Aplicaciones Fourier

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Aplicaciones Fourier

  1. 1. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA - SEÑALES Y SISTEMAS - LABORATORIO 3. 1 Laboratorio de Sistemas y Señales: Aplicaciones de Fourier (Mayo 2008) Luis Felipe De La Hoz Cubas, María Ilse Dovale Pérez y Michael Forero Naizir Abstract— En el presente trabajo se busca aterrizar los concep- Inicialmente se realizó un ltro a través del comando Fir1, tos vistos en clase de las temáticas de las aplicaciones que tiene la para esto se escogió el ltro pasa bajas con la función quot;lowquot;. transformada de Fourier, como los ltros, los cuales se modelan a En este programa se de nió a criterio los siguientes parámetros continuación; además de esto se tiene como objetivo corroborar de una manera grá ca, por medio del software MatLab R las tal como se pedía: aplicaciones del tema mencionado anteriormente. ORDEN DE FILTRO: El orden del ltro permite que el ltro sea más e caz, ya que permite pasar la señal de una I. INTRODUCCION forma mas selectiva, veamos a continuación que sucede con diversos orden de ltro y como cambia la grá ca: A Lo largo de esta actividad es importante que se tengan claros los conceptos del tema de ltros y todas las clases de estos de acuerdo a sus aplicaciones, esto se necesita para Con una orden de ltro de 10 la señal no se ve tan selectiva y puede dejar pasar partes de la señal que no nos interesan, cabe resaltar que la frecuencia de corte se mantuvo en 0.5 poder modelar un programa en el Software MatLab haciendo y la ventana utilizada fue la número1, la cual veremos más uso de comandos que son importantes a la hora de gra car los adelante. ltros que se estudiaron previamente, como es convencional se utilizó el menú ayuda, el cual es una de las herramientas más completas y poderosas del programa usado para llevar a cabo el objetivo principal mencionado anteriormente. Antes de comenzar la descrición del programa de las apli- caciones al análisis de Fourier cabe señalar que el programa consta de dos incisos, en las cuales se desarrollan los objetivos propuestos. El primer inciso es Diseñar un ltro con la función Fir1 y el segundo es el Diseño de un Filtro Elíptico, para escoger estos, solo basta con hacer clic en la opcion deseada como se muestra a continuación, más adelante veamos como funciona cada programa por separado. Fig2: Orden de ltro = 10 Con una orden de ltro de 100 la señal se vuelve un poco más e caz, pero aun su pendiente no es in nita, y esto permite que partes de la señal que no nos interesan se intruduzcan. Fig1. Ventana principal donde se escoge el programa deseado. II. OBSERVACIÓN Y RECONOCIMIENTO DE Fig3: Orden de ltro = 100 PARÁMETROS Finalmente con una orden de ltro igual a 1000 la pendiente
  2. 2. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA - SEÑALES Y SISTEMAS - LABORATORIO 3. 2 se hace in nita lo cual hace al ltro muy e caz seleccionando VENTANA: Tal como se especi caba se podian usar difer- la parte de la señal que nos interesa de una forma muy segura: entes comandos para la ventana, esto es para ver la señal de diferentes formas, en este caso se usó 4 ventanas, con los siguientes comandos, veamos cada una y explicando cada comando, teniendo en cuenta que el orden de ltro se mantiene en 1000 y la frencuencia de corte en 0.5 En la Ventana 1 se usó la función quot;hammingquot; la cual devuelve un punto n-simétrico, n debe ser un entero positivo. Los coe cientes de una ventana de Hamming se calculan de la siguiente ecuación: w[k + 1] = 0:54 0:46 cos(2 n k 1 ); donde k = 0; 1; 2; :::; n 1: Esta grá ca se puede observar en la gura número 4 (Fig4). En la Ventana 2 se usó la función quot;rectwinquot; su nombre se debe a quot;Rectangular windowquot;, esta función devuelve una ventana rectangular de longitud n en la columna vector w. Esta Fig4: Orden de ltro = 1000 función está prevista la exhaustividad; una ventana rectangular no es equivalente a ninguna ventana. El algoritmo utilizado por esta función es quot;w = ones(n,1)quot;. FRECUENCIA DE CORTE: Es el segundo parámetro a La gura a continuación muestra la grá ca con la función tener en cuenta para la creación de un ltro muy e caz, la quot;rectwinquot;. frecuencia de corte indica en que parte la señal se va a cortar para seleccionar lo que interesa; teniendo una orden de ltro de 1000 que como vimos es muy e caz, y siguiendo en la ventana 1 veamos diferentes frecuencias de corte (FC): Primero con una FC=0.1 Fig7: Ventana con función quot;rectwinquot; En la Ventana 3 se usó la función quot;bartlettquot; la cual es muy similar a una ventana triangular, tal y como lo devuelve por la Fig5: Frecuecia de corte de 0.1 función quot;triangquot;. La ventana de Bartlett siempre termina con ceros a las muestras 1 y n, sin embargo, mientras la ventana triangular es nonzero a esos puntos. Para n impar, el centro Podemos ver una FC = 0.5 en la gura número 4 (Fig4). n-2 puntos de Bartlett (n) son equivalentes a triang (n-2) Ahora veamos la grá ca con una FC = 0.9 La gura a continuación muestra la grá ca con la función quot;bartlettquot;. Fig6: Frecuencia de corte de 0.9 Fig8: Ventana con función quot;bartlettquot;
