Matrices 2005 8 2da Clase

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Matrices 2005 8 2da Clase

  1. 1. Matrices Universidad Nacional de Educación Álgebra Lineal Ciclo 2008 - 2 UNE
  2. 2. <ul><li>Introducción. </li></ul><ul><li>Definición de matriz . </li></ul><ul><li>Tipos de matrices . </li></ul><ul><li>Igualdad de matrices. </li></ul><ul><li>Operaciones con matrices. </li></ul><ul><li>Propiedades de las matrices. </li></ul>M atric es
  3. 3. Introducción <ul><li>¿Por qué deben interesar las matrices? </li></ul><ul><li>Permiten resolver rápidamente sistemas de ecuaciones lineales. </li></ul><ul><li>Son una manera ordenada que utiliza la matemática para expresar las rotaciones en las aplicaciones aeroespaciales y en los gráficos de computador para el CAD. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Permiten modelar sistemas de redes, de flujo y de transporte. Destaca su aplicación en el análisis de circuitos. </li></ul><ul><li>Sirven como portadoras de información para almacenar tablas de datos, valores experimentales, imágenes digitalizadas, señales cifradas, etc. </li></ul>
  5. 5. Matriz Una matriz de orden es un arreglo rectangular de números colocados en líneas horizontales (filas) y líneas verticales (columnas).
  6. 6. Notación: : Elemento de la fila i y columna j.
  7. 7. Tipos de Matrices Matriz Nula o Cero: Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por . Ejemplo: es una matriz cero de orden .
  8. 8. Tipos de Matrices Matriz fila: Es una matriz con una sola fila y columnas. Ejemplo: es una matriz fila de cuatro columnas.
  9. 9. Tipos de Matrices Matriz columna: Es una matriz con filas y una sola columna. Ejemplo: es una matriz columna de tres filas.
  10. 10. Tipos de Matrices Matriz cuadrada: Es una matriz en la cual el número de filas es igual al número de columnas. En caso que dicho número sea se dice que la matriz es de orden .
  11. 11. Ejemplo: es una matriz cuadrada de orden . Una matriz de orden , tiene un sólo elemento.
  12. 12. Tipos de Matrices Matriz diagonal: Se dice que la matriz cuadrada es diagonal, si cumple con las siguientes condiciones: <ul><li>, si . </li></ul><ul><li>Los elementos no son todos nulos . </li></ul>
  13. 13. es una matriz diagonal de orden . Ejemplo:
  14. 14. Tipos de Matrices Matriz triangular superior: Se dice que la matriz cuadrada es triangular superior, si cumple con las siguientes condiciones: <ul><li>Si , entonces . </li></ul><ul><li>Si , entonces es cualquiera. </li></ul>
  15. 15. es una matriz triangular superior de orden . Ejemplo:
  16. 16. Tipos de Matrices Matriz triangular inferior: Se dice que la matriz cuadrada es triangular inferior , si cumple con las siguientes condiciones: <ul><li>Si , entonces . </li></ul><ul><li>Si , entonces es cualquiera. </li></ul>
  17. 17. es una matriz triangular inferior de orden . Ejemplo:
  18. 18. Tipos de Matrices Matriz identidad: Es una matriz diagonal con todos los elementos en ella iguales a . En caso que sea de orden , se denota por .
  19. 19. es una matriz identidad de orden . Ejemplo:
  20. 20. Tipos de Matrices Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada en la cual para todo par de índices se cumple:
  21. 21. es una matriz simétrica de orden . Ejemplo:
  22. 22. Tipos de Matrices Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada en la cual para todo par de índices se cumple:
  23. 23. es una matriz antisimétrica de orden . Ejemplo: En toda matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal son .
  24. 24. Igualdad de Matrices Sean y dos matrices del mismo orden. Se dice que es igual a y se escribe , si para todo par de índices se tiene:
  25. 25. Ejemplo: Sean: Si entonces: e .
  26. 26. Operaciones con Matrices <ul><li>Suma de matrices: </li></ul>Sean y dos matrices del mismo orden. Se define una nueva matriz, la suma de y , que se denota por , como la matriz
  27. 27. Operaciones con Matrices Propiedades de la suma: <ul><li>Sean , y tres matrices del mismo orden, entonces: </li></ul><ul><li>. </li></ul><ul><li>, donde la matriz tiene </li></ul><ul><li>el mismo orden que la matriz . </li></ul><ul><li>. </li></ul>
