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Tercer solemne pauta-de_correcci_n

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Tercer solemne pauta-de_correcci_n

  1. 1. UNAB-PAUTADECORRECCI´ONCALCULO II Universidad Andr´es Bello. Departamento de Matem´aticas. Facultad de Ingenier´ıa. C´alculo II fmm-030. Coord: Pablo Gonz´alez Lever. TERCERA PRUEBA SOLEMNE 2do Semestre 2009 1. a) Demuestre que la serie ∞ n=1 1 n(n + 1) , es convergente y determine su suma. Soluci´on. Observe que: 1 n(n + 1) = 1 n − 1 n + 1 , ∀n ∈ N Por lo tanto si aplicamos la definici´on de serie obtenems: ∞ n=1 1 n(n + 1) = l´ım n→∞ n k=1 1 k(k + 1) = l´ım n→∞ n k=1 1 k − 1 k + 1 = l´ım n→∞ 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ... + 1 n − 1 n + 1 = l´ım n→∞ 1 − 1 n + 1 = 1 Por lo tanto la serie ∞ n=1 1 n(n + 1) es convergente adem´as ∞ n=1 1 n(n + 1) = 1. b) Encuentre radio e intervalo de convergencia para: ∞ n=0 n(x + 2)n 3n+1 Soluci´on. Observe que an = n 3n+1 , por lo tanto: L = l´ım n→∞ n |an| = l´ım n→∞ n n 3n+1 = 1 3 As´ı de lo anterior podemos deducir que el radio de convergencia de la serie es R = 3. Adem´as la serie converge absolutamente en ] − 5, 1[. Analicemos la convergencia de la serie para x = −5 y x = 1. Analisis para x = −5. Observe que si x = −5 entonces la serie dada se transforma en: ∞ n=0 n(−5 + 2)n 3n+1 = ∞ n=0 (−1)nn 3 1
  2. 2. UNAB-PAUTADECORRECCI´ONCALCULO II Universidad Andr´es Bello. Departamento de Matem´aticas. Facultad de Ingenier´ıa. C´alculo II fmm-030. Coord: Pablo Gonz´alez Lever. Que es una serie divergente. Analisis para x = 1. Observe que si x = 1 entonces la serie dada se transforma en: ∞ n=0 n(1 + 2)n 3n+1 = ∞ n=0 n 3 Que es una serie divergente. As´ı de lo anterior se tiene que el radio de convergencia de la serie es R = 3. Adem´as la serie converge absolutamente en ] − 5, 1[. 2. a) Encuentre si es que existe l´ım (x,y)→(0,0) sen(x2 + y2) 5x2 + 5y2 . Soluci´on. Observe que al usar coordenadas polares obtenemos: l´ım (x,y)→(0,0) sen(x2 + y2) 5x2 + 5y2 = l´ım (r,θ)→(0,0) sen(r2 cos2(θ) + r2 sen2(θ)) 5r2 cos2(θ) + 5r2 sen(θ) = l´ım (r,θ)→(0,0) sen(r2) 5r2 = l´ım r→0 sen(r2) 5r2 = 1 5 POr lo tanto de lo anterior podemos deducir que l´ım (x,y)→(0,0) sen(x2 + y2) 5x2 + 5y2 = 1 5 . b) Encuentre una trayectoria mediante la cual se cumpla que: l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y4 x2 + y2 = 1 7 . Soluci´on. Consideremos la trayectoria C:(x, mx) y analicemos el valor del limite a lo largo de la trayectoria Cm. l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y4 x2 + y2 = l´ım (x,mx)→(0,0) x2 + (mx)4 x2 + (mx)2 = l´ım (x,mx)→(0,0) x2 + m4x4 x2 + m2x2 = l´ım x→0 1 + m4x2 1 + m2 = 1 1 + m2 Por lo tanto si consideramos la trayectoria C√ 6 podemos observar que: l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y4 x2 + y2 = 1 7 2
  3. 3. UNAB-PAUTADECORRECCI´ONCALCULO II Universidad Andr´es Bello. Departamento de Matem´aticas. Facultad de Ingenier´ıa. C´alculo II fmm-030. Coord: Pablo Gonz´alez Lever. 3. a) Si f(x, y, z) = z xy + yz + xz , probar que: x ∂f ∂x + y ∂f ∂y + z ∂f ∂z + f(x, y, z) = 0, Soluci´on. Observe que: ∂f ∂x = − z(y + z) (xy + yz + xz)2 ∂f ∂y = − z(x + z) (xy + yz + xz)2 ∂f ∂z = 1 xy + yz + xz − z(y + x) (xy + yz + xz)2 Por lo tanto: x ∂f ∂x + y ∂f ∂y + z ∂f ∂z + f(x, y, z) = −z x(y + z) + y(x + z) + z(y + x) (xy + yz + xz)2 + z xy + yz + xz + z xy + yz + xz = −z 2(xy + yz + xz) (xy + yz + xz)2 + 2z xy + yz + xz = − 2z xy + yz + xz + 2z xy + yz + xz = 0 As´ı de lo anterior podemos deducir que f(x, y, z) = z xy + yz + xz satisface la ecuaci´on diferencial x ∂f ∂x + y ∂f ∂y + z ∂f ∂z + f(x, y, z) = 0. b) Muestre que la funci´on z = f(x) · g(y), satisface la ecuaci´on z ∂2z ∂x∂y = ∂z ∂x ∂z ∂y . Soluci´on. OBserve que: ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x ∂ ∂y (f(x) · g(y)) = ∂ ∂x (f(x) · g (y)) = f (x) · g (y) ∂z ∂x ∂z ∂y = ∂ ∂x (f(x) · g(y)) ∂ ∂y (f(x) · g(y)) = [f (x) · g(y)] [f(x) · g (y)] = f(x) · g(y) · f (x) g(y) = z ∂2z ∂x∂y 3
