Clase Estadistica Discretas

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Clase Estadistica Discretas

  1. 1. <ul><li>UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON </li></ul><ul><li>FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS </li></ul><ul><li>Y ADMINISTRACIÓN PÚBLICA </li></ul><ul><li>ESTADISTICA </li></ul><ul><li>TEMA 4 </li></ul><ul><li>DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA Y DE POISSON. </li></ul><ul><li>Ing. LAURO MALDONADO M. </li></ul><ul><li>Integrantes: </li></ul><ul><li>JOSÉ ANDRÉS ALARCÓN NÚÑEZ </li></ul><ul><li>DENISSE ISALU ARAUJO MARROQUIN </li></ul><ul><li>YEYETZI ESAPARZA GARCIA </li></ul><ul><li>CLARA IVONNE JARAMILLO GARCIA </li></ul><ul><li>HARISSA ZAHLE QUESADA NERI </li></ul><ul><li>ADRIAN ROMO GONZALEZ </li></ul><ul><li>GERARDO ISRAEL URBINA VAQUERA </li></ul><ul><li>Monterrey, Nuevo León a 10 de abril 2008 </li></ul>
  2. 2. Introducción <ul><li>En este tema entenderemos que la distribución de variables aleatorias discretas se utiliza para determinar el comportamiento de un sistema. </li></ul><ul><li>Se utiliza la distribución aleatoria porque no se conocen los resultados, o los datos con presicion, se crean escenarios futuros. Para esto se emplean tres tipos de variables aleatorias discretas: </li></ul><ul><li>La distribución binomial </li></ul><ul><li>La Hipergeometrica ejemplo </li></ul><ul><li>La Poisson </li></ul><ul><li>inicio </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Toma valores 0 -1, se caracteriza por que los resultados que se pueden obtener son mutuamente excluyentes, ósea, no depende uno del otro, se utiliza típicamente esta distribución para tomar desiciones como por ejemplo: aceptar o rechazar opciones como, si o no, se cumple o no se cumple, etc... Solo con dos opciones … </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Se caracteriza porque genera más de un resultado, y las probabilidades de llegar a ese resultado no son constantes, esta distribución se caracteriza porque en un tiempo muy corto se pueden tener valores muy altos de una variable y en el siguiente instante varia drásticamente en cualquier lapso de tiempo. Este tipo de distribución se encuentra en sistemas que tienen picos de demanda … </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Un ejemplo de esto es en la fila del cine... antes de una película, ahí gente formada para entrar y el pico de demanda en la taquilla es alto, de modo que a la hora que inicia la película la fila decrece rápidamente, esto pude crear, al momento de comprar las entradas, desesperación por parte del cliente, que se puede ir, para esto una solución de emergencia por parte del cine, seria habilitar otra taquilla para disminuir la demanda sobre la otra taquilla … </li></ul>
  6. 6. <ul><li>A medida que pasa el tiempo es difícil que vuelva a subir el pico de demanda por que ya se soluciono. </li></ul><ul><li>Cuando un sistema presenta una distribución de probabilidad hipergeométrica se toma una decisiones rápida para estabilizar el sistema. Con el fin que el pico de demanda no se incremente más. Porque puede afectar al sistema a estudiar … </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Se caracteriza porque los datos estadísticamente tienen que ser independientes uno del otro esta distribución es la que mas comúnmente se encuentra en los sistemas reales principalmente en situaciones donde existen personas , objetos , es decir elementos que toman valores enteros ( 1234..) que no se pueden fraccionar. </li></ul><ul><li>Sus usos mas frecuentes es determinar el numero de personas , numero de productos , numero de embarcaciones , es decir que sus resultados sean números enteros., a diferencia de la binomial , la poisson solo usa un parámetro que es la media (labda) </li></ul>
  8. 8. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA Y DE POISSON <ul><li>¿Qué es un espacio muestral? </li></ul><ul><li>Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico denotado por “S”. </li></ul><ul><li>¿Qué es una variable? </li></ul><ul><li>Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante. </li></ul><ul><li>¿Qué es una variable aleatoria? </li></ul><ul><li>Es una función que asocia un numero real a cada elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra. </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Una variable aleatoria se define como un evento numérico cuyo valor se determina mediante un proceso aleatorio. Si a cada uno de los posibles valores numéricos