teoria de grupos

1. Materia: Matemáticas Discretas
Mónica Zaima Viquez Cano
Mayo 2008.

2. Objetivo General :
Que el alumno identifique las propiedades de la teoría de grupos.
Objetivos Particulares:
1. Que el alumno identifique las propiedades geométricas de la teoría de
grupos.
2. Que el alumno conozca las principales propiedades de los grupos en
particular de los grupos geométricos.
3. Que el alumno desarrolle algunos ejemplos de la teoría de grupos.

3. LA NATURALEZA DEL
INTERES DE LA TEORIA DE
GRUPOS

4. Simetrias en la naturaleza

5. Teselaciones y Grupos Simétricos

6. Solidos Platonicos
Dentro de las infinitas formas poliédricas que
existen hay unas que, por sus simetrías, han
ejercido siempre una gran atracción sobre los
hombres.
Se trata de los poliedros regulares, cuyas
caras son polígonos regulares iguales entre sí
y en cuyos vértices concurren el mismo
número de caras
Platón, en su obra Timaeus, asoció cada uno de los cuatro elementos que según
los griegos formaban el Universo, fuego, aire, agua y tierra a un poliedro: fuego al
tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro o cubo
Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecadro, al Universo. Por este
motivo estos poliedros reciben el nombre de sólidos platónicos. Se puede
observar una representación de los poliedros realizada por Kepler, en la que
aparece representada esta asociación

7. Solidos Platonicos
Cuando en 1987 por primera vez los rayos
X mostraron una simetría
pentagonal dentro de un cristal, se le
llamó cuasicristal, porque la
teoría prohibe esta clase de
ordenamiento en los cristales
“normales”.

8. Solidos Platonicos
El fondo de la celda de un panal de
abejas tiene tres caras rombales. Ası´,
cada cara puede usarse deforma muy
práctica. Lo mismo se aplica a la parte
inferior del conjunto de celdas del lado
opuesto. Tres de estas caras rombales
forman una esquina del “pequeño”
romboide de Kepler

9. Solidos Platonicos
Imagen fotográfica de dos copos de nieve
Casi todos las flores poseen una simetría
pentagonal,
mostrando “los colores de la vida”, como
dijoKepler

10. Solidos Platonicos
A sugerencia del físico Max von Laue,
se investigó por primera vez
un cristal con rayos x en 1912. Las
fotografías resultantes mostraron
puntos de luz simétricamente
ordenados. Del orden de estos puntos
sobre la pantalla, uno puede deducir
el orden espacial sexangular
del cristal
Los fullerenos, el más simple de los
cuales contiene 60 átomos de carbón,
pueden representarse como cristales
bidimensionales en un espacio de
curvatura positiva constante.

13. http://en.wikipedia.org/wiki/Phosphoric_acid

14. •El álgebra abstracta:
•Surge por la necesidad de estudiar con más exactitud las definiciones matemáticas.
•El algebra abstracta o moderna estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o
espacio vectorial.
La Teoría de Grupos
Nacida para resolver la ecuación de quinto grado, se ha consolidado como el lenguaje oficial de todas las simetrías,
y como la simetría aparece en campos muy diferentes de la actividad humana –música, pintura, literatura, ciencias
naturales- la importancia de este lenguaje es extraordinaria. El primer capítulo del libro está dedicado precisamente a
hacer visibles las relaciones de simetría en distintas áreas y facetas de la vida cotidiana.
El intento del hombre por comprender y explicar la Naturaleza tendrá su mejor aliado en la simetría –en particular, en
las revoluciones de la mecánica cuántica o de la relatividad el papel jugado por la simetría es esencial- y el lenguaje
de la simetría, como ya ha quedado dicho, es la teoría de Grupos.
Los capítulos tercero, cuarto y quinto se ocupan de la historia de la milenaria búsqueda de solución para las
ecuaciones algebraicas. Una historia que arranca con las aportaciones de egipcios, griegos, indios o árabes y llega al
Renacimiento italiano donde la resolución de la ecuación cúbica se nos cuenta con todo detalle. El ambiente científico
de la época y las disputas entre los protagonistas quedan perfectamente descritas en el texto que engancha y que se
deja leer con facilidad.
El siguiente paso en la resolución de ecuaciones era encontrar la solución general para la ecuación de quinto grado.
Aquí emergen con luz propia dos figuras, dos grandes genios, a quienes el libro dedica un auténtico homenaje: Abel
(la ecuación de 5º grado no es resoluble por radicales) y Galois (cuáles son las condiciones para que dicha ecuación
pueda ser resoluble por radicales). Mario Livio nos cuenta con profusión de información la vida de estos dos célebres
matemáticos y también nos da indicaciones sobre la profundidad de su obra.

15. Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnöy en la costa sudoccidental de
Noruega. Al principio de su instrucción Abel se mostraría como un estudiante indiferente, más bien
mediocre y sin que incluso las matemáticas le despertaran atracción alguna. Era notorio su malestar
en la escuela. No obstante, un inesperado cambio se produjo a raíz de la muerte de un condiscípulo
ante los malos tratos de un maestro brutal que se excedía con castigos corporales a sus alumnos.
El maestro fue entonces relevado (1818) por un joven matemático de mayor competencia, Bernt
Holmboe (1795-1850), quien incentivó a sus alumnos a resolver por sí mismos problemas de
álgebra y de geometría, Abel se familiarizó con resultados superiores conocidos en su época,
afanándose en las tres obras de L. Euler (1707-1803) sobre el cálculo, de I. Newton (1642-1727), de
C.F. Gauss (1777-1855), de J.L. Lagrange (1736-1813)
En la revista Magazin for Naturvidenskaben que se imprimió en Noruega en 1823, se publicaron
algunos breves trabajos de Abel, entre ellos uno en el que aparece por primera vez el
planteamiento y la solución de una ecuación integral.En su último año de escuela, Abel se mostraría
muy interesado en un importante problema del álgebra, infructuosamente afrontado desde el siglo
XVI y que a pesar de los esfuerzos de Lagrange y otros matemáticos, figuraba entre los grandes
problemas abiertos. En términos concretos, se trataba de hallar la solución mediante radicales de la
ecuación algebraica general de quinto grado ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 (llamada quíntica,)
Abel estaba enterado no sólo de las fórmulas de Cardano y de Bombelli para las ecuaciones cúbica
y cuártica, sino que conocía muy bien la problemática pendiente. Ya desde fines de 1823, Abel
llegaría a la conclusión de que resultaba imposible la resolución algebraica quíntica
En agosto de 1825 emprendió el viaje al extranjero, aunque antes de partir editó una breve
memoria en la que se exhibía la idea de la inversión de las elípticas.
En su memoria sobre el problema anterior, destacó que se debían indagar las condiciones para
poder resolver algebraicamente ecuaciones de cualquier grado.

