Funciones

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Funciones

  1. 1. FUNCIONES <ul><li>¿Qué es una función? </li></ul><ul><li>Gráficas de funciones </li></ul><ul><li>Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio </li></ul><ul><li>Transformaciones de funciones </li></ul><ul><li>Funciones cuadráticas; máximos y mínimos </li></ul><ul><li>Modelado con funciones </li></ul><ul><li>Combinación de funciones </li></ul><ul><li>Funciones uno a uno y sus inversas </li></ul>Introducciòn a Funciones
  2. 2. ¿Qué es una función? <ul><li>Una función f es una regla que asigna a cada elemento, llamado f(x), en un conjunto B . </li></ul>Introducciòn a Funciones
  3. 3. Cuatro formas de representar una función 2 Introducciòn a Funciones W(onzaS) C(w) dólares 0 <w<_1 0.37 Verbal: Con palabras: P(t) es la “población del mundo en el instante t ” Algebraicamente: Por medio de una fórmula: A(r)= π r Visual: Por medio de una gráfica: Numérica: Por medio de una tabla de valores:
  4. 4. GRAFICA DE UNA FUNCIÒN <ul><li>Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados </li></ul><ul><li>{( x.ƒ(x))|xє A } </li></ul><ul><li>En otras palabras, la gráfica de ƒ es el conjunto de los puntos (x,y) tales que y= ƒ(x); es decir, la gráfica de la ecuación y = ƒ(x). </li></ul><ul><li>La gráfica de una función ƒ da un cuadro del comportamiento o “historia de vida” de la función. Se puede leer el valor de ƒ (x) de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto x. </li></ul><ul><li>Una función ƒ de la forma ƒ(x) = mx + b se llama función lineal por que su gráfica es de la ecuación y = mx + b, que representa una recta con pendiente m y ordenada al origen b. Un caso especial de una función lineal se presenta cuando la pendiente m = 0. La función ƒ(x) = b, donde b es un determinado número. Se llama función constante porque todos sus valores horizontal y= b son el mismo número, a saber, b. Su gráfica es la recta . </li></ul>F(x)=3 F(x)=2x+1 Introducciòn a Funciones
  5. 5. PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL <ul><li>Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y sólo si ninguna línea vertical corta la curva más de una vez. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  6. 6. ALGUNAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS F(x)=b F(x)=mx+b Funciones lineales F(x)=mx+b Introducciòn a Funciones
  7. 7. Funciones exponenciales f(x)=x n F(x)=x 2 f(x)=x 3 f(x)=x 4 f(x)=x 5 Introducciòn a Funciones
  8. 8. Funciones de raíz f(x)= n F(x)=(x) ^(1/2) f(x)=(x) ^(1/3) f(x)=(x) ^(1/5) f(x)=(x) ^(1/4) Introducciòn a Funciones
  9. 9. Funciones reciprocas f(x)=1/x n f(x)=1/x f(x)=1/x 2 Introducciòn a Funciones
  10. 10. Función valor absoluto f(x)=|x| Función entero máximo Introducciòn a Funciones
  11. 11. DEFINICIÒN DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES <ul><li>ƒ Es creciente en un intervalo I si ƒ(x1) < ƒ(x2) siempre que x1 < x2 en I. </li></ul><ul><li>ƒ Es decreciente en un intervalo I si ƒ(x1) > ƒ(x) siempre que x1 > x2 en I . </li></ul>Introducciòn a Funciones
  12. 12. TASA DE CAMBIO PROMEDIO <ul><li>La tasa de cambio de promedio de la función y=ƒ(x) entre x= a y x= b es </li></ul>= Cambio en y Cambio en x = ƒ(b)- ƒ(a) b - a <ul><ul><ul><li>tasa de promedio </li></ul></ul></ul>Introducciòn a Funciones
  13. 13. f(a) f(b) b-a f(b)-f(a ) y=f(x) a b La tasa de cambio de promedio es la pendiente de la recta secante entre x= ay x=b en la gráfica de ƒ, es decir, la recta que pasa por (a.ƒ(a)) y (b.ƒ(b)). Introducciòn a Funciones
  14. 14. TRANSFORMACIÒN DE FUNCIONES <ul><li>DESPLAZAMIENTOS VERTICALES DE GRÁFICAS </li></ul>Sumar una constante a una función desplaza su gráfica en dirección vertical: hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si la constante es negativa Introducciòn a Funciones
  15. 15. Suponga que c > 0. Para gráficas y = ƒ(x) + c, desplace c unidades hacia arriba la gráfica de y = ƒ(x). c y=f(x)+c y=f(x) Introducciòn a Funciones
  16. 16. Para graficar y=f(x)-c, desplace c unidades hacia debajo de la grafica de y=f(x) c y=f(x)-c y=f(x) Introducciòn a Funciones
