Funciones a trozos

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Funciones a trozos

  1. 1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Y FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO JAVIER LÓPEZ ÁLVAREZ
  2. 2. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Una función definida a trozos es, como su propio nombre indica, una función que se forma a partir de “trozos” o partes de otras funciones. Para definirla tendremos que determinar qué funciones intervienen y qué trozos de ellas nos interesan.
  3. 3. Veamos un ejemplo ⎧ 3 si x ≤−2 ⎪2 f (x) = ⎨x −1 si −2 < x < 3 ⎪4− x si x ≥3 ⎩
  4. 4. Vamos a trabajar con trozos de tres funciones: y1 = 3 y2 = x −1 2 y3 = 4 − x
  5. 5. Partición del eje OX Dividimos el eje OX en los trozos indicados: x ≤ −2 ⇒ ( −∞, −2] −2 < x < 3 ⇒ ( −2,3) x ≥ 3 ⇒ [3, +∞ )
  6. 6. A partir de los ejes de coordenadas obtenemos tres regiones: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  7. 7. El trozo correspondiente a la primera función se construye así: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1 y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  8. 8. El trozo correspondiente a la segunda función se construye así: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1 y 9 y 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  9. 9. El trozo correspondiente a la tercera función se construye así: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1 y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  10. 10. Finalmente obtenemos la gráfica completa de la función a trozos: y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1
  11. 11. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto mantiene el signo de las imágenes positivas y cambia el de las negativas. Analíticamente este tipo de funciones son en realidad funciones definidas a trozos.
  12. 12. Ejemplo 1 ⎧ x −3 si x ≥ 3 f (x) = x −3 ⇒ f (x) = ⎨ ⎩−(x −3) si x < 3
  13. 13. f ( x) = x − 3 y 5 4 3 2 1 x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −2 −3
  14. 14. Gráficamente es tan sencillo como conservar la parte positiva de la gráfica (por encima del eje OX) y añadir el simétrico respecto del eje OX de la parte negativa. y y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −1 −2 −2 −3 −3
  15. 15. f ( x) = x − 3 y 5 4 3 2 1 x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −2 −3
  16. 16. Ejemplo 2 x ∈ ( −∞, −1] ⎧ x2 − x − 2 si ⎪ ⎪ f ( x) = x − x − 2 ⇒ ⎨− ( x 2 − x − 2 ) si x ∈ ( −1, 2 ) 2 ⎪2 x ∈ [ 2, +∞ ) ⎪ x −x−2 si ⎩
  17. 17. f ( x) = x − x − 2 2 y 6 5 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2
  18. 18. y y 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −1 −2 −2
  19. 19. f ( x) = x − x − 2 2 y 6 5 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2
  20. 20. Ejemplo 3 f ( x) = cos x
  21. 21. f ( x ) = cos x ⇒ f ( x ) = cos x y y 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4

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