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As regras da cadeia

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As regras da cadeia

  1. 1. AS REGRAS DA CADEIA É um recurso de derivação para funções compostas, e um dos mais importantesteoremas do Cálculo Diferencial. Começaremos com a regra da cadeia para funções deuma variável e depois generalizaremos. Para derivarmos funções compostas podemos utilizar propriedadesmatemáticas e engenhosidades sem utilizar a regra da cadeia, entretanto a derivaçãose torna um pouco mais simples com o uso da regra da cadeia que enunciaremos aseguir: Por inicio, consideremos as funções e , tal que . Assim a regra da cadeia assume a seguinte forma: ( ) ouExemplo: 1) Derive a função . Para começar chamamos e , então derivamos: ; Utilizando a regra da cadeia, temos: Mas como , a derivada fica assim: 2) Se a equação do movimento de uma partícula for dada por , dizemos que a partícula esta em movimento harmônico simples.a) Encontre a velocidade da partícula no instante t.b) Quando a velocidade é zero?Solução: a) A velocidade é dada por: b) Para que a velocidade seja igual à zero, a função tem que ser zero, portanto:
  2. 2. Agora avançaremos para o caso de funções com varias variáveis. Podemosconsiderar duas regras da cadeia. Para entendermos a primeira regra da cadeia par funções de varias variáveis,começamos com o exemplo: Considere a função , poderíamos simplesmente derivarutilizando a regra da cadeia simples e a regra de Leibniz, entretanto façamos uso daseguinte regra Primeira regra da cadeia:Seja uma função de duas variáveis e sejam e funções de uma variável, suponhaque , e , definimos a função da seguinte forma ou Voltando ao exemplo, , fazendo e Podemos generalizar essa regra para funções com n variáveis, seja , então: Segunda regra da cadeia:Sejam , e , assim ( ) , então asderivadas parciais são dadas por: eOu na notação de Leibniz: e
  3. 3. Podemos generalizar para funções de m variáveis com essas variáveis, sendopor sua vez funções de n variáveis, sejam e Com j = 1, 2, ..., n. Se as derivadas parciais de em relação a , podemosescrever utilizando a notação de somatório, na forma ∑ Exemplo: Suponha que seja uma função diferenciável em (0,0,0) e que , e . Se a função está definida peçaequação , encontre e .Solução: Seja , ,e , e faça . Então , assimFazendo e , temos , , eDo mesmo modo,Escrito por F. L. TibolaGraduando em Engenharia Química

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