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Aula 5 MAT

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Aula 5 MAT

  1. 1. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS RAZÃO A PALAVRA RAZÃO VEM DO LATIM RATIO E SIGNIFICA A DIVISÃO OU O QUOCIENTE ENTRE DOIS NÚMEROS a E b , DENOTADO POR a:b OU a/b E LÊ-SE a PARA b . CHAMA-SE RAZÃO DE UM NÚMERO RACIONAL POR OUTRO (DIFERENTE DE ZERO), O QUOCIENTE EXATO DO PRIMEIRO PELO SEGUNDO. EXEMPLO A RAZÃO ENTRE 10 E 5 É IGUAL A 2 PORQUE 10/5 = 2.
  2. 2. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO A RAZÃO DE 9 PARA 12 É IGUAL A 9/12. A RAZÃO DE 5 PARA 10 É IGUAL A 5/10 OU 1/2. A RAZÃO DE 6 PARA 18 É IGUAL A 6/18 OU 1/3. IMPORTANTE NA RAZÃO O NÚMERO ACIMA (NUMERADOR) É CHAMADO DE ANTECEDENTE E O NÚMERO ABAIXO (DENOMINADOR) É CHAMADO DE CONSEQÜENTE .
  3. 3. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS IMPORTANTE LÊ-SE : NOVE ESTÁ PARA DOZE SENDO QUE O 1º NÚMERO É ANTECEDENTE E O 2º NÚMERO É CONSEQÜENTE. ENTÃO UM ESTÁ PARA DOIS, SENDO 1 O ANTECEDENTE E 2 O CONSEQÜENTE.
  4. 4. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS IMPORTANTE QUANDO O ANTECEDENTE DE UMA RAZÃO FOR IGUAL AO CONSEQÜENTE DE OUTRA, OU VICE-VERSA, DIZEMOS QUE FORMAM DUAS RAZÕES INVERSAS. EXEMPLO 5/6 E 6/5 SÃO RAZÕES INVERSAS.
  5. 5. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO NUM VESTIBULAR COM 40 QUESTÕES, LUCIANO ACERTOU 20. VAMOS DETERMINAR A RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE QUESTÕES CORRETAS E O NÚMERO TOTAL DE QUESTÕES. NÚMEROS DE QUESTÕES CERTAS: 20 NÚMERO TOTAL DE QUESTÕES: 40 RAZÃO: 20/40 = 1/2 (LÊ-SE 1 ESTÁ PARA 2)
  6. 6. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EXEMPLO </li></ul><ul><li>UM GRUPO DE ESPORTISTAS É FORMADO POR 340 RAPAZES </li></ul><ul><li>E 360 MOÇAS. VAMOS ENCONTRAR AS RAZÕES A SEGUIR. </li></ul><ul><li>RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE MOÇAS E O NÚMERO </li></ul><ul><li>DE RAPAZES. </li></ul><ul><li>NÚMERO DE MOÇAS: 360 </li></ul><ul><li>NÚMERO DE RAPAZES: 340 </li></ul><ul><li>RAZÃO: 360/340 = 18/17 (LÊ-SE 18 ESTÁ PARA 17) </li></ul>
  7. 7. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO UM GRUPO DE ESPORTISTAS É FORMADO POR 340 RAPAZES E 360 MOÇAS. VAMOS ENCONTRAR AS RAZÕES A SEGUIR. b) RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE MOÇAS E O NÚMERO TOTAL DE ESPORTISTAS. NÚMERO DE MOÇAS: 360 NÚMERO TOTAL DE ESPORTISTAS: 340 + 360 = 700 RAZÃO: 360/700 = 18/35 (LÊ-SE 18 ESTÁ PARA 35)
  8. 8. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO A RAZÃO ENTRE 0,20 E 2 É: 0,20 / 2 = (1/5)/2 1/5 x 1/2 = 1/10 1/10 É O MESMO QUE 1 PARA 10.
  9. 9. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO A RAZÃO ENTRE 1/3 E 4/7 É: (1/3) / (4/7) = 1/3 x 7/4 = 7/12 7/12 É O MESMO QUE 7 PARA 12.
  10. 10. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO A RAZÃO ENTRE 6 E 1/4 É: (6) / (1/4) = 6 x 4/1 = 24/1 = 24 24/1 É O MESMO QUE 24 PARA 1.
