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1. 1. 國立中山大學機械與機電工程研究所 碩士論文 指導教授：蔡穎堅 題目：曲齒聯軸器齒形創成之研究A Study on the Generating of Tooth Profiles of Curvic Couplings 研究生：黃佳凰 撰 中華民國九十一年六月 I 國立中山大學機械與機電工程學系
2. 2. 摘要 曲齒聯軸器目前已經廣泛的應用在工業界，其生產設備大部分是利用美國格里森公司(Gleason Works Co.)所發展的 Gleason No.120 型專用磨床機。所以為了要提高國內生產曲齒聯軸器的設計及製造之自主能力，本研究發展出另一種曲齒聯軸器齒形製造方式。 本研究為了探討該齒形之幾何形狀特性。首先，利用空間座標轉換矩陣理論，配合磨輪加工路徑與刀具之位置關係，推導出製造曲齒聯軸器之刀具輪廓方程式，再根據創成刀具之運動軌跡方程式，配合刀具與工件之嚙合方程式，求出刀具創成出齒形之包絡面，也就是曲齒聯軸器之幾何數學模式。最後，依據推導的齒面數學模式，建構實體模與使用 Gleason No.120 型專用磨床機加工方式的齒形作比較，並針對其中加工參數的變化建構圖表，分析其齒面性質，以作為後續依不同應用場合選擇適當設計參數之研究基礎。 I 國立中山大學機械與機電工程學系
3. 3. Abstract Curvic couplings have been widely applied to various industrial applications.Presently the Gleason No.120 special grinding machine developed by GleasonWorks Co. is one of the commonly used machine tool for the curvic couplingmanufacturing. On the other hand, in response to the issue of improving thedomestic design and manufacturing ability, an alternative manufacturing method ofcurvic coupling is introduced in this study. In this study the geometrical characteristics of the novel gear profile areinvestigated. Firstly, applying the spatial transformation matrix theorem to therelationship between the cutting tool path and the cutting tool position, the cuttingtool profile equation of curvic coupling is successfully derived. Secondly, themathematical model of the envelope surface of the generating tool, or generallybeing called the gear surface, is constructed based on the trajectory equation of thegenerating tool motion and the tool-workpiece meshing equation. Finally, the solidmodel is established based on the obtained mathematical model, and thecomparison works with the conventional curvic coupling are also carried out. Theanalysis of gear surface is graphically depicted with respect to the variousmachining parameters. It is believed that this thesis provides a useful tool for thefollowing studies of curvic couplings for the different demand of application fields. II 國立中山大學機械與機電工程學系
4. 4. 目錄摘要 ...................................................................................................................IAbstract.............................................................................................................II目錄 ................................................................................................................ III圖目錄.............................................................................................................. V表目錄...........................................................................................................VIII符號說明......................................................................................................... IX第一章 緒論 ..................................................................................................... 1 1-1 研究背景及目的 ..............................................................................................................1 1-2 文獻回顧 ..........................................................................................................................2 1-3 論文組織與章節 ..............................................................................................................4第二章 創成曲齒聯軸器之刀具數學模式 ........................................................ 5 2-1 聯軸器種類 ......................................................................................................................5 2-2 曲齒聯軸器簡介 ..............................................................................................................6 2-3 格里森曲齒聯軸器加工方式 ..........................................................................................7 2-4 研究流程 ..........................................................................................................................9 2-5 本文發展的曲齒聯軸齒形製造方式 ............................................................................10 2-5-1 創成刀具之數學模式 ...................................................................................13 2-5-2 刀具之實體模型建構及刀具設計探討 .......................................................22第三章 曲齒聯軸器之齒面數學模式.............................................................. 25 3-1 包絡理論 ........................................................................................................................25 3-2 嚙合方程式 ....................................................................................................................27 3-2-1 刀具曲面之法向量 .......................................................................................29 3-2-2 相對速度 .......................................................................................................32 3-2-3 嚙合方程式 ...................................................................................................36 3-3 刀具軌跡方程式 ............................................................................................................37 3-4 曲齒聯軸器之數學模式 ................................................................................................42第四章 曲齒聯軸器之實體建構及探討.......................................................... 44 4-1 齒面建構 ........................................................................................................................44 4-2 本文製造方式與格里森製造方式的曲齒聯軸器齒形之比較 ....................................48 4-2-1 齒形之比較 ...................................................................................................48 4-2-2 齒形加工量 ...................................................................................................54 4-2-3 齒形邊緣分析 ...............................................................................................64 4-2-4 應用 ...............................................................................................................71第五章 結論與建議........................................................................................ 72參考文獻......................................................................................................... 74 III 國立中山大學機械與機電工程學系