  17. 17. DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES DE GRÁFICAS Introducciòn a Funciones
  18. 18. y=f(x) c y=f(x-c) a) Para graficar y = ƒ(x – c), desplace la gráfica de y = ƒ(x) a la derecha c unidades. <ul><li>Supóngase que c > 0. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  19. 19. c y=f(x+c) y=f(x) <ul><ul><li>b) Para graficar y = ƒ(x + c), desplace la gráfica de y = ƒ(x) a la izquierda c unidades. </li></ul></ul>Introducciòn a Funciones
  20. 20. REFLEXIÓN DE GRÁFICAS Introducciòn a Funciones
  21. 21. <ul><li>Para graficar y = -ƒ(x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje x. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  22. 22. <ul><li>Para graficar y = ƒ(-x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje y. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  23. 23. Estiramiento y acortamiento vertical de gráficas Introducciòn a Funciones
  24. 24. <ul><ul><li>Si c > 1, alargue verticalmente la gráfica de y =ƒ(x) por un factor de c. </li></ul></ul>c>1 y=f(x) y=c f(x) <ul><li>Para graficar y = c ƒ(x): </li></ul>Introducciòn a Funciones
  25. 25. <ul><ul><li>Si 0< c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = ƒ(x) por un factor c. </li></ul></ul>0 < c < 1 y=c f(x) y=f(x) Introducciòn a Funciones
  26. 26. Acortamiento y alargamiento horizontal de gráficas Introducciòn a Funciones
  27. 27. <ul><ul><li>Si c > 1,acorte la gráfica de y = ƒ(x) horizontalmente por un factor del 1/c. </li></ul></ul>y=f(cx) y=f(x) c > 1 <ul><li>La gráfica de y = ƒ(cx): </li></ul>Introducciòn a Funciones
  28. 28. <ul><ul><li>Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y =ƒ(x) horizontalmente por un factor de 1/c. </li></ul></ul>y=f(x) y=f(cx) 0 < c < 1 Introducciòn a Funciones
  29. 29. FUNCIONES PAR E IMPAR Introducciòn a Funciones
  30. 30. <ul><ul><li>ƒ es par si ƒ(-x) = ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ. </li></ul></ul>f-(x) f(x) -x x La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y <ul><li>Sea ƒ una función. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  31. 31. <ul><ul><li>ƒ es impar si ƒ(-x) = -ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ. </li></ul></ul>-x x f(-x) f(x) La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen Introducciòn a Funciones
  32. 32. FUNCIONES CUADRATICAS; MÁXIMOS Y MINIMOS <ul><ul><li>Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Para una función que representa la ganancia de un negocio, se estaría interesado en el valor máximo: para una función que representa la cantidad de material en un proceso de manufactura, se estaría interesando en el valor mínimo. </li></ul></ul>Introducciòn a Funciones
  33. 33. FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA <ul><li>Una función cuadrática ƒ(x) = ax + bx + c se puede expresar en la forma estándar </li></ul><ul><ul><ul><li>ƒ(x) = a(x – h) + k </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>complementando el cuadrado. La gráfica de ƒ es una parábola con vértice (h,k); la parábola se abre hacia arriba si a < 0. </li></ul></ul></ul>2 2 2 f(x)=a (x-h) +k, a > 0 2 f(x)=a (x-h) +k, a<0 2 Vértice (h, k) Vértice (h, k) Introducciòn a Funciones
  34. 34. VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA <ul><li>Sea ƒ una función cuadrática con forma estándar ƒ(x) = a(x – h) + k. El valor máximo o mínimo de ƒ ocurre en x = h. </li></ul><ul><ul><li>Si a > 0, entonces el valor mínimo de ƒ(h) = k. </li></ul></ul><ul><ul><li>Si a < 0, entonces el valor máximo de ƒ(h) = k. </li></ul></ul>2 f(x)=a (x-h) 0+k, a > f(x)=a (x-h) <0+k, a 2 2 Mínimo Máximo Introducciòn a Funciones
  35. 35. VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA <ul><li>El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ƒ(x) = ax + bx + c ocurre en: </li></ul><ul><li>x=-b/2ª </li></ul><ul><ul><li>Si a > 0, entonces el valor mínimo es ƒ(-b/2a). </li></ul></ul><ul><ul><li>Si a < 0, entonces el valor máximo es ƒ(-b/2a). </li></ul></ul>Introducciòn a Funciones
