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Razones, proporciones y porcentajes.

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Razones, proporciones y porcentajes.

  1. 1. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEONC: 1 6 6 1 9 1 31° ADMÓN DE EMPRESAS.AULA MERKRAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES.Razón:Resultado de comparar dos cantidades.Dos cantidades se pueden comparar de dos maneras: Hallando en cuando excede uno delotro, restándolos, o hallando cuántas veces contiene uno al otro, es decir dividiéndolas.• Razón aritmética: Es la diferencia entre dos cantidades.• Razón geométrica: Es el cociente de dos cantidades.Por ejemplo, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe 6-4 y la razón geométrica de 8 a 4 seescribe 8/4. En términos de razón geométrica 8 se le llama antecedente y al 4 consecuente.Propiedades de la razón aritméticaComo la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichascantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma yresta.PRIMERA PROPIEDAD: Si al antecedente de le suma o resta una cantidad la razón aritméticaqueda aumentada o disminuida en dicha cantidad.Sea la razón aritmética 15 - 5= 10, si le sumamos al antecedente el número 3 entoncestendríamos (15+3)-5=13. Como se observa el resultado aumento 3.Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al antecendente el número 4 entoncestendríamos (54-4)-27=23. Como se observa el resultado disminuyo 4.SEGUNDA PROPIEDAD: Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta unacantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en lacantidad de veces que indica dicho número.Sea la razón aritmética 15 - 5= 10, si le sumamos al consecuente el número 3 entoncestendríamos 15 - (5+3)=7. Como se observa el resultado disminuyo 3.Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al consecuente el número 4 entoncestendríamos 54 - (27-4)=23. Como se observa el resultado aumento 4.TERCERA PROPIEDAD: Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se le suma o sele resta un mismo número, la razón no varía.Sea la razón aritmética 15 - 5= 10, si le sumamos al antecedente y consecuente el número 3entonces tendríamos (15+3) - (5+3)=10. Como se observa el resultado no cambia.Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al antecedente y consecuente el número 4entonces tendríamos (54-4) - (27-4)=27. Como se observa el resultado no cambia.Propiedades de la razón geométrica
  2. 2. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEONC: 1 6 6 1 9 1 31° ADMÓN DE EMPRESAS.AULA MERKComo la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una divisiónindicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de losquebrados.PRIMERA PROPIEDAD: Si al antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por unnúmero, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al antecedente el número 3 entonces tendríamos(15*3)/5=9. Como se observa el resultado quedo multiplicado por 3. (3*3)=9Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al antecedente el número 4 entonces tendríamos(54/4)/27=0.5. Como se observa el resultado quedo dividido por 4. (2/4)=0.5SEGUNDA PROPIEDAD: Si al consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por unnúmero, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismonúmero.Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al consecuente el número 3 entoncestendríamos 15/(5*3)=1. Como se observa el resultado quedo dividido por 3. (3/3)=1Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al consecuente el número 4 entonces tendríamos54/(27/4)=8. Como se observa el resultado quedo multiplicado por 4. (2*4)=8TERCERA PROPIEDAD: Si al antecedente y consecuente de una razón geométrica se multiplicano dividen por un mismo número, la razón no varía.Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al antecedente y consecuente el número 3entonces tendríamos (15*3)/(5*3)=3. Como se observa el resultado no cambio.Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al antecedente y consecuente el número 4 entoncestendríamos (54/4)/(27/4)=2. Como se observa el resultado no cambio.NOTA: Una razón es una relación entre dos números, que dan un cociente abstracto, es decir, noespecifica unidades de referencia. Una fracción especifica un número concreto, es decir, sucociente expresa las partes de una unidad. Por ejemplo, no es lo mismo una naranja/dos naranjasa 1/2 naranja.ProporcionesProporción: Igualdad de dos razones.• Proporción aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas.• Proporción geométrica: Esla igualdad de dos razones geométricas.Por ejemplo a-b=c-d y a/b=c/d, donde sus elementos son a, c antecedentes, b, dconsecuentes o b, c medios y a, d extremos. Cuando los extremos o los medios de una proporciónson iguales decimos que la proporción es contínua y las que no, ordinarias.Propiedades de las proporciones aritméticasPROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual ala suma de los medios a-b=c-d.Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8+7=9+6 o sea 15=15.
