul><li>Aquí tenemos los números enteros pares: </li></ul><ul><li>2, 4, 6,..., ∞ </li></ul>
  35. 36. Pares e Impares <ul><li>Aquí tenemos los números enteros pares: </li></ul><ul><li>2, 4, 6,..., ∞ </li></ul><ul><li>Y aquí los números enteros impares: </li></ul><ul><li>1, 3, 5,..., ∞ </li></ul>
  36. 37. Pares e Impares <ul><li>Bien, ahora tenemos aquí al conjunto de los números enteros, es un conjunto infinito: </li></ul><ul><li>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 11 ...... ∞ </li></ul>
  37. 38. Pares e Impares <ul><li>Si tachamos los números pares nos quedarán los números impares ¿no es cierto? </li></ul><ul><li>A los números enteros (que son infinitos) les hemos quitado los números pares (infinitos) </li></ul><ul><li>Nos quedan los números impares ¡otro infinito! </li></ul><ul><li>∞ - ∞ = ∞ </li></ul>
  38. 39. Demócrito
  39. 40. Demócrito <ul><li>Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. </li></ul>
  40. 41. Demócrito <ul><li>Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. </li></ul><ul><li>¿Se podría hacer esto hasta el infinito? </li></ul>
  41. 42. Demócrito <ul><li>Demócrito afirmaba que NO, por que se llegaba a partículas pequeñísimas llamadas átomos. </li></ul><ul><li>Y Aristóteles negaba la existencia de los átomos. </li></ul>
  42. 43. Demócrito <ul><li>El mundo se olvidó de los átomos de Demócrito. </li></ul><ul><li>Y el mundo se aferró a las falsas ideas de Aristóteles durante unos dos mil años. </li></ul>
  43. 44. Aristóteles <ul><li>Para Aristóteles el Universo era finito, es decir el Universo tenía un fin. </li></ul>
  44. 45. Aristóteles <ul><li>También afirmaba que la Tierra era el centro del Universo. </li></ul>
  45. 46. Aristóteles <ul><li>Y la Iglesia Católica creía en Aristóteles. </li></ul>
  46. 47. Giordano Bruno <ul><li>Giordano Bruno no era matemático ni científico. </li></ul>
  47. 48. Giordano Bruno <ul><li>Pero creía en un Universo infinito, escribió &quot;Sobre el Universo infinito y los Mundos&quot; (1584). </li></ul>
  48. 49. Giordano Bruno <ul><li>Llevado a la Inquisición, fue torturado durante 9 años para obligarlo a aceptar que el Universo era finito. </li></ul>
  49. 50. Giordano Bruno <ul><li>No cambió su opinión y fue quemado en la hoguera en el año 1600. </li></ul>
  50. 51. Galileo Galilei <ul><li>Galileo Galilei también creía en el infinito, pero ¡no quería morir en la hoguera como Giordano Bruno! </li></ul>
  51. 52. Galileo Galilei <ul><li>Galileo Galilei trataba de no hablar sobre ese tema. </li></ul>
  52. 53. Galileo Galilei <ul><li>Pero igual la Iglesia Católica llevó a Galileo Galilei a la Inquisición. </li></ul>
  53. 54. Galileo Galilei <ul><li>Y la Iglesia condenó a arresto domiciliario de por vida a Galileo. </li></ul>
  54. 55. La Iglesia contraataca <ul><li>Muerto Giordano Bruno y encerrado Galileo la Iglesia se envalentona y prohíbe hablar del Infinito (1649). </li></ul>
  55. 56. La Iglesia contraataca <ul><li>Menos mal que los matemáticos no hicieron caso a la Iglesia. </li></ul>
  56. 57. Leibniz <ul><li>Leibniz pensó mucho sobre lo infinitamente pequeño. </li></ul>
  57. 58. Leibniz <ul><li>Y Leibniz desarrolló del Cálculo Diferencial e Integral (Análisis matemático). </li></ul>
  58. 59. El paraíso de Cantor <ul><li>Desde su niñez Cantor demostró talento para la matemática y escogió la matemática como profesión. </li></ul>
  59. 60. El paraíso de Cantor <ul><li>En 1867 obtuvo su doctorado Universidad de Berlín. Fue profesor en la Universidad de Halle. </li></ul>
  60. 61. El paraíso de Cantor <ul><li>En el año 1874 Cantor publicó sus ideas sobre el infinito. Cantor descubrió los números transfinitos. </li></ul>
  61. 62. El paraíso de Cantor <ul><li>Llamó a estos números Alef: </li></ul><ul><li>א </li></ul>
  62. 63. El paraíso de Cantor <ul><li>Estos son los números transfinitos: </li></ul><ul><li>El infinito de los enteros es alef-cero </li></ul><ul><li>El infinito de los puntos es alef-uno </li></ul><ul><li>El infinito de las curvas es alef-dos </li></ul>
  63. 64. El paraíso de Cantor <ul><li>Y hemos llegado al final. </li></ul><ul><li>Nadie ha descubierto otro infinito que pueda corresponder a alef-tres (y ni hablar de alef-treinta o alef-tres-millones). </li></ul>
  64. 65. El símbolo ∞ <ul><li>El símbolo infinito que usamos para el infinito lo usó por primera vez por John Wallis en 1655. </li></ul>
  65. 66. La cinta de Moebius <ul><li>El infinito entre tus manos. </li></ul>
  66. 67. La cinta de Moebius <ul><li>Esta es una &quot;cinta sin fin&quot; </li></ul>
  67. 68. La cinta de Moebius <ul><li>Si cortamos una cinta de Moebius ¿qué obtenemos? </li></ul><ul><li>¡Hágalo usted mismo! </li></ul>
  68. 69. La cinta de Moebius <ul><li>Reciclar </li></ul>
  69. 70. Figuras imposibles
  70. 71. Figuras imposibles
  71. 73. Serie Matemática_3 Fin El Infinito Barranca, noviembre de 2007

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