Aula 2 MAT

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Aula 2 MAT

  1. 1. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>ESTUDO DOS NÚMEROS </li></ul><ul><li>NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>NÚMEROS IRRACIONAIS </li></ul><ul><li>NÚMEROS REAIS </li></ul>
  2. 2. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS NÚMEROS RACIONAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS QUE PODEM SER COLOCADOS NA FORMA DE FRAÇÃO (COM O NUMERADOR E DENOMINADOR PERTENCENTES AOS NÚMEROS INTEIROS). OU SEJA, O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É A UNIÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS COM AS FRAÇÕES POSITIVAS E NEGATIVAS .
  3. 3. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS RACIONAIS É NORMALMENTE CHAMADO DE “ Q ”, QUE VEM DE QUOTIENT (QUE QUER DIZER QUOCIENTE EM INGLÊS).
  4. 4. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS NA MATEMÁTICA, UM NÚMERO RACIONAL (OU, VULGARMENTE, FRAÇÃO) É UMA RAZÃO ENTRE DOIS INTEIROS , GERALMENTE ESCRITO NA FORMA a / b , ONDE b É UM NÚMERO INTEIRO DIFERENTE DE ZERO .
  5. 5. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR: Q = {a/b | a Є Z; b Є Z*} , AONDE LÊ-SE Q IGUAL A “ a ” SOBRE (OU DIVIDIDO POR) “ b ”, TAL QUE, “ a ” PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “ b ” PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. ONDE “ Z ” É O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “ Z* ” O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS EXCLUINDO O ZERO.
  6. 6. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS FRAÇÃO É UM NÚMERO QUE EXPRIME UMA OU MAIS PARTES IGUAIS QUE FOI DIVIDIDA UMA UNIDADE OU UM INTEIRO. ASSIM, POR EXEMPLO, SE TIVERMOS UMA PIZZA INTEIRA E A DIVIDIRMOS EM QUATRO PARTES IGUAIS, CADA PARTE REPRESENTARÁ UMA FRAÇÃO DA PIZZA.
  7. 7. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>TEMOS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>OS SEGUINTES NÚMEROS: </li></ul><ul><li>29/8 </li></ul><ul><li>3 QUE É IGUAL A 3/1 </li></ul><ul><li>-29/8 </li></ul><ul><li>3 5/8 </li></ul><ul><li>0 QUE É IGUAL A 0/1 </li></ul><ul><li>-3 QUE É IGULA A -3/1 </li></ul>
  8. 8. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMO MOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
  9. 9. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ + ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Q+ = {7/5, 0, 1/2, 1, 2, 3, .....}
  10. 10. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ - ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Q- = {....., -3, -2, -1, -1/2, -1/4, 0}
  11. 11. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS CADA NÚMERO RACIONAL PODE SER ESCRITO DE DIVERSAS FORMAS, COMO, POR EXEMPLO, 3/6 = 2/4 = 1/2 A FORMA MAIS SIMPLES É QUANDO a E b NÃO POSSUEM DIVISORES EM COMUM, E TODO RACIONAL TEM UMA FORMA COMO ESTA.
  12. 12. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS DE MODO SIMPLES, PODE-SE DIZER QUE UMA FRAÇÃO DE UM NÚMERO, REPRESENTADA DE MODO GENÉRICO COMO a / b , DESIGNA ESTE NÚMERO a DIVIDIDO EM b PARTES IGUAIS. NESTE CASO, a CORRESPONDE AO NUMERADOR, ENQUANTO b CORRESPONDE AO DENOMINADOR. EXEMPLO A FRAÇÃO 56/8 DESIGNA O QUOCIENTE DE 56 POR 8. ELA É IGUAL A 7, POIS 7 x 8 = 56.