  3. 3. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEONC: 1 6 6 1 9 1 31° ADMÓN DE EMPRESAS.AULA MERKSEGUNDA PROPIEDAD: En toda proporción aritmética, la suma o la diferencia de antecedenteses la suma o la diferencia de consecuentes, como un antecedente es a su consecuente (a-b)=(c-d)=(a+/-c)-(b+/-d)Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8- 6=9-7=(8+9)-(6+7)=(17-13)Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8- 6=9-7=(8-9)-(6-7)=(2-2)Corolarios de las proporciones aritméticas1) En toda proporción aritmética, un extremo es igual a la diferencia de sus medios, menos el otroextremo. a-b=c-d, a=c-d+b.Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8=9-7+6.2) En toda proporción aritmética, un medio es igual a la suma de sus extremos, menos el medio. a-b=c-d, b=a+d-c.Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 6=8+7-9.3) Media aritmética, es cada uno de los términos medios de una proporción aritmética continua. a-b=b-c, la media aritmética es b. La media aritmética es igual a la semisuma de los extremosb=(a+c)/2.Sea la proporción aritmética 8- 6=6-4, la media aritmética es 6, 6=(8+4)/2.Propiedades de las proporciones geométricasPROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporción geométrica, el producto de los extremos esigual al producto de los medios, a/b=c/d, axd=cxb.Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6x2=3x4 o sea 12=12.SEGUNDA PROPIEDAD: En toda proporción geométrica, la suma o la diferencia de antecedenteses la suma o la diferencia de consecuentes, como un antecendente es a su consecuentea/b=c/d=(a+/-c)/b+/-d)Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6/4=3/2=(6+3)/(4+2)=11/6Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6/4=3/2=(6-3)/(4-2)=3/2Corolarios de las proporciones geométricas1) En toda proporción geométrica, un extremo es igual al producto de los medios dividido por elotro extremo a/b=c/d, a=(b*c)/d.Sea la proporción geométrica 6/4=3/2, tenemos: 6=(4*3)/2.2) En toda proporción geométrica, un medio es igual al producto de los extremos dividido por elotro medio a/b=c/d, b=(a*d)c.Sea la proporción geométrica 6/4=3/2, tenemos: 4=(6*2)/3.
  4. 4. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEONC: 1 6 6 1 9 1 31° ADMÓN DE EMPRESAS.AULA MERK3) Media geométrica, es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua.a/b=b/c, la media geométrica es b. La media geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto delos extremos. b=RAIZ((a*c),2).Sea la proporción geométrica 9/6=6/4, la media geométrica es 6, 6=RAIZ((9*6),2).4) Cuarta proporcional, al cálculo de un término cualquiera de una proporción ordinaria, conocidoslos otros tres se le llama cuarta proporcional.Sea la proporción geométrica 8/b=4/5, la cuarta proporcional es b=10.5) Tercera proporcional, al cálculo de uno cualquiera de los términos que no se repiten en unaproporción contínua.Sea la proporción geométrica a/8=8/4, la tercera proporcional es a=16PorcentajeEn matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tieneel número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde porciento significa “de cada cien unidades”. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, deforma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parteproporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. el porcentaje sirve tambiénpara sacar un porciento de una cantidad ...El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 yque se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1Porejemplo, "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa treinta y dos de cadacien. También puede ser representado:y, operando:El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000,es decir:
  5. 5. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEONC: 1 6 6 1 9 1 31° ADMÓN DE EMPRESAS.AULA MERK640 unidades en total.El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) conotra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo,si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en elprimer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando unaproporción mayor en el segundo país.El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similarsólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene deun símbolo que representaba "P cento" (c. 1425).Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y e ‱ (por diez mil, también conocido como un puntobásico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente.RepresentaciónTanto por ciento como fracciónEl tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:Para saber cómo se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:PorcentajeLa fracción común se multiplica por 100 y se resuelve la operación, como resultadoserá el porcentaje.Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la operación siguiente:Obtener un tanto por ciento de un númeroPara obtener un tanto por ciento de un número simplemente se multiplica. Porejemplo, el 25 % de 150 es . Una forma equivalentede tratar esta operación es considerar que se multiplica por la cifra y se divide porcien (pues 0,01 = 1/100).
  6. 6. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEONC: 1 6 6 1 9 1 31° ADMÓN DE EMPRESAS.AULA MERKAlternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla detres simple directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres:simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjuncióncon el restado.Por tanto: 37,5 es el 25% de 1501. ↑ «Aunque el símbolo % [...] se ve frecuentemente escrito sin separación de la cifra que loprecede, la norma establecida por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas determina quese escribe precedido de un espacio», Ortografía de la lengua española, 2010, p. 590. Antes dela última Ortografía, la Asale recomendó no dejar espacio (Sección Números del Diccionariopanhispánico de dudas).B.B: ENCICLOPEDIA VIRTUAL ¨WIKIPEDIA¨
  7. 7. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEONC: 1 6 6 1 9 1 31° ADMÓN DE EMPRESAS.AULA MERKAlternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla detres simple directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres:simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjuncióncon el restado.Por tanto: 37,5 es el 25% de 1501. ↑ «Aunque el símbolo % [...] se ve frecuentemente escrito sin separación de la cifra que loprecede, la norma establecida por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas determina quese escribe precedido de un espacio», Ortografía de la lengua española, 2010, p. 590. Antes dela última Ortografía, la Asale recomendó no dejar espacio (Sección Números del Diccionariopanhispánico de dudas).B.B: ENCICLOPEDIA VIRTUAL ¨WIKIPEDIA¨

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