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Parábola

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Parábola

  1. 1. Universidade Federal doTriângulo Mineiro – UFTM CônicasProf.: Daniel Oliveira Veronese
  2. 2. O que é uma Superfície Cônica? Uma superfície cônica de revolução é a superfíciegerada pela rotação completa de uma reta (geratriz) emtorno de outra reta (eixo), formando com esta sempre omesmo ângulo, até completar uma revolução (voltacompleta). Ao ponto comum à geratriz e ao eixochama-se vértice.
  3. 3. O que é uma Cônica? É chamada de Cônica toda curvaque se obtém como interseção deum plano com uma superfície cônica.
  4. 4. Obs.: Quando o plano que intersecta asuperfície cônica passa pelo vértice, aseção obtida é uma cônica degenerada.Caso contrário, obtemos cônicas nãodegeneradas.
  5. 5. Cônicas Não Degeneradas ELIPSE: neste caso, o plano secante não passa pelovértice e intersecta todas as posições da geratriz e o eixo.Além disso, é oblíquo em relação ao eixo.
  6. 6. Se, em particular, o plano é perpendicular ao eixo, aelipse obtida é uma circunferência.
  7. 7. Hipérbole: neste caso, o plano secante não passapelo vértice e é paralelo ao eixo;
  8. 8. Parábola: neste caso, o plano secante não passa pelovértice e é paralelo apenas a uma posição da geratriz.
  9. 9. Cônicas DegeneradasPonto(Elipse degenerada)
  10. 10. Duas retas concorrentes(hipérbole degenerada): nestecaso, o plano secante é paralelo ao eixo e passa pelovértice.
  11. 11. Reta(parábola degenerada): neste caso, o plano secante éparalelo apenas a uma posição da geratriz e passa pelovértice.
  12. 12. Enfatizaremos o estudo das cônicas nãodegeneradas, ou seja, elipse, hipérbole eparábola.
  13. 13. ParábolaConsideremos em um plano uma reta d e umponto F não pertencente a d.Definimos parábola como sendo o lugargeométrico dos pontos que são equidistantesde F e d.
  14. 14. Figura 7.1
  15. 15. Figura 7.2
  16. 16. Observando a figura 7.2 vemos que umacondição necessária e suficiente para que oponto P pertença à parabola é: d(P,F)=d(P,P).
  17. 17. Elementos da ParábolaFoco: ponto FDiretriz: reta dEixo: reta que passa pelo foco sendoperpendicular à diretriz.Vértice: é o ponto V de interseção da parábolacom seu eixo.
  18. 18. Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema 1º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos y Figura 7.3
  19. 19. Da definição de parábola obtemos:ou seja:
  20. 20. Sendo assim, obtemos:ou, simplesmente:que é equação reduzida da parábola neste caso.
  21. 21. Concavidade voltada para cima dasf
  22. 22. Concavidade voltada para baixo
  23. 23. 2º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos x
  24. 24. Nesse caso, de modo análogo o que foi feito noprimeiro caso, concluímos que:
  25. 25. Concavidade voltada para a direita
  26. 26. Concavidade voltada para a esquerda
  27. 27. ObservaçãoO número p(que é diferente de zero) échamado parâmetro da parábola.
  28. 28. Translação de EixosConsideremos no plano xOy um ponto O(h,k),arbitrário. Vamos introduzir um novo sistemaxOy tal que os eixos Ox e Oy tenham amesma unidade de medida, a mesma direção eo mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestascondições, um sistema pode ser obtido dooutro, por meio de uma translação de eixos.
  29. 29. Pela figura anterior vemos que:ou:que são as fórmulas de translação e quepermitem transformar coordenadas de umsistema para outro.
  30. 30. Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema1º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y
  31. 31. Do que já vimos, sabemos que:mas:e daí:que é a forma padrão da equação de umaparábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo aodos y.
  32. 32. 2º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x Neste caso, de modo análogo ao caso anterior, obtemos:
  33. 33. Equação da Parábola na Forma Explícita 1º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos y 2º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos x
  34. 34. ExemplosSerão feitos no caderno!!!!!!

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