  11. 11. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPORÇÃO É A SENTENÇA MATEMÁTICA QUE EXPRIME IGUALDADE ENTRE DUAS RAZÕES. DE MODO GERAL, PODEMOS DIZER QUE OS NÚMEROS a , b , c E d , NÃO NULOS, FORMAM, NESSA ORDEM, UMA PROPORÇÃO QUANDO a/b = c/d . CADA ELEMENTO DE UMA PROPORÇÃO É DENOMINADO TERMO DA PROPORÇÃO. OS TERMOS a E d SÃO CHAMADOS DE TERMOS CONSE- QÜENTES OU MEIOS E OS TERMOS b E c SÃO CHAMADOS DE TERMOS ANTECEDENTES OU EXTREMOS .
  12. 12. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO VAMOS VERIFICAR SE OS NÚMEROS 30, 40, 12 E 16 FORMAM,NESSA ORDEM, UMA PROPORÇÃO. 30/40 = 3/4 E 12/16 = 3/4 30/40 = 12/16 PORTANTO, OS NÚMEROS 30, 40, 12 E 16 FORMAM UMA PROPORÇÃO, O QUE SIGNIFICA DIZER QUE 30 ESTÁ PARA 40 ASSIM COMO 12 ESTÁ PARA 16.
  13. 13. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES </li></ul><ul><li>PROPRIEDADE FUNDAMENTAL </li></ul><ul><li>COMPOSIÇÃO </li></ul><ul><li>DECOMPOSIÇÃO </li></ul>
  14. 14. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADE FUNDAMENTAL EM TODA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS MEIOS É SEMPRE IGUAL AO PRODUTO DOS EXTREMOS. a/b = c/d => a x d = c x b EXEMPLO 2/5 = 4/10 => 2 x 10 = 20 | 4 x 5 = 20
  15. 15. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO 7/8 = x/40 ONDE 8 x X É IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS E 7 x 40 É IGUAL AO PRODUTO DOS EXTREMOS. TEMOS ENTÃO: 8x = 280 LOGO x = 280/8 = 35
  16. 16. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADE COMPOSIÇÃO EM TODA PROPORÇÃO, A SOMA DOS PRIMEIROS TERMOS ESTÁ PARA O PRIMEIRO OU PARA O SEGUNDO, ASSIM COMO A SOMA DOS DOIS ÚLTIMOS ESTÁ PARA O TERCEIRO OU PARA O QUARTO TERMO. a/b = c/d => a+b/a = c+d/c OU a+b/b = c+d/d
  17. 17. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO A SOMA DE DOIS NÚMEROS É 80 E A RAZÃO ENTRE O ME- NOR E O MAIOR É 2/3. ACHAR O VALOR DESSES NÚMEROS. a = MENOR b = MAIOR a/b = 2/3 => a+b/a = 2+3/2 a+b = 80 ENTÃO, 80/a = 5/2 => a = (80 x 2) /5 = 160/5 = 32 CONCLUI-SE: SE O MENOR VALE 32, O MAIOR ENTÃO SERÁ 80-32 = 48.
  18. 18. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADE DECOMPOSIÇÃO EM QUALQUER PROPORÇÃO, A DIFERENÇA ENTRE OS DOIS PRIMEIROS TERMOS ESTÁ PARA O PRIMEIRO OU PARA O SEGUNDO, ASSIM COMO A DIFERENÇA ENTRE OS DOIS ESTÁ PARA O TERCEIRO OU PARA O QUARTO TERMO. a/b = c/d => a-b/a = c-d/c OU a-b/b = c-d/d
  19. 19. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO DETERMINAR DOIS NÚMEROS, SABENDO-SE QUE A RAZÃO ENTRE ELES É DE 7/3 E QUE A DIFERENÇA É 48. a = MENOR b = MAIOR a/b = 7/3 => a-b/a = 7-3/7 a-b = 48 ENTÃO, 48/a = 4/7 => a = (48 x 7) /4 = 336/4 = 84 CONCLUI-SE: SE a = 84 E a – b = 48, ENTÃO b = 84 – 48 = 36.
  20. 20. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO EM UMA PROVA COM 40 QUESTÕES, UM CANDIDATO ACERTOU 25, DEIXANDO 5 EM BRANCO E ERRANDO AS DEMAIS. QUAL A RAZÃO DO NÚMERO DE QUESTÕES CERTAS PARA O DE QUESTÕES ERRADAS? DO TOTAL DE 40 QUESTÕES, 25 ESTAVAM CERTAS E 5 EM BRANCO. ASSIM, O NÚMERO DE QUESTÕES ERRADAS É: 40 – 25 – 5 = 10 MONTANDO, A RAZÃO DO NÚMERO DE QUESTÕES CERTAS (40) PARA OS DE QUESTÕES ERRADAS (10) É A SEGUINTE: 40/10 = 4/1 OU 4 PARA 1.