  28. 28. <ul><ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Un agricultor que posee tres fincas, muestra en el siguiente cuadro las pérdidas o ganancias de sus productos, medidas en toneladas, en los dos últimos años: </li></ul></ul></ul>
  29. 29. Café Maíz Frijol Arroz Trigo Producto 10 7 4 -3 8 Finca 3 4 0 -2 1 1,6 Finca 2 5 3 -4 2 3 Finca 1 Año 2004 13 15 -1 -2 4 Finca 3 -1 12 0 0,6 -3 Finca 2 2 7 3 10 -0,5 Finca 1 Año 2003
  30. 30. <ul><ul><ul><li>Si queremos calcular la pérdida o ganancia neta a lo largo de los dos últimos años, ¿qué operaciones debemos realizar y cómo? </li></ul></ul></ul>
  31. 31. Operaciones con Matrices <ul><li>Producto de un escalar por una matriz: </li></ul>Sean una matriz y un escalar. Se define una nueva matriz, el producto de por , que se denota por , como la matriz .
  32. 32. Operaciones con Matrices Propiedades del producto escalar: <ul><li>Sean y dos matrices del mismo orden, y dos escalares, entonces: </li></ul><ul><li>. </li></ul><ul><li>. </li></ul><ul><li>. </li></ul>
  33. 33. Operaciones con Matrices <ul><li>. </li></ul><ul><li>, donde el de la izquierda es el escalar cero y el de la derecha es la matriz nula, que tiene el mismo orden que la matriz . </li></ul>
  34. 34. Operaciones con Matrices <ul><li>Transposición de una matriz: </li></ul>Sea una matriz de orden . Se define una nueva matriz, la transpuesta de , que se denota por , como la matriz , la cual tiene orden .
  35. 35. Operaciones con Matrices Propiedades de la transposición: <ul><li>Sean y dos matrices del mismo orden, un escalar, entonces: </li></ul><ul><li>. </li></ul><ul><li>. </li></ul><ul><li>. </li></ul>
  36. 36. Ejemplo: Sea: entonces:
  37. 37. Propiedades de las Matrices Matriz simétrica: es una matriz simétrica, sí y solo sí
  38. 38. Ejemplo: Sea: Como , entonces es una matriz simétrica. luego:
  39. 39. Propiedades de las Matrices Matriz antisimétrica: es una matriz antisimétrica, sí y solo sí
  40. 40. Ejemplo: Como , entonces es una matriz antisimétrica. luego: Sea:
  41. 41. Operaciones con Matrices <ul><li>Producto de una matriz fila por una matriz columna: </li></ul>Sean una matriz fila y una matriz columna. Se define una nueva matriz, el producto de por , de orden , que se denota por , como la matriz
  42. 42. Ejemplo: luego: Sean:
  43. 43. Operaciones con Matrices <ul><li>Producto de matrices: </li></ul>Sean y dos matrices. Se define una nueva matriz, el producto de por , de orden , que se denota por , como la matriz
  44. 44. Ejemplo: luego: Sean:
  45. 45. Operaciones con Matrices Observaciones: <ul><li>Para que el producto se pueda realizar, se requiere que el número de columnas de sea igual al número de filas de . </li></ul><ul><li>La matriz producto , tiene el mismo número de filas que la matriz y el mismo número de columnas que la matriz : </li></ul>
  46. 46. <ul><li>Existen matrices y para las cuales el producto existe y, sin embargo, el producto no existe. </li></ul>
  47. 47. Ejemplo: luego, existe: Sean: pero no existe:
  48. 48. Operaciones con Matrices <ul><li>Existen matrices y para las cuales los productos y existen, pero no son iguales. Por ello, se dice que el producto de matrices no es conmutativo. </li></ul>
  49. 49. luego, existen los productos y : Sean: pero no son iguales. Ejemplo:
  50. 50. Operaciones con Matrices <ul><li>Sean una matriz cuadrada de orden e la matriz identidad. Entonces, su producto es conmutativo: </li></ul>
  51. 51. Ejemplo: Sean: luego:
  52. 52. Operaciones con Matrices <ul><li>Sean y dos matrices tales que . Esto no quiere decir que , que o que ambos, . </li></ul>
  53. 53. Ejemplo: Sean: luego: sin embargo, ni ni son .
  54. 54. Operaciones con Matrices Propiedades del producto de matrices: <ul><li>Sean , y matrices tales que las operaciones siguientes están definidas, entonces: </li></ul><ul><li>, . </li></ul>
  55. 55. Ejemplo: Sean: luego:
  56. 56. Ejemplo: Sean: luego:
  57. 57. Operaciones con Matrices <ul><li>Asociatividad: </li></ul><ul><li> . </li></ul>
  58. 58. Ejemplo: Sean:
  59. 59. luego:
  60. 60. Operaciones con Matrices <ul><li>Distributividad: </li></ul><ul><li>, </li></ul><ul><li>. </li></ul>
  61. 61. Ejemplo: Sean:
  62. 62. luego:
  63. 63. Operaciones con Matrices <ul><li> . </li></ul>
  64. 64. Ejemplo: Sean: luego:

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