  13. 13. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE FRAÇÕES </li></ul><ul><li>PRÓPRIA </li></ul><ul><li>IMPRÓPRIA </li></ul><ul><li>MISTA </li></ul><ul><li>APARENTE </li></ul><ul><li>EQUIVALENTES </li></ul><ul><li>UNITÁRIA </li></ul><ul><li>DECIMAIS DE ESCRITA FINITA </li></ul><ul><li>DÍZIMAS </li></ul>
  14. 14. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES PRÓPRIA O NUMERADOR É MENOR QUE O DENOMINADOR. EXEMPLO 1/2, 1/4, 2/4
  15. 15. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES IMPRÓPRIA O NUMERADOR É MAIOR QUE O DENOMINADOR. EXEMPLO 7/3, 5/2, 9/4
  16. 16. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES MISTA É CONSTRUÍDA POR UMA PARTE INTEIRA E UMA PARTE FRACIONÁRIA. EXEMPLO 2 1/2, 4 1/4, 7 2/4
  17. 17. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES APARENTE É CONSTITUÍDA QUANDO O NUMERADOR É MÚLTIPLO DO DENOMINADOR. EXEMPLO 12/2, 20/4, 10/5
  18. 18. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES EQUIVALENTES SÃO AQUELAS QUE MANTÊM A MESMA PROPORÇÃO DE OUTRA FRAÇÃO. EXEMPLO 4/8 = 1/2, 4/20 = 1/5, 10/30 = 1/3
  19. 19. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES UNITÁRIA O NUMERADOR É IGUAL A 1 (UM) E O DENOMINADOR É UM INTEIRO POSITIVO. EXEMPLO 1/3, 1/5, 1/7
  20. 20. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES DECIMAIS DE ESCRITA FINITA SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADO SÃO FINITAS. EXEMPLO 8,35 ou 4,59 ou 1,23
  21. 21. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES DE DÍZIMAS SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADO NÃO SÃO FINITAS. EXEMPLO 8,66666... ou 4,59595959... ou 1,23333333...
  22. 22. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE DECIMAIS </li></ul><ul><li>DECIMAIS EXATOS </li></ul><ul><li>DÍZIMA PERIÓDICA </li></ul><ul><ul><li>DÍZIMA SIMPLES </li></ul></ul><ul><ul><li>DÍZIMA COMPOSTA </li></ul></ul>
  23. 23. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>DECIMAIS EXATOS </li></ul><ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>1/2 = 0,5 </li></ul><ul><li>1/5 = 0,2 </li></ul>
  24. 24. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>DECIMAIS PERIÓDICOS </li></ul><ul><li>DÍZIMA SIMPLES </li></ul><ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>2/3 = 0,666666... </li></ul><ul><li>5/3 = 1,6666... </li></ul>
  25. 25. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>DECIMAIS PERIÓDICOS </li></ul><ul><li>DÍZIMA COMPOSTA </li></ul><ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>7/6 = 1,166666... </li></ul>
  26. 26. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>MULTIPLICAÇÃO </li></ul><ul><li>DIVISÃO </li></ul><ul><li>ADIÇÃO </li></ul><ul><li>SUBTRAÇÃO </li></ul><ul><li>EXPONENCIAÇÃO </li></ul><ul><li>SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES </li></ul>
  27. 27. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO MULTIPLICAM-SE OS NUMERADORES ENTRE SI E OS DENOMINADORES ENTRE SI. EXEMPLOS 3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35 1/4 x 3/5 = 1 x 3 / 4 x 5 = 3/20
  28. 28. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO PARA MULTIPLICAR UMA FRAÇÃO POR UM NÚMERO INTEIRO, CONSIDERA-SE QUE ESTE NÚMERO É UMA FRAÇÃO CUJO DENOMINADOR É IGUAL A 1 (UM). EXEMPLOS 3 x 1/4 = 3 x 1 / 1 x 4 = 3/4 4 x 2/5 = 4 x 2 / 1 x 5 = 8/5
  29. 29. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO É IMPORTANTE NOTAR QUE, MUITAS VEZES, A MULTIPLICAÇÃO DOS NUMERADORES E DENOMINADORES RESULTA EM FRAÇÕES REDUTÍVEIS. ESTA FRAÇÃO DEVE SER REDUZIDA A UMA FRAÇÃO IRREDUTÍVEL. EXEMPLO 1/3 x 9/2 = 1 x 9 / 3 x 2 = 9/6 DIVIDINDO A FRAÇÃO POR 3, OBTEREMOS: 3/2