  36. 36. MODELADO CON FUNCIONES <ul><li>Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren entender como varían una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  37. 37. NORMAS PARA MODELAR CON FUNCIONES <ul><li>1. Exprese el modelo en palabras. Identifique la cantidad que quiere modelar y exprésela, en palabras, como una función de otras cantidades en el problema. </li></ul><ul><li>2. Elija la variable. Identifique las variables empleadas para expresar la función en el paso 1. asigne un símbolo, como x , a una variable y exprese las otras variables en términos de este símbolo. </li></ul><ul><li>3. Establezca el modelo. Exprese la función en el lenguaje del álgebra al escribirla como una función de la única variable elegida en el paso 2. </li></ul><ul><li>4. Use el modelo. Emplee la función para contestar las preguntas planteadas en el problema. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  38. 38. COMBINACIÓN DE FUNCIONES <ul><li>ÁLGEBRA DE FUNCIONES </li></ul><ul><ul><li>Sean ƒ y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones ƒ + g, ƒ – g, ƒg y ƒ/g se define como sigue. </li></ul></ul><ul><ul><li>( ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) Dominio A B </li></ul></ul><ul><ul><li>(ƒ – g)(x) = ƒ(x) – g(x) Dominio A B </li></ul></ul><ul><ul><li>(ƒg)(x) = ƒ(x)g(x) Dominio A B </li></ul></ul><ul><ul><li>( ƒ/g) (x) = ƒ(x)g(x)/g(x) Dominio {x Є A B І g = 0 } </li></ul></ul>υ υ υ υ Introducciòn a Funciones
  39. 39. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES <ul><li>Dada dos funciones ƒ y g, la función compuesta ƒ º g ( denominada también la composición de ƒ y g ) está definida por: </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>(ƒ º g)(x) = ƒ(g(x)) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>El dominio de ƒ º g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el domino de ƒ. En otras palabras (ƒ º g)(x) se define siempre que g(x) y ƒ(g(x)) estén definidas. Se puede ilustrar ƒ º g por medio de un diagrama de flecha </li></ul></ul></ul></ul>Introducciòn a Funciones
  40. 40. FUNCIONES UNO A UNO Y SUS INVERSAS <ul><li>La inversa de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa “deshace” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí la tienen se llaman funciones uno a uno. </li></ul>Introducciòn a Funciones
  41. 41. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN UNO A UNO <ul><li>Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tenga la misma imagen, es decir, </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>ƒ(x1) = ƒ (x2) siempre que x1 = x2. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Una forma equivalente de escribir la condición de una función uno a uno es ésta: </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Si ƒ(x1) = ƒ(x2), entonces x1 = x2 </li></ul></ul></ul></ul>Introducciòn a Funciones
  42. 42. PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL <ul><li>Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica más de una vez. </li></ul>F(x)=x es uno a uno 3 f(x)=x no es uno a uno 2 Introducciòn a Funciones
  43. 43. Definición de la inversa de una función <ul><li>Sea ƒ una función uno a uno con dominio A y rango B . Entonces su función inversa ƒ tiene dominio B y rango A y está definida por </li></ul><ul><ul><li>ƒ (y) = x ƒ(x) = y </li></ul></ul><ul><ul><li>Para cualquiera y en B </li></ul></ul><ul><ul><li>Esta definición establece que si ƒ envía x a y, entonces ƒ envía y de nuevo a x(si ƒ no fuera uno a uno, entonces ƒ no estaría definida de manera única). </li></ul></ul>-1 -1 Introducción a Funciones
  44. 44. PROPIEDAD DE LA FUNCIÓN INVERSA <ul><li>Sea ƒ una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa ƒ satisface las siguientes propiedades de cancelación. </li></ul><ul><li>A la inversa, cualquier función ƒ que satisface estas ecuaciones es la inversa de ƒ. </li></ul>-1 -1 44 Introducciòn a Funciones <ul><li>Sea ƒ una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa ƒ satisface las siguientes propiedades de cancelación. </li></ul><ul><li>A la inversa, cualquier función ƒ que satisface estas ecuaciones es la inversa de ƒ. </li></ul>Introducciòn a Funciones Introducción a Funciones

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