  21. 21. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO CALCULAR DOIS NÚMEROS POSITIVOS NA PROPORÇÃO DE 3 PARA 5, SABENDO QUE A DIFERENÇA DO MAIOR PARA O MENOR É 27. SEJAM a O MENOR E b O MAIOR DOS NÚMEROS PROCURADOS. A PROPORÇÃO NOS MOSTRA QUE a ESTÁ PARA 3 ASSIM COMO b ESTÁ PARA 5. a TEM 2 PARTES (a = 2p) b TEM 5 PARTES (b = 5p)
  22. 22. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO A DIFERENÇA ENTRE b – a É IGUAL A 27, TEMOS: 5p – 2p = 27 3p = 27 p = 27/3 = 9 a = 2p => a = 2 x 9 = 18 b = 5p => b = 5 x 9 = 45 PROVANDO OS CÁLCULOS: 45 – 18 = 27
  23. 23. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO PROPORCIONAL PODEMOS DEFINIR UMA DIVISÃO PROPORCIONAL, COMO UMA FORMA DE DIVISÃO NO QUAL DETERMINAM-SE VALORES QUE, DIVIDIDOS POR QUOCIENTES PREVIAMENTE DETEREMINADOS, MANTÊM-SE UMA RAZÃO QUE NÃO TEM VARIAÇÃO.
  24. 24. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE DIVISÃO PROPORCIONAL </li></ul><ul><li>DIRETA </li></ul><ul><li>INVERSA </li></ul><ul><li>DIRETA E INVERSA AO MESMO TEMPO </li></ul>
  25. 25. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS O TOTAL DOS NÚMEROS A SER DIVIDIDO ESTÁ PARA A SOMA DOS PROPORCIONAIS, ASSIM COMO O NÚMERO PROPORSIONAL ESTÁ PARA A PARTE QUE A REPRESENTA.
  26. 26. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO PROPORCIONAL PARA DECOMPOR UM NÚMERO “ n ” EM DUAS PARTES a E b DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A p E q , MONTAMOS UM SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS, DE MODO QUE A SOMA DAS PARTES SEJA a + b = n . a/p = b/q A SOLUÇÃO SEGUE DAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES: a/p = b/q = (a+b)/(p+q) = n/(p+q) = k
  27. 27. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO PARA DECOMPOR O NÚMERO 100 EM DUAS PARTES a E b DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 2 E 3, MONTAREMOS O SISTEMA DE MODO QUE a+b=100, CUJA SOLUÇÃO SEGUE DE: a/2 = b/3 = (a+b)/5 = 100/5 = 20 ENTÃO, a = 40 E b = 60
  28. 28. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO DETERMINAR NÚMERO a E b DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 8 E 3, SABENDO-SE QUE A DIFERENÇA ENTRE ELES É 60. PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA BASTA TOMAR a-b = 60, CUJA SOLUÇÃO SEGUE DE: a/8 = b/3 = (a-b)/5 = 60/5 = 12 ENTÃO, a = 96 E b = 36
  29. 29. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO UMA PESSOA DIVIDE O VALOR DE R$ 12.000,00 PROPORCIONALMENTE AS IDADES DE SEUS FILHOS: 2, 4 e 6 ANOS. QUAL O VALOR QUE CADA UM RECEBERÁ? 2 + 4 + 6 = 12 12 : 12.000 2 : x 12x = 24.000 => x = 24.000/12 => x = 2.000 (é a parte do primeiro filho)
  30. 30. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO 12 : 12.000 4 : x 12x = 48.000 => x = 48.000/12 => x = 4.000 (é a parte do segundo filho) 12 : 12.000 6 : x 12x = 72.000 => x = 72.000/12 => x = 6.000 (é a parte do terceiro filho)
  31. 31. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS PARA DECOMPOR UM NÚMERO “ n ” EM DUAS PARTES, SEJAM x E y , QUE SEJAM INVERSAMENTE PROPORCIONAIS A x E y , DEVE-SE DECOMPOR ESTE NÚMERO “ n ” EM DUAS PARTES x E y DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 1/x E 1/y , QUE FORMAM, DESTA FORMA, OS NÚMEROS INVERSOS. POR EXEMPLO, PARA DIVIDIR EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS A 1/4 E 2/3 EQUIVALE A DIVIDIR EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 4 E 3/2 .