  3. 3. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA - SEÑALES Y SISTEMAS - LABORATORIO 3. 3 En la Ventana 4 se usó la función quot;blackmanquot; la cual N = 12; % Orden devuelve el n-simétrico punto Blackman en el vector columna w, donde n es un entero positivo, las ventanas blackman Fpass1 = 0.3; % Primera Frecuencia de corte tienen la parte central ligeramente más ancha y menos lóbulos laterales, además las fugas de longitud son equivalentes a Fpass2 = 0.4; % Segunda Frecuencia de Corte Hamming, Hann y otras ventanas. La ecuación utilizada por Matlab para calcular los coe cientes de la ventana blackman Apass = 1; % Ganacia de la banda de rechazo (dB) Entre es: w[k + 1] = 0:42 0:5 cos(2 n k 1 ) + 0:08 cos(4 n k 1 ) 0.99 y 1.01 La gura a continuación muestra la grá ca con la función quot;blackmanquot; . Astop = 100; % Atenuación Banda de paso (dB) (1/Gana- cia de Banda de paso) % Construir ltro eliptico con ELLIP . h = fdesign.bandpass('N,Fp1,Fp2,Ast1,Ap,Ast2', N, Fpass1, Fpass2, Astop, Apass, Astop); Hd = design(h, 'ellip'); fvtool(Hd) La imagen del diseño es la siguiente: Fig9: Ventana con función quot;blackmanquot; Finalmente cabe señalar que todas las funciones fueron gra cadas con la función quot;fvtoolquot; de matlab. III. DISEÑO DE UN FILTRO ELIPTICO Un ltro eliptico o Filtro de Cauer es un tipo de ltro Fig10: Filtro elíptico con parámetros indicados. eléctrico. Están diseñados de manera que consiguen estrechar la zona de transición entre bandas y, además, acotando el rizado en esas bandas. Estos ltros suelen ser más e cientes debido a que al minimizar la zona de transición, ante unas mismas restricciones consiguen un menor orden. Por contra IV. CONCLUSIONES son los que presentan una fase menos lineal. Al realizar el ltro paso bajo con una frecuencia de corte Para el diseño de un ltro elíptico paso banda, de orden 12 de 0.5 Hz, de orden 1000 y con diversas ventanas(hamming, se necesita el comando quot;ellipquot;, cuya respuesta en frecuencia rectwin, bartlett y blackman), se presentó una ganancia en satisface los siguientes requerimientos: la banda de paso de 1, esta ganancia tiende a mantenerse Banda de paso entre frecuencias de 0.3 y 0.4 constante, a excepciones cuando el orden del ltro es muy Ganancia de banda de paso entre= 0.99 1.01. bajo como en la Fig2. Ganancia de la banda de rechazo= 0.01. La banda de Cabe resaltar que las funciones mencionadas anteriormente rechazo, por ser un ltro paso banda debe estar comprendida se denominan funciones quot;ventanaquot;, las cuales se usan para por dos regiones: obtener un tramo especí co de señal en la transformada de 1. w 0:29 Fourier en quot;tiempo cortoquot; (STFT). Se trata de una trans- 2. 0:41 w formada de Fourier que se calcula por tramo de señal, de La función quot;ellipquot; diseña ltros elipticos digitales utilizando manera que hace posible conocer la variación de su contenido las especi caciones en el diseño de un ltro de objeto. frecuencial en función del tiempo. Cada ventana tiene sus El algoritmo utilizado para este diseño fue: propiedades, ventajas y desventajas. Mientras el orden del ltro se mantuvo pequeño la banda de function pushbutton5_Callback(hObject, eventdata, handles) transicion ocupaba más espacio, lo cual hace al ltro menos e caz, por ejemplo en la Fig2, la frecuencia de corte era de 0.5, % Diseñar un Filtro Eliptico con la funcion ellip más sin embargo la banda de transición se encontraba desde
  4. 4. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA - SEÑALES Y SISTEMAS - LABORATORIO 3. 4 0.3 hasta 0.87 aproximadamente lo cual no es muy bueno si se desea captar una señal de forma exacta, para mejorar esto se aumenta el orden de ltro hasta por ejemplo 1000 como muestra la gura 4 (Fig4), allí vemos como la banda de transición es muy selectiva y exacta lo cual es muy bueno para el objetivo que se desea. Ahora tomando como referencia la gura 4, vemos que el ancho de la banda de ltro es desde 0 hasta 0.5 lo cual es bastante bueno porque la frecuencia de corte elegida es 0.5, esto hace al ltro muy efectivo ya que proporciona los valores pedidos inicialmente, pero si vemos en caso contrario de nuevo la gura 2 vemos que la banda de ltro o banda de paso comienza desde 0 pero termina en 0.3 donde comienza a descender lo cual se puede considerar ya como banda de transición, entonces este ltro no es tan bueno como el mencionado anteriormente. Por último podemos ver diferentes rizados en la banda de atenuación que llevan parte de la señal, pero cabe recordar que el 90% - 95% aprox, de la señal se encuentra en la banda de paso, esto sucede casi en todos los casos, excepto cuando se utilizo la función bartlett, la cual se mantuvo con un comportamiento bastante uniforme en su diseño. V. BIBLIOGRAFIA [1]. OPPENHEIM & WILSKY, Señales y Sistemas, II Edición. [2]. GARCIA, De Jalon, Javier & RODRIGUEZ, Jose Ignacio; quot;Aprenda MatLab como si estuviera en primeroquot;. [3]. FORMATO IEEE, LaTex. (Scienti c Work Place)

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