5. 5. 附錄 A 擺線軌跡方程式................................................................................. 77附錄 B 曲齒聯軸器之齒面方程式.................................................................. 87 IV 國立中山大學機械與機電工程學系
6. 6. 圖目錄圖 2.1 曲齒聯軸器 (SUDA International Gear Works Co. ) .................................................6圖 2.2 曲齒聯軸器之凸齒盤及凹齒盤 .................................................................................7圖 2.3 Gleason Works Co. No.120 .........................................................................................7圖 2.4 格里森曲齒聯軸器之磨輪外形輪廓 .........................................................................8圖 2.5 格里森曲齒聯軸器加工示意圖 .................................................................................8圖 2.6 本研究之工作流程圖 ...............................................................................................10圖 2.7 本文加工曲齒聯軸器程序一之示意圖 ...................................................................11圖 2.8 本文加工曲齒聯軸器程序二之示意圖 ...................................................................11圖 2.9 本文加工曲齒聯軸器凹齒之程序說明 ...................................................................12圖 2.10 建立本文的加工模式之流程圖 ...............................................................................13圖 2.11 推導刀具數學模式之流程圖 ...................................................................................14圖 2.12 本文加工的曲齒聯軸器之磨輪外形輪廓 ...............................................................15圖 2.13 研磨凸齒刀具左右曲面之磨輪與刀具架設示意圖 ...............................................16圖 2.14 磨輪加工凸齒刀具(右側曲面)之座標系統.............................................................17圖 2.15 磨輪加工凸齒刀具(左側曲面)之座標系統.............................................................17圖 2.16 刀具加工工件示意圖，當刀具齒頂為平面時，右圖為刀具之截面放大圖 .......23圖 2.17 刀具加工工件示意圖，刀具齒頂增加傾斜面，右圖為刀具之截面放大圖 .......23圖 2.18 刀具齒胚之立體圖 ...................................................................................................24圖 2.19 凸齒刀具實體模型與待挖除部分 ...........................................................................24圖 2.20 凹齒刀具實體模型與待挖除部分 ...........................................................................24圖 3.1 曲面 Sf 和包絡面Σ相切的特徵線 Lf .....................................................................26圖 3.2 嚙合曲面之關係示意圖 ...........................................................................................28圖 3.3 刀具及工件之運動機構圖 .......................................................................................32圖 3.4 刀具與工件之相對關係 ...........................................................................................34圖 3.5 刀具與工件軸交角為 135 度時之刀具軌跡圖 .......................................................41圖 3.6 刀具與工件軸交角為 160 度時之刀具軌跡圖 .......................................................42圖 4.1 建構曲齒聯軸器齒面數學模式及齒面分析之流程圖 ...........................................45圖 4.2 所產生之座標點數據 ...............................................................................................46圖 4.3 凸齒曲齒聯軸器實體模型(磨輪對刀具之偏擺度 δ 為 20o )...................................47圖 4.4 凹齒曲齒聯軸器實體模型(磨輪對刀具之偏擺度 δ 為 25o )...................................47圖 4.5 格里森加工與本文加工的凹齒曲齒聯軸器之比較圖 ...........................................49圖 4.6 格里森加工與本文加工的凸齒曲齒聯軸器之比較圖 ...........................................49圖 4.7 格里森加工與本文加工的凹齒曲齒聯軸器之比較圖 ...........................................50 V 國立中山大學機械與機電工程學系
7. 7. 圖 4.8 格里森加工與本文加工的凹齒曲齒聯軸器之比較圖 ...........................................51圖 4.9 格里森加工與本文加工的凸齒曲齒聯軸器之比較圖 ...........................................52圖 4.10 格里森加工與本文加工的凸齒曲齒聯軸器之比較圖 ...........................................53圖 4.11 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 4mm 時之齒形加工量 .................................................55圖 4.12 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 3.5mm 時之齒形加工量 ..............................................56圖 4.13 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 3mm 時之齒形加工量 .................................................56圖 4.14 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 2.5mm 時之齒形加工量 ..............................................57圖 4.15 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 2mm 時之齒形加工量 .................................................57圖 4.16 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 1.5mm 時之齒形加工量 ..............................................58圖 4.17 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 1mm 時之齒形加工量 .................................................58圖 4.18 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 0.5mm 時之齒形加工量 ..............................................59圖 4.19 曲齒聯軸器凹齒，在齒高 0mm 時之齒形加工量 .................................................59圖 4.20 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 4mm 時之齒形加工量 .................................................60圖 4.21 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 3.5mm 時之齒形加工量 ..............................................60圖 