  30. 30. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO COSTUMA SER MAIS PRÁTICO SIMPLIFICARMOS ANTES DE EFETUAR A MULTIPLICAÇÃO. EXEMPLO 1/3 x 9/2 = 1 x 3/2 = 1 x 3 / 1 x 2 = 3/2
  31. 31. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO COMO JÁ VISTO ANTERIORMENTE, A DIVISÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DA MULTIPLICAÇÃO. É IMPORTANTE TER ISSO EM MENTE PARA RESOLVER UMA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES. EXEMPLO 3/5 / 7/2 PRIMEIRAMENTE INVERTE-SE O DIVISOR DA SEGUNDA FRAÇÃO. COM ISTO, TEM-SE A INVERSÃO DA OPERAÇÃO, ISTO É, PASSARÁ A HAVER UMA MULTIPLICAÇÃO: 3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35
  32. 32. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÁXIMO DIVISOR COMUM O MÁXIMO DIVISOR COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MAIOR DIVISOR EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b , VULGARMENTE ABREVIADO COMO mdc(a,b) É O MAIOR NÚMERO INTEIRO ENCON- TRADO, QUE SEJA DIVISOR DOS OUTROS DOIS NÚMEROS. EXEMPLO mdc(24,40) 24 | 2 40 | 2 12 | 2 20 | 2 6 | 2 x 10 | 2 x mdc(24,40) = 2³ = 8 3 | 3 5 | 5 ___ ___ 1 | 2 ³ x 3 1 | 2³ x 5
  33. 33. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÁXIMO DIVISOR COMUM EXEMPLO mdc(16,8) 16 | 2 8 | 2 8 | 2 4 | 2 4 | 2 x 2 | 2 x mdc(16,8) = 2³ = 8 2 | 2 ___ ___ 1 | 2 4 1 | 2³
  34. 34. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MENOR MÚLTIPLO EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b , VULGAR- MENTE ABREVIADO COMO mmc(a,b) É O MENOR NÚMERO INTEIRO ENCONTRADO, QUE SEJA MÚLTIPLO DOS OUTROS DOIS NÚMEROS. EXEMPLO mmc(24,40) 24, 40 | 2 12, 20 | 2 6, 10 | 2 x 3, 5 | 3 1, 5 | 5 ____ 1, 1 | 120
  35. 35. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM EXEMPLO mmc(6,8) 6, 8 | 2 3, 4 | 2 3, 2 | 2 x 3, 1 | 3 __ 1, 1 | 24
  36. 36. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ADIÇÃO CASO OS DENOMINADORES NÃO SEJAM IGUAIS É PRECISO, ANTES DE EFETUAR A ADIÇÃO, ENCONTRAR O MENOR MÚLTIPLO COMUM (MMC) ENTRE OS DENOMINADORES: 2/3 + 3/5 ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UM DOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADO DESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE: 15/3 = 5 e 5 x 2 = 10 15/5 = 3 e 3 x 3 = 9
  37. 37. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ADIÇÃO SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUAR A ADIÇÃO ENTRE OS NUMERADORES: 10+9 / 15 = 19/15
  38. 38. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SUBTRAÇÃO A SUBTRAÇÃO É FEITA SEGUINDO-SE OS MESMOS PASSOS DA ADIÇÃO: 2/3 - 3/5 ENCONTRADO O MMC. ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UM DOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADO DESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE: 15/3 = 5 e 5 x 2 = 10 15/5 = 3 e 3 x 3 = 9
  39. 39. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SUBTRAÇÃO SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUAR A SUBTRAÇÃO ENTRE OS NUMERADORES: 10-9 / 15 = 1/15
  40. 40. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXPONENCIAÇÃO É INDIFERENTE RESOLVER PRIMEIRA A EXPONENCIAÇÃO OU A DIVISÃO: (1/2)² = 1²/2² = 1/4 = 0,25 EFETUANDO-SE PRIMEIRAMENTE A DIVISÃO OBTÉM-SE O MESMO RESULTADO: (1/2)² = (0,5)² = 0,25
  41. 41. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SIMPLICIDADE DE FRAÇÕES UMA FRAÇÃO PODE SER SIMPLIFICADA QUANDO NUMERADOR E DENOMINADOR NÃO SÃO PRIMOS ENTRE SI: 8/4 PARA TANTO BASTA DIVIDI-LOS PELO MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ENTRE ELES, OBTENDO-SE UMA FRAÇÃO QUE, ALÉM DE MANTER A PROPORÇÃO DA ORIGINAL, É DO TIPO IRREDUTÍVEL: 8 : 4 / 4 : 4 = 2/1
  42. 42. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS IRRACIONAIS NÚMEROS IRRACIONAIS É O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS QUE NÃO SÃO RACIONAIS.