  32. 32. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL DIVIDIR O NÚMERO 441 EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS A 3, 5 e 6. x + y + z = 441 x/(1/3) = y/(1/5) = z/(1/6) DETERMINANDO AS FRAÇÕES EQUIVALENTES: mmc(3,5,6) = 30 1/3, 1/5, 1/6 = 10/30, 6/30, 5/30
  33. 33. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL MONTANDO O SISTEMA TEMOS: x + y + z = 441 x/10 = y/6 = z/5 (x + y + z)/(10 + 6 + 5) = x/10 = y/6 = z/5 441/21 = 21
  34. 34. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL CALCULANDO AS PARTES TÊM-SE O RESULTADO: 21/1 = x/10 x.1 = 21.10 x = 210 21/1 = y/6 y.1 = 21.6 y = 126 21/1 = z/5 z.1 = 21.5 z = 105
  35. 35. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL VERIFICAÇÃO DE RESULTADOS: 210 + 126 + 105 = 441 210/10 = 21 126/6 = 21 105/5 = 21
  36. 36. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS PARA DECOMPOR UM NÚMERO “ n ” EM DUAS PARTES a E b DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A c E d E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS A p E q , DEVE-SE DECOMPOR ESTE NÚMERO “ n ” EM DUAS PARTES a E b DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A c/p E d/q , BASTA MONTAR UM SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS DE FORMA QUE a + b = n E ALEM DISSO: a/(c/p) = b/(d/q) = (a+b)/(c/p+d/q) = n/(c/p+d/q) = (n.p.q)/(c.q+p.d) = k O VALOR DE K PROPORCIONA A SOLUÇÃO POIS: a = K.c/p E b = k.d/q
  37. 37. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS PARA DECOMPOR O NÚMERO 58 EM DUAS PARTES “a” E “b” DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 2 e 3, E, INVERSAMENTE PROPORCIONAIS A 5 e 7, DEVE-SE MONTAR AS PROPORÇÕES: a/(2/5) = b/(3/7) = (a+b)/(2/5+3/7) = 58/(29/35) 58/1 x 35/29 = 2/1 x 35/1 = 70/1 = 70 ASSIM a = (2/5).70 = 140/5 = 28 E b = ( 3/7).70 = 210/7 = 30
  38. 38. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS PARA OBTER NÚMEROS “a” E “b” DIRETAMENTE PROPOR- CIONAIS A 4 e 3, E, INVERSAMENTE PROPORCIONAIS A 6 e 8, SABENDO-SE QUE A DIFERENÇA ENTRE ELES É 21. PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA BASTA ESCREVER QUE a-b = 21 E RESOLVER AS PROPORÇÕES: a/(4/6) = b/(3/8) = (a-b)/(4/6-3/8) = 21/(7/24) 21/1 x 24/7 = 3/1 x 24/1 = 72/1 = 72 ASSIM a = (4/6).72 = 288/6 = 48 E b = ( 3/8).72 = 216/8 = 27
  39. 39. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS SIMPLES É UM PROCESSO PRÁTICO PARA RESOLVER PROBLEMAS QUE ENVOLVAM QUATRO VALORES DOS QUAIS CONHECEMOS TRÊS DELES. DEVEMOS, PORTANTO, DETERMINAR UM VALOR A PARTIR DOS TRÊS JÁ CONHECIDOS.
  40. 40. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PASSOS UTILIZADOS NUMA REGRA DE TRÊS SIMPLES 1º) CONSTRUIR UMA TABELA, AGRUPANDO AS GRANDEZAS DA MESMA ESPÉCIE EM COLUNAS E MANTENDO NA MESMA LINHA AS GRANDEZAS DE ESPÉCIES DIFERENTES EM CORRESPONDÊNCIA. 2º) IDENTIFICAR SE AS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. 3º) MONTAR A PROPORÇÃO E RESOLVER A EQUAÇÃO.