4.22 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 3mm 時之齒形加工量 .................................................61圖 4.23 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 2.5mm 時之齒形加工量 ..............................................61圖 4.24 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 2mm 時之齒形加工量 .................................................62圖 4.25 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 1.5mm 時之齒形加工量 ..............................................62圖 4.26 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 1mm 時之齒形加工量 .................................................63圖 4.27 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 0.5mm 時之齒形加工量 ..............................................63圖 4.28 曲齒聯軸器凸齒，在齒高 0mm 時之齒形加工量 .................................................64圖 4.29 格里森加工與本文加工凹齒曲齒聯軸器齒頂部分之位置圖 ...............................65圖 4.30 格里森加工與本文加工凹齒曲齒聯軸器齒外緣部分位置圖 ...............................65圖 4.31 格里森加工與本文加工凹齒曲齒聯軸器齒內緣部分位置圖 ...............................65圖 4.32 格里森加工與本文加工凹齒曲齒聯軸器齒頂部分之比較圖 ...............................66圖 4.33 格里森加工與本文加工凹齒曲齒聯軸器齒外緣部分比較圖 ...............................67圖 4.34 格里森加工與本文加工凹齒曲齒聯軸器齒內緣部分比較圖 ...............................68圖 4.35 曲齒聯軸器凹齒，在齒外緣部分之齒形加工量 ...................................................69圖 4.36 曲齒聯軸器凹齒，在齒內緣部分之齒形加工量 ...................................................69圖 4.37 曲齒聯軸器凸齒，在齒外緣部分之齒形加工量 ...................................................70圖 4.38 曲齒聯軸器凸齒，在齒內緣部分之齒形加工量 ...................................................70圖 A.1 內擺線曲線及內次擺線座標圖 ................................................................................79圖 A.2 外擺線曲線及外次擺線座標圖 ................................................................................80圖 A.3 內擺線軌跡圖，( R : r : d 0 : d 1 = 6 : 2 : 4 : 1 )..............................................................83圖 A.4 外擺線軌跡圖，( R : r : d 0 : d 1 = 6 : 2 : 4 : 1 )..............................................................84圖 A.5 外擺線及內擺線綜合軌跡圖(圖 3.9 及 3.10 合成 R : r : d 0 : d 1 = 6 : 2 : 4 : 1 )..........84圖 A.6 外擺線軌跡圖之心臟線( R : r : d 0 : d1 = 3 : 3 : 4 : 2 ) .................................................85圖 A.7 外擺線軌跡圖之腎臟線( R : r : d 0 : d1 = 10 : 5 : 13 : 3 ) ..............................................85 VI 國立中山大學機械與機電工程學系
8. 8. 圖 A.8 外擺線軌跡圖( R : r : d 0 : d1 = 7 : 4 : 6 : 3 ) .................................................................86圖 A.9 內擺線軌跡圖( R : r : d 0 : d1 = 7 : 4 : 6 : 3 ) .................................................................86 VII 國立中山大學機械與機電工程學系
9. 9. 表目錄表 2.1 以磨輪創成出刀具之座標系統定義 .........................................................................14表 2.2 本文加工中刀具及齒胚的座標系統之參數描述 .....................................................15表 4.1 曲齒聯軸器之設計參數表 .........................................................................................46 VIII 國立中山大學機械與機電工程學系
10. 10. 符號說明Ao 齒盤外徑Ai 齒盤內徑h 磨輪加工進刀深度v v vi , j,k 卡迪遜座標系統 x 方向，y 方向、z 方向的單位向量rNG 刀具曲面的法向量v ccN Gl 凹齒刀具左側曲面之法向量v ccN Gr 凹齒刀具右側曲面之法向量vN cv Gl 凸齒刀具左側曲面之法向量v cvN Gr 凸齒刀具右側曲面之法向量rcv 磨輪內半徑rcc 磨輪外半徑R3 刀具與工件之中心距R1cc l 凹齒刀具在 S1 座標系之左側曲面方程式R cc 1r 凹齒刀具在 S1 座標系之右側曲面方程式R cv 1l 凸齒刀具在 S1 座標系之左側曲面方程式R cv 1r 凸齒刀具在 S1 座標系之右側曲面方程式RC 刀具軌跡方程式之通式rC epi 外擺線軌跡方程式rC epitrochoi d 外次擺線軌跡方程式rChypo 內擺線軌跡方程式rC trochoid 內次擺線軌跡方程式 ccRGl 凹齒刀具在 SG 座標系之左側曲面方程式 ccRGr 凹齒刀具在 SG 座標系之右側曲面方程式 cvRGl 凸齒刀具在 SG 座標系之左側曲面方程式 cvRGr 凸齒刀具在 SG 座標系之右側曲面方程式Rtcc 研磨凹齒刀具之磨輪外廓參數描述式Rtcv 研磨凸齒刀具之磨輪外廓參數描述式S1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) 刀具固定座標系統S 4 ( X 4 , Y4 , Z 4 ) 曲齒聯軸器齒廓固定座標系統SC ( X C , YC , Z C ) 曲齒聯軸器齒廓動座標系統SG ( X G , YG , Z G ) 刀具齒廓座標系統 IX 國立中山大學機械與機電工程學系
11. 11. S m ( X m , Ym , Z m ) 輔助座標系統St (X t , Yt , Z t ) 磨輪外廓與刀具齒盤相切之運動狀態的動座標系統。S w (X w , Yw , Z w ) 磨輪中心之固定座標系統。t 沿磨輪外廓方向之參數 vV (12) 刀具及曲齒聯軸器曲面的相對速度Xd 磨輪與刀具之中心距Z d1 , Z d 2 分別為刀具與工件兩軸軸心到兩軸相交的距離α 磨輪外廓之壓力角β 刀具與工件旋轉軸之夾角δ 磨輪對刀具之偏擺角度θ 描述磨輪旋轉運動之參數λ1 刀具相對於 S1 固定座標系的旋轉角度λ2 工件相對於 S 4 固定座標系的旋轉角度ϖ1 刀具相對於自身旋轉軸的角速度ϖ2 工件相對於自身旋轉軸的角速度η 描述磨輪架設軸與磨輪和刀具連心線之夾角 X 國立中山大學機械與機電工程學系
12. 12. 第一章 緒論1-1 研究背景及目的 曲齒聯軸器原來用於高工作溫度中連續運轉、高轉速、高負載運轉能保持轉動組的平衡之聯軸器使用，大量應用在航空渦輪引擎的主軸之聯結。由於其特殊之幾何齒形，具有高剛性、定位精度佳、自動對心、磨合後提高定位精度及易於開合等特性，所以被發展其他之用途，例如分度定位機構。 國內產業所製造用於旋轉定位台之齒式聯軸器，大部分以直齒聯軸器為主，而國內擁有製造曲齒聯軸器設備及技術能力的廠商僅有航空工業的漢翔公司岡山發動機製造廠。國內對於曲齒聯軸器的需求還是必須仰賴國外進口。而生產曲齒聯軸器設備是由美國的格里森公司(Gleason Works Co.)於1976 年所發展出 Gleason No.120 型專用磨床機，其加工原理為利用成型研磨的方式來研磨加工齒胚。 為了要提高國內生產曲齒聯軸器的自主能力，因此，本研究發展出另一種曲齒聯軸器齒形製造方式，探討該齒形之幾何形狀，並與使用 GleasonNo.120 型專用磨床機加工方式的齒形作比較，期望國內能自行發展出曲齒聯軸器之製造能力。 1 國立中山大學機械與機電工程學系
13. 13. 1-2 文獻回顧 曲齒聯軸器是由美商格里森公司所研發出來，最初用於渦輪引擎主軸之聯結傳動。格里森公司與蓋瑞特渦輪引擎公司(Garrett Turbine EngineCo.)[1973、1979、1982、1995]分別提出了曲齒聯軸器設計、齒形參數設定、相關製造組裝程序以及量測之相關技術書面報告。而有關曲齒聯軸器在國外的應用研究，Davidson 與 Wilcox[1976]提出曲齒聯軸器裝配於渦輪機轉子上最佳組裝方法，此種裝配方法可允許各級轉子在製造時有徑向或軸向上的尺寸誤差。Demin[1978]介紹剛性型、部份剛性型及過載型三種常見聯軸器種類特性及應用。Bannister[1980]對於凸緣型或曲齒型聯軸器利用有限元素分析其應力，並繪製可提供設計者使用的等效彎曲強度設計圖表。Hazem、Tsutsumi 和 Ito[1985]等研究者針對曲齒聯軸器應用於刀具轉塔頭端之靜態特性作探討，分析曲齒聯軸器受力後的結構、剛性力以及在靜態強度上外作用力的大小與方向。Pisani 及 Rencis[1993]利用二維與三維邊界元素法與有限元素法分析曲齒聯軸器應用於飛機引擎連結轉子時所承受旋轉扭矩時之應力情形。尹澤勇、歐圓霞及李彥[1993、1994]等研究者考慮曲齒聯軸器端齒軸段與整體軸段間的剛度差異，並分析在不同的軸向受力及軸向預應力的情形下之動態特性。Mueller、Wiener 與 Dutschk[2000]把曲齒聯軸器當成環形蝸線斜齒輪 pitch angle 在 90 度時的一個特例，利用工件和刀具之間相對運動的數學描述，設計了一套模組工具，計算曲齒聯軸器齒形參數及負載能力，並利用有限元素或邊界元素法修改齒腹外形，使得運動達到最佳化。Richardson、Hyde 與 Becker[2000]等研究者利用三維有限元素法研究曲齒聯軸器使用於飛機引擎上扭矩負載之情形，提供改善曲齒聯軸器之設計參考。 國內對於曲齒聯軸器應用於旋轉定位台之研究，邱垂元[1996]介紹分度與旋轉機構的種類及功能。張志文及羅豐祥[1996]介紹 NC 旋轉工作台迴轉 2 國立中山大學機械與機電工程學系