  43. 43. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS IRRACIONAIS O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS IRRACIONAIS É NORMALMENTE CHAMADO DE “ I ”. O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS É DEFINIDO POR: I = R - Q
  44. 44. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS IRRACIONAIS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRE NOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO: √ 2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828... (Pi)  = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...
  45. 45. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS É O CONJUNTO FORMADO PELOS NÚMEROS IRRACIONAIS E PELOS NÚMEROS RACIONAIS. OS MATEMÁTICOS USAM O “ R ” PARA SE REFERIR AO CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS.
  46. 46. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS AO UNIRMOS O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS COM O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS , FORMANDO O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, TODAS AS DISTÂNCIAS REPRESENTADAS POR ELES SOBRE UMA RETA PREENCHEM-NA POR COMPLETO, ISTO É, OCUPAM TODOS OS SEUS PONTOS. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, PRENCHE A RETA POR COMPLETO.
  47. 47. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UM ASTERISCO AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZ PARTE DO MESMO. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOI EXCLUÍDO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: R* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}
  48. 48. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ + ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO NEGATIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: R+ = {0, 1, 2, 3, .....}
  49. 49. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ - ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO POSITIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: R- = {....., -3, -2, -1, 0}
  50. 50. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS PORTANTO, OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS SÃO TODOS REAIS.
  51. 51. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS: ENTRE OS NÚMEROS 1 e 2 EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... ENTRE OS NÚMEROS 5 e 6 EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
  52. 52. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÓDULO DE UM NÚMERO REAL O MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO REAL x, É DEFINIDO COMO SENDO O MAIOR VALOR ENTRE x E –x , ISTO É: |x| = MÁXIMO{x,y} OU AINDA POR: x SE x > 0 0 SE x = 0 -x SE x < 0
  53. 53. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS |+5| = 5 |0| = 0 |-6| = 6
  54. 54. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ORDENAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS PERMITE DEFINIR UMA RELAÇÃO DE ORDEM ENTRE ELES. OS NÚMEROS REAIS POSITIVOS SÃO MAIORES QUE ZERO E OS NEGATIVOS, MENORES QUE ZERO. EXPRESSAMOS A RELAÇÃO DE ORDEM DA SEGUINTE MANEIRA: a ≤ b se b – a ≥ 0
  55. 55. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO -15 ≤ 5 se 5 – (-15) ≥ 0 -15 ≤ 5 se 5 + 15 ≥ 0 -15 ≤ 5 se 20 ≥ 0
  56. 56. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS REFLEXIVA : PARA TODO x EM R: x ≤ x ANTI-SIMÉTRICA : SE x ≤ y e y ≤ x, ENTÃO: x = x TRANSITIVA : SE x ≤ y e y ≤ z, ENTÃO: x < z
  57. 57. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL É O NÚMERO CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO NATURAL n RESPECTIVAMENTE: RESPOSTA: n + 1 e n - 1
  58. 58. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO PAR SERÁ, NECESSARIAMENTE, UM NÚMERO? RESPOSTA: ÍMPAR.