de una variable aleatoria X se le asigna un valor de probabilidad, ya sea mediante una lista o una función matemática, el resultado es una distribución de probabilidad. </li></ul><ul><li>Una variable aleatoria se puede clasificar en: </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Variable aleatoria discreta </li></ul><ul><li>Variable aleatoria continua </li></ul><ul><li>Continuar… </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo. </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar. </li></ul><ul><li>El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda. </li></ul><ul><li>Numero de circuitos en una computadora. </li></ul><ul><li>El numero de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos. </li></ul><ul><li>Estas distribuciones de probabilidad estándar pueden servir para una amplia gama de variables aleatorias discretas que se usan en los negocios. Los que se describen en este capitulo son las distribuciones de probabilidad binomial, hipergeometrica y de Poisson … </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; esta puede asumir infinito número de valores y estos se pueden medir. </li></ul><ul><li>No se pueden listar todos los posibles valores fraccionarios de la variable, y por tanto las probabilidades se determinan a través de una función matemática y se representan gráficamente mediante una función de densidad de probabilidad o curva de probabilidad. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>La estatura de un alumno de un grupo escolar. </li></ul><ul><li>El peso en gramos de una moneda. </li></ul><ul><li>Las dimensiones de un vehiculo … </li></ul>
  13. 13. <ul><li>La distribución de probabilidad es una distribución teórica de frecuencias que describe como se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. </li></ul><ul><li>Se pueden clasificar en: </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Distribuciones discretas, Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio. </li></ul><ul><li>Estas son: binomial , hipergeometrica y poisson </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Distribuciones continuas: Son aquellas donde las variables en un estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la altura de un estudiante. </li></ul>
  16. 16. FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS <ul><li>La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser: </li></ul><ul><li>1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún fenómeno de interés. </li></ul><ul><li>2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas. </li></ul><ul><li>3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados. </li></ul>
  17. 17. <ul><li>Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerables. </li></ul><ul><li>Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real. </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Las más útiles son: </li></ul><ul><li>1.- La distribución uniforme discreta. </li></ul><ul><li>2.- La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli. </li></ul><ul><li>3.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica. </li></ul><ul><li>4.- La distribución de probabilidad de Poisson. </li></ul>
  19. 19. LA DISTRIBUCION BINOMIAL <ul><li>Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como: </li></ul><ul><li>- Juegos de azar. </li></ul><ul><li>- Control de calidad de un producto. </li></ul><ul><li>- En educación. </li></ul><ul><li>- En las finanzas. </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Es una distribución discreta de probabilidad que es aplicable como un modelo en situaciones de toma de decisiones en las que se supone que el proceso de muestreo se ha realizado conforme a un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso en el cual: </li></ul><ul><li>En cada ensayo solo pueden presentarse dos resultados u observaciones mutuamente excluyentes. Para simplificar, a estos resultados se les llama éxito y fracaso. </li></ul><ul><li>Los resultados de una serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. </li></ul><ul><li>La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por “p”, permanece constante de un ensayo a otro. Es decir, el proceso es estacionario </li></ul>
  21. 21. <ul><li>La distribución binomial se usa : </li></ul><ul><li>para obtener un número determinado de éxitos en un proceso de Bernoulli. Se requieren tres valores: el número determinado de éxitos (x), el número de ensayos u observaciones (n) y la probabilidad de éxito para cada prueba (p) y q= (1-p) si la probabilidad es de fracaso, la formula para determinar la probabilidad de un número determinado de éxitos X en una distribución binomial es </li></ul>