14. 14. 精度之檢測技術。蔡穎堅及江樹勳[1998]介紹曲齒聯軸器齒形設計參數，並藉由曲面相交理論建立齒接觸印痕數學模式，建立電腦輔助設計和接觸模式分析軟體。蔡穎堅及沈大維[1999]利用曲齒聯軸器齒面之曲面幾何性質，推導其接觸位置以及齒印型態，並利用有限元素電腦輔助分析軟體及赫茲應力之結果，修正齒面接觸應力方程式，同時建立三片式曲齒聯軸器之誤差分析模式，分別討論個別誤差對曲齒聯軸器定位性能之影響。蔡穎堅及林政達[2000]探討曲齒聯軸器加工所造成的誤差以及分度時的定位精度，藉由曲齒聯軸器研磨的製造過程，推導齒形在各種個別誤差下的數學模式，並以實例研究在加工誤差下探討個別誤差所產生的影響。 在 齒 輪 創 成 的 研 究 方 面 ， Litvin[1989] 提 出 齒 輪 創 成 理 論 (ToothGeneration Theory)，利用創成法(Generation Method)來推導齒輪之幾何數學模式，其中的嚙合方程式(Equation of Meshing)是齒輪原理中重要的理論之一。蔡忠杓及鄭鈞文[1993]配合車刀幾何設計參數，推導出蝸桿外形的數學模式，再根據蝸桿和蝸輪嚙合時的共軛運動，進而求得 E 型蝸桿蝸輪之數學模式。蔡忠杓及張信良[1997]對於非圓形齒輪之創成，利用刨齒刀所切製出之非圓形齒輪的齒形及其數學模式。蔡忠杓及廖上平[1998]以齒條刀創成方式推導 Helipoid(交錯軸)齒輪之齒形數學模式，再依據所推導的 Helipoid齒輪齒面方程式，分析其運動誤差特性。而在包絡法應用方面，Litvin 及Krylov[1975]以包絡法設計具雙參數變化之齒輪曲面。Tsay 與 Hwang[1994]利用包絡法推導出三維凸輪的輪廓曲面。 Yan 及 Cheng[1996]利用螺旋理論，根據曲面和其在空間運動所形成的包絡面之間的嚙合關係，推導三桿及四桿之空間凸輪曲面。 3 國立中山大學機械與機電工程學系
15. 15. 1-3 論文組織與章節 在本研究中，應用共軛嚙合原理 [Litvin,1994]，座標矩陣轉換觀念[Denavit,1955]，以及微分幾何學[Spivak,1979]等理論，推導曲齒聯軸器之齒面數學模式，以進行齒面性質分析之研究。 本文共分為五章，第一章為緒論，說明本文之研究背景與研究目的，接著介紹文獻回顧，說明在相關領域先進學者們所提出之研究成果，最後對於本論文之組織章節做說明。 第二章首先介紹聯軸器的種類以及對於聯軸器應用功能做區分，接著介紹格里森製造曲齒聯軸器之加工方式，之後介紹本研究所發展的曲齒聯軸器製造加工方式，並建構出加工曲齒聯軸器之刀具輪廓方程式，最後針對刀具設計做探討。 第三章利用創成刀具之運動軌跡方程式，配合刀具與曲齒聯軸器之嚙合原理，描述本文加工的曲齒聯軸器齒面數學模式之推導過程。 第四章利用第三章所推導的齒面數學模式，建構本文加工的曲齒聯軸器之實體模型，並針對其中參數的變化分析其齒面性質，與格里森加工方式之齒形作比較，最後針對其應用方面作探討。 第五章討論本文之研究結果與建議。 4 國立中山大學機械與機電工程學系
16. 16. 第二章 創成曲齒聯軸器之刀具數學模式 本文發展的曲齒聯軸器齒形製造方式其構想為基於曲齒聯軸器越磨合精度越高之特性，且為了達到快速磨合的效果，本文加工的方式其刀具及工件機構模式為交叉軸型式之關係，係利用刀具及齒胚之中心軸偏擺個角度來加工。2-1 聯軸器種類 受到材料、製造及運轉等限制，所以將軸分段製造，再利用聯軸器連接成為一體，當其間的連接裝置為永久性的連接時，稱之為聯軸器(Coupling)，而離合器則視需要隨時可分離或連接；聯軸器連接主動軸和從動軸使其共同運轉，以傳遞運動和扭矩，在高速重載的動力傳動中，有些聯軸器還有緩衝、減振等作用。 聯軸器依其功能可分為剛性聯軸器 (Rigid Coupling)、 撓 性 聯 軸 器(Flexible Coupling)及彈性聯軸器(Elastic Coupling)三種，其說明如下： 1. 剛性聯軸器：只適用於連接同心軸，不能有角度的偏差者。例如： 套筒聯軸器(Sleeve Coupling)、凸緣聯軸器(Flange Coupling)等。 2. 撓性聯軸器：或稱剛性可移式聯軸器，適用於兩軸中心線不在同 一直線上，或允許兩軸有少量的軸向偏差、角度偏差及軸端偏差， 可防止歪斜及振 動產生。例如：齒輪聯軸器(Gear Coupling)、萬 向聯軸器、鏈條聯軸器(Chain Coupling)等。 5 國立中山大學機械與機電工程學系
17. 17. 3. 彈性聯軸器：除了靠彈性元件的彈性變形來補償兩軸軸線的相對 位移外﹐還具有緩衝、減振性能等功能。 曲齒聯軸器如圖(2.1)所示，依其應用場合可歸類為剛性聯軸器和撓性聯軸器兩種，例如用在分度定位之刀具轉塔機構為剛性聯軸器，而應用在可容許軸偏差者為撓性聯軸器[Demin,1978]。可依其應用場合、功能需求來選定其類型。 圖 2.1 曲 齒 聯 軸 器 (SUDA International Gear Works Co. )2-2 曲齒聯軸器簡介 曲齒聯軸器係因為高工作溫度、高 轉速的航空渦輪引擎傳動的需要而被發展出來的產品。主要用途為組裝及固定聯結渦輪引擎之轉子，為了符合傳動需要，其產品擁有高精度、高負載等特性。 曲齒聯軸器由凹齒盤(Concave Member)及凸齒盤(Convex Member)所組成，見圖(2.2)，藉由兩端面之凹齒及凸齒的弧度齒形互相嚙合，來產生軸與軸之間的動力傳遞與運動。由於其特殊之幾何齒形，靠圓周分布的多齒嚙合定位，有將誤差平均化的作用，所以定位精度高，而且無論是受徑向力、軸向力以及切向力，都擁有高的定位剛性，再加上還有自動對心以及磨合後可提高定位精度的特性，近年來被應用在高精度定位分度機構上，如工作母 6 國立中山大學機械與機電工程學系
18. 18. 機、自動化設備及生產線傳送設備等。 圖 2.2 曲齒聯軸器之凸齒盤及凹齒盤2-3 格里森曲齒聯軸器加工方式 格里森曲齒聯軸器加工係利用美國的 Gleason 公司於 1976 年所發展出Gleason No.120 型專用磨床機加工而成，如圖(2.3)所示。其加工原理為利用成型研磨的方式來研磨加工齒胚到所需的齒面形狀。 圖 2.3 Gleason Works Co. No.120 7 國立中山大學機械與機電工程學系
19. 19. 曲齒聯軸器之凹齒及凸齒齒盤的加工皆是由斷面為直線型的成型磨輪所研磨而成，凹齒及凸齒加工的不同點在於利用磨輪不同的外形研磨面來加工而成，其中凹齒齒盤是利用磨輪外緣為加工面加工而成，而凸齒齒盤為利用磨輪內緣為加工面加工而成，如圖(2.4)所示。 凸齒及凹齒研磨過程皆是由磨輪負責上下研磨的動作，再由圓盤齒胚負責作分度旋轉動作，而齒盤每次旋轉的角度為 360°/N(其中 N 為齒數)，每次旋轉後可同時加工兩個齒面，所以當齒盤旋轉一週便完成了曲齒聯軸器的加工。其加工示意圖如圖(2.5)所示。同一組齒盤具有相同之內外徑、齒數及壓力角等參數。 w w rcc rcv h h 研磨面 研磨面 (a)研磨凹齒之磨輪半剖面 (b)研磨凸齒之磨輪半剖面 圖 2.4 格里森曲齒聯軸器之磨輪外形輪廓 Yt Z t Xt Zw Yw r Ot Z Y g g θ Xw Ow Xg h Xd Og 磨輪 曲齒聯軸器 圖 2.5 格里森曲齒聯軸器加工示意圖 8 國立中山大學機械與機電工程學系
20. 20. 2-4 研究流程 本研究的工作流程可分為下列四大步驟： 一、 建立本文發展的曲齒聯軸器加工模式，磨輪與刀具、刀具與曲齒 聯軸器工件之機構模式 並撰寫 AutoLISP 程式模擬刀具加工齒胚 ， 之動作，以 AutoCad 檢驗本文的加工模式之可行性。 二、 建立磨輪及刀具數學模式，並針對刀具設計作探討。 三、 根據刀具之數學模式，推導刀具加工曲齒聯軸器之嚙合方程式以 及刀具軌跡方程式，進而建立曲齒聯軸器齒面數學模式。 四、 曲齒聯軸器實體模型之建構，並針對其中參數的變化分析其齒面 性質，與格里森加工方式之齒形作比較，最後針對其應用方面作 探討。 茲將本研究之工作流程圖表示於圖(2.6)。 9 國立中山大學機械與機電工程學系
21. 21. 建立本文加工模 式中磨輪與刀具 以及刀具與工件 之運動機構模式 建立刀具之 數學模式 建立刀具之實 體模型及探討 刀具之設計 建立本文加工 方式之曲齒聯 軸器數學模式 本文加工的 齒形之分析 及應用探討 圖 2.6 本研究之工作流程圖2-5 本文發展的曲齒聯軸齒形製造方式 本文發展的曲齒聯軸器齒形製造方式其構想為基於曲齒聯軸器越磨合精度越高之特性，且為了達到快速磨合的效果，本文加工方式其刀具及工件機構模式為交叉軸型式之關係，係利用刀具及齒胚之中心軸偏擺個角度來加工。 本文加工方式分為兩道程序：第一道程序為由磨輪加工出曲齒聯軸器之創成刀具。由於磨輪加工刀具時，彼此中心軸有偏個夾角，一次僅能加工一個齒面，所以等刀具齒胚旋轉一圈後僅完成刀具一邊齒面之加工，欲加工刀 10 國立中山大學機械與機電工程學系
22. 22. 具另一邊齒面，其磨輪中心軸必須再偏另一邊角度來加工另一邊刀具齒面，如此刀具才算完成加工，如圖(2.7)。其創成刀具加工方式類似於格里森曲齒聯軸器之加工，但其差別在於格里森加工之磨輪及齒胚之中心軸彼此為平行的，一次就能加工工件左右兩個曲面。而本文加工方式的第二道程序為由刀具加工出工件，也就是曲齒聯軸器，如圖(2.8)。 刀具齒胚 刀具齒胚 磨輪 磨輪 (a)磨輪與刀具中心軸偏角加工一次僅能加工刀具一邊曲面(磨輪左傾) 刀具齒胚 磨輪 (b)磨輪再偏另一角度加工刀具另一邊曲面(磨輪右傾) 圖 2.7 本文加工曲齒聯軸器程序一之示意圖 刀具 工件 圖 2.8 本文加工曲齒聯軸器程序二之示意圖 11 國立中山大學機械與機電工程學系
23. 23. 由於本文發展的曲齒聯軸器加工方式比格里森的加工多一道轉換程序，先由磨輪加工出刀具，再由刀具加工出曲齒聯軸器。所以，本文加工方式與格里森加工方式所使用磨輪的研磨面正好是相反的。而本文加工方式欲加工出成品凸齒必須使用磨輪外緣為加工面，而要得到成品凹齒必須使用磨輪內緣為加工面，與格里森加工方式相反，在圖(2.9)有說明其過程。 刀具 刀具 刀具 (a)程序一：利用磨輪內緣加工出刀具為凸齒 刀具 成品 成品 成品 成品 (b)程序二：利用凸齒刀具加工出成品為凹齒的曲齒聯軸器 圖 2.9 本文加工曲齒聯軸器凹齒之程序說明 本文的加工機構模式建構完成後，撰寫 AutoLISP 程式模擬刀具加工齒胚之動作，以 AutoCad 檢驗齒形之幾何形狀判斷本文的加工模式之可行性，並經過修正後，以得到理想之齒形，圖(2.10)為建立本文的加工模式之流程圖。 12 國立中山大學機械與機電工程學系
24. 24. 建立磨輪與刀具 之機構模式 建立刀具與工件 之機構模式 No 撰寫AutoLISP 程式模擬刀具切 削工件之動作 以AutoCad繪 製齒形以探討機構 模式之可行性 Yes 建立刀具之 數學模式 圖 2.10 建 立 本文的 加工模式之流程圖2-5-1 創成刀具之數學模式 本文加工的刀具之幾何形狀影響著曲齒聯軸器的齒形，而刀具之幾何形狀由磨輪的輪廓來決定 也就是說磨輪外形輪廓會影響曲齒聯軸器的齒形形 ，狀，為了推導刀具數學模式，需先推導磨輪之數學模式。利用齒形創成原理，推導出刀具外形輪廓方程式。首先求得磨輪之數學模式，再將磨輪加工路徑與刀具之位置關係組成座標轉換矩陣，最後利用齊次座標轉換，即可得到刀具座標系統下刀具曲面方程式，圖(2.11)為推導刀具數學模式之流程圖。 13 國立中山大學機械與機電工程學系
25. 25. 建立刀具之 數學模式 No 以Maple檢驗 刀具數學模式之正 確性 Yes 撰寫刀具齒面之 點資料產生程式 利用Pro/E建立 刀具之實體模型 探討刀具之設計 圖 2.11 推導刀具數學模式之流程圖 為了爾後數學推導之方便，針對磨輪、刀具及曲齒聯軸器座標系統之參數及定義做說明，如下表(2.1~2.2)所示：表 2.1 以磨輪創成出刀具之座標系統定義 座標系統 定義 St (X t , Yt , Z t ) 磨輪外廓與刀具齒盤相切之運動狀態的動座標系統 S w (X w , Yw , Z w ) 磨輪中心之固定座標系統 S m ( X m , Ym , Z m ) 輔助座標系統 SG ( X G , YG , Z G ) 刀具齒廓座標系統 14 國立中山大學機械與機電工程學系
26. 26. 表 2.2 本文加工中刀具及齒胚的座標系統之參數描述 參數 定義 α 磨輪外廓之壓力角 t 沿磨輪外廓方向之參數 h 磨輪加工進刀深度 rcv 磨輪內半徑 rcc 磨輪外半徑 θ 描述磨輪旋轉運動之參數 η 描述磨輪架設軸與磨輪和刀具連心線之夾角 δ 磨輪對刀具之偏擺角度 Xd 磨輪與刀具之中心距 w Zt rcv Ot Xt h α 研磨面 u(t) (a)研磨刀具成凸齒之磨輪半剖面 w Zt r cc Ot Xt α h 研磨面 (b)研磨刀具成凹齒之磨輪半剖面 圖 2.12 本文加工的曲齒聯軸器之磨輪外形輪廓 15 國立中山大學機械與機電工程學系