  59. 59. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS SE n É UM NÚMERO NATURAL, DIGA SE SÃO NÚMEROS PARES OU ÍMPARES, AS EXPRESSÕES ABAIXO: 2n + 1 = IMPAR 8n – 6 = PAR 6n -1 = IMPAR 5n + 3 = DEPENDE DO VALOR DE n
  60. 60. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOIS ALGARISMOS? RESPOSTA: 99 E 10.
  61. 61. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOIS ALGARISMOS DIFERENTES? RESPOSTA: 98 E 10.
  62. 62. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO ÍMPAR DE QUATRO ALGARISMOS DIFERENTES? RESPOSTA: 9.875 E 1.235.
  63. 63. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS NUMA ADIÇÃO COM 3 PARCELAS, O TOTAL É DE 58. SOMANDO-SE 13 À PRIMEIRA PARCELA, 21 À SEGUNDA E SUBTRAINDO-SE 10 DA TERCEIRA, QUAL SERÁ O NOVO TOTAL? RESPOSTA: x + y + z = 58 X + y + z = 58 + 13 + 21 – 10 = 82
  64. 64. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO: - [ - 3 + 2 – (4 – 5 – 6)] RESPOSTA: PRIMEIRO ELIMINAMOS OS PARÊNTESES, COMO ANTES DELE TINHA UM SINAL DE MENOS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM COM OS SINAIS TROCADOS: - [ - 3 + 2 – 4 + 5 + 6] LOGO DEPOIS ELIMINAMOS OS COLCHETES: 3 – 2 + 4 – 5 – 6 = - 6
  65. 65. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO: { - 5 + [ - 8 + 3 x ( - 4 + 9 ) – 3 ] } RESPOSTA: PRIMEIRO RESOLVEMOS DENTRO DO PARÊNTESES: { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) – 3 ] } DEPOIS MULTIPLICAMOS O RESULTADO POR 3: { - 5 + [ - 8 + 15 – 3 ] }
  66. 66. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS LOGO APÓS ELIMINAMOS OS COLCHETES, COMO ANTES DESTE TINHA UM SINAL DE MAIS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM SEM TROCAR O SINAL: { - 5 - 8 + 15 – 3 } LOGO APÓS ELIMINAMOS AS CHAVES, OBSERVEM QUE TAMBÉM NÃO TEVE TROCA DE SINAIS PELO MESMO MOTIVO ANTERIOR: - 5 - 8 + 15 – 3 = - 16 + 15 = - 1
  67. 67. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TEORIA DOS CONJUNTOS NO ESTUDO DE CONJUNTOS, TRABALHAMOS COM ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS, QUE DEVEM SER ENTENDIDOS E ACEITOS SEM DEFINIÇÃO.
  68. 68. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS CONJUNTO CONJUNTO REPRESENTA UMA COLEÇÃO DE OBJETOS.
  69. 69. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EXEMPLO </li></ul><ul><li>O CONJUNTO DE TODOS OS BRASILEIROS. </li></ul><ul><li>O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS. </li></ul><ul><li>O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS </li></ul><ul><li>TAL QUE x² - 4 = 0 </li></ul>
  70. 70. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO EM GERAL, UM CONJUNTO É DENOTADO POR UMA LETRA MAIÚSCULA DO ALFABETO: A, B, C, ......, Z.
  71. 71. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ELEMENTO É UM DOS COMPONENTES DE UM CONJUNTO.
  72. 72. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EXEMPLO </li></ul><ul><li>JOSÉ DA SILVA É UM ELEMENTO DO CONJUNTO </li></ul><ul><li>DOS BRASILEIROS. </li></ul><ul><li>1 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS </li></ul><ul><li>NATURAIS. </li></ul><ul><li>-2 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS </li></ul><ul><li>QUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0 </li></ul>
  73. 73. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO EM GERAL, UM ELEMENTO DE UM CONJUNTO, É DENOTADO POR UMA LETRA MINÚSCULA DO ALFABETO: a, b, c, ......, z.