16. E. Galois (1811-1832) para sentar las bases de su teoría de ecuaciones mediante la de grupos, mostrando que a cada
ecuación corresponde un grupo de sustituciones. Abel investigó la estructura de los grupos conmutativos y mostró que
son producto de grupos cíclicos. No obstante, no destacaría en su trabajo el concepto de grupo (ni , claro está, la
noción explícita de subgrupo normal). Crelle era un destacado ingeniero, una de cuyas obras fue el primer ferrocarril
prusiano entre Berlín y Postdam y autor también de algunos trabajos matemáticos. Crelle sería un fuerte impulsor de la
matemática en Prusia, fundando (1825) el Journal für die reine und angewandte Mathematik (Journal de Crelle), revista
pionera de matemática pura en el mundo y la más prestigiosa de Alemania.
Abel estableció una cordial amistad con Crelle, quien pronto adivinó que aquél era un genio. En los primeros números
editó 7 de sus trabajos; publicando 22 en total en el Journal de Crelle.
El manuscrito de Abel (que contiene el ya conocido como su gran teorema) se refiere a la extensión del teorema de
adición de Euler para integrales elípticas, al caso de integrales de funciones racionales R(x, y(x)) de la variable x y de
cualquier función algebraica y(x). Grosso modo, el teorema enuncia “cualquier suma de integrales de la forma R(x,
y)dx, donde las variables están relacionadas por f(x,y)=0 (f=polinomio en x e y ), puede expresarse en términos de un
número fijo p de integrales de ese tipo más términos algebraicos y logarítmicos”. El mínimo número p depende sólo de
la ecuación f(x,y)=0, el cual luego sería llamado género de la misma. Esto muestra que reconoció dicha noción
fundamental antes que B. Riemann (1826-1866). Abel transformó radicalmente la teoría de integrales elípticas en la
teoría de funciones elípticas, haciendo uso de las funciones inversas de aquéllas, mucho más fáciles de manipular. Los
teoremas de adición de funciones elípticas, representan por otra parte, aplicaciones especiales del teorema de Abel
sobre la suma de integrales de funciones algebraicas. Esta cuestión dio origen a investigar las integrales hiperelípticas
(una generalización de las que Abel inició sus pasos, para que se invirtieran al igual que las elípticas). naciendo así la
teoría de funciones abelianas de p variables La obra de Cauchy inspiró a Abel y algunos criterios de convergencia
llevan hoy el nombre de Abel. Este advirtió y corrigió (1826) el error de Cauchy de su falso teorema sobre la
continuidad del límite de una serie convergente de funciones continuas. Es claro que Cauchy aún no tenía la idea del
concepto de convergencia uniforme .
Desde hacía tiempo Abel padecía tuberculosis, en la Navidad de 1828 viajó a Fröland. Mediado 1829 empeoró a causa
de una hemorragia persistente. Padeció su peor agonía la noche del 5 de abril y el día 6 falleció. Tenía 26 años y ocho
meses.Dos días después de su muerte, una carta de Augusto Crelle, anunciaba que la Universidad de Berlín le había
nombrado profesor de matemáticas.
Gauss y Humboldt solicitarían también una cátedra para Abel. Legendre, Poisson y Laplace, escribieron asimismo al
rey de Suecia para que ingresara en la Academia de Estocolmo.
El Premio Abel (equivalente al Premio Nobel ) ha sido instituido desde el año 2002, bicentenario de su nacimiento.

17. Permutación y grupo
simétrico
Antiguamente, se definía una permutación así: Sea un número n de objetos, (n>1), alineados en una mesa
con el fin de poder atribuir a cada cual su rango: el objeto más a la izquierda es el primero, el que sigue el
segundo y así sucesivamente. Ahora se mezclan los objetos y se les vuelven a colocar en una fila, en
cualquier orden. Se dice que se han permutado los objetos, o, lo que viene a ser lo mismo, los números de
1 a n.
Si el objeto que se encuentra actualmente a la izquieda era antes el quinto de la fila, si el que se
encuentra a su derecha era el séptimo ... y el que está al final era el segundo ... entonces la actual
permutación está caracterizada por los serie de números ( 5, 7, ..., 2).
La definición moderna de una permutación ya no hace referencia al mundo real, y prescinde de los
objetos.
Para conocer la permutación, sólo se necesita conocer la serie de números (5, 7, ..., 2) en el ejemplo. Se
dice que 5 es la imagen de 1 por la permutación, 7 es la imagen de 2, ...y 2 es la imagen de n. De este
punto de vista, una permutación es una aplicación biyectiva de [1,n] hacia [1,n]. Es biyectiva porque a
cada posición anterior de un objeto corresponde una única posición actual.
Una permutación de orden n es una biyección de [1,n]
Se llama grupo simétrico de orden n al conjunto de todas las permutaciones de orden n.
Este conjunto forma un grupo con la ley de composición de las funciones, y tiene un alto grado de
simetría.

18. Sea σ una permutación. Para definir σ se puede escribir σ(1)=..., σ(2)=... hasta σ(n)=... lo que no resulta
muy económico porque se repiten así n veces la letra σ y se escriben 2n paréntesis. Existen varias
maneras de ahorrar esfuerzos y tinta...
La primera idea es escribir σ bajo forma de una matriz, con en primera línea loa antecedentes, y en
segunda línea las imágenes correspondientes.
En esta grafica aperecen varios subgrafos disjuntos, lo que incita a
separarlos:
Escrito así, se puede ver que la σ se descompone en
ciclos, de orden 4,3 y 1 respectivamente. El de orden 1 no
merece realmente el nombre de ciclo. Se nota asíla
descomposición: σ = (1 3 6 2) º (4 7 8), el símbolo º
designa la composición de las funciones. Un ciclo deja fijo
todos los puntos que no figuran el él.
Una representación más llamativa es la que
emplea los graficas orientadas:

19. Para componer permutaciones, la representación más idónea es la que sigue:
si y