27. 27. 本文加工的磨輪外形如圖(2.12)所示，其磨輪研磨面直線方程式為：(a)凸齒刀具之磨輪研磨面方程式 Xt = − tan aZ (2.1) 利用(2.1)式，令 Z = t ，可得到研磨刀具成凸齒之磨輪外廓參數描述式 Rtcv 為  − (t ) tan α   0  Rtcv =   (2.2)  t     1 (b)凹齒刀具之磨輪研磨面方程式 同理，可得到研磨刀具成凹齒之磨輪外廓參數描述式 Rtcc 為  (t ) tan α   0  Rtcc =   (2.3)  t     1  刀具 →研磨凸齒刀具左 研磨凸齒刀具右← 曲面之磨輪架設 曲面之磨輪架設圖 2.13 研磨凸齒刀具左右曲面之磨輪與刀具架設示意圖 16 國立中山大學機械與機電工程學系
28. 28. 圖 2.14 磨 輪 加 工 凸 齒 刀 具 (右 側 曲 面 )之 座 標 系 統圖 2.15 磨 輪 加 工 凸 齒 刀 具 (左 側 曲 面 )之 座 標 系 統 17 國立中山大學機械與機電工程學系
29. 29. 為了得到凸齒刀具之左右曲面，必須以磨輪內緣來研磨刀具，左右曲面的定義由刀具齒胚中心看研磨齒為左齒或右齒來界定 而凸齒刀具左右曲面 。的產生依其磨輪與刀具之機構擺設不同來加工而成，凸齒刀具右曲面加工之磨輪擺設為繞其軸左傾 δ 角，刀具左曲面加工之磨輪擺設為繞其軸右傾δ角，如圖(2.13)所示。 由磨輪座標系統和刀具座標系統間的相對關係，如圖(2.14)所示為磨輪加工凸齒刀具(右側曲面)之座標系統，利用齊次座標矩陣轉換方式，由磨輪與刀具齒盤相切之動座標系 St ，轉換至磨輪中心之固定座標系統 S w ，再由磨輪中心之固定座標系統 S w ，經由輔助座標系統 S m 轉至刀具齒盤中心之座標系統 SG ，即可求得刀具在齒胚中心之座標系之輪廓方程式如下： (a)凸齒刀具曲面方程式 凸齒刀具在齒胚中心之座標系右側曲面之輪廓方程式 RGr ： cv [R ] cv Gr = [M Gm ][M mw ][M wt ] [R cv ] t (2.4) 其中 rtcv 為磨輪內緣之輪廓方程式以(2.2)式帶入，而轉換矩陣為： cosθ − sin θ 0 rcv cosθ  1 0 0 0  sin θ cosθ 0 rcv sin θ  0 cosδ sin δ 0 [M wt ] =   [M mw ] =    0 0 1 0  0 − sin δ cosδ 0      0 0 0 1  0 0 0 1 1 0 0 − X d cosη 0 1 0 X d sin η  [M Gm ] =   0 0 1 h    0 0 0 1  18 國立中山大學機械與機電工程學系
30. 30. 因此，凸齒刀具在其齒胚中心座標系右側曲面之輪廓方程式 R Gr 為： cv  x G (t ) = (rcv ) cos θ − (t ) cos θ tan α − cosηX d cv  cv (2.5) cv RGr =  y G (t ) = (t ) sin δ + (rcv ) sin θ cos δ − (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d  z cv (t ) = (t ) cos δ + (t ) sin δ sin θ tan α − (r ) sin δ sin θ + h  G cv 同理，圖(2.15)為磨輪加工凸齒刀具(左側曲面)之座標系統，其凸齒刀具左側曲面之輪廓方程式 RGl ： cv[R ] cv Gl = [MGm ][Mmm][Mmw ][M wt ] [R cv ] t (2.6) 其中 Rtcv 為磨輪內緣之輪廓方程式以(2.2)式帶入，而轉換矩陣為： cosθ − sinθ 0 rcv cosθ  1 0 0 0  sin θ cosθ 0 rcv sin θ  0 cosδ − sin δ 0 [M wt ] =   [M m w ] =    0 0 1 0  0 sin δ cosδ 0      0 0 0 1  0 0 0 1  cos 2η sin 2η 0 0 1 0 0 − X d cosη − sin 2η cos 2η 0 0 0 1 0 X d sin η  [M mm ] =   [M Gm ] =    0 0 1 0 0 0 1 h       0 0 0 1 0 0 0 1  因此，凸齒刀具在其齒胚中心座標系左側曲面之輪廓方程式 RGl 為： cv  xG (t ) = (− cos 2η cos θ + sin 2η cos δ sin θ )(rcv − (t ) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cos ηX d cv  cv cv RGl =  y G (t ) = (− sin 2η cos θ + cos 2η cos δ sin θ )(rcv − (t ) tan α ) − (t ) sin δ cos 2η + sin ηX d  zcv (t ) = (t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α + (r ) sin δ sin θ + h  G cv (2.7)(b)凹齒刀具曲面方程式 同理，為了得到凹齒刀具之左右曲面，必須以磨輪外緣來研磨刀具，而凹齒刀具左右曲面的產生依其磨輪與刀具之機構擺設不同加工而 19 國立中山大學機械與機電工程學系
31. 31. 成，其左右曲面的產生之磨輪與刀具擺設方式恰與凸齒刀具磨輪擺設相反。 凹齒刀具在齒胚中心之座標系左側曲面之輪廓方程式 RGl ： cc[R ] cc Gl = [M Gm ][M mw ][M wt ] [R cc ] t (2.8) 其中 Rtcc 為磨輪外緣之輪廓方程式以(2.3)式帶入，而轉換矩陣為： cosθ − sinθ 0 rcv cosθ  1 0 0 0  sin θ 0 cosδ 0 cosθ 0 rcv sin θ  sin δ[M wt ] =   [M mw ] =    0 0 1 0  0 − sin δ cosδ 0      0 0 0 1  0 0 0 1 1 0 0 − X d cosη 0 1 0 X d sin η [M Gm ] =   0 0 1 h    0 0 0 1  因此，凹齒刀具在其齒胚中心座標系左側曲面之輪廓方程式 RGl 為： cv  xG (t ) = (rcc ) cos θ + (t ) cos θ tan α − cos ηX d cc  cc (2.9) ccRGl =  y G (t ) = (t ) sin δ + (rcc ) sin θ cos δ + (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d  zcc (t ) = (t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α − (r ) sin δ sin θ + h  G cc 同理，凹齒刀具右側曲面之輪廓方程式 rGr 為： cc[R ] cc Gr = [M Gm ][M mm][M mw ][M wt ] [R cc ] t (2.10) 其中 Rtcc 為磨輪外緣之輪廓方程式以(2.3)式帶入，而轉換矩陣為： cosθ − sinθ 0 rcv cosθ  1 0 0 0  sin θ cosθ 0 rcv sin θ  0 cosδ − sin δ 0[M wt ] =   [M m w ] =    0 0 1 0  0 sin δ cosδ 0      0 0 0 1  0 0 0 1 20 國立中山大學機械與機電工程學系
32. 32.  cos 2η sin 2η 0 0 1 0 0 − X d cosη − sin 2η cos 2η 0 0 0 1 0 X d sin η  [M mm ] =   [M Gm ] =    0 0 1 0 0 0 1 h       0 0 0 1 0 0 0 1  因此，凹齒刀具在其齒胚中心座標系右側曲面之輪廓方程式 RGr 為： cv  xG (t ) = (cos 2η cos θ + sin 2η cos δ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cos ηX d cv  cv cc RGr =  y G (t ) = (− sin 2η cos θ + cos 2η cos δ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − (t ) sin δ cos 2η + sin ηX d  zcv (t ) = (t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α + (r ) sin δ sin θ + h  G cc (2.11) 為了方便後面嚙合方程式之計算，將凸齒及凹齒刀具之左右曲面方 程式，從刀具座標系 SG ，轉換到另一個參考之固定座標系 S1。 SG 座標系 和 S1 座標系的相關位置圖如圖(3.3)所示。其齊次座標轉換為 [R ] 1 = [M 1G ][RG ] 其中 cos λ1 − sin λ1 0 0 sin λ cos λ1 0 0 [M1G ] =  1   0 0 1 0    0 0 0 1 上式座標轉換式， RG 分別以(2.5)、(2.7)、(2.9)或(2.11)式代入，可以求得刀具曲面方程式表示在固定座標系 S1 上。 (a) 凸齒刀具之右側曲面方程式  x1cv (t ) = cos λ1 ((rcv ) cos θ − (t ) cos θ tan α − cos ηX d ) r   − sin λ1 ((t ) sin δ + ( rcv ) sin θ cos δ − (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d )  y lr (t) = sin λ1 (( rcv ) cos θ − (t ) cos θ tan α − cos ηX d ) cv (2.12) cv Rrl =   + cos λ1 (((t ) sin δ + (rcv ) sin θ cos δ − (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d ))  z1cv (t ) = (t ) cos δ + (t ) sin δ sin θ tan α − (rcv ) sin δ sin θ + h r   21 國立中山大學機械與機電工程學系