  74. 74. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PERTINÊNCIA É A CARACTERÍSTICA ASSOCIADA A UM ELEMENTO QUE FAZ PARTE DE UM CONJUNTO.
  75. 75. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EXEMPLO </li></ul><ul><li>JOSÉ DA SILVA PERTENCE AO CONJUNTO DOS </li></ul><ul><li>BRASILEIROS. </li></ul><ul><li>1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. </li></ul><ul><li>-2 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS </li></ul><ul><li>QUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0 </li></ul>
  76. 76. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO SE UM ELEMENTO PERTENCE A UM CONJUNTO, UTILIZAMOS O SÍMBOLO “ Є ” QUE SE LÊ: “ PERTENCE”.
  77. 77. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO PARA AFIRMAR QUE 1 É UM NÚMERO NATURAL OU QUE 1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS, ESCREVEMOS: 1 Є N
  78. 78. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO PARA AFIRMAR QUE 0 NÃO É UM NÚMERO NATURAL OU QUE 0 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS, ESCREVEMOS: 0 ∉ N
  79. 79. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO UM SÍMBOLO MATEMÁTICO MUITO USADO PARA A NEGAÇÃO É A BARRA “ / ” TRAÇADA SOBRE O SÍMBOLO NORMAL.
  80. 80. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS MUITAS VEZES, UM CONJUNTO É REPRESENTADO COM OS SEUS ELEMENTOS DENTRO DE DUAS CHAVES “ { } ” E ATRAVÉS DE DUAS FORMAS BÁSICAS E DE UMA TERCEIRA FORMA GEOMÉTRICA.
  81. 81. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS </li></ul><ul><li>APRESENTAÇÃO </li></ul><ul><li>DESCRIÇÃO </li></ul><ul><li>DIAGRAMA </li></ul>
  82. 82. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS APRESENTAÇÃO OS ELEMENTOS DO CONJUNTO ESTÃO DENTRO DE DUAS CHAVES { }. A = {a, e, i, o, u} N = {1, 2, 3, 4, ...} M = {João, Maria, José}
  83. 83. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DESCRIÇÃO O CONJUNTO E DESCRITO POR UMA OU MAIS PROPRIEDADES. A = {x: x é uma vogal} N = {x: x é um número natural} M = {x: x é uma pessoa da família de Maria}
  84. 84. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIAGRAMA OS CONJUNTOS SÃO MOSTRADOS GRAFICAMENTE.
  85. 85. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SUBCONJUNTOS DADOS OS CONJUNTOS A e B, DIZ-SE QUE A ESTÁ CONTIDO EM B, DENOTADO POR A B (A ESTÁ CONTIDO EM B), SE TODOS OS ELEMENTOS DE A TAMBÉM ESTÃO EM B. ALGUMAS VEZES DIREMOS QUE UM CONJUNTO A ESTÁ PROPRIAMENTE CONTIDO EM B, QUANDO CONJUNTO B, ALÉM DE CONTER AO ELEMENTOS DE A, CONTÉM TAMBÉM OUTROS ELEMENTOS. O CONJUNTO A É DENOMINADO SUBCONJUNTO DE B E O CONJUNTO B É O SUPERCONJUNTO QUE CONTÉM A.
  86. 86. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS CONJUNTO VAZIO É UM CONJUNTO QUE NÃO POSSUI ELEMENTOS. É REPRESENTADO POR { } OU POR Ø . O CONJUNTO VAZIO ESTÁ CONTIDO EM TODOS OS CONJUNTOS.
  87. 87. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS CONJUNTO UNIVERSO É UM CONJUNTO QUE CONTÉM TODOS OS ELEMENTOS DO CONTEXTO NO QUAL ESTAMOS TRABALHANDO E TAMBÉM CONTÉM TODOS OS CONJUNTOS DESSE CONTEXTO. O CONJUNTO UNIVERSO É REPRESENTADO POR UMA LETRA “ U ”.