  4. 4. UNAB-PAUTADECORRECCI´ONCALCULO II Universidad Andr´es Bello. Departamento de Matem´aticas. Facultad de Ingenier´ıa. C´alculo II fmm-030. Coord: Pablo Gonz´alez Lever. Por lo tanto z = f(x) · g(y), satisface la ecuaci´on z ∂2z ∂x∂y = ∂z ∂x ∂z ∂y . 4. a) Si f(x, y, z) = x sen yz, determine el gradiente de f y encuentre la derivada direccional de f en (1, 3, 0) en la direcci´on de v = i + 2j − k. Soluci´on. Primero observemos que: f(x, y, z) = (sen(yz), xz cos(yz), xy cos(yz)) Por otro lado observemos que el vector v no es unitario, por lo tanto la deriva a direccional de f en (1, 3, 0) en la direcci´on de v = i + 2j − k est´a dada por D v v f(1, 3, 0) = f(1, 3, 0) • 1 √ 6 , 2 √ 6 , − 1 √ 6 = f(0, 0, 3) • 1 √ 6 , 2 √ 6 , − 1 √ 6 = − 3 √ 6 b) Encuentre las ecuaciones del plano tangente y recta normal a la superficie x2 4 + y2 + z2 4 = 3 en el punto (−2, 1, −3). Soluci´on. Observe que la superficie est´a determinada por la funci´on f(x, y, z) = x2 4 +y2 + z2 4 −3, por lo tanto la ecuaci´on del plano tangente a la superficie en el punto (-2,1,-3) esta dada por: π : fx(−2, 1, −3)(x + 2) + fy(−2, 1, −3)(y − 1) + fz(−2, 1, −3)(z + 3) = 0 Por otro lado tenemos: fx(x, y, z) = x 2 fy(x, y, z) = 2y fz(x, y, z) = z 2 As´ı la ecuaci´on del plano tangente a la superficie en el punto (-2,1,-3) es: π : −(x + 2) + 2(y − 1) − 3 2 (z + 3) = 0 Por ´ultimo se tiene que la ecuaci´on de la recta normal a la superficie en el punto (-2,1,-3) est´a dada por: x = −2 − t y = 1 + 2t z = −3 − 3t 2 4
  5. 5. UNAB-PAUTADECORRECCI´ONCALCULO II Universidad Andr´es Bello. Departamento de Matem´aticas. Facultad de Ingenier´ıa. C´alculo II fmm-030. Coord: Pablo Gonz´alez Lever. 5. a) Dado que la funci´on f(x, y) = 2x2+y2+x2y, tiene tres puntos cr´ıticos, encuentrelos y clasif´ıquelos. Soluci´on. observe que: fx(x, y) = 4x + 2xy fy(x, y) = 2y + x2 fxx(x, y) = 4 + 2y fxy(x, y) = 2x fyy(x, y) = 2 Para determinar los puntos criticos de f resolvemos el sistema 4x + 2xy = 0 2y + x2 = 0 del sistema anterior obtenemos que los puntos criticos son: (0, 0), (2, −2) , (−2, −2) Por otro lado: (0, 0) = 8 > 0 ∧ fxx(0, 0) = 2 =⇒ (0, 0) m´ınimo (2, −2) = −4 < 0 =⇒ (2, −2) punto silla (−2, −2) = −4 < 0 =⇒ (−2, −2) punto silla Donde (x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − [fxy(x, y)]2. b) Encuentre los valores extremos de la funci´on f(x, y) = x2 − y2, sujeta a la restricci´on y − x2 = 0. Sup´onga que x e y son positivos. Soluci´on. Observe que debemos usar multiplicadores de Lagrange para resolver el problema, es decir debemos resolver el sistema: 2x −2ax −2y = a y − x2 = 0 Observe que del sistema anterior podemos deducir que puntos extremos de f sujetos a la restric- ci´on y − x2 = 0 son (0, 0), 1 √ 2 , 1 2 , − 1 √ 2 , 1 2 Por otro lado 5
  6. 6. UNAB-PAUTADECORRECCI´ONCALCULO II Universidad Andr´es Bello. Departamento de Matem´aticas. Facultad de Ingenier´ıa. C´alculo II fmm-030. Coord: Pablo Gonz´alez Lever. f(0, 0) = 0 =⇒ (0, 0) m´ınimo f 1 √ 2 , 1 2 = 1 4 =⇒ 1 √ 2 , 1 2 m´aximo f 1 √ 2 , 1 2 = 1 4 =⇒ − 1 √ 2 , 1 2 m´aximo INSTRUCCIONES 1.- De cada problema debe responder A o B, no ambas 2.- No se aceptan consultas 3.- No se puede usar calculadora 4. .- Dispone de 100 minutos 6

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