33. 33. (b) 凸齒刀具之左側曲面方程式  x1cv (t ) = cos λ1 ((− cos 2η cos θ + sin 2η cos δ sin θ )(rcv − (t ) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cos ηX d ) l   − sin λ1 ((− sin 2η cos θ + cos 2η cos δ sin θ )(rcv − (t ) tan α ) − (t ) sin δ cos 2η + sin ηX d )  y1cv (t ) = sin λ1 ((− cos 2η cos θ + sin 2η cos δ sin θ )(rcv − (t ) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cos ηX d ) R1cv =  l + cos λ1 ((− sin 2η cos θ + cos 2η cos δ sin θ )(rcv − (t ) tan α ) − (t ) sin δ cos 2η + sin ηX d ) l   z1l (t ) = (t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α + (rcv ) sin δ sin θ + h cv   (2.13) (c) 凹齒刀具之左側曲面方程式  x1cc (t ) = cos λ1 ((rcc ) cos θ + (t ) cos θ tan α − cosηX d ) l   − sin λ1 ((t ) sin δ + (rcc ) sin θ cos δ + (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d )  y (t ) = sin λ1 ((rcc ) cos θ + (t ) cos θ tan α − cos ηX d ) cc (2.14) R1cc =  1l + cos λ1 ((t ) sin δ + (rcc ) sin θ cos δ + (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d ) l   z1cc (t ) = (t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α − (rcc ) sin δ sin θ + h l   (d) 凹齒刀具之右側曲面方程式  x1cv (t ) = cos λ1 ((cos 2η cos θ + sin 2η cos δ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cos ηX d ) r   − sin λ1 ((− sin 2η cos θ + cos 2η cos δ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − (t ) sin δ cos 2η + sin ηX d )  y (t ) = sin λ1 ((cos 2η cos θ + sin 2η cos δ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cos ηX d ) cv R1cc =  1r cos λ1 ((− sin 2η cos θ + cos 2η cos δ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − (t ) sin δ cos 2η + sin ηX d ) r   z1cv (t ) = (t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α + (rcc ) sin δ sin θ + h r   (2.15)2-5-2 刀具之實體模型建構及刀具設計探討 本文加工方式的刀具及工件機構模式為交叉軸型式之運動關係，所以當刀具齒頂為平面時，由於刀具與工件彼此傾斜關係，工件靠內側及齒底並不能被刀具完全加工到，見圖(2.16)。所以刀具在設計時需考慮與工件之傾斜 22 國立中山大學機械與機電工程學系
34. 34. 關係，而將刀具齒頂部分增加傾斜面以及增加刀具齒寬並向內延伸，使得工件之齒底及內側皆能被刀具完全加工到，如圖(2.17) 而刀具之齒胚如圖(2.18) ，所示，需配合刀具與工件之機構運動關係而設計。 刀具 刀具 工件 工件圖 2.16 刀 具 加 工 工 件 示 意 圖 ， 當 刀 具 齒 頂 為 平 面 時 ，右圖為刀具之 截面放大圖 刀具 刀具 工件 工件圖 2.17 刀具加工工件示意圖，刀具齒頂增加傾斜面，右圖為刀具 之截面放大圖 23 國立中山大學機械與機電工程學系
35. 35. 圖 2.18 刀具齒胚之立體圖 刀具實體模型之建構，係利用前一節 2-5-1 節中所推導的凸齒及凹齒之刀具左右齒面方程式建構而成，在圖(2.19)為凸齒刀具之實體模型以及由磨輪加工刀具齒胚所除掉的部分，也就是齒胚待挖除部分，而圖(2.20)為凹齒刀具之實體模型以及由磨輪加工刀具齒胚所除掉的部分。 圖 2.19 凸齒刀具實體模型與待挖除部分 圖 2.20 凹齒刀具實體模型與待挖除部分 24 國立中山大學機械與機電工程學系
36. 36. 第三章 曲齒聯軸器之齒面數學模式 齒刀切過齒輪所形成的包絡面(Envelope)就是齒面方程式。本章利用齊次座標轉換之軌跡方程式及嚙合方程式來推導出曲齒聯軸器之齒面方程式。3-1 包絡理論 已知一曲面 S ( v1 , v 2 , φ ) ， v1 和 v 2 為 S 的曲面座標參數，φ 為 S 的運動參數。當 φ 值變動時，曲面 S 的位置也跟著變動，因此在不同的φ 值下會得到不同的曲面 S ，這些曲面的集合成為曲面族 {S φ }。 假如存在一個曲面 Σ ，使得 Σ 上每一點都對應於曲面族 {S φ }中唯一的曲面 Sφ ，而且曲面 Sφ 和 Σ 在該點彼此相切，則稱 Σ 為曲面族 {S φ }的包絡面。 根據包絡面的定義，包絡面 Σ 和曲面 Sφ 在接觸點 M 彼此相切。因為包絡面 Σ 和曲面 Sφ 之間為線性接觸，即包絡面Σ 和曲面 Sφ 在接觸線上的每一點都 必 須 彼 此 相 切 ， 這 條 接 觸 線 稱 為 曲 面 族 {S φ } 中 曲 面 Sφ 的 特 徵 線Lφ (Characteristic Line)，如圖(3.1)所示。因為在每一曲面 Sφ 上均有一條特徵線和包絡面相切，所以曲面族{S φ }上所有特徵線的集合，就構成了包絡面Σ 。 綜合以上結果，可得知特徵線有三個特性： 1. 在曲面族 {S φ }中，每一曲面 Sφ 上均有一條特徵線 Lφ ，就是曲面 Sφ 和包 絡面 Σ 的接觸線。 2. 所有的特徵線構成了曲面族的包絡面 Σ 。 3. 包絡面 Σ 和曲面族 {S φ }中的每一個曲面 Sφ ， Sφ 上的特徵線彼此相切。 沿 25 國立中山大學機械與機電工程學系
37. 37. Lφ Sφ Σ 圖 3.1 曲 面 S φ 和 包 絡 面 Σ 相 切 的 特 徵 線 Lφ 將一個曲面依指定的運動方式移動，此曲面在不同時間依序留下軌跡，這些軌跡的總合即形成包絡面。假設有一個在座標系 S1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) 之曲面 R0 ，想要得到以此為創成母面形成位於座標系 S 2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 上之包絡面 R1 ，令由座標系 S1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) 轉換到座標系 S 2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 之轉換矩陣為 M 2,1，利用共軛理論(3.1)式與齊次座標轉換矩陣(3.2)式即可以得到此包絡面外形。 v v N ⋅V 12 = 0 (3.1) [R1 ] = [M ][R ] 1, 0 0 (3.2) v 在(3.1)式中的 V 12 以及(3.2)式中的 M 1, 0 包含了兩座標系間的相互運動關係，即機構所需的輸入與輸出關係，在創成法中，此運動關係即為刀具與工件間的相對運動關係，而 R0 為刀具外形。將(3.1)即(3.2)式聯立，即可得到在S 2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 座標系的包絡外形，也就是刀具所形成的包絡面之工件外形 R1 。 26 國立中山大學機械與機電工程學系
38. 38. 3-2 嚙合方程式 嚙合方程式(Equation of Meshing)是齒輪原理中重要的理論之一。本文利用創成法(Generation Method)來推導曲齒聯軸器之幾何數學模式。而創成法推導曲齒聯軸器的數學模式過程中，由於牽涉到刀具與工件間的運動關係，因此需先推導兩者間之嚙合方程式。 設空間中有任意兩個互相嚙合運動的曲面 Σ 1 和 Σ 2 ，如圖 3.2 所示，彼此相切於點 M，M 點同時也是這兩個共軛運動對的瞬時接觸點，兩個嚙合曲 v v面在其共切點 M 點具有共同之曲面法向量 N ， V (12) 則表示曲面 Σ 1 和 Σ 2 在 M點的相對速度。 由於 Σ 1 和 Σ 2 的接觸過程是連續的，兩曲面嚙合運動時，既不分離亦不衝撞進入另一曲面內，因此不論兩曲面是點接觸或線接觸，兩曲面在共同法向量的方向並無相對運動，其在 M 點的相對速度必在兩曲面之共同切平面上。 而兩曲面之共同法向量必和切平面相互垂直，因此兩嚙合運動曲面其相 v v對速度V (12) 和共同法向量 N ，在其共同接觸點 M 處必互相垂直。所以在(3.1)式的嚙合方程式必成立 v v N ⋅V 12 = 0 此方程式就是齒輪嚙合原理中探討共軛運動對嚙合時必須滿足的嚙合方程式。 27 國立中山大學機械與機電工程學系
39. 39. Σ1 v T N v Σ2 V 12 M 圖 3.2 嚙合曲面之關係示意圖 本研究發展的曲齒聯軸器加工方式係以刀具利用創成法製造出來的，所以曲齒聯軸器和刀具在加工過程中是彼此共軛嚙合的 因此在推導曲齒聯軸 。器齒面數學模式時，必須先求得刀具與曲齒聯軸器之嚙合方程式。藉由嚙合方程式及刀具與工件於創成過程中刀具之軌跡 便可以得到曲齒聯軸器的外 ，形。 本研究之刀具與工件間的運動機構是屬於交叉軸之共軛運動關係。如果刀具和工件的角速度已知，同時刀具及工件兩軸中心距和交叉角均已知，則刀具與工件間之運動速度即可求出，進而可求得兩者之嚙合方程式。 v 由嚙合方程式(3.1)知，需先求出刀具之曲面法向量 N 及刀具與工件間之 v v相對速度V (12) ，由於在刀具與工件嚙合之共同接觸點 M 上，其法向量 N 與 v相對速度V (12) 呈互相垂直，如此便可求出嚙合方程式。 28 國立中山大學機械與機電工程學系
40. 40. 3-2-1 刀具曲面之法向量 v 根據微分幾何理論[Spivak,1979]得知，刀具曲面 RG 的法向量可由下式求得： v v r ∂RG ∂RG NG = × (3.3) ∂t ∂θ 依此，可以利用上式來分別求得刀具凸齒及凹齒之左側與右側曲面的法向量。 (a) 凸齒刀具右側曲面之法向量： 首先，將凸齒刀具右側曲面方程式(2.5)對其曲面參數分別偏微分得 v cv ∂RGr r r r = [− cos θ tan α ]i + [sin δ − sin θ cos δ tan α ] j + [sin θ sin δ tan α + cos δ ]k ∂t (3.4) v cv r r ∂RGr [(t ) sin θ tan α − (r ) sin θ ]i + [(r ) cos θ cos δ − (t) cos θ cos δ tan α ] j = r ∂θ + [( t ) sin δ cos θ tan α − ( r ) sin δ cos θ ]k 將(3.4)代入(3.3)式，即可獲得凸齒刀具右側曲面之法向量如下： v cv v v v N Gr = [ A1 A4 − A2 A3 ] i + [A1 (cos θ tan α ) + A2 A5 ] j + [ A3 (− cos θ tan α ) − A4 A5 ] k (3.5) 其中 A1 = t sin d cos ? tan a − rcv sin d cos ? A2 = sin d sin ? tan a + cos d 29 國立中山大學機械與機電工程學系
41. 41. A3 = rcv cos δ cos θ − t cos δ cosθ tan αA4 = sin δ − cos δ sin θ tan αA5 = t sin θ tan α − rcv sin θ v v v i 、 j 和 k 為 SG 座標系統的三個垂直軸的單位向量。(b) 凹齒刀具左側曲面之法向量： 同理，利用凹齒刀具左側曲面方程式(2.9)分別對其曲面參數微分得 r cc∂RGl r r r = [cos θ tan α ] i + [sin δ + sin θ cos δ tan α ] j + [− sin θ sin δ tan α + cos δ ] k ∂t (3.6) r cc r r∂RGl [− (t ) sin θ tan α − (r ) sin θ ] i + [(r ) cos θ cos δ + (t) cos θ cos δ tan α ] j = r ∂θ + [− ( t ) sin δ cos θ tan α − ( r ) sin δ cos θ ] k 將(3.6)代入(3.3)式，即可獲得凹齒刀具左側曲面之法向量如下：v ccN Gl = [A A 1 4 ] [ v ] [ v ] v − A 2 A3 i + A1 ( − cos θ tan α ) + A2 A5 j + A3 (cos θ tan α ) − A 4 A5 k (3.7) 其中A1 = − t sin d cos ? tan a − rcc sin d cos ?A2 = − sin d sin ? tan a + cos dA3 = rcc cos δ cos θ + t cos δ cosθ tan αA4 = sin δ + cos δ sin θ tan α 30 國立中山大學機械與機電工程學系