  22. 22. <ul><li>P[ x = k] = ( n/k ) pk qn - k </li></ul><ul><li>K = numero de éxitos </li></ul><ul><li>n = número de pruebas </li></ul><ul><li>p = probabilidad de éxitos </li></ul><ul><li>q = probabilidad de fracasos </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>La probabilidad de que un prospecto elegido al azar por un cazador de talentos realice un gol es de 0.20. Si el cazador de talentos llama a seis delanteros, la probabilidad de que hagan 4 goles se determina como sigue: </li></ul>
  23. 23. <ul><li>P (x = 4 l n = 6 , p = 0.20) = 6 C 4 (0.20) 4 (0.80) 2 = 6! / 4! 2! (0.20) 4 (0.80) 2 </li></ul><ul><li>= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 / (4 x 3 x 2) (2 ) = (0.0016) ( 0.64 ) = 0.01536 = 0.015 </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Con frecuencia lo que interesa es la probabilidad acumulada de la ocurrencia de “x o mas” éxitos o de “x o menos” éxitos en n ensayos. En un caso como este se determina la probabilidad de cada resultado comprendido en el intervalo determinado, y luego se suman las probabilidades. </li></ul><ul><li>En el ejemplo, la probabilidad de que el delantero haga cuarto o más goles se determina como sigue: </li></ul>
  25. 25. <ul><li>P(x > 4) l n=6 , p= 0.20) = P(x = 4) + </li></ul><ul><li>P( x = 5) + P(x = 6) </li></ul><ul><li>= 0.01536 + 0.001536 + .000064 = 0.016960 = 0.017 </li></ul>
  26. 26. <ul><li>Donde: </li></ul><ul><li>P(x = 4) = 0.01536 ( de acuerdo al ejemplo) </li></ul><ul><li>P( x = 5) = 6 C 5 (0.20) 5 (0.80) 1 = 6! / 5! 1! (0.20) 5 (0.80) = 6(0.00032)(0.80) = 0.001536 </li></ul><ul><li>P( x = 6) = 6 C 6 (0.20) 6 (0.80) 0 = 6! / 6! 0! (0.000064) (1) = (0.000064) = 0.000064 </li></ul><ul><li>Se entiende que el exponente 0 es igual a 1 </li></ul>
  27. 27. <ul><li>Debido a que cuando la muestra es relativamente grande, el uso de la formula binomial requiere muchos cálculos aritméticos, se suelen usar tablas para probabilidades binomiales. </li></ul><ul><li>“ si a la probabilidad de que un prospecto para delantero, elegido al azar, realice un gol es 0.20, la probabilidad de que un caza talentos que llama a 15 delanteros haga menos de tres goles es”: </li></ul>
  28. 28. <ul><li>P(x < 3 l n=15, p= 0.20) = P(x < 2) = </li></ul><ul><li>P(x =0) + P(x = 1) + P(x = 2) </li></ul><ul><li>= 0.0352 + 0.1319 +0.2309 </li></ul><ul><li>= 0.3980 = 0.40 </li></ul>
  29. 29. <ul><li>La variable binomial expresada como proporciones </li></ul><ul><li>En lugar de expresar la variable aleatoria binomial como numero de éxitos, x, se le puede expresar en términos de la proporción de éxitos p, que es el cociente del número de éxitos entre el número de ensayos: </li></ul><ul><li>p = X / n </li></ul><ul><li>Existen casos en que la formula se modifica solo respecto de la definición de la proporción </li></ul>
  30. 30. LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA <ul><li>Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otra observación anterior. </li></ul>
  31. 31. <ul><li>Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo. </li></ul><ul><li>La formula se define de la siguiente manera: </li></ul>
  32. 32. <ul><li>DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA </li></ul><ul><li>P ( X ) = (s C x ) (N - S C n - x ) </li></ul><ul><li> N C n </li></ul><ul><li>Donde: </li></ul><ul><li>N = Tamaño de la población </li></ul><ul><li>s = numero de éxitos en la población </li></ul><ul><li>x = numero de éxitos que son de interés </li></ul><ul><li>n = Tamaño de la muestra o números de ensayos </li></ul><ul><li>C = Denota una combinación </li></ul>
  33. 33. <ul><li>Suponga que durante la semana se fabricaron 50 estaciones de juego para vaideo. Cuarenta de ellas funcionaron perfectamente, y diez tuvieron al menos un defecto. Se seleccionó al azar una muestra de cinco. Utilizando la fórmula Hipergeométrica, ¿cuál es la probabilidad de que 4 de los 5 funcionen perfectamente? </li></ul>
  34. 34. <ul><ul><ul><ul><ul><li>P ( 4 ) = (40 C 4 ) (50 - 40 C 5 - 4 ) </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><li>50 C 5 </li></ul><ul><li>P ( 4 ) = (91 390) (10) </li></ul><ul><li>2 118 760 </li></ul><ul><li>P ( 4 ) = .431 </li></ul><ul><li>La probabilidad de seleccionar 5 estaciones de juego y encontrar que 4 funcionan perfectamente es de 0.431. </li></ul>