  41. 41. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>VARIANTES DA REGRA DE TRÊS SIMPLES </li></ul><ul><li>DIRETA </li></ul><ul><li>INVERSA </li></ul><ul><li>É DEFINIDO NA REGRA DE TRÊS OS TERMOS DE </li></ul><ul><li>“ DIRETA OU INVERSA ”, DEPENDENDO DO TIPO DE </li></ul><ul><li>RELAÇÃO QUE EXISTEM ENTRE AS DUAS GRANDEZAS </li></ul><ul><li>ENVOLVIDAS NO PROCESSO DO PROBLEMA. </li></ul>
  42. 42. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS COM UMA ÁREA DE ABSORÇÃO DE RAIOS SOLARES DE 1,2 m², UMA LANCHA COM MOTOR MOVIDO A ENERGIA SOLAR CONSEGUE PRODUZIR 400 WATTS POR HORA DE ENERGIA. AUMENTANDO-SE ESSA ÁREA PARA 1,5 m², QUAL SERÁ A ENERGIA PRODUZIDA? MONTANDO A TABELA: Área (m 2 ) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x
  43. 43. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS IDENTIFICAÇÃO DO TIPO DE RELAÇÃO: Área (m 2 ) Energia (Wh) 1,2 400 | 1,5 x | V INICIALMENTE COLOCAMOS UMA SETA PARA BAIXO NA COLUNA QUE CONTÉM O x (2ª COLUNA).
  44. 44. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS OBSERVE QUE: AUMENTANDO A ÁREA DE ABSORÇÃO, A ENERGIA SOLAR AUMENTA . COMO AS PALAVRAS CORRESPONDEM (AUMENTANDO – AUMENTA), PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS . ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETA NO MESMO SENTIDO (PARA BAIXO) NA 1ª COLUNA. MONTANDO A PROPORÇÃO E RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: Área (m 2 ) Energia (Wh) 1,2 | 400 | 1,5 | x | V V
  45. 45. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS 1,2 / 1,5 = 400 / x MULTIPLICAMOS EM CRUZES: 1,2x = 1,5 x 400 x = 1,5 x 400 / 1,2 x = 600 / 1,2 = 500 LOGO, A ENERGIA PRODUZIDA SERÁ DE 500 WATTS POR HORA.
  46. 46. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS UM TREM, DESLOCANDO-SE A UMA VELOCIDADE MÉDIA DE 400 km/h, FAZ UM DETERMINADO PERCURSO EM 3 HORAS. EM QUANTO TEMPO FARIA ESSE MESMO PERCURSO, SE A VELOCIDADE UTILIZADA FOSSE DE 480 km/h? MONTANDO A TABELA: Velocidade (km/h) Tempo (h) 400 3 480 x
  47. 47. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS IDENTIFICAÇÃO DO TIPO DE RELAÇÃO: Velocidade (km/h) Tempo (h) 400 3 | 480 x | V INICIALMENTE COLOCAMOS UMA SETA PARA BAIXO NA COLUNA QUE CONTÉM O x (2ª COLUNA).
  48. 48. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS OBSERVE QUE: AUMENTANDO A VELOCIDADE, O TEMPO DO PERCURSO DIMINUI . COMO AS PALAVRAS SÃO CONTRÁRIAS (AUMENTANDO – DIMINUI), PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAIS . ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETA NO SENTIDO CONTRÁRIO (PARA CIMA) NA 1ª COLUNA. MONTANDO A PROPORÇÃO E RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: Velocidade (km/h) Tempo (h) ^ 400 | 3 | 480 | x | V
  49. 49. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS 3 / x = 480 / 400 (INVERTERMOS OS TERMOS) MULTIPLICAMOS EM CRUZES: 480x = 3 x 400 x = 3 x 400 / 480 x = 1200 / 480 = 2,5 LOGO, O TEMPO DESSE PERCURSO SERIA DE 2,5 HORAS OU 2 HORAS E 30 MINUTOS.
  50. 50. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS BIANCA COMPROU 3 CAMISETAS E PAGOU R$ 120,00. QUANTO ELA PAGARIA SE COMPRASSE 5 CAMISETAS DO MESMO TIPO E PREÇO? MONTANDO A TABELA: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x
  51. 51. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS IDENTIFICAÇÃO DO TIPO DE RELAÇÃO: Camisetas Preço (R$) 3 120 | 5 x | V INICIALMENTE COLOCAMOS UMA SETA PARA BAIXO NA COLUNA QUE CONTÉM O x (2ª COLUNA).
  52. 52. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS OBSERVE QUE: AUMENTANDO O NÚMERO DE CAMISETAS, O PREÇO AUMENTA. COMO AS PALAVRAS CORRESPONDEM (AUMENTANDO – AUMENTA), PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS . ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETA NO MESMO SENTIDO (PARA BAIXO) NA 1ª COLUNA. MONTANDO A PROPORÇÃO E RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: Velocidade (km/h) Tempo (h) 400 | 3 | 480 | x | V V
  53. 53. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS LOGO, A BIANCA PAGARIA R$ 200,00 PELAS 5 CAMISETAS.
