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Fibonacci
Trabajo 1º Bachiller Investigación

Matemáticas

Sergio Illán Bedmar
30/11/2008
Fibonacci




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                          INDICE
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        Φ Introducción……………Página 3.
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        INTRODUCCIÓN




        El número de Fibonacci es una sucesión de cifras que ha dado...
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        SUCESIÓN DE FIBONACCI

        El aporte de Fibonacci a las matemática es muy grande,...
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        APLICACIONES EN DISTINTAS DISCIPLINAS


        Una de las aplicaciones más conocida ...
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        En la disciplina de la física, también se ve reflejada esta sucesión. Si se colocan
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Trabajo Fibonacci (Sergio IlláN Bedmar B1 Ic)

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Trabajo Fibonacci (Sergio IlláN Bedmar B1 Ic)

  1. 1. Fibonacci Trabajo 1º Bachiller Investigación Matemáticas Sergio Illán Bedmar 30/11/2008
  2. 2. Fibonacci nov. INDICE 30 de Φ Introducción……………Página 3. Φ Sucesión de Fibonacci……………Página 4. Φ Aplicaciones en distintas disciplinas……………Página 5,6. Φ Explicación Matemática del número de Fibonacci: -Definición Formal…….Página 7. -Representaciones alternativas…….Página 8. -Propiedades de la sucesión…….Página 8,9. 2
  3. 3. Fibonacci nov. 30 de INTRODUCCIÓN El número de Fibonacci es una sucesión de cifras que ha dado lugar a no pocas teorías, demostrándose que esta sucesión está presentes en la naturaleza de forma estable, ya sea en la organización de los panales de las abejas, o incluso en la descendencia de los zánganos. Leonardo Fibonacci, también llamado Leonardo Pisano, fue un calculista que nació y murió en la ciudad de Pisa, en Italia, del 1175 a 1240. Dedicó su vida a recopilar todas las enseñanzas que recogió en sus numerosos viajes al mundo árabe, de quienes difundió sus principios de cálculo en el mundo occidental. A esta presentación agregó una explicación de procedimientos algebraicos y aplicaciones a numerosos problemas. Era hijo de Bonaccio, de ahí su nombre Fibonacci, que significa quot;hijo de Bonaccioquot;. De su padre aprendió todo lo referente a los números, ya que era director de una aduana en Argelia. Bonaccio, necesitaba que su hijo supiese de números, por lo que le obligó a estudiar aritmética posicional hindú. 2
  4. 4. Fibonacci nov. 30 de SUCESIÓN DE FIBONACCI El aporte de Fibonacci a las matemática es muy grande, pero sin duda por lo que más se le conoce es por crear la sucesión de números que lleva su nombre. Los conocidos como Números Fibonachi, fueron un intento de describir el crecimiento de una población teniendo en cuenta que cada individuo tendría dos hijos a lo largo de su vida. Esta sucesión seguía una fórmula sencilla: Fn = Fn-1 + Fn-2. A raíz de esta fórmula, la sucesión que el matemático italiano estableció fue la siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etcétera. donde cada elemento restante es la suma de los dos anteriores. Pero sin duda, lo más interesante de esta fórmula matemática, es que aparece en una gran cantidad de los elementos de la naturaleza. Los números de Fibonacci son utilizados en los estudios sobre el azar, en clasificación de datos e incluso en los mecanismos para recuperar información en los ordenadores, así como en los famosos fractales, objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas, como por ejemplo un copo de nieve o una nube Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, hasta el infinito. 2
  5. 5. Fibonacci nov. 30 de APLICACIONES EN DISTINTAS DISCIPLINAS Una de las aplicaciones más conocida de esta serie es la que rige la estructura de los caparazones espirales de muchos caracoles, así como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. Además, también se han hallado la misma estrutura en manifestaciones de artes plásticas, la arquitectura y la poesía, por ejemplo en la obra de Virgilio, la Eneida. Dentro de la ciencias naturales, encontramos esta misma estructura en la disposición de las semillas de algunas flores (A), ubicadas en la gran parte central en forma de espiral con funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci, por ejemplo en la colocación de las celdas de una colmena, en las que sólo hay una ruta posible para ir a la siguiente celda, dos hacia la siguiente y así sucesivamente según la serie. Además, los machos o zánganos de la colmena tienen árboles genealógicos (B) que siguen estrictamente la misma distribución, no tienen padre, por lo que sólo hay una madre, dos abuelos... y así siguiendo la serie propuesta por el matemático. Esta fórmula, la encontramos en la distribución de las falanges (C) de la propia mano del ser humano. 2
  6. 6. Fibonacci nov. 30 de En la disciplina de la física, también se ve reflejada esta sucesión. Si se colocan dos láminas planas de vidrio en contacto y se proyectan rayos de luz sobre ellas que las atraviesen, algunos, dependiendo del ángulo de incidencia, las atravesarán sin reflejarse, pero otros sufrirán una reflexión. El rayo que no sufre reflexión tiene sólo una trayectoria posible de salida; el que sufre una reflexión tiene dos rutas posibles; el que sufre dos reflexiones, tres trayectorias, el que experimenta tres reflexiones, cinco... Este número ha dado mucho que hablar y ha servido de inspiración también para varias obras literarias y no menos películas. Por ejemplo en la famosa novela de Dan Brown, quot;El código Da Vinciquot; aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière. Esta misma sucesión la podemos encontrar en el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, en la que los patrones de la batería de la canción Lateralus siguen el mismo patrón de la sucesión de Fibonacci del número 13 (el número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,... 2
  7. 7. Fibonacci nov. 30 de Dibujo de la portada del disco “Lateralus”. EXPLICACIÓN MATEMÁTICA DEL NUMERO DE FIBONACCI. Definición Formal. Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones para Esto produce los números • • • • 2
  8. 8. Fibonacci • • • nov. y así sucesivamente hasta el infinito. 30 de Representaciones alternativas Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente. Función generadora Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora (4) Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci: 2
  9. 9. Fibonacci nov. 30 de Propiedades de la Sucesión Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes: La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía • continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir: Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense quot;The Fieldquot; del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un • número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2. Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de • 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m. La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada • forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces y Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos • posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir 2
  10. 10. Fibonacci La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la • posición n + 2 menos uno. Es decir nov. 30 de • La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie. 2

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