42. 42. A5 = − t sin θ tan α − rcc sin θ 而同樣的，凸齒刀具左側曲面之法向量及凹齒刀具左側曲面之法向量也可分別求得如下：(c) 凸齒刀具左側曲面之法向量：v cvN Gl = [− A B 1 3 ] [ v v ] v − A 2 B1 i + A1 B4 + A2 B2 j + [B4 B1 − B3 B2 ] k (3.8) 其中B1 = (sin 2η sin θ + cos 2η cos δ cos θ )( rcv − t tan α )B2 = (− cos 2η sin θ + sin 2η cos δ cos θ )( rcv − t tan α )B3 = − tan α (cos 2η cos δ sin θ − sin 2η cos θ ) − cos 2η sin δB4 = − tan α (sin 2η cos δ sin θ + cos 2η cosθ ) − sin 2η sin δ(d) 凹齒刀具右側曲面之法向量：v cvN Gr = [− A B 1 3 ] [ v v ] [ ] v − A2 B1 i + A1 B 4 + A2 B 2 j + B 4 B 1 − B 3 B 2 k (3.9) 其中B1 = (sin 2η sin θ + cos 2η cos δ cos θ )( rcc + t tan α )B 2 = ( − cos 2η sin θ + sin 2η cos δ cosθ )( rcc + t tan α )B 3 = tan α (cos 2η cos δ sin θ − sin 2η cos θ ) − cos 2η sin δ 31 國立中山大學機械與機電工程學系
43. 43. B 4 = tan α (sin 2η cos δ sin θ + cos 2η cos θ ) − sin 2η sin δ v v v 在式子(3.5)、(3.7)、(3.8)以及(3.9)中的 i 、 j 和 k 皆為 SG 座標系統的 三個垂直軸的單位向量。3-2-2 相對速度 v 為了求得刀具及曲齒聯軸器曲面的相對速度V (12) ，需先瞭解刀具及曲齒聯軸器嚙合時之機構圖及其相對運動的關係。刀具及曲齒聯軸器之機構圖如圖(3.3)所示。 Y3 Y4 β YC ω1 Z Z Z 3 Z2 λ2 G， 1 OG，O1 v O2， 3 Z Z O YG R3 ， C ω 4 O4 Oc 2 ， ?1 X 2，X3 Y2 X4 X1 Y1 XG XC v v R2 R1 M 圖 3.3 刀具及工件之運動機構圖 32 國立中山大學機械與機電工程學系
44. 44. 圖 中 刀 具 係 固 定 於 S G ( X G , YG , Z G ) 座 標 系 ， 而 工 件 則 是 固 定 於S C ( X C , YC , Z C ) 座標系，又座標系 S1 、 S 2 和 S 3 均為參考座標系；旋轉角 λ1 為刀具( SG 座標系)以 Z1 軸為旋轉軸，相對於 S1 座標系的旋轉角度；旋轉角 λ 2 為工件( SC 座標系)以 Z 4 軸為旋轉軸，相對於 S 4 座標系的旋轉角度； β 為刀具與工件旋轉軸之夾角。又ϖ 1 及ϖ 2 分別為刀具和工件的旋轉角速度，而其轉速比為刀具和工件之齒數的反比。刀具和工件之任一共同接觸點 M ( X , Y , Z ) ，若 v v表示於座標系 SG 及 SC ，則其位置向量分別為 R1 和 R2 ，而 R3 為刀具與工件之 v v圓心距。若 V1(1) 為刀具曲面上該接觸點的速度表示於 S1 座標系；V1( 2) 為工件曲面上該接觸點的速度表示於 S1 座標系，由圖(3.3)可知 v r r V1(1) = ϖ 1 × R1 (3.10) v r r V1( 2) = ϖ 2 × R2 r r r = ϖ 2 × ( R1 + R3 ) (3.11) r r r r = ϖ 2 × R1 + ϖ 2 × R3 因此，刀具與工件相對速度為 v v v V1(12) = V1(1) − V1( 2) r r r r r (3.12) = (ϖ 1 − ϖ 2 ) × R1 − ϖ 2 × R3 由於在 S1 座標系中 r r ϖ 1 =ϖ1k r r r ϖ2 = − ϖ 2 sin( π − β ) j − ϖ 2 cos(π − β ) k r r = − ϖ 2 sin β j + ϖ 2 cos β k (3.13) 33 國立中山大學機械與機電工程學系
45. 45. 其中之參數如圖(3.4)所示：r r v r vR3 = − ( R3 sin ν ) j − ( R3 cosν ) kR3 = ao _1 + a o − 2 × a o × ao _1 × cos τ 2 2 2 2 3τ = π −β −µ 2 刀 工 具 件 圖 3.4 刀具與工件之相對關係 34 國立中山大學機械與機電工程學系
46. 46. 將(3.13)式代入(3.12)式即可得到刀具與工件相對速度為 v v V1(12) = [ϖ 2 sin β (z 1 − R 3 cosν ) − (ϖ 1 − ϖ 2 cos β )y1 − ϖ 2 R3 cos β sin ν ] i v v (3.14) + [(ϖ 1 − ϖ 2 cos β ) x1 ] j + [− x1ϖ 2 sin β ] k v 然而，(3.14)式之相對速度V1(12) 式表示在 S1 座標系，所以式中的 x1、 y1 、z1 為刀具凸齒及凹齒之左右曲面表示在 S1 座標系之座標值，應以(2.12)、(2.13)、(2.14)或(2.15)帶入之。 v 由於刀具曲面法向量表示在 SG 座標，所以再將V1(12) 由 S1 座標轉換到 SG 座標系。其座標轉換表示如下： [V ] [M G1 ] [V1(12) ] v (12) v G = (3.15) 由圖(3.3)可得到轉換矩陣為  cos ?1 sin ?1 0 0 − sin ? cos ? 0 0 (3.16) [M G 1] =  1 1   0 0 1 0    0 0 0 1 將(3.16)式及(3.14)式代入(3.15)式，可以得到刀具與工件之相對速度表示於 SG 座標系為 v12 cos ?1 (? 2 sin ß(z 1 − R3 cos ?) + ? 2 cos ß(y 1 − R3 sin ?) − ϖ 1 y1 ) v VG =  i  + sin ?1 × x1 (? 1 − ? 2 cos ß )   − sin ?1 (? 2 sin ß(z1 − R3 cos ?) + ? 2 cos ß(y1 − R3 sin ?) − ? 1 y1 ) v + j (3.17)  + cos ?1 × x1 (? 1 − ? 2 cos ß )  v + [− ? 2 × x1 × sin ß ]k 上式中的 x1 、 y1 、 z1 為在 S1 座標的刀具齒廓，亦即此處之 x1 、 y1 、 z1 值應以(2.12)、(2.13)、(2.14)或(2.15)帶入之。 35 國立中山大學機械與機電工程學系
47. 47. 3-2-3 嚙合方程式 在前面兩小節中，已討論了要推導刀具與工件之嚙合方程式，必須先求 v v得出刀具之曲面法向量 N 及兩者之相對速度V (12) 。其次，再利用(3.1)的嚙合理論式子便可求得刀具與工件之嚙合方程式。 r 刀具之曲面法向量 N 已於(3.5)、(3.7)、(3.8)以及(3.9)式求出，但由於此法向量項數很多，帶入嚙合方程式，乘開後相當繁雜。所以為了求簡化，將刀具曲面法向量以其所在之 SG 座標系的三個分量表示之： N G x  v 令 NG = N G y    (3.18) N G z    將相對速度和刀具曲面法向量即(3.17)及 (3.18)式代入嚙合方程式(3.1)中，即可以得到嚙合方程式為 ? ?  ( N Gx cos ?1 − N Gy sin ?1 ) 2 (z 1 sin ß + y1 cos ß) − 2 R3( sin ß cos ? + cos ß sin ?) − y1  ? 1 ?1   ?  ?  + (N Gx sin ?1 + N Gy cos ?1 ) x1 − 2 x1 cos ß  −  2 x1 N Gx sin ß = 0  ?1  ?1  (3.19) 將嚙合方程式整理成： K1(N Gx cos ?1 − N Gy sin ?1 ) + K 2(N Gx sin ?1 + NGy cos ?1 ) − K 3 = 0 其中 K1 = m( z1 sin β + y1 cos β ) − mR3 (sin β cos ν + cos β sin ν ) − y1 36 國立中山大學機械與機電工程學系
48. 48. K2 = x1 − mx1 cos β K3 = mx1 N Gx sin β ω2 轉速比 m = − ω1 方程式(3.19)就是刀具與工件嚙合方程式的通式。在上式中對於刀具凸齒及凹齒之左右曲面，應分別帶入在 S1 座標系求得之刀具凸齒及凹齒之左右曲面座標值 x1、 y1、 z1 ，以及在 SG 座標系求得之刀具凸齒及凹齒之左右曲面法向量 N G x 、 N G y 、 N G z ；而帶入凸齒刀具右側曲面方程式及曲面法向量，可以得到凸齒刀具右側曲面與工件右側齒面的嚙合方程式，而此工件即為曲齒聯軸器凹齒右側齒面；同理，帶入凸齒刀具左側曲面方程式及曲面法向量，可以得到凸齒刀具左側曲面與曲齒聯軸器凹齒左側齒面的嚙合方程式；帶入凹齒刀具右側曲面方程式及曲面法向量，可以得到凹齒刀具右側曲面與曲齒聯軸器凸齒右側齒面的嚙合方程式；帶入凹齒刀具左側曲面方程式及曲面法向量，可以得到凹齒刀具左側曲面與曲齒聯軸器凸齒左側齒面的嚙合方程式。3-3 刀具軌跡方程式 為了求得刀具與工件之接觸線，必須先把刀具曲面方程式，以座標轉換矩陣轉換到工件所在之 SC 座標系，如此便是刀具曲面之軌跡方程式(LocusEquation)。若再配合刀具及工件之嚙合方程式，即可求得刀具與工件每一瞬間之接觸線，由這些無數接觸線便可構建出工件的外形，也就是曲齒聯軸器之齒面方程式。 37 國立中山大學機械與機電工程學系
49. 49. 齒輪機構依其軸線間的相對位置可分為平行軸、交叉軸以及歪斜軸三種型態。由於，平行軸可視為歪斜軸兩軸夾角為零度的退化；交叉軸則可視為兩軸間最短距離為零時的退化狀態，所以歪斜軸可視為其他兩種型態之基本模式。 本研究之刀具與工件間的運動機構模式是屬於交叉軸型式之關係，所以刀具與工件運動軌跡方程式為歪斜軸運動軌跡型式中令最短距離為零時的退化式。而本研究除了求出刀具與工件運動軌跡方程式，並將歪斜軸運動軌跡之另一個退化型式，令兩軸夾角為零度時的退化式來描述各種擺線方程式之型式，屬於平行軸型式，如附錄 A 所示。 利用齊次座標轉換方法可求出刀具與工件間的運動關係之軌跡方程式。圖(3.3)中直角座標系統 SG 與 SC 分別固定於刀具與工件並隨其運動的動座標系統、 λ1 及 λ 2 分別為刀具與工件的旋轉角度、 β 為刀具與工件的軸交角、 Z d1 及 Z d 2 分別為兩軸軸心到兩軸相交的距離。將刀具之曲面轉換至工件座標系的刀具曲面軌跡表示為： [R ] C = [M C 4 ][M 43 ][M 32 ][M 21 ][M 1G ][RG ] (3.20) 其中 cos ?1 − sin ?1 0 0 1 0 0 0   sin ? cos ?1 0 0 0 1 0 0  [M1G ] =  1  [M 21 ] =    0 0 1 0 0 0 1 − Zd 1       0 0 0 1 0 0 0 1  1 0 0 0 1 0 0 0  0 cos β sin β 0 0 1 0 0  [M 32 ] =   [M 43 ] =   0 − sin β cos β 0 0 0 1 Z d2     0 0 0 1 0 0 0 1  38 國立中山大學機械與機電工程學系