  54. 54. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS UMA EQUIPE DE OPERÁRIOS, TRABALHANDO 8 HORAS POR DIA, REALIZOU DETERMINADA OBRA EM 20 DIAS. SE O NÚMERO DE HORAS DE SERVIÇO FOR REDUZIDO PARA 5 HORAS, EM QUE PRAZO ESSA EQUIPE FARÁ O MESMO TRABALHO? MONTANDO A TABELA: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x
  55. 55. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS IDENTIFICAÇÃO DO TIPO DE RELAÇÃO: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 | 5 x | V INICIALMENTE COLOCAMOS UMA SETA PARA BAIXO NA COLUNA QUE CONTÉM O x (2ª COLUNA).
  56. 56. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS OBSERVE QUE: DIMINUINDO O NÚMERO DE HORAS TRABA- LHADAS POR DIA, O PRAZO PARA TÉRMINO AUMENTA . COMO AS PALAVRAS SÃO CONTRÁRIAS (DIMINUINDO – AUMENTA), PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAIS . ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETA NO SENTIDO CONTRÁRIO (PARA CIMA) NA 1ª COLUNA. MONTANDO A PROPORÇÃO E RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: horas por dia prazo para término (dias) ^ 8 | 20 | 5 | x | V
  57. 57. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS LOGO, A EQUIPE FARIA O MESMO TRABALHO EM 32 DIAS.
  58. 58. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS QUADRO DE FIXAÇÃO DA REGRA DE TRÊS DIRETA E INVERSA REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA:
  59. 59. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS QUADRO DE FIXAÇÃO DA REGRA DE TRÊS DIRETA E INVERSA REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA:
  60. 60. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REGRA DE TRÊS COMPOSTA REGRA DE TRÊS COMPOSTA É UM PROCESSO PRÁTICO PARA RESOLVER PROBLEMAS COM MAIS DE DUAS GRANDEZAS, DIRETA OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
  61. 61. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REGRAS MÉTODO MAIS PRÁTICO DE SOLUÇÃO DA REGRA DE TRÊS COMPOSTA: FAÇA A COMPARAÇÃO DA GRANDEZA QUE IRÁ DETERMI- NAR A REGRA COM AS DEMAIS GRANDEZAS. SE ESTA GRANDEZA FOR INVERSA, INVERTEMOS OS DADOS DESSA GRANDEZA DAS DEMAIS GRANDEZAS. A GRANDEZA A SE DETERMINAR NÃO SE ALTERA, ENTÃO, IGUALAMOS A RAZÃO DAS GRANDEZAS E DETERMINAMOS O VALOR QUE SE PROCURA.
  62. 62. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS SE 10 METROS DE UM TECIDO CUSTAM R$ 50,00 QUANTO CUSTARÁ 22 METROS? O PROBLEMA ENVOLVE DUAS GRANDEZAS (QUANTIDADE DE TECIDOS E PREÇO DA COMPRA). ASSIM 22 METROS CUSTARÃO R$ 110,00
  63. 63. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS SE EM 6 DIAS DE TRABALHO, 12 CONFEITEIROS FAZEM 960 TORTAS. EM QUANTOS DIAS 4 CONFEITEIROS PODERÃO FAZEM 320 TORTAS. SOLUÇÃO: O PROBLEMA ENVOLVE TRÊS GRANDEZAS (TEMPO, NÚMERO DE CONFEITEIROS, QUANTIDADE DE TORTAS). ASSIM 320 TORTAS POR 4 CONFEITEIROS LEVARÃO 6 DIAS.
  64. 64. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PORCENTAGEM PORCENTAGEM PODE SER DEFINIDA COMO A CENTÉSIMA PARTE DE UMA GRANDEZA, OU O CÁLCULO BASEADO EM 100 UNIDADES.
  65. 65. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PORCENTAGEM É VISTO COM FREQÜÊNCIA AS PESSOAS OU O PRÓPRIO MERCADO USAREM EXPRESSÕES DE ACRÉSCIMO OU REDUÇÃO NOS PREÇOS DE PRODUTOS OU SERVIÇOS.
  66. 66. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>O LEITE TEVE UM AUMENTO DE 25%. </li></ul><ul><li>QUER DIZER QUE DE CADA R$ 100,00 TEVE UM </li></ul><ul><li>ACRÉSCIMO DE R$ 25,00 </li></ul><ul><li>O CLIENTE TEVE UM DESCONTO DE 15% NA COMPRA </li></ul><ul><li>DE UMA CALÇA JEANS. </li></ul><ul><li>QUER DIZER QUE EM CADA R$ 100,00 A LOJA DEU UM </li></ul><ul><li>DESCONTO DE R$ 15,00. </li></ul><ul><li>DOS FUNCIONÁRIOS QUE TRABALHAM NA EMPRESA, </li></ul><ul><li>75% SÃO DEDICADOS. </li></ul><ul><li>SIGNIFICA QUE DE CADA 100 FUNCIONÁRIOS, 75 SÃO </li></ul><ul><li>DEDICADOS AO TRABALHO OU A EMPRESA. </li></ul>
  67. 67. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOÇÃO DA PORCENTAGEM EM NÚMEROS A) 60/100 DE 150 DIAS DE TRABALHO = (150/100) x 60 = 90 DIAS O NÚMERO 90 DIAS DE TRABALHO REPRESENTA: PORCENTAGEM B) 70/100 DE R$ 120,00 DE COMPRA = (120/100) x 70 = R$ 84,00 O VALOR DE R$ 84,00 REPRESENTA: PORCENTAGEM
  68. 68. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TAXA DE PORCENTAGEM É DEFINIDO COMO TAXA DE PORCENTAGEM O VALOR OBTIDO APLICANDO UMA DETERMINADA TAXA A UM CERTO VALOR. TAMBÉM PODE-SE FIXAR A TAXA DE PORCENTAGEM COMO O NUMERADOR DE UMA FRAÇÃO QUE TEM COMO DENOMINADOR O NÚMERO 100.
  69. 69. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS COMO CALCULAR PORCENTAGEM TODO O CALCULO DE PORCENTAGEM, COMO INFORMADO, É BASEADO NO NÚMERO 100. O CÁLCULO DE TANTOS POR CENTO DE UMA EXPRESSÃO MATEMÁTICA OU DE UM PROBLEMA A SER RESOLVIDO É INDICADO PELO SÍMBOLO (%), E PODE SER FEITO, NA SOMA, POR MEIO DE UMA PROPORÇÃO SIMPLES.
  70. 70. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>REGRAS </li></ul><ul><li>A TAXA ESTÁ PARA PORCENTAGEM (ACRÉSCIMO, DESCONTO, </li></ul><ul><li>ETC), ASSIM COMO O VALOR 100 ESTÁ PARA A QUANTIA A SER </li></ul><ul><li>ENCONTRADA. </li></ul><ul><li>UM TÍTULO TEM DESCONTO DE 10% SOBRE O VALOR TOTAL DE </li></ul><ul><li>R$ 100,00. QUAL O VALOR DO TÍTULO? </li></ul><ul><li>30% : R$ 100,00 </li></ul><ul><li>100% : x </li></ul><ul><li>x = R$ 30,00 </li></ul>
  71. 71. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REGRAS 2) O NÚMERO QUE SE EFETUA O CÁLCULO DE PORCENTAGEM É REPRESENTADO POR 100. EFETUE O CÁLCULO 10% DE 50. 100% : 50 10% : x x = 5 OBS.: NOS DOIS EXEMPLOS DADOS FORAM USADOS O SISTEMA DE CÁLCULO DE REGRA DE TRÊS, JÁ ENSINADO ANTERIORMENTE.
  72. 72. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REGRAS 3) O CAPITAL INFORMADO TEM SEMPRE POR IGUALDADE AO 100. EFETUA-SE O RESGATE DE UM CHEQUE PRÉ-DATADO NO VALOR DE R$ 150,00 E OBTEM-SE UM DESCONTO DE 20%. 100% : R$ 150,00 20% : x x = R$ 30,00
  73. 73. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO UM JOGADOR DE BASQUETE, AO LONGO DO CAMPEONATO, FEZ 250 PONTOS, DESTE TOTAL 10% FORAM DE CESTAS DE 2 PONTOS. QUANTAS CESTAS DE 2 PONTOS O JOGADOR FEZ DO TOTAL DE 250 PONTOS? 10% DE 250 = (10 x 250)/100 = 2500/100 = 25 PORTANTO, DO TOTAL DE 250 PONTOS O JOGADOR FEZ 25 PONTOS DE CESTA DE 2 PONTOS.