  35. 35. LA DISTRIBUCION DE POISSON <ul><li>Esta función de distribución de variable discreta se emplea para calcular las probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo de tiempo o espacio; este intervalo es generalmente una unidad de medida conocida: cm2, Km., gramos, litros, pulgadas, etc </li></ul>
  36. 36. <ul><li>Algunos de los problemas que presentan como un fenómeno con distribución de Poisson son: </li></ul><ul><li>- Los embotellamientos que se producen por día. </li></ul><ul><li>- Número de llamadas por hora. </li></ul><ul><li>- Defectos por m2 de tela. </li></ul><ul><li>- Número de defectos por lote de un proceso de producción. </li></ul><ul><li>- </li></ul><ul><li>Número de negocios cerrados por semana. </li></ul>
  37. 37. <ul><li>A este tipo de problemas se les conoce el número de éxitos x obtenidos por unidad de medida en n ensayos; pero es totalmente imposible conocer el número de fracasos (n - x). </li></ul><ul><li>Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente: </li></ul>
  38. 38. <ul><li>1.- La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable. </li></ul><ul><li>2.- La probabilidad de observar dos o más éxitos en el intervalo es cero. </li></ul><ul><li>3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de que suceda en cualquier otro intervalo </li></ul>
  39. 39. <ul><li>La formula para determinar la probabilidad de un número determinado X de éxitos en una distribución de poisson es: </li></ul><ul><li>P (X l ) = X e - / X! </li></ul><ul><li>n = numero de ensayos </li></ul><ul><li>x = numero de éxitos esperados en “n” ensayos </li></ul><ul><li>e = 2.71828 </li></ul><ul><li>= n p = constante igual al numero de éxitos promedio por unidad de medida </li></ul><ul><li>P = probabilidad constante durante el proceso igual al numero de éxitos promedio por unidad de medida </li></ul>
  40. 40. <ul><li>Aquí la constante “e” es constante: 2.7183, que es la base de los logaritmos naturales, y los valores e - pueden obtenerse de diferentes fuentes </li></ul>
  41. 41. <ul><li>Ejemplo: si en un departamento de reparación de maquinaria se reciben en promedio cinco solicitudes de servicio por hora, la probabilidad de recibir menos de tres solicitudes durante una hora elegida al azar se determina como: </li></ul><ul><li>P (X < 3 l = 5.0) = P( X 2) = P( x = 0 ) + P( x = 1) + P( x = 2) </li></ul><ul><li>= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 = 0.1246 </li></ul>
  42. 42. <ul><li>Donde </li></ul><ul><li>P (X = 0 l = 5.0) = 0.0067 </li></ul><ul><li>P (X = 1 l = 5.0) = 0.0337 </li></ul><ul><li>P (X = 2 l = 5.0) = 0.0842 </li></ul>
  43. 43. <ul><li>Como se supone que un proceso de Poisson es estacionario, se concluye que la media ( ) del proceso siempre es proporcional a la magnitud del conjunto de tiempo o de espacio. Por tanto, si la media de que se disponga corresponde a un determinado periodo, para otro periodo que se requiera puede determinarse la media. Esto es muy importante, ya que el valor de que se debe ser aceptable al periodo de interés. </li></ul>
  44. 44. CONCLUSIÓN <ul><li>En estos temas analizamos distribuciones de probabilidad aleatoria de tipo discreto específicamente binomial poisson hipergeométrica. </li></ul><ul><li>Es importante saber como se comportan los sistemas con el fin de anticiparnos a posibles problemas. </li></ul>
  45. 45. <ul><li>Tenemos que ser precisos en sabes si los valores de sus variables de estos sistemas toman valores enteros o valores fraccionados de ahí la importancia de clasificarlos como valores discretos o valores continuos </li></ul>
  46. 46. <ul><li>El primero se caracteriza por tomar valores de 0-1 en sus resultados </li></ul><ul><li>El hipergeometrico se concluye que es el más crítico para analizar porque, se tiene que tomar una decisión a corto plazo debido a que su curva característica es prolongada al principio factor, que tenemos que disminuir rápidamente </li></ul><ul><li>El ultimo toma exclusivamente valores enteros, y esta distribución se encuentra en la mayoría de los sistemas. </li></ul>
  47. 47. Distribuciones de probabilidad Distribución binominal Distribución exponencial Distribución de Poisson Distribución hipergeométrica Distribuciones de probabilidad Desviación normal Distribución de normal Distribuciones de probabilidad Distribución de uniforme Cálculo de probabilidades Determinación del valor de X Aproximación a la distribución binomial probabilidad Distribución binominal Acumulada

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