  88. 88. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>CONJUNTOS NUMÉRICOS </li></ul><ul><li>EXISTEM TAMBÉM OS CONJUNTOS NUMÉRICOS, QUE EM </li></ul><ul><li>CONSIDERAÇÃO ESPECIAL EM MATEMÁTICA. OS </li></ul><ul><li>PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS SÃO: </li></ul><ul><li>CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS </li></ul><ul><li>CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS </li></ul><ul><li>CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS </li></ul><ul><li>CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS </li></ul>
  89. 89. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS UNIÃO DE CONJUNTOS A UNIÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO CONJUNTO A OU AO CONJUNTO B. A U B = { x: x Є A ou x Є B }
  90. 90. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO SE A = {a, e, i, o} E B = {3, 4} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, 3, 4} SE A = {2, 3, 4, 5} E B = {1, 3, 5} ENTÃO A U B = {1, 2, 3, 4, 5} SE A = {a, e, i} E B = {o, u} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, u}
  91. 91. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS A INTERSEÇÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO CONJUNTO A E AO CONJUNTO B. A ∩ B = { x: x Є A e x Є B }
  92. 92. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO SE A = {a, e, i, o, u} E B = {1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = Ø
  93. 93. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO QUANDO A INTERSEÇÃO DE DOIS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO VAZIO, DIZEMOS QUE ESTES CONJUNTOS SÃO DISJUNTOS .
  94. 94. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO SE A = {a, e, i, o, u} E B = {a, e, 1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = {a, e} SE A = {1, 2, 3} E B = {3, 4, 5} ENTÃO A ∩ B = {3}
  95. 95. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIFERENÇA DE CONJUNTOS A DIFERENÇA ENTRE OS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO CONJUNTO A E NÃO PERTENCEM AO CONJUNTO B. A - B = { x: x Є A e x ∉ B }
  96. 96. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u, b, c} ENTÃO A - B = {a, e, o} SE Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} E N = {1, 2, 3, 4, 5} ENTÃO Z - N = {..., -2,-1, 0}
  97. 97. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIFERENÇA DE CONJUNTOS DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, A DIFERENÇA PODE SER VISTA COMO:
  98. 98. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO O COMPLEMENTO DO CONJUNTO B CONTIDO NO CONJUNTO A, DENOTADO POR C A B, É A DIFERENÇA ENTRE OS CONJUNTOS A e B, OU SEJA, É O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO CONJUNTO A E NÃO PERTENCEM AO CONJUNTO B. C A B = A – B = { x: x Є A e x ∉ B }
  99. 99. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u} ENTÃO A - B = {a, e, o} SE A = {3, 4, 9, 10, 12, 25, 27} E B = {10, 12} ENTÃO A - B = {3, 4, 9, 25, 27}
  100. 100. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, O COMPLEMENTO DO CONJUNTO B NO CONJUNTO A, É DADO POR:
  101. 101. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIFERENÇA SIMÉTRICA A DIFERENÇA SIMÉTRICA ENTRE OS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM À REUNIÃO DOS CONJUNTOS A e B E NÃO PERTENCEM À INTERSEÇÃO DOS CONJUNTOS A e B. A B = { x: x Є AUB e x ∉ A∩B }
  102. 102. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u, b, c} ENTÃO A B = {a, e, o, b, c}
  103. 103. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIFERENÇA SIMÉTRICA DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, A DIFERENÇA SIMÉTRICA ENTRE OS CONJUNTOS A e B, É DADO POR:
  104. 104. PROAB 2010 AULA 2 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS CARDINALIDADE A CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO, REPRESENTA A QUANTIDADE DE ELEMENTOS DO CONJUNTO. SE A = {7, 8, 9}, ENTÃO A = 3 SE B = {}, ENTÃO B = 0

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