  74. 74. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO UM CELULAR FOI COMPRADO POR R$ 300,00 E REVENDIDO POSTERIORMENTE POR R$ 340,00, QUAL A TAXA PERCENTUAL DE LUCRO? NESTE CASO É PROCURADO UM VALOR DE PORCENTAGEM NO QUAL SÃO SOMADOS OS R$ 300,00 INICIAIS COM A PORCENTA- GEM AUMENTADA E QUE TENHA COMO RESULTADO O VALOR DE R$ 340,00. 300 + 300 . x/100 = 340 3x = 340 – 300 x = 40/3 x = 13,333 (DÍZIMA PERIÓDICA) ASSIM, A TAXA DE LUCRO OBTIDA COM ESTA OPERAÇÃO DE REVENDA FOI DE 13,33%.
  75. 75. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FATOR MULTIPLICANTE HÁ UMA DICA IMPORTANTE A SER SEGUIDA, NO CASO DE CÁLCULO COM PORCENTAGEM. NO CASO SE HOUVER ACRÉSCIMO NO VALOR, É POSSÍVEL FAZER ISTO DIRETAMENTE ATRAVÉS DE UMA OPERAÇÃO SIMPLES, MULTIPLICANDO O VALOR DO PRODUTO/SERVIÇO PELO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
  76. 76. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DICA TENHO UM PRODUTO “ X ”, E ESTE TERÁ UM ACRÉSCIMO DE 30% SOBRE O PREÇO NORMAL, DEVIDO AO PRAZO DE PAGAMENTO. ENTÃO BASTA MULTIPLICAR O VALOR DO MESMO PELO NÚMERO 1,30 . CASO O MESMO PRODUTO AO INVÉS DE 30% TENHA 20% DE ACRÉSCIMO, ENTÃO O FATOR MULTIPLICANTE É DE 1,20 .
  77. 77. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVE ESTA PEQUENA TABELA:
  78. 78. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO AUMENTE 17% SOBRE O VALOR DE UM PRODUTO DE R$ 20,00, TEMOS R$ 20,00 X 1,17 = R$ 23,40 É ASSIM SUCESSIVAMENTE, É POSSÍVEL MONTAR UMA TABELA CONFORME O CASO.
  79. 79. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DICA DA MESMA FORMA QUE É POSSÍVEL, TER UM FATOR MULTIPLICANTE QUANDO SE TEM ACRÉSCIMO AUM CERTO VALOR, TAMBÉM NO DECRÉSCIMO OU DESCONTO, PODE-SE TER ESTE FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. NESTE CASO, FAZ-SE A SEGUINTES OPERAÇÃO: 1 – TAXA DE DESCONTO (ISTO NA FORMA DECIMAL)
  80. 80. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DICA TENHO UM PRODUTO “ Y ”, E ESTE TERÁ UM DESCONTO DE 30% SOBRE O PREÇO NORMAL. ENTÃO BASTA MULTIPLICAR O VALOR DO MESMO PELO NÚMERO 0,70 . CASO O MESMO PRODUTO AO INVÉS DE 30% TENHA 20% DE DESCONTO, ENTÃO O FATOR MULTIPLICANTE É DE 0,80 .
  81. 81. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVE ESTA PEQUENA TABELA:
  82. 82. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO DESCONTO DE 7% SOBRE O VALOR DE UM PRODUTO DE R$ 58,00, TEMOS R$ 58,00 X 0,93 = R$ 53,94 É ASSIM SUCESSIVAMENTE, É POSSÍVEL MONTAR UMA TABELA CONFORME O CASO.
  83. 83. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO QUAL O VALOR DE UMA MERCADORIA QUE CUSTOU R$ 555,00 E QUE PRETENDE TER COM ESTA UM LUCRO DE 17%? 100% : 555 17% : x x = 555 . 17/100 x = 9435/100 x = 94,35 TEMOS O VALOR DA MERCADORIA: R$ 555,00 + R$ 94,35 PREÇO FINAL: R$ 649,35
  84. 84. PROAB 2010 AULA 5 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO UM ALUNO TEVE 30 AULAS DE UMA DETERMINADA MATÉRIA. QUAL O NÚMERO MÁXIMO DE FALTAS QUE ESTE ALUNO PODE TER SABENDO QUE ELE SERÁ REPROVADO, CASO TENHA FALTADO A 30% (POR CENTO) DAS AULAS? 100% : 30 30% : x x = 30 . 30/100 x = 900/100 x = 9 ASSIM, O TOTAL DE FALTAS QUE O ALUNO PODERÁ TER SÃO 9 FALTAS.

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