50. 50. cosλ 2 − sin λ 2 0 0 sin λ cosλ 2 0 0 [M C 4 ] =  2   0 0 1 0    0 0 0 1 則刀具軌跡方程式之通式：  x cv (t ) = (cos λ2 cos λ1 − sin λ2 cos β sin λ1 ) × rg x + (− cos λ2 sin λ1 − sin λ 2 cos β cos λ1 ) × rg y C   − sin λ 2 sin β × rg z + sin λ 2 sin β × zd 1  y C (t ) = (sin λ2 cos λ1 + cos λ 2 cos β sin λ1 ) × rg x + (− sin λ2 sin λ1 + cos λ 2 cos β cos λ1 ) × rg y  cv RC =   + cos λ 2 sin β × rg z − cos λ 2 sin β × zd 1  zC (t ) = − sin β sin λ1 × rg x − sin β cos λ1 × rg y + cos β × rg z − cos β × zd 1 + zd 2 cv    (3.21) 將凸齒及凹齒刀具左右曲面方程式(2.5)、(2.7)、(2.9)或(2.11)帶入(3.21)式，即可得到凸齒及凹齒刀具左右曲面之軌跡方程式： (a) 凸齒刀具右側曲面之軌跡方程式： xCr (t ) = (cos λ 2 cos λ 1 − sin λ 2 cos β sin λ1 ) × (( r cv ) cosθ − (t ) cosθ tan α − cosηX d ) cv + ( − cos λ 2 sin λ1 − sin λ 2 cos β cos λ 1 ) × ((t ) sin δ + ( rcv ) sin θ cos δ − (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d ) − sin λ 2 sin β × ((t ) cosδ + (t ) sin δ sin θ tan α − ( r cv ) sin δ sin θ + h ) + sin λ 2 sin β × zd 1y (t ) = (sin λ 2 cos λ1 + cos λ 2 cos β sin λ1 ) × (( rcv ) cosθ − (t ) cosθ tan α − cosηX d ) cv Cl + ( − sin λ 2 sin λ 1 + cos λ 2 cos β cos λ1 ) × ((t ) sin δ + ( rcv ) sin θ cos δ − (t ) cos δ sin θ tan α + sin η X d ) + cos λ 2 sin β × (( t ) cos δ + ( t) sin δ sin θ tan α − (r cv ) sin δ sin θ + h) − cos λ 2 sin β × zd 1z ( t) = − sin β sin λ1 × (( rcv ) cosθ − ( t) cosθ tan α − cosηX d ) cv Cl − sin β cos λ1 × (( t) sin δ + (r cv ) sin θ cos δ − ( t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d ) (3.22) + cos β × ((t ) cos δ + (t ) sin δ sin θ tan α − ( rcv ) sin δ sin θ + h ) − cos β × zd1 + zd 2 (b) 凸齒刀具左側曲面之軌跡方程式 xCl (t ) = ( (− cos 2η cosθ + sin 2η cos δ sin θ )(rcv − ( t) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cosηX d ) cv × (cosλ 2 cos λ1 − sin λ2 cos β sin λ1 ) + ( − cos λ2 sin λ1 − sin λ 2 cos β cos λ1 ) × (( − sin 2η cosθ + cos 2η cosδ sin θ )( rcv − ( t ) tan α ) − ( t) sin δ cos 2η + sin ηX d ) − sin λ 2 sin β × (( t) cosδ − (t ) sin δ sin θ tan α + ( rcv ) sin δ sin θ + h) + sin λ2 sin β × zd 1 39 國立中山大學機械與機電工程學系
51. 51. y cv ( t) = (( − cos 2η cosθ + sin 2η cos δ sin θ )(rcv − (t ) tan α ) − ( t) sin δ sin 2η − cosη X d ) Cl × (sin λ 2 cos λ1 + cos λ2 cos β sin λ1 ) + ( − sin λ 2 sin λ1 + cos λ 2 cos β cos λ1 ) × (( − sin 2η cosθ + cos 2η cosδ sin θ )(rcv − ( t) tan α ) − ( t ) sin δ cos 2η + sin ηX d ) + cos λ2 sin β × (( t ) cosδ − ( t) sin δ sin θ tan α + ( rcv ) sin δ sin θ + h) − cos λ 2 sin β × zd1z Cl ( t) = − sin β sin λ1 × (( − cos 2η cosθ + sin 2η cosδ sin θ )(r cv − ( t ) tan α ) − (t ) sin δ sin 2η − cosηX d ) cv − sin β cos λ1 × (( − sin 2η cosθ + cos 2η cos δ sin θ )( rcv − (t ) tan α ) − ( t) sin δ cos 2η + sin ηX d ) (3.23) + cos β × ((t ) cos δ − ( t) sin δ sin θ tan α + ( rcv ) sin δ sin θ + h ) − cos β × zd 1 + zd 2 (c) 凹齒刀具左側曲面之軌跡方程式 xCl ( t ) = (cos λ2 cos λ1 − sin λ 2 cos β sin λ1 ) × (( rcc ) cosθ + ( t) cosθ tanα − cosηX d ) cc + ( − cos λ 2 sin λ1 − sin λ2 cos β cos λ1 ) × ((t ) sin δ + ( rcc ) sin θ cos δ + (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d ) − sin λ2 sin β × (( t ) cosδ − ( t) sin δ sin θ tan α − ( rcc ) sin δ sin θ + h ) + sin λ 2 sin β × zd1y ( t) = (sin λ 2 cos λ1 + cos λ2 cos β sin λ1 ) × (( rcc ) cosθ + ( t ) cosθ tan α − cosηX d ) cc Cl + (− sin λ 2 sin λ1 + cos λ2 cos β cos λ1 ) × ((t ) sin δ + ( rcc ) sin θ cos δ + (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d ) + cos λ2 sin β × (( t) cosδ − ( t) sin δ sin θ tan α − ( rcc ) sin δ sin θ + h ) − cos λ 2 sin β × zd1z (t ) = − sin β sin λ 1 × ((r cc ) cosθ + ( t) cosθ tan α − cosηX d ) cc Cl − sin β cos λ 1 × ((t ) sin δ + (r cc ) sin θ cosδ + (t ) cos δ sin θ tan α + sin ηX d ) (3.24) + cos β × ((t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α − (r cc ) sin δ sin θ + h ) − cos β × zd 1 + zd 2 (d) 凹齒刀具右側曲面之軌跡方程式 xCr ( t) = ((cos 2η cosθ + sin 2η cosδ sin θ )(rcc + (t ) tanα ) − (t ) sin δ sin 2η − cosηX d ) cc × (cos λ2 cos λ1 − sin λ 2 cos β sin λ1 ) + (− cos λ2 sin λ1 − sin λ 2 cos β cos λ1 ) × (( − sin 2η cosθ + cos 2η cosδ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − (t ) sin δ cos 2η + sin η X d ) − sin λ2 sin β × (( t) cosδ − ( t) sin δ sin θ tan α + ( rcc ) sin δ sin θ + h ) + sin λ 2 sin β × zd1y Cr ( t) = ((cos 2η cosθ + sin 2η cosδ sin θ )( rcc + ( t ) tan α ) − ( t) sin δ sin 2η − cosηX d ) cc × (sin λ 2 cos λ 1 + cos λ 2 cos β sin λ1 ) + ( − sin λ 2 sin λ1 + cos λ 2 cos β cos λ1 ) × (( − sin 2η cosθ + cos 2η cosδ sin θ )(rcc + (t ) tan α ) − ( t) sin δ cos 2η + sin η X d ) + cos λ 2 sin β × ((t ) cos δ − (t ) sin δ sin θ tan α + ( r cc ) sin δ sin θ + h ) − cos λ 2 sin β × zd 1z Cr (t ) = − sin β sin λ1 × ((cos 2η cosθ + sin 2η cos δ sin θ )( rcc + ( t) tan α ) − ( t) sin δ sin 2η − cosη X d ) cc − sin β cos λ 1 × ((− sin 2η cosθ + cos 2η cosδ sin θ )(rcc + (t ) tanα ) − (t ) sin δ cos 2η + sin ηX d ) (3.25) + cos β × ((t ) cosδ − (t ) sin δ sin θ tan α + ( r cc ) sin δ sin θ + h) − cos β × zd1 + zd 2 刀具之軌跡圖如圖(3.5)及(3.6)所示，圖中所示為刀具曲面中某兩點相對於工件之軌跡圖。 40 國立中山大學機械與機電工程學系
52. 52. 工件圖 3.5 刀 具 與 工 件 軸 交 角 為 135 度 時 之 刀 具 軌 跡 圖 41 國立中山大學機械與機電工程學系
53. 53. 工件 圖 3.6 刀 具 與 工 件 軸 交 角 為 160 度 時 之 刀 具 軌 跡 圖3-4 曲齒聯軸器之數學模式 被創成工件之包絡外形可由刀具在被創成齒輪座標系上之軌跡方程式與嚙合方程式聯立而求得。刀具軌跡方程式，再配合刀具與工件之嚙合方程式，即可求得刀具與成品每一瞬間之接觸線，由這些無數條瞬間接觸線便可構建出工件之外形，也就是曲齒聯軸器之齒面方程式。 刀具曲面之軌跡方程式已於 3-3 節中推導出，而刀具曲面與工件之嚙合方程式，亦已於 3-2-3 節中推導出。所以只要將(3.22)及(3.19)式聯立，即為凹齒曲齒聯軸器的右側齒面外形方程式(與凸齒刀具右側曲面相對應)；同樣的將(3.23)及(3.19)式聯立，可以得到凹齒曲齒聯軸器的左側齒面外形方程式(與凸齒刀具左側曲面相對應)；將(3.24)及(3.19)式聯立，可以得到凸齒曲齒聯軸器的左側齒面外形方程式(與凹齒刀具左側曲面相對應)；將 (3.25)及 42 國立中山